Назад

Вычислительная графика

Савельев Юрий Александрович (Уральский государственный университет путей сообщения)


Графические методы решения инженерных задач известны со времен древней Греции. Так, удвоение ребра куба, согласно легенде, имело сугубо практическое значение: «Удвойте жертвенник Аполлона (в виде куба) и чума прекратится». Никомед и Диокл за 2 тысячи лет до н.э. создали специальные кривые для решения этой и подобной задачи (трисекции угла). Но с появлением дифференциального, интегрального и других исчислений циркуль и линейка уступили место математическим методам, дающим более точные результаты, столь необходимые техническому прогрессу.

Но современные графические редакторы, основанные на высокой математике, позволяют, по Гегелю, на новом витке возродить графические методы. При этом электронные циркуль и карандаш позволяют получить результат там, где традиционные (без перебора вариантов) математические методы бессильны. Примеры из достижений автора.

  1. Визуализация стерадиана. Только графически можно вычислить и увидеть конус вращения с телесным углом в 1 (любой) стерадиан (МГАТХТ, 2009 г).
  2. Равновеликая развертка поверхности вращения позволяет создать карту Земли, по которой можно точно измерять площади и др. (СГТУ, 2009 г).
  3. Определение параметров кривизны произвольной плоской кривой (математически она должна иметь описание, первую и вторую производные) УО РАН, 2003 г.
  4. Графическое построение эволютоида – геометрического места центров кривизны поверхности с математическим подтверждением. УрГУПС. 2003 г.
  5. Четырехмерный континуум «пространство-время» на основе начертательной геометрии (КГТУ, 2006 г). Позволяет решать любые пространственно-временные задачи.
  6. Графическое решение уравнений с дробными степенями (с извлечением корня из отрицательных чисел). СГТУ. 2007 г. и др.

С другой стороны графически известные задачи решить гораздо проще, чем математически. Например, систему трех уравнений с тремя неизвестными любой сложности можно решить без трудоемкого вычисления четырех определителей третьего порядка, а проведением нескольких отрезков (см. газету Магистраль). Точность максимальная. Кстати на этом примере покажем еще одно преимущество графики. Достоверность. Результат можно легко проверить измерением параметров отрезков без громоздких проверочных вычислений.

Следующее достоинство графических методов. Программируемость. Каждое графическое решение – это программа. Изменив параметры отрезка или дуги – решение другой задачи с новыми исходными данными. Например, в учебном пособии (Ю.А. Савельев. Компьютерная графика. 2004 г.) описана действующая графическая программа решения типовой задачи начертательной геометрии: определение координат точки пересечения отрезка с плоскостью, заданной треугольником.

Логичность и наглядность графики показана автором при определении величин токов, напряжений и сопротивлений в теоретической электротехнике методом графического векторного исчисления взамен использования теории функций комплексного переменного. (УрГУПС. 2003.)

Использование начертательной геометрии в решении инженерных задач разных учебных дисциплин и отраслей техники еще в 1953 г. предлагал и обосновывал Николай Федорович Траутман. Но тогда не было компьютерной техники и предложения реализованы не были. Но отличие предлагаемого дополнительно состоит в созидательности: получении новых научных данных графическим путем. На арифметические методы умножения, деления и возведения в степень автором получен патент России на изобретение (№ 2259590 с приоритетом от 02.09.2003 г.).

Следующим, но не последним, достоинством графических методов является их абсолютность. По случайной ошибке решателя ответ может быть несколько искажен, именно искажен и не более, в то время как математические теоремы требуют серьезной графической апробации. Примером может служить приводимый ниже и еще не опубликованный материал об ошибке Гаусса по решению уравнений типа x5 – 1 = 0. Графически убедительно доказывается, что уравнения такого типа при любой степени неизвестного имеет лишь один корень x = 1. Юный же (18-ти летний) Гаусс пытается доказать, во-первых, что данное уравнение имеет 5 корней и, во-вторых, что его решение позволяет поделить окружность циркулем и линейкой на 5 частей. Причина в том, что при возведении в четную степень результат может быть двояким, а выбирается один. Например, примитивно, один человек имеет 5р., а второй должен столько же (-5р.). После возведения в квадрат они равноправны. То же при извлечении корня. Не всегда, но иногда это сказывается. (Поскольку это материал для обсуждения, автор позволил себе такую вольность трактовки.)

Обобщая сказанное, можно говорить о необходимости создания в вузах новой учебной дисциплины, которую можно назвать Вычислительной графикой, где математическим символам придается графический образ, который графическими построениями преобразуется требуемый результат. (Не путать с Вычислительной геометрией, где задача ставится наоборот: графические образы интерпретируются математически.)

Ознакомиться с ранними достижениями автора можно в Интернете по адресу: www.grafika-savelieva.narod.ru.

Предложения

  1. Дипломированный специалист будет обладать большими компетенциями, если будет владеть не одним, а двумя разными способами достижения точного результата в решении возникающих инженерных задач.
  2. Компетенции по п.1 не являются взаимоисключающими, а являются взаимодополняющими. Математика нужна для решения больших глобальных задач с многими переменными и т. д. Графика же нужна: 1 - для решения рядовых и нестандартных задач, 2 - проверки математических выкладок, 3 - получения новых научных результатов.
  3. В федеральных и исследовательских университетах объединить аналитическую и начертательную геометрии в один курс с условным названием «Вычислительная графика» в соответствии с рекомендациями Г. Монжа и практикой Н.И. Лобачевского, который читал в Казанском университете среди прочих курс аналитической и начертательной геометрии. «Следует пожелать, чтобы обе эти науки изучались вместе: начертательная геометрия внесла бы присущую ей наглядность в наиболее сложные аналитические операции, а анализ в свою очередь внес бы в геометрию свойственную ему общность» (Г. Монж. Начертательная геометрия. 1947 г. с. 28.)
  4. Считать обязательными разделами объединенной дисциплины:
  1. Считать целесообразным организовать Учебный Центр повышения квалификации педагогов предлагаемой дисциплины в одном из передовых университетов, например, в ПермГТУ.
  2. Поручить одному из университетов составить полный пакет методического обеспечения: учебная программа, курс лекций, задачник, рабочие тетради, материалы для дистанционного обучения и т.д.
  3. Составить компьютерную обучающую и контрольную программу по дисциплине на основе апробированных 13 принципов (Савельев Ю.А. Пенз-ГАСА. 1999 г.), позволяющую самостоятельное обучение, самоконтроль и дифференцированный контроль знаний.

Вопросы и комментарии к докладу:


Фото
Хейфец Александр Львович
(6 марта 2010 г. 0:01)
Уважаемый Юрий Александрович. Слежу за Вашими многочисленными публикациями. В связи предложениями, высказанными в данном докладе о создании курса "Вычислительной графики" при кафедрах начертательной геометрии и инженерной графики отмечу следующее: 1. Задачи наших кафедр - учить геометрическому моделированию машиностроительных, строительных и др. объектов и построению их чертежей. Дай бог нам справиться с этими задачами в их современной постановке, а переключаться на вычислительную графику - не время. 3. Возможно, Ваши предложения будут интересны для кафедр математики, физики или общей электротехники. 2. Начертательная геометрия всего лишь метод исследования пространственных свойств оббъектов на основе их плоских отображений - проекций. Сейчас, с развитем 3D-технологий, необходимость в этом методе отпадает. Уверен, что через 5...10 лет эта наука "уйдет" в историю, в базу знаний... в связи с невостребованностью. Уже сейчас из тех, кто знает современные методы компьютерного 3D-моделирования, никто не прибегнет к методам начертательной геометрии. Здесь вопрос в смене поколений преподавателей кафедр графики и правильном воспитании молодых кадров. А Вы предлагаете дополнять начертательную геометрию... Буду признателен, для выяснения позиций, узнать Ваше мнение по этому вопросу. А.Л. Хейфец
Фото
Ларкин Михаил Юрьевич
(9 марта 2010 г. 14:14)
Позвольте несколько слов против оппонента (если позволяет регламент): Автомобили и самолёты неотменили велосипеды и пешие походы. Так и программы не отменяют изучение азов геометрии, по крайней мере для той части студентов, которые собираются быть не просто пользователям, а грамотным и квалифицированным. Преподавая компьютерную графику и моделлинг я сталкиваюсь именно с непониманием пространства. Посему хотя бы ознакомление с графическими методами считаю очень полезным.
Фото
Хейфец Александр Львович
(9 марта 2010 г. 19:54)
Уважаемый Михаил Юрьевич, предлагаю нашу дискуссию перенести в рамки Вашего доклада. Там я дам свой ответ, а то как-то в чужом доме неудобно. А.Л. Хейфец
Фото
Дударь Елена Сергеевна
(13 марта 2010 г. 9:40)
Уважаемый Юрий Александрович! В моей базовой специальности (кондиционирование воздуха, строительство) прежде используются графические методы расчета. До сих пор применяют I-D диаграммы для влажного воздуха, графические методы расчета совместной работы вентиляторов и т.д. Графические представления современной геометрии пространства (см. фильмы фонда развития финслеровой геометрии) дают уверенность в том, что основы останутся основами...В практике проектирования, без сомнения, будущее за графическими пакетами. В задачах практического расчета нужны методики простые, удовлетворяющие заданной точности, позволяющие, в том числе, и в "полевых" условиях дать результат. С уважением Ел.С. Дударь
Фото
Верещагина Татьяна Анатольевна
(15 марта 2010 г. 15:03)
Уважаемый Юрий Александрович! Я солидарна с Вашим «видением» начертательной геометрии. Меня интересует преподавание НГ и ИГ через включение в обучение инженерных задач. Мы многие задачи буквально с первых занятий позиционируем как инженерные. Поскольку я работаю со студентами горно-нефтяного факультета, то и задачи имеют соответствующую специфику. Именно графическими методами НГ решаются некоторые прямые и обратные задачи, например, определение выхода пласта породы на дневную поверхность (пересечение плоскости с топографической поверхностью) и др., и именно в 2D. Против 3D ничего не имею, только ЗА, но надо исходить из разумного, что и в каком случае лучше, полезнее и рациональнее - это я по поводу ответов Александра Львовича. Мой вопрос: занимались ли Вы задачами горно-геологической специфики и если да, то какими и где это можно посмотреть? Спасибо. Верещагина Татьяна Анатольевна (e-mail: alamanta@mail.ru)
Фото
Максименко Любовь Александровна
(20 марта 2010 г. 2:34)
Здравствуйте, Юрий Александрович! Приглашаем Вас принять участие во Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и технический дизайн в профессиональном образовании и промышленности», которая состоится 21 – 22 апреля 2010 года в Новосибирском государственном техническом университете. Информация о конференции размещена на сайте: http://www.graph.power.nstu.ru/ Адрес для связи: maksimenko_la@mail.ru

Назад