Назад

Кривые второго порядка в задачах начертательной геометрии

Фото Короткий Виктор Анатольевич (Южно-уральский государственный университет)



Геометрическое преобразование служит решению трудных геометрических задач, преобразуя заданные фигуры в простейшие… После того, как для преобразованной фигуры задача будет решена, стоит только преобразовать ее в первоначальную, чтобы получить требуемое решение для этой последней.”

 

 (Ньютон И., Математические начала натуральной философии).

 

         В задачах, решаемых посредством проективных или квадратичных преобразований, кривые второго порядка – зачастую такой же существенный элемент конструктивных построений, как и прямая линия. Поэтому при выполнении построений на компьютере как “электронном кульмане”, целесообразно иметь под рукой программу, вычерчивающую коническое сечение по указанным на экране компьютера точкам и касательным.

Такого программного средства нет ни в одном графическом пакете. Возможно, это объясняется вычислительными проблемами. Действительно, аналитическое решение задачи предполагает расчет определителей пятого порядка. Абсолютные числовые значения коэффициентов определителя, зависящие от координат задаваемых элементов искомой коники, могут существенно различаться, что приводит к неустойчивости вычислительной процедуры.

Это затруднение удается обойти, используя проективные алгоритмы [1]. Автором статьи составлена программа построения коники на языке программирования, встроенном в Autocad (разработанное программное средство находится на государственной регистрации). Все действия выполняются с использованием всего двух графических примитивов – прямой и окружности, поэтому главные диаметры и асимптоты (если они есть) искомой кривой определяются геометрически точно. Это позволяет не только вычертить кривую на экране компьютера, но и при необходимости записать ее алгебраическое уравнение.

Проективные алгоритмы по своей сути “нечувствительны” к бесконечно удаленным элементам, поэтому в определении коники могут участвовать ее несобственные точки (задаваемые направлением) или несобственная касательная. С учетом несобственных элементов получаем более пятидесяти аффинных сочетаний точек и касательных, определяющих конику. Запрограммированы  всего три основные специализации: по пяти собственным точкам; по пяти касательным, одна из которых может быть задана как несобственная прямая (получаем параболу); по трем точкам, в двух из которых указаны направления касательных.

Для построения коники, заданной другим сочетанием точек и касательных, пользователю придется предварительно заняться “проективной арифметикой”: подобрать в [1] подходящий алгоритм и самостоятельно на электронном кульмане построить дополнительные элементы искомой кривой, чтобы получить одну из запрограммированных специализаций. Следует предупредить, что в [1] не рассмотрены случаи, когда заданные точки искомой кривой совпадают по три (то есть когда в данной точке искомой коники указана ее окружность кривизны) или по четыре (в данной точке указана соприкасающаяся коника), а также не даны алгоритмы построения кривой второго порядка с участием мнимосопряженных элементов. Этот пробел отчасти заполняется данной статьей.  

Покажем эффективность применения разработанного программного средства на примере одной геометрической задачи.

Несмотря на некоторое различие формулировок, все перечисленные задачи решаются одинаково. Сразу отметим, что построение невыполнимо с помощью только циркуля и линейки. Аналитически оно сводится к решению алгебраического уравнения третьей степени [2]. Геометрически проблема заключается в построении оси и центра гомологии, перспективно связывающей данные коники (ось гомологии проходит через мнимосопряженные точки пересечения коник, центр гомологии находится на пересечении их общих касательных).

Придадим задаче “начертательно-геометрическое” содержание.

Дано перспективное изображение двух непересекающихся окружностей k1, k2  (центры окружностей не указаны) и треугольника RST (рис. 1,а). Все данные фигуры компланарны. Требуется реконструировать изображение (определить истинную форму треугольника).

Для реконструкции изображения следует найти центр проецирования и плоскость проекций такие, чтобы данные компланарные коники k1, k2 проецировались в две окружности. При этом треугольник RST проецируется в натуральную величину. Решение задачи требует использования квадратичного преобразования плоскости.

Рассмотрим квадратичную инволюцию J2, ставящую в соответствие точке X плоскости точку пересечения X' поляр точки X относительно пучка коник k1, k2. Однозначность преобразования нарушается в вершинах F1, F2, Fавтополярного треугольника, общего для всех кривых пучка. Для построения F-точек проводим две произвольные прямые a, b, которым соответствуют в J2 две кривые второго порядка a2, b2 (гомалоиды), в пересечении которых отмечаем искомые точки (рис. 1, б). Поиск точек пересечения гомалоидов геометрически эквивалентен решению алгебраического уравнения третьей степени, поскольку одна точка их пересечения известна (в преобразовании J2 она соответствует точке пересечения исходных прямых a, b).

Очевидно, точное конструктивное выполнение указанного построения становится возможным лишь при наличии автоматизированного программного средства, позволяющего геометрически точно вычерчивать гомалоид как кривую второго порядка.

         Квадратичная инволюция J2 расслаивается на инволюционные проективитеты в пучках прямых, проходящих через F-точки. Двойные (самосоответственные) прямые каждого из пучков Fi (i=1, 2, 3) проходят через двойные точки преобразования J2, совпадающие с точками пересечения коник k1, k2 (самосоответственные прямые пучков Fi – слабоинвариантные прямые преобразования J2). Для рассматриваемого случая, когда коники не имеют действительных точек пересечения, преобразование J2 индуцирует в одной из F-точек гиперболическую инволюцию, в двух других F-точках – эллиптические инволюции с мнимыми двойными прямыми. Действительные двойные прямые m, n гиперболической инволюции в пучке F3 определяют оси гомологии данных коник (рис. 1, в).

Из двойственного рассуждения следует, что на каждой P-прямой ji устанавливается инволюция точек, соответственных в J2, одна из которых – гиперболическая. Через двойные точки M, N этой инволюции проходят совпавшие прямые пучков второго порядка k1, k2 (то есть общие касательные lM ,lN  двух данных конических сечений). Точки M, N определяют центры гомологий. Попарно комбинируя найденные прямые m, n и точки M, N, получаем четыре гомологии, связывающие две данные непересекающиеся коники k1, k2.

Таким образом, для конструктивного построения гомологии двух непересекающихся кривых второго порядка следует найти вершины их общего автополярного треугольника F1F2F3 (как точки пересечения двух гомалоидов в квадратичной инволюции J2) и определить двойные элементы проективитетов в F-пучках и на P-прямых, установленных этой инволюцией. Двойные прямые в F-пучке и двойные точки на соответственной P-прямой определяют оси и центры четырех различных гомологий.

Для реконструкции перспективного изображения на одной из найденных осей (например, на n) отмечаем две пары точек (A, A'),(B, B'), соответственных в эллиптической инволюции сопряженных точек, установленной на n кониками k1, k2. Затем строим точку Лагерра L, из которой инволюция (A, A'),(B, B') проецируется ортогональной инволюцией. Составляем гомологию Г с центром L, переводящую прямую n в несобственную прямую, а эллиптическую инволюцию (A, A'),(B, B') – в абсолютную инволюцию на несобственной прямой. Для полного определения гомологии достаточно задать ось l, которой может быть любая прямая, параллельная прямой n. Установленная таким образом гомология Г преобразует исходные кривые k1, k2 в две окружности r1, r2 , а искомую фигуру RST – в равнобедренный прямоугольный треугольник R0S0T0 (рис. 2, а). Реконструкция выполнена.

Заметим, что “попутно” были решены такие классические задачи начертательной геометрии, как проведение прямой через мнимые комплексно сопряженные точки и построение общей касательной двух непересекающихся коник.

Программа автоматизированного построения кривых второго порядка может использоваться в учебно-исследовательских задачах. Рассмотрим, например, конструктивное применение метода Лайминга (1944 г.) к проектированию гладкого перехода от прямоугольного к круговому поперечному сечению, лежащему в другой плоскости [3]. Предварительно задав форму продольных силовых элементов каркаса поверхности (лонжеронов) AA0, BB0, CC0 по оси z, получаем в произвольном поперечном сечении точки 1,2,3, через которые с помощью программы строим составной обвод (шпангоут) первого порядка гладкости, состоящий из четырех дуг кривых второго порядка, в данном примере – гипербол (рис. 2, б). Дуга 123 обвода определена тремя точками и двумя касательными (в точке 1 касательная параллельна оси y, в точки 3 – оси x). Такой алгоритм построения поперечных сечений позволяет однозначно задать каркас конструируемой поверхности с любой степенью дискретности.

Программа построения коники может быть использована в теоретических задачах начертательной геометрии для выполнения “геометрических экспериментов”. Например, можно смоделировать на компьютере и исследовать квадратичное соответствие совмещенных плоских полей, получаемое с помощью двойного стереографического проецирования  (в современном толковании этого термина) поверхности второго порядка на совмещенную плоскость [4]. При этом всякой прямой одного поля будет соответствовать гомалоид другого поля, который может быть начерчен с помощью программы построения кривой второго порядка.

В заключение рассмотрим роль компьютера в преподавании начертательной геометрии на современном этапе. Авторы “новых методик” преподавания утверждают, что начертательная геометрия - морально устаревший предмет, не имеющий практического применения, поскольку компьютерными средствами якобы можно решить любую геометрическую задачу непосредственно в 3D-пространстве. Поскольку появилась возможность сделать объемные электронные макеты любых геометрических фигур, то какое-либо отображение пространства на плоскость чертежа не требуется.

         Следует ясно понимать, что внешне очень эффектные, “инновационные“ компьютерные средства и электронные макеты в принципе не могут заменить универсальные геометрические и математические методы исследования. Даже самый совершенный графический пакет – всего лишь продукт работы команды программистов, которые вложили в него свои собственные знания. Поэтому всякая графическая программа – это не учебник геометрии или математики, а справочник с очень ограниченным содержанием. Нельзя заменять изучение геометрии механическим использованием справочных сведений и инструментов, заложенных в компьютерных программах. Тем более нельзя заменять начертательную геометрию, сущность которой в разнообразных конструктивных геометрических отображениях и преобразованиях, упражнениями с метрически определенными электронными макетами в 3D-пространстве.           

Очевидно, компьютер способен существенно помочь в практической реализации многих геометрических алгоритмов, взяв на себя производство вычислительных процедур. Например, рассмотренное в статье программное средство автоматизированного построения коники действительно может оказаться полезным во многих геометрических задачах. Но оно не может заменить или “отменить” изучение кривых второго порядка в курсе начертательной геометрии. Утверждение, что развитая за тысячелетия алгебраическая и геометрическая теория кривых второго порядка “устарела”, потому что есть программа, которая способна чертить эти кривые, выглядело бы нелепо. 

Равным образом нелепо выглядит утверждение, что начертательная геометрия “морально устарела” вследствие появления трехмерной компьютерной графики, позволяющей изображать на экране компьютера различные геометрические тела.

Возможность наглядного представления графической информации, безусловно, следует использовать в дидактических целях, для визуализации, для демонстрационных просмотров, для оживления лекционного материала. Но совершенно недопустимо заменять изучение средств и методов начертательной геометрии метрическими построениями в виртуальном пространстве.

Истинное место компьютерного моделирования –  в САПР, в курсе инженерной графики, для составления и хранения конструкторской документации. В учебном курсе начертательной геометрии трехмерная графика не имеет самостоятельного значения.

Список литературы

  1.  Короткий В.А. Проективное построение коники [электронный ресурс www.lib.susu.ac.ru]: учеб. пособие / В.А. Короткий; Юж.-Урал. гос. ун-т. Челябинск, 2010. 98 с.
  2.  Скопец З.А. Преобразование двух кривых второго порядка в две окружности посредством гомологии / З.А. Скопец // Известия ВУЗов. Математика. 1964. №2 (39). С. 139-143.
  3.  Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс, М. Пратт; М., Мир. 1982. 304 с.
  4.  Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований) / Г.С. Иванов;  М., Машиностроение. 1987. – 192 с.

Рисунки к докладу

Рис. 1
Рис. 1

а)                                                                              б)                                                                                                    с)




Рис. 2
Рис. 2

                                           а                                                                                 б 




Вопросы и комментарии к докладу:


Фото
Головнин Алексей Алексеевич
(17 февраля 2011 г. 20:07)

Здравствуйте уважаемый Виктор Анатольевич!

Целиком согласен с вашим заключением, что истинное место компьютерного моделирования – в САПР, в курсе инженерной графики, для составления и хранения конструкторской документации.

Вместе с тем, вызывают несогласие категоричные запреты на научную деятельность (если только она не направлена против человечности):

«Но совершенно недопустимо заменять изучение средств и методов начертательной геометрии метрическими построениями в виртуальном пространстве.» Если задачу удастся решить, да еще и проще, нагляднее, полнее, то почему же недопустимо?

К тому же известны евклидова, аффинная, проективная, эллиптическая, гиперболическая, бесконечномерная геометрии. Почему среди них не может быть места 3D-геометрии, которая стала возможной с развитием компьютерной техники?

В рассмотренном Вами примере условие задачи сформулировано в терминах проекции и решается методами проективной геометрии.

Может быть, это и есть та самая сфера применения начертательной геометрии, которая всегда останется за ней? Это когда условие задачи дано в виде проекции, да еще одной (сразу вспоминается задачник В.А.Пеклича). А если геометрические свойства объекта известны, и нужно увязать много объектов между собой, то 3D-геометрия становится более предпочтительной?

С уважением Головнин Алексей Алексеевич

Фото
Короткий Виктор Анатольевич
(21 февраля 2011 г. 21:52)

Алексей Алексеевич, учебные задачи НГ - не самоцель, а средство дать студенту навыки использования совершенно универсальных конструктивных геометрических инструментов - "проецирование" и "сечение". Заменяя их действиями с 3d- объектами, мы полностью выхолащиваем сущность учебной дисциплины.

Что касается 3d-геометрии, то ее следует причислить, по классификации Клейна, к группе метрической геометрии (так как в ней возможны только преобразования движения и подобия). Иначе говоря, мы должны отнести 3d к евклидовой геометрии. Если для решения какой-либо задачи не нужно использовать преобразования более высокого уровня (аффинные, проективные, бирациональные) - то все в порядке, задача будет решена. Если метрических средств не хватает, а иные способы применять не хочется - ищут приближенное решение. Например, чтобы "надеть" заданный эллипс на заданную квадрику, просто проводят десятки тысяч секущих плоскостей и рано или поздно "подбирают" подходящий эллипс. Это нормальное техническое решение.  Почему бы и нет?

С уважением, В. Короткий  


Назад