Назад

Сравнительная оценка эффективности методов начертательной геометрии и 3D компьютерного геометрического моделирования

Фото Хейфец Александр Львович (Южно-уральский государственный университет)



Сегодня геометрическое моделирование, разработка и исследование пространственных свойств объекта, преимущественно ведутся традиционными методами начертательной геометрии (НГ), на основе проекционных отображений (2D методы). Появление 3D технологии построения чертежа, реализованного во всех современных пакетах САПР, дало импульс к развитию теоретических основ нового метода – 3D компьютерного геометрического    моделирования. Суть нового метода – прямое, без проекционных преобразований, исследование геометрических свойств на основе построения компьютерной реалистичной 3D модели. Новый метод не только существенно расширяет возможности теоретического курса, альтернативного НГ, но и вооружает геометрическое моделирования современным инструментом – компьютером с 3D программным обеспечением.

Цель работы. Поскольку новые методы многим пока непонятны, автор счел необходимым на примере несложной задачи геометрического моделирования раскрыть их суть и показать их эффективность в сравнении с другими, главным образом, 2D методами начертательной геометрии.

Для демонстрации нового метода рассмотрим решение известной задачи о совмещении коники с квадрикой. Это задача общетеоретического учебного плана. К ней неоднократно обращались в НГ [1]: “надеть” эллипс на круговой или эллиптический конус. Неожиданно, именно эта задача стала объектом дискуссии об эффективности традиционных и новых методов [2].

Автор усложнил задачу, рассмотрев совмещение произвольной коники с произвольной квадрикой. В данной статье, в связи с ограничением ее объема, приведен фрагмент задачи: совмещение эллипса с однополостным эллиптическим гиперболоидом, причем в отличие от [1,2] рассмотрены как частный так и общий случаи решения.

Задача: даны эллипс и однополостный эллиптический гиперболоид с наперед заданными произвольными параметрами. Определить положение эллипса, при котором все его точки принадлежат поверхности гиперболоида. Оценить количество возможных решений. Определить границы применимости традиционных методов НГ и возможности новых 3D методов.

Рассмотрим три варианта задачи. Первый – частный случай решения, в котором плоскость эллипса перпендикулярна одной из плоскостей симметрии гиперболоида. Далее такие эллипсы будем называть “проецирующими” в отличие от эллипсов “общего положения”.

Второй случай – общий: найти положение эллипса, проходящего через произвольную точку, наперед заданную на поверхности  гиперболоида.

Третий ­– “технологический” пример.

Методика решения. Инструментальным средством является пакет AutoCAD, как наиболее адаптированный к теоретическим задачам геометрического моделирования [3]. Зададим характерные размеры гиперболоида, рассматриваемого в качестве примера (рис. 1, а). Строим каркас гиперболоида,  содержащий две гиперболы – фронтально очерковую h и профильно-очерковую h', а также эллипсы поперечных сечений. Гиперболу h получим как сечение эллиптического конуса [4], либо специальной программой как конику по пяти точкам [5,6]. Гиперболу h' – сжатием h вдвое относительно оси гиперболы, либо самостоятельным построением. Гиперболы размещаем во взаимно перпендикулярных плоскостях. Эллипс основания строим по конечным точкам гипербол h, h' . Эллипсы сечений получим масштабированием эллипса основания. В целом, гиперболоид строим командой Loft [7].

Частный случай задачи – поиск проецирующих эллипсов. Это наиболее простой вариант задачи, который можно решить как методами 2D начертательной геометрии, так и новыми методами 3D. Рассмотрим оба метода.

Решаем задачу методами НГ. Примем для примера, что эллипс, который следует “надеть” на гиперболоид, имеет отношение осей m=d2:d1=0.4 (см. рис. 1, а).

Повторяя  известное решение о нахождении круговых сечений эллиптического конуса или эллипсоида [8], применим теорему о двойном соприкосновении квадрик. В качестве второй квадрики зададим сжатый эллипсоид, получаемый вращением эллипса ef, подобного заданному, вокруг его малой оси i.

Оценим область возможных решений для частного случая. Для фронтально-проецирующего эллипса эллипсоид должен коснуться вершин профильно-очерковой гиперболы (рис. 1, б). Для этого длина малой оси эллипса  ef должна быть равна расстоянию между вершинами профильно-очерковой гиперболы h'. В нашем примере это расстояние равно 15 (см. рис. 1, а). Принимаем это значение за длину d2 малой оси эллипса ef. В этом случае длина большой оси эллипса ef составляет d1d2:m = 15:0.4 = 37.5. Чтобы возникло пересечение квадрик, значение  d1 должно превысить расстояние между вершинами фронтально-очерковой гиперболы, составляющее 30. Видим, что в рассматриваемом примере это условие выполняется. В пересечении гиперболоида и эллипсоида получаем эллипсы e' и e'' (см. рис. 1, б). Это минимально-возможные эллипсы при m = 0.4, “надетые” на гиперболоид и  перпендикулярные его фронтальной плоскости симметрии.

Для профильно-проецирующего эллипса эллипсоид должен касаться вершин фронтально-очерковой гиперболы и, поэтому, иметь d2 = 30  и d1 = 30:0.4 = 75. Из этого следует, что значение 75 является минимально возможной длиной большой оси таких эллипсов при m=0.4.

 Итак, в рассматриваемом частном случае, при заданных параметрах гиперболоида и соотношении осей эллипса m=0.4, при длине большой оси d1 = 75 возникают фронтально – и профильно-проецирующие эллипсы, при  37.5 < d1 <75 – только фронтально-проецирующие. При d1 <37.5 решение отсутствует.

Далее  примем, что “надеваемый” эллипс при m = 0.4 имеет длину большой оси d1=90 (см. рис. 1, а). Согласно сказанному выше это должно привести к фронтально – и профильно-проецирующим эллипсам.

Закончим решение для фронтально-проецирующего эллипса (рис. 1, в). Решение выполняем на виде спереди. Учитываем, что параллельные сечения квадрик взаимно подобны и центры параллельных сечений, как середины параллельных ход коники,  расположены на одной прямой [9].

Отрезок (2-3) является проекцией эллипса e'' пересечения гиперболоида с эллипсоидом (см. рис. 1, б). Отрезки (8-9) и (11-12) – проекции искомых эллипсов e*, e**, расположенных на поверхности гиперболоида.

В итоге найдены две фронтально-проецирующие плоскости, которые в сечении с гиперболоидом дают заданный эллипс. Для наглядности построим сечение гиперболоида (команда Section) найденными плоскостями. Еще два сечения получим по симметрии относительно оси гиперболоида.

Подобным образом находим еще четыре профильно-проецирующих эллипса. Всего получаем  восемь проецирующих эллипсов заданных размеров (рис. 1, г).

Тот же результат получается значительно проще и нагляднее, если применить 3D методы, не требующие проекционных построений. Рассмотрим это для фронтально-проецирующих эллипсов. Необходимо уже не мысленно (как для 2D), а “физически” построить сжатый эллипсоид, касающийся гиперболоида в вершинах профильно-очерковой гиперболы. Выполнить пересечение квадрик (Union) и получить эллипсы e' и e'' (см. рис. 1, б). В плоскость одного из них установить эллипс с заданными параметрами d1, m. Установить так, чтобы точка большой оси эллипса совпала с фронтально-очерковой гиперболой h. Построить вспомогательный объект (рис. 1, д), поверхность которого является множеством таких эллипсов. Объект создается “лофтированием” на основе каркаса,  в котором направляющими являются ветви фронтально-очерковых гипербол h, а образующими – 10…30 рассмотренных эллипсов. После этого осталось выполнить пересечение (Union) этого объекта с гиперболоидом (рис. 1, е). В итоге получены искомые эллипсы e* и e**.

Остальные шесть эллипсов получаются: два по симметрии e* и e**, еще четыре построением второго сжатого эллипсоида, касающегося вершин фронтально-очерковой гиперболы, и еще одного "эллипсоидовидного" объекта.

Рассмотрим общий случай задачи – искомый эллипс заданных размеров, совмещаемый с поверхностью заданного гиперболоида, должен проходить через заданную точку, расположенную на его поверхности. Приведем решение для двух точек: точка А расположена на фронтальном очерке гиперболоида, точка B – общего положения (рис. 2, а).

Найти геометрически точный алгоритм решения для общего случая не удалось. Вероятно, он и не существует. Как правило, общее решение подобных задач является приближенным.

Применим новый 3D метод, который позволяет найти хотя и приближенное решение, но с любой предварительно заданной точностью. Была разработана программа на языке AutoLisp [10], которая с заданной дискретностью “перебирает” все множество эллипсов, проходящих через заданную точку на поверхности гиперболоида. Из полученного множества программа выбирает эллипсы с минимальной погрешностью относительно заданных параметров m и d1. Программа, алгоритм формирования и исследования множества не входят в содержание данной статьи.

От дискретности множества зависит точность решения. В нашем примере множества включало в себя (20…40) тысяч эллипсов. Это приводило к погрешности не более 1%. Продолжительность построения такого множества зависит от оптимальности программы. На компьютере с современными характеристиками она составляет 2…3 часа. Имея множество и делая по нему выборки,  можно решать всевозможные варианты рассматриваемой задачи.

Обработка множества в координатах m, d1 показывает область возможных решений. Рассмотрим пример для фронтально-очерковой точки A (рис. 2, б). Видны весьма сложные зависимости, присущие решаемой задаче. Для их выявления из общего множества выделяли  проецирующие эллипсы. Так, кривые a являются множеством фронтально-проецирующих эллипсов, кривые b – множеством профильно-проецирующих эллипсов. Находили также кривые, разделяющие области с различным количеством решений.

Рассмотрим особые точки (см. рис. 2, б). Точка С – два круговых сечения гиперболоида, проходящих через т. А. Точка D – эллипс с минимально-возможной длиной большой оси. Точка E – эллипс, плоскость которого горизонтальна. Все особые эллипсы можно построить геометрически точно методами как 2D, так и 3D. Так для точки C достаточно построить какую-либо пару круговых сечений гиперболоида и провести секущие плоскости, параллельные выявленным окружностям и проходящие через рассматриваемую точку А.  Для точки D следует опустить перпендикуляр из точки A на противоположную ветку фронтально-очерковой гиперболы – это большая ось фронтально-проецирующего эллипса. Для точки E достаточно “просто” построить горизонтальное сечение гиперболоида, проходящее через заданную точку A.

Рассмотрим “срез” области для d1 = 75. В интервале 1-2 существует два решения в виде фронтально-проецирующих эллипсов.

 В интервале 2-3 существует четыре решения в виде эллипсов общего положения (это максимально-возможное количество решений). Например, в точке 5 (рис. 2, в) образуются эллипсы e1, e2 и симметричные им эллипсы e1', e2'. В граничной точке 2 эллипсы e1, e2 совмещаются в единый профильно-проецирующий эллипс, поэтому из четырех остается всего два профильно-проецирующих решения. В точке 3 два эллипса из четырех становятся фронтально-проецирующими и совпадают, поэтому видны три эллипса, один фронтально-проецирующий и два общего положения.

В интервале 3-4, например, в точке 6, формируются два эллипса общего положения. В точке 4 они становятся становятся фронтально-проецирующими и совмещаются, поэтому виден один эллипс.

Перейдем к построению эллипса, проходящего через точку B общего положения (см. рис. 2, а). Область возможных решений (рис. 2, г) имеет значительно более сложный вид чем в предыдущем примере с точкой А. Это отражает и более высокую сложность задачи, хотя с позиции 3D-моделирования это не имеет значения: нужно построить множество эллипсов и делать по нему выборки.

В точках C, C' возникают два различных круговых сечения (диаметрами 35.5 и 84.6). В точке Е образуется эллипс, расположенный в горизонтальной плоскости, тот же, что и для расчетной точки A. Решения в особых точках могут быть реализованы геометрически точно 2D и 3D – методами. Кривые a, b отражают соответственно фронтально- и профильно-проецирующие эллипсы.

Рассмотрим срез области для эллипсов с длиной большой оси d1 = 75. В точке 1 возникает единственный профильно-проецирующий эллипс. В интервале 1-2 – два эллипса общего положения. В интервале 2-3 – три эллипса общего положения (это максимально-возможное количество решений). В точке 3, расположенной на  пересечении кривых a, b, один из эллипсов становится фронтально-проецирующим, второй – профильно-проецирующим, третий остается общего положения. В интервале 3-4 – два эллипса общего положения. В точке 4 – три эллипса, один из них фронтально-проецирующий. В интервале 4-5 – два эллипса общего положения. В качестве примера (рис. 2, д) приведены эллипсы для точки 3: эллипс e1 – фронтально-проецирующий, эллипс e2 – общего положения,  эллипс e3 – профильно-проецирующий.

Технологический пример. В работах [1, 2] решена задача для частного случая сопряжения прямого кругового цилиндра с эллиптическим конусом при параллельных осях. Квадрики рассматриваются как тонкостенные оболочки, которые следует сварить. Из технологических соображений сварной шов должен быть плоской кривой – эллипсом.

Наша методика 3D компьютерного моделирования позволяет “сварить” любые две квадрики, имеющие как сечение конику одного типа [11]. В данной статье, в развитие предыдущего решения, ограничимся “сваркой” эллиптического цилиндра, нормальное сечение которого задано как эллипс e* (рис. 3, а), и эллиптического гиперболоида (см. рис. 1, а).  Оси цилиндра и гиперболоида параллельны (вертикальны). Вводим дополнительное условие – сварной шов должен проходить через точку B, предварительно заданную на поверхности гиперболоида. Вариант для очерковой точки A не приводим, как более простой.

Решение заключается в извлечении из множества эллипсов, являющихся сечениями гиперболоида и проходящих через точку B (см. рис. 2, г), тех эллипсов, проекция которых на П1 имеет параметры эллипса e*. Параметры проекции определяются на основе сопряженных диаметров [8, 9], либо по специальным 3D алгоритмам.

Исследование множества (см. рис. 2, г) показало, что в зависимости от параметров гиперболоида и эллипса e* "технологический пример" может иметь до трех решений. Решение может и отсутствовать. Анализ позволил выявить соотношения параметров, при котором, например, большие оси оснований цилиндра и гиперболоида будут параллельны, или определить  расстояние между этими осями  и т. д. Например, если длина большой оси эллипса e* равна 65, а относительная длина малой оси m = 0.45, возникает три решения (рис. 3, б). Для одного из них построена модель подготовки оболочек под сварку (рис. 3, в).

По мнению автора приведенные результаты, даже для несложной задачи, какой является рассмотренная задача совмещения коник и квадрик, вряд ли могут быть получены методами начертательной геометрии. Маловероятно их получить и методами аналитической геометрии.

Получены решения и для всех других сочетаний коник и квадрик, когда они теоретически возможны, например, совмещение гиперболы и эллиптического конуса или параболы и гиперболического параболоида [4]. Решения подобны рассмотренному выше: частные случаи могут быть реализованы по 2D или 3D алгоритмам. Общие решения возможны лишь на основе более эффективных методов компьютерного 3D моделирования.

ВЫВОДЫ:

1. В задачах геометрического моделирования алгоритмы 2D (начертательной геометрии) позволяют получить решение, как правило, лишь в частных случаях. Значительно нагляднее те же частные случаи воспроизводятся алгоритмами 3D.

2. Общие случаи решения задач геометрического моделирования, а к ним относятся большинство инженерных задач, требуют применения современных методов 3D компьютерного моделирования, особенно в сочетании с программными средствами (AutoLisp).

3. Актуальной является задача разработки и внедрения нового теоретического курса, основанного на 3D методах геометрического моделирования, как альтернативы курсу начертательной геометрии.

 

Список литературы

  1. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия: учебное пособие / В.А. Пеклич //М.: Издательство АСВ. – 104 с.
  2. Короткий В.А. Электронные макеты в начертательной геометрии / В.А. Короткий // Научно-методические проблемы графической подготовки в техническом вузе на современном этапе. Материалы Международной научно-методическая конференция, посвященной 80-летию АГТУ. – Астрахань, АГТУ, 2010. – С. 94-97.
  3. Инженерная 3D-компьютерная графика: монография / А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский, И.В. Буторина, В.Н.Васильева В.Н.; под ред. А.Л. Хейфеца. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. – 413 с.
  4. Хейфец А.Л., Компьютерные 3d алгоритмы в курсе геометрического моделирования (на примере задачи совмещения коник с квадриками) / А.Л. Хейфец // Труды 18-той международной научно-технической конференции “Информационные средства и технологии”. Т.3. – М.: Издательский дом МЭИ, 2010. – С. 110 –117.
  5. Хейфец А.Л. 3D алгоритмы построения коник в пакете AutoCAD / А.Л. Хейфец // Труды Первой международной конференции “Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности” – Ижевск: АНО “Ижевский институт компьютерных исследований” . Том 2  – с. 102 – 107.
  6. Короткий В.А. 3D-моделирование коник в пакете AutoCAD / В.А. Короткий, А.Л. Хейфец // Актуальные вопросы графического образования молодежи. Материалы VI Всероссийской научно-методической конференции. Под ред. Ю.П. Шевелева, А.П. Передбогова. – Рыбинск. РГТА, 2005. – С.102-105.
  7. Хейфец А.Л. 3D-модели линейчатых поверхностей с тремя прямолинейными направляющими /  А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия “Строительство и архитектура”. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ. 2008. – Вып. 7. №25(125). – С. 51–56.
  8. Начертательная геометрия / Н.Ф. Четверухин,  В.С. Левицкий, З.И. Прянишникова и др.; под ред. Н.Ф. Четверухина. –М. : Высш. шк., 1963. – 420 с.
  9. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия / Н.Ф. Четверухин. – 7-е изд. –  М.: Гос. уч.- пед. изд., 1961. – 360 с.  
  10. Хейфец А.Л. Инженерная компьютерная графика. AutoCAD. Опыт преподавания и  широта взгляда / А.Л. Хейфец. – М.: Диалог-Мифи. 2002. – 432 с.
  11. Хейфец А.Л.  Исследование линии пересечения поверхностей как новый тип позиционных задач в курсе теоретических основ компьютерного геометрического моделирования / А.Л. Хейфец // Проблемы геометрического моделирования в автоматизированном проектировании и производстве. 24–26 июня 2008. Сборник материалов 1-ой международной научной конференции. – Москва 2008. Под. ред. В.И. Якунина. М.: МГИУ. – С. 395–401.

Рисунки к докладу

Рис. 1
Рис. 1

Частный случай совмещения эллипса и гиперболоида:

а – параметры гиперболоида и эллипса; б – сжатый эллипсоид при двойном соприкосновении с гиперболоидом; в – 2D решение на проекционном чертеже; г – восемь решения для частного случая; д – вспомогательная поверхность для 3D алгоритма; е – решение по 3D.




Рис. 2
Рис. 2

Общий случай совмещения эллипса с гиперболоидом:

а – расчетный точки A,B на поверхности гиперболоида; б – область решения для фронтально-очерковой точки А; в – эллипсы в точке 5; г – область решения для точки B общего положения;  д – эллипсы в точке 3.




Рис. 3
Рис. 3

“Технологический пример” стыковки эллиптического цилиндра и гиперболоида: а – нормальное сечение цилиндра; б – возможные положения цилиндра; в – модель.




Вопросы и комментарии к докладу:


Фото
Волошинов Денис Вячеславович
(4 марта 2011 г. 20:14)

Уважаемый Александр Львович!

С большим интересом в течение нескольких последних дней я занимался задачей о квадриках, описанной в Вашей статье.

Нет смысла скрывать то, что сделанные Вам выводы меня не удовлетворили. Поскольку Ваша статья имеет название «Сравнительная оценка эффективности методов начертательной геометрии и 3D компьютерного геометрического моделирования», то я ожидал увидеть в итоге какие-либо показатели, характеризующие это сравнение по введенным Вами критериям. Посмотрите внимательно на Ваши выводы, и Вы не найдете в них такой оценки.

1. В задачах геометрического моделирования алгоритмы 2D (начертательной геометрии) позволяют получить решение, как правило, лишь в частных случаях. Значительно нагляднее те же частные случаи воспроизводятся алгоритмами 3D.

2. Общие случаи решения задач геометрического моделирования, а к ним относятся большинство инженерных задач, требуют применения современных методов 3D компьютерного моделирования, особенно в сочетании с программными средствами (AutoLisp).

3. Актуальной является задача разработки и внедрения нового теоретического курса, основанного на 3D методах геометрического моделирования, как альтернативы курсу начертательной геометрии.

Выводы, представленные Вами, в достаточно категоричной форме  констатируют тот факт, что теория начертательной геометрии, в отличие от инструментальных (!) средств 3D, не в состоянии справиться с рядом серьезных практически важных задач. В том числе с той задачей о квадриках, которую Вы приводите в качестве примера.

Не найдя в выводах сравнительной оценки, я на свой страх и риск предположил, что наиболее значимыми для дискуссии могли бы стать два показателя: принципиальная возможность решения задачи и временнЫе затраты на получение решения. Несмотря на то, что я допустил такие предположения, мне все же еще раз хочется подчеркнуть, что оценка показателей эффективности инструмента не является основанием для подтверждения или опровержения теоретических положений какой-либо конкретной науки.

Поразмышляв некоторое время, я решил обе Ваши задачи, используя методы начертательной геометрии. Задача в первой постановке решается элементарно просто. Собственно, Вы приводите это решение в статье. Решение во второй постановке я осуществлял также по предложенной Вами схеме: целенаправленным перебором сечений гиперболоида плоскостью, иначе сравнение полученных мною результатов с Вашими было бы неправомерным.

Разработанный алгоритм (в общем-то, очень простой) был реализован мною в системе Симплекс, с его же помощью получен исполняемый программный код. Эксперимент показал, что расчет 40000 сечений любого интерактивно настраиваемого эллиптического гиперболоида на машине с процессором Intel Core 2 Duo 4300 1800 МГц осуществляется за 3.1 секунды. Я понимаю, что проводить сравнение без знания точных характеристик применяемого Вами вычислительного устройства не вполне правомерно, но иных показателей у меня нет. Поэтому приходится делить два часа (7200 секунд) на три секунды. Полученный коэффициент превысил значение 2000. Даже если уменьшить его в десять раз, то все равно число получается достаточно большим. В дополнение ко всему геометрический алгоритм, реализованный в Симплексе, позволил определить функциональную зависимость двух главных диаметров искомого эллипса от двух параметров управления положением плоскости, качающейся вокруг выбранной на гиперболоиде точки. Наличие этой зависимости позволяет надеяться на получение решения с наперед заданной точностью (если такое решение существует), поскольку к ней можно применить стратегию варьирования параметров, аналогичную стратегиям известных численных методов, предназначенных решения задач подобного рода. Полагаю, что количество итераций не будет слишком большим. Мне весьма любопытно посмотреть, каков будет результат.

Буквально еще несколько моих замечаний по содержанию статьи.

1. Александр Львович, как только при описании методики решения задачи в 3D Вы используете фразы: «Рассмотрим это для фронтально-проецирующих эллипсов…», «…касающийся гиперболоида в вершинах профильно-очерковой гиперболы…», «…совпала с фронтально-очерковой гиперболой»  и им подобные, Вы обращаетесь к методам проекционного схематизма, который сами же отрицаете. Я вижу в этом противоречие. И вообще предложите кому-либо разобраться в Вашей задаче, не вычерчивая хотя бы простейшую проекционную схему. Легко ли будет ему рассуждать о геометрической сущности Вашей задачи?

2. При реализации методики решения геометрической задачи с помощью поверхностей Автокада, ее исходная сущность искажается. Для определения пересечений объектов Вы используете аппроксимирующие поверхности, но не даете оценку правомерности такой замены исходных поверхностей. Возможно, возникающая в конкретной задаче погрешность не столь уж и высока и вполне приемлема для практических нужд, но, если Вы собираетесь защищать Ваш метод в теоретическом плане, такой замене надо давать четкое обоснование.

3. До сих пор для меня остается загадкой, как можно решать в Автокаде задачи с применением понятия бесконечности. Если бы Автокад стал изображать на экране неограниченные поверхности (а наличие таковых при решении геометрических задач вычислительного характера при неопределенности значений исходных данных является насущной необходимостью), то при их отображении в виде закрашенных областей на экране царила бы полнейшая неразбериха от взаимно перекрывающихся изображений поверхностей. Следовательно, и оперировать с ним без линейных реперов (а это уже возврат к начертательной геометрии) было бы попросту нельзя. Поскольку реализация такого подхода лишена смысла, то остается единственный способ оперирования с моделью: ограничивать поверхности и заранее предполагать, где получится решение задачи. Но разве тогда можно говорить о создании геометрической модели, предназначенной для решения задачи с произвольными исходными данными?

4. Предлагая решать задачи на геометрические построения методами 3D, Вы вовлекаете в вычислительный процесс большой объем ненужной для дела избыточной информации. Фактически, решая задачи на пересечение пары поверхностей, машина выполняет формальный поиск пересечений всех компонентов одной поверхности со всеми компонентами другой. Даже если ограничивать число бесполезных вычислений за счет применения габаритных тестов, то все равно задача останется очень ресурсоемкой, а временные затраты на обеспечение требуемой точности будут расти в квадратичной зависимости. Отсюда и Ваши немалые временнЫе затраты на расчет приближений с обеспечением точности в 1%, которые мне удается избежать, если решать задачу методом, который Вы отрицаете.  Безусловно, решать задачу автоматизированным способом, а не вручную.

5. Отнесение начертательной геометрии к методам 2D некорректно. Это неверно ни с методической точки зрения, ни по существу. Начертательная геометрия (в рамках студенческого курса) оперирует с нульмерными, одномерными, двумерными и трехмерными объектами. Если хотите, начертательная геометрия - это система трехмерного моделирования с плоским графическим интерфейсом. До недавнего времени ручным интерфейсом. По этому базовому признаку Автокад, как и любая иная система 3D моделирования, от нее не отличается. Интерфейс все равно у всех плоский. Разница состоит только в уровне автоматизации.

Используя систему Автокад и язык программирования Autolisp в качестве инструмента решения геометрических задач, Вы, безусловно, можете получать интересующие Вас результаты. Но вычислительная эффективность такого подхода как по временным затратам, так и по уровню автоматизации крайне низкая. Эксперимент, который я провел с условием предложенной Вами задачи, показал, что обычная конструктивная модель, реализованная в виде компьютерной программы, превосходит подобную ей реализацию в Автокаде по времени получения результата на три порядка. Мне не составило труда сгенерировать модель и решить задачу для произвольных эллиптических гиперболоидов. Для этого достаточно только изменить мышью позиционные параметры исходных данных (или задать алгоритм их генерации). На примере первой задачи десятки тысяч решений получаются автоматически за секунды. Это позволяет мне заключить, что утверждения, которые Вы привели в выводах Вашей статьи, не верны. Впрочем, все мои соображения не являются основанием для ущемления чьих-то предпочтений. Вы, как и все наши коллеги, вправе выбирать себе те инструменты, которым Вы доверяете и которые подходят именно Вам в наибольшей степени.

Я полагаю, что предложенный Вами метод тоже может быть полезным в определенных условиях. Вам виднее, каковы эти условия. Мне представляется разумным использовать Ваш подход, например,  в демонстрационных целях, а абсолютизировать его как наиболее эффективное средство вычисления я бы не стал.

Материалы, поясняющие содержание моего исследования, буду по мере возможности и наличия времени размещать на странице http://dvoloshinov.selfip.net/quadric. Мгновенно это сделать не могу, ибо есть много дел, которыми нужно заниматься помимо анализа интересных, но все же сторонних задач.

С уважением,

Д.Волошинов

Фото
Головнин Алексей Алексеевич
(6 марта 2011 г. 23:18)

Здравствуйте Александр Львович! Стараюсь прочитывать все доклады и комментарии. Поскольку поток уменьшился, перечитал некоторые из них повторно. Ваши доклады и комментарии всегда жду с большим нетерпением. Нашел Ваше сожаление о том, что по Вашему докладу нет комментариев. Отношу себя к тем, для кого молчание - это «признание ими своей некомпетентности в рассматриваемом вопросе». Вместе с тем, наверное, так и должно быть, если Вы разрабатываете действительно новый вопрос. А то, что Вы обрели сильного оппонента, - наверное, залог успеха Ваших замыслов.

С уважением Головнин А.А.

Фото
Хейфец Александр Львович
(8 марта 2011 г. 13:01)

Здравствуйте, Денис Вячеславович. Прежде всего, спасибо за обстоятельную рецензию. Надеюсь, что Вы и для себя не зря потратили эти несколько дней. Теперь по-порядку или как модно: “мухи отдельно, котлеты отдельно”.

О том, что выводы в моей статье не отражают ее названия и не содержат сравнительной оценки эффективности методов 2d-3d, категорически не согласен. Разве фразы из моих выводов о том, что начертательная геометрия позволяет “получить решение, как правило, лишь в частных случаях” или “Общие случаи решения задач геометрического моделирования, а к ним относятся большинство инженерных задач, требуют применения современных методов 3D компьютерного моделирования” не являются выводами по оценке эффективности. Наверное Вы хотели бы фразы типа “лучше на 70%... ”, но все гораздо серьезнее. Либо вообще нет решения, либо оно есть. И это совершенно определенный вывод по сравнительной оценке методов.

“…что теория начертательной геометрии, в отличие от инструментальных (!) средств 3D….”.

Досадно, что в предлагаемых 3D методах  Вы видите лишь новые инструментальные средства. Это то же, что рассуждая о начертательной геометрии сводить разговор к конструкции циркуля и линейки. У меня зародилось предположение, что в своей системе Simplex Вы заложили 2D алгоритмы. Если это так, то дарю совет: перейдите на 3D и Вы существенно повысите ее возможности. Разобраться в этом за короткое время по автореферату (из интернета) Вашей диссертации я не смог, но такую задачу себе поставил. В “наших” сборниках, где публикуются преподаватели кафедр графики: Саратов, Москва, Казань, Пенза, Новосибирск, Пермь, Челябинск ­– Ваших публикаций я также не нашел. Если пропустил – извините и поправьте.

Мне удалось в своей библиотеке найти лишь найти статью об алгоритме построения разверток, заложенном в  Simplex (сборник “Начертательная геометрия…”под ред. С.И. Роткова. Н.Новгород, 2001, с. 81-83). Действительно, Вы применяете 2D для нахождения истинной величины ребер вписанного многогранника. Так что мой совет остается в силе.

 

“…мне все же еще раз хочется подчеркнуть, что оценка показателей эффективности инструмента не является основанием для подтверждения или опровержения теоретических положений какой-либо конкретной науки”.

Никто (в частности, я) и не собирается опровергать теоретические положения начертательной геометрии. Речь идет о том, что как учебная дисциплина и ( с осторожностью) как наука она морально устарела. Но все, что она наработала, остается в силе, просто стало неактуальным.

“…я решил обе Ваши задачи, используя методы начертательной геометрии. Задача в первой постановке решается элементарно просто. Собственно, Вы приводите это решение в статье. Решение во второй постановке я осуществлял также по предложенной Вами схеме: целенаправленным перебором сечений гиперболоида плоскостью…”

То что Вы за несколько дней смогли повторить мой алгоритм ­­– это “бальзам на раны”. То есть алгоритм доступен и прост, как и в целом 3D-методы. Нужно только захотеть их применять. То, что Вы повторили решение на своем инструменте Simplex, так же говорит об общности алгоритма, а не только об AutoCAD’е, как некоторой панацее.

Необходимо уточнить, что Вы имели ввиду, говоря, что решили обе задачи методами начертательной геометрии. Уверен, что вторую задачу, для точки общего положения, методами НГ не решить. И Вы для нее применили перебор сечений, а не прямое решение. Если в Simplex заложены алгоритмы НГ, то это не значит, что в целом задача решена по НГ. Все-таки моим алгоритмом она решена по 3D.

“Поэтому приходится делить два часа (7200 секунд) на три секунды. Полученный коэффициент превысил значение 2000. Даже если уменьшить его в десять раз, то все равно число получается достаточно большим”. 

Теперь о количественной эффективности инструментов, то есть о том, что я на AutoCAD’е считал два часа, а Вы на своей системе – 3 секунды. Мой инструмент, AutoCAD+AutoLisp, универсальный и общедоступный. Программированию на AutoLisp я учу студентов. Ваша система специализированная. Любой универсальный подход менее производителен, чем специальный. Известно также, что AutoLisp медленный транслируемый язык. Если был бы коммерческий выход, то я бы применил методы оптимизации, перешел бы на другой язык, нанял бы мальчиков-программистов для этой цели. Мне сейчас нужно было пробить брешь и показать существо и эффективность новых методов. По Вашей рецензии я считаю, что это удалось сделать.

То, что Вам удалось “определить функциональную зависимость двух главных диаметров искомого эллипса от двух параметров управления положением плоскости, качающейся вокруг выбранной на гиперболоиде точки” тоже здорово и говорит в пользу эффективности новых 3D методов, за которые я ратую. Эти зависимости, как и многие другие интересные, мною также получены – это кривые a,b, цветовые зоны на рис. 2, б,г, выделяющие области с различным количеством решений. Все это легко получается при  анализе множества возможных эллипсов.

О том, что я в терминологии “обращаюсь к методам проекционного схематизма”, который "сам же отрицаю". Это о терминах “фронтально-очерковая  гипербола” и др., которые я беру из начертательной геометрии. Почему бы и нет. Отличные термины. Кстати и НГ здесь тоже все позаимствовала. А о том, что я отрицаю методы “проекционного схематизма” – это Вы напрасно. Я в статьях и докладах неоднократно приводил свою фразу (извините за самоцитирование): “Поскольку экран компьютера это плоскость, начертательная геометрия вечна”.  Та же мысль есть у уважаемого мною “возмутителя спокойствия” А.П. Тунакова. Метод проецирования нужен. Но исследовать пространственную форму по ее проекциям уже неактуально.

“При реализации методики решения геометрической задачи с помощью поверхностей Автокада, ее исходная сущность искажается. Для определения пересечений объектов Вы используете аппроксимирующие поверхности, но не даете оценку правомерности такой замены исходных поверхностей”.

Начну с того, что и НГ – это сплошь аппроксимация. НГ признает точными лишь точки, построенные циркулем и линейкой. Коники, квадрики и др. поверхности создаются в ней приближенной аппроксимацией. В компьютерных технологиях то же самое. Только точность намного выше. Я проводил исследования точности AutoCAD’а как геометрического моделёра. Результаты, извините, еще не опубликованы, но секретов нет: построения отрезками прямых, дугами окружностей или эллипсов дают погрешность 10-8. Штатные 3D примитивы и пересечения на их основе дают погрешность 10-5. Поверхности, полученные  “натягиванием” на каркас зависит от точности и плотности каркаса. Я задаю плотность такой, чтобы погрешность не превысила 10-2…10-3. Это точность проверяется построением контрольных сечений. Коники, кроме окружности и эллипса, в AutoCAD’е воспроизводятся как сплайн-кривые с наперед заданной и проверяемой точностью. Методика проверки мною опубликована.

“…остается загадкой, как можно решать в Автокаде задачи с применением понятия бесконечности. Если бы Автокад стал изображать на экране неограниченные поверхности (а наличие таковых при решении геометрических задач вычислительного характера при неопределенности значений исходных данных является насущной необходимостью), то при их отображении в виде закрашенных областей на экране царила бы полнейшая неразбериха от взаимно перекрывающихся изображений поверхностей.”

Во первых, я инженер и мыслю конкретно, “без бесконечностей”. Если решение уходит далеко за экран, нужно раздвинуть границы отображаемой области. При геометрических вычислениях координаты точек могут быть сколь угодно большими или малыми. Вот Вам та или другая бесконечность. Возможно, Вы имеете ввиду, как строить каркас поверхности, не зная заранее где нужно его строить, то это редкие случаи, в которых нужно смещать границы поиска в пространстве.

“Предлагая решать задачи на геометрические построения методами 3D, Вы вовлекаете в вычислительный процесс большой объем ненужной для дела избыточной информации. Фактически, решая задачи на пересечение пары поверхностей, машина выполняет формальный поиск пересечений всех компонентов… Отсюда и Ваши немалые временные затраты на расчет…”

О причинах возможной и вполне вероятной более высокой скорости вычислений в Simplex, чем в AutoCAD'е я уже говорил выше. Еще раз подчеркиваю, что они не связаны с тем, что Вы применяете алгоритмы 2D.

Вспоминаю, что в 80-х годах уважаемый С.А. Фролов опубликовал идею создания компьютеров для геометрического моделирования на основе проекционных алгоритмов, как более производительных в нашем деле, чем аналитические алгоритмы. Но дальше этого не пошло. Какие алгоритмы закладывают фирмы-разработчики мы точно не знаем, просто не интересуемся. Но что им, как бы помягче выразиться, безразлична наша начертательная геометрия – это 100%. Кстати, имеется информация, что в зарубежных университетах, НГ как учебную дисциплину не преподают. Может, кто-то об этом знает более подробно, откликнитесь.

“Отнесение начертательной геометрии к методам 2D некорректно… Если хотите, начертательная геометрия - это система трехмерного моделирования с плоским графическим интерфейсом.”

Это называется “приплыли”. Откройте учебник НГ и прочтите ее определение. О плоском интерфейсе вопрос непростой, близкий к обратимости аксонометрических и перспективных проекций.  Образ легко воспринимается с плоского экрана, а метрические свойства дополняются не вторичной проекцией, а возможностью 3d-манипулирования и измерения виртуальной модели, расположенной “за экраном”.

“Эксперимент, который я провел с условием предложенной Вами задачи, показал, что обычная конструктивная модель, реализованная в виде компьютерной программы, превосходит подобную ей реализацию в Автокаде по времени получения результата на три порядка. Мне не составило труда сгенерировать модель и решить задачу для произвольных эллиптических гиперболоидов”.

Еще раз о высокой вычислительной эффективности Вашей системы. Я понимаю, реклама на рынке – дело важное. О том, что мои выводы ввиду низкой скорости вычислений в AutoCAD неверны, совершенно не согласен. Повторюсь, что и Вы применили мой 3D алгоритм на своей изумительной системе. Но в AutoCAD+AutoLisp их может повторить и развить любой. Создавать для этого специальную систему, как отмечал выше, пока не вижу необходимость. Цель не та.

Обобщая сказанное, считаю, что Вы, похоже невольно, подтвердили мои выводы об эффективности методов 3d сравнении с методами 2d начертательной геометрии, продемонстрировав их универсальность и еще большую эффективность на своей системе Simplex. Досадно, что Вы не признаете этого для меня очевидного факта.

Я вам признателен за потраченное время и “тренаж”, который получил. Готов продолжить дискуссию. С меня причитается.

С уважением и признательностью А.Л. Хейфец

Фото
Волошинов Денис Вячеславович
(16 марта 2011 г. 13:02)

Уважаемый Александр Львович!

 

Наблюдая за ходом нашей виртуальной беседы, я начал замечать, что содержание ее стало проявлять тенденцию к хождению по кругу. Исходя из этих соображений, я прихожу к выводу, что, как это ни печально, но все же настает время прервать дискуссию, остановить поток приводимых обеими сторонами доводов и доказательств, ибо они уже перестали нести на себе силу убедительности. Причина того, как мне кажется, кроется в существенной разности наших взглядов на фундаментальные основы обсуждаемой геометрической науки, в подходах к интерпретации ее положений, в обнаружившейся несовместимости языков описания возникающих в ней проблем. Смею предположить, что затянувшаяся беседа, скорее всего, уже изрядно наскучила участникам конференции, ибо содержание ее все дальше и дальше отступает от основной темы конференции, а положение дела не только не проясняет, а наоборот, все более и более запутывает. Да и временнОй фактор нельзя не учитывать. Интернет-конференция – дело хорошее, но хлопотное. Тем более, такая длительная. Ответственное отношение к своим словам побуждает дискутирующие стороны к многочасовому обдумыванию содержания излагаемых мыслей, фиксирующихся навечно в письменной форме. Иногда создается впечатление, что отдельные фрагменты письменного диалога становятся равнозначными иной научной статье, хотя таковой и не являются. Поэтому прошу меня извинить, но более достаточными временными ресурсами для ведения диалога я не располагаю. Основные мои дела требуют неотлагательного внимания, поэтому отвечаю на Ваши замечания в последний раз.

 

Разве фразы из моих выводов о том, что начертательная геометрия позволяет “получить решение, как правило, лишь в частных случаяхили “Общие случаи решения задач геометрического моделирования, а к ним относятся большинство инженерных задач, требуют применения современных методов 3D компьютерного моделирования” не являются выводами по оценке эффективности.

Отвечаю: конечно же, не являются! Это, ведь только фразы, но ни как не доказательство.

В Вашей статье такого доказательства не приведено. Вы ведь не случайно предложили решить конкретную задачу «О построении эллипса на квадрике…. » не просто так, а с тем, чтобы убедить читателя, что в общем случае такое построение невозможно осуществить методами начертательной геометрии. Но, уважаемый Александр Львович, если проекционными методами Вы не можете решить предложенную Вами же задачу, то это никоим образом не означает, что это не могут сделать другие. Поэтому сделанное Вами заявление нельзя считать доказательным.

В предыдущем раунде нашей дискуссии  я это показал, причем привел Вам сведения об эффективности решения этой задачи и в частной и общей постановке с использованием  алгоритмов проекционного моделирования и преимуществе такого решения в сравнении с использованным Вами методом.

Во-первых, я инженер и мыслю конкретно, “без бесконечностей”. Если решение уходит далеко за экран, нужно раздвинуть границы отображаемой области.

Александр Львович, в этом абзаце Вы пишите, что Вы – инженер и мыслите конкретно. С другой стороны, в комментарии к моему докладу Вы обещали прислать мне автореферат докторской диссертации. По всей видимости, Вы собираетесь защищать ее в области геометрии. Значит, Вы – ученый, и Ваши исследования  должны сопровождаться абстрактными умозаключениями. Если Вы не делаете обобщений с применением понятия бесконечности, то Ваша модель никогда не будет обладать признаками изоморфизма. Реализовав такую модель программно, Вы оставляете пользователя один на один с неопределенностью. Откуда он узнает, в каком направлении нужно раздвигать границы отображаемой области? Хорошо еще, если задача относительно простая, а если она сложная? Предлагаемый Вами подход ведет к высоковероятному пропуску решений, к неуверенности, к невозможности использования разработанного алгоритма в качестве компонента (процедуры) для решения сложной задачи.

При геометрических вычислениях координаты точек могут быть сколь угодно большими или малыми. Вот Вам та или другая бесконечность.

Я веду разговор совсем не о координатах. Координаты – вещь относительная, в этом Вы правы. Их значения, безусловно, могут свести на нет все вычислительные усилия и привести к ошибкам. Предметная модель (компьютерная) не изоморфна в целом модели абстрактной (геометрической), ибо разрядная сетка машины конечна. Но я веду речь о другом, о логике решения задачи. Понятие бесконечности следует использовать не столько для расчета значения координат, сколько для реализации адаптивного поведения программы. Конструктивные геометрические модели замечательны тем, что позволяют нам воспользоваться информацией об инциденциях, для того чтобы точно знать, где следует осуществлять поиск решений. Реализация соответствующей подсистемы в среде программирования геометрических задач позволяет адаптивно и автоматически перестраивать границы исследуемой области, что в свою очередь снимает проблему неопределенности и пропуска решений, делает работу пользователя комфортной и надежной. Я потому и задал свой вопрос, что не представляю, как такую подсистему можно реализовать в Autocad'е средствами внешнего программирования.

Разумеется, бесконечность интересна не только этим своим проявлением. Бесконечность вводится прежде всего для упрощения геометро-логических обобщений и реализации алгоритмов, предназначенных для универсального применения (процедур). Проективная плоскость ведь возникла в геометрии неспроста, она избавила евклидову геометрию от досадных исключений. Поэтому и для программной системы, рекомендуемой для решения геометрических задач на построение (а именно этим Вы и занимаетесь в стереометрической постановке), при любой размерности понятие бесконечности суперважное.

Возможно, Вы имеете в виду, как строить каркас поверхности, не зная заранее, где нужно его строить, то это редкие случаи, в которых нужно смещать границы поиска в пространстве.

Поведение каркаса в рассматриваемом контексте – это не причина, а следствие. Я уже объяснил, что я понимаю под реализацией понятия бесконечности в программной системе. Ну, а «редко» и «часто» - расплывчатые и непонятные характеристики, они мало  успокоят того, кто сел перед машиной решать задачу и не знает наверняка, куда податься.

Досадно, что в предлагаемых 3D методах  Вы видите лишь новые инструментальные средства. Это то же, что, рассуждая о начертательной геометрии, сводить разговор к конструкции циркуля и линейки.

Сводить разговор к чему бы то ни было, конечно, не надо. А говорить об инструментальных средствах нужно и необходимо. Поскольку от выбора и применимости инструмента зависит эффективность решения той или иной задачи. И здесь, конечно, необходимо в обязательном порядке отделять, как Вы говорите, «мухи от котлет».

И еще по этому поводу.

Как бы не было Вам досадно, но я действительно сторонник того, чтобы вещи называть своими именами. Геометрия, в какой бы форме она не проявлялась (в аналитической или синтетической, трехмерной или многомерной, евклидовой или проективной….),  это наука и область математического знания, а циркуль, линейка или компьютер с программной начинкой – это инструмент для эффективного достижения поставленной человеком цели. Autocad, Симплекс и другие программные пакеты – это только инструмент для компьютерной реализации алгоритмов, предлагаемых наукой, в данном случае геометрией. 

Меня трудно упрекнуть в недооценке используемой Вами модели, ибо точно такие же две модели были использованы  мною для построения модели четырехмерного пространства G4,3,2, представленной в моей книге Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация.  Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010 . C. 78. Такая модель полезна для определенных целей так же, как и Ваша.

Речь идет о том, что как учебная дисциплина и (с осторожностью) как наука она морально устарела.

Позвольте спросить Вас, Александр Львович, Вы геометр? У Вас есть научные исследования в этой области знания?  Вы, быть может,  разуверились в своих достижениях или достижениях других ученых? Хотелось бы знать, как Вы относитесь к работам известных в нашей стране и за рубежом специалистов и их учеников, например В.Я.Волкова, К.И Валькова, В.А.Пеклича, П.В. Филиппова, З.А.Скопеца, Ю.И.Денискина и других?  Отвергаете или принимаете?  Они занимались и продолжают заниматься «морально устаревшей» наукой? Что Вы можете сказать по этому поводу?

То, что Вы за несколько дней смогли повторить мой алгоритм ­­– это “бальзам на раны”. То есть алгоритм доступен и прост, как и в целом 3D-методы. Нужно только захотеть их применять.

Прежде всего, хочу Вам сообщить, что моя жизнь и деятельность не посвящены решению представленных Вами задач. Для того чтобы повторить все приведенные Вами алгоритмы не нужно и одного дня.

Их простота или сложность сами по себе не играют никакой роли в вопросе об эффективности методов. Само собой разумеется, что «алгоритм доступен и прост», как и в целом любые ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ методы (и 2D, и 3D, и др.).

То, что Вы повторили решение на своем инструменте Simplex, так же говорит об общности алгоритма, а не только об AutoCAD’е, как некоторой панацее.

Из приведенного фрагмента текста становится ясным, что в предыдущем раунде дискуссии Вы не поняли (а может быть не захотели понять), что никто не повторял решения, представляемое Вами как «3D – метод».  Речь шла о том, что на проекционной модели (эпюре Монжа) была реализована полная последовательность операций, адекватных приведенному Вами алгоритму, реализованному в Autocad'е. И не более того.

Определенную степень «непонимания», которое, по-видимому, здесь возникает, могу объяснить только тем, что Вы не представляете (или не хотите представить), что приведенный для Autocad'а алгоритм как-то может быть реализован в компьютерном варианте в среде обыкновенной проекционной модели. И Ваше недоумение можно, наверное, понять, если мысль о компьютерном решении геометрических задач средствами проекционного чертежа  a priori  автором дискуссии не допускается.

Обращаясь еще раз к тексту Вашего доклада, остановлюсь на описании предлагаемого Вами метода. Особенно радует возможность… не мысленно (как для 2D), а “физически” построить сжатый эллипсоид…и операции …Построить вспомогательный объект (рис. 1, д), поверхность которого является множеством таких эллипсов. Объект создается “лофтированием” на основе каркаса,  в котором направляющими являются ветви фронтально-очерковых гипербол h, а образующими – 10…30 рассмотренных эллипсов. Ну что ж, давайте строить «физически». Несите пиксели и гипсовый раствор! Простота построения ничем не отличается от аналогичного алгоритма, использующегося для решения подобной задачи в 2D. За исключением, пожалуй, операции «лофтирования», применение которой окажется абсолютно излишним в традиционном алгоритме. Ее применение, несомненно, «порадует» тех, кто привык экономить свое время при решении задач.           

Необходимо уточнить, что Вы имели в виду, говоря, что решили обе задачи методами начертательной геометрии. Уверен, что вторую задачу, для точки общего положения, методами НГ не решить. И Вы для нее применили перебор сечений, а не прямое решение. Если в Simplex заложены алгоритмы НГ, то это не значит, что в целом задача решена по НГ. Все-таки моим алгоритмом она решена по 3D.

Давайте будем уточнять.

Прежде всего, смею утверждать, что любая геометрическая задача решается методами той геометрии, в которой она формулируется. В нашем случае геометрия евклидова, пространство трехмерное. Раздел геометрии – криволинейные поверхности, в частности квадрики, а также  кривые линии – коники. На основании знаний, содержащихся в этом разделе геометрической науки, мы имеем возможность решать разнообразные задачи позиционного или метрического характера. Для этого необходимо иметь предметную модель, поскольку решение на уровне абстрактной модели  даже для простой задачи  трудно осуществимо. И здесь у нас есть выбор – аналитическая или синтетическая (то есть конструктивная) модель или их комбинация. Выбираем в зависимости от того, кто чем владеет и какие у кого пристрастия. И еще от «продвинутости» теории.

Поэтому выбранная Вами задача может иметь или не иметь решение в зависимости от успехов того раздела геометрии, в котором исследуются свойства поверхностей и кривых линий на заданную в задаче тему. И эта проблема никак не связана со свойствами предметных моделей. Ответ нужно искать в геометрической теории.

По этой причине, приведенную здесь фразу о решении задачи  методами начертательной геометрии  следует понимать как использование плоской проекционной модели трехмерного пространства (в данном случае системы ортогональных или аксонометрических проекций) для реализации того или иного алгоритма и получения результата (точного или приближенного). Теоретический аспект (имеется ли для этой задачи теоретическое решение) не входит в «компетенцию» предметной модели.

Уверен, что вторую задачу, для точки общего положения, методами НГ не решить.

Еще раз хочу повторить – начертательная геометрия как модель не может дать ответ на теоретическую проблему, сформулированную в задаче. Она может реализовать решение, если оно существует в геометрической теории исследуемых объектов.

Проявленная Вами уверенность ни на чем не основана. Во-первых, потому, что Вы не знаете, существует ли решение геометрической задачи в исходном трехмерном пространстве. А во-вторых, потому, что если оно существует (в теории) или его кто-то представит в виде доказательства некоторой теоремы, то такое решение будет обязательно реализовано на любой предметной модели, в том числе и на модели проекционной.

Если в Simplex заложены алгоритмы НГ, то это не значит, что в целом задача решена по НГ. Все-таки моим алгоритмом она решена по 3D.

Уважаемый Александр Львович! Хочу сообщить Вам, что в систему Симплекс не заложены алгоритмы начертательной геометрии. Это автоматизированная система взаимосвязанных геометрических построений. А построения являются краеугольным камнем геометриче­ской науки, в какой бы форме она не была представлена. Поэтому эта система прежде всего для геометрии как таковой. Она может служить средством автоматизации по­строений, в том числе и для начертательной,  и для проективной, и для многих других геометрий.

Никто, наверное, не оспаривает того факта, что ход решения задачи формулируется Вами в исходном трехмерном пространстве с использованием трехмерной терминологии. Это, как я понимаю, Вы называете 3D-методом. И это, кстати, не вызывает никаких предубеждений. Но ведь, как правило, любая задача в начертательной геометрии формулируется точно так же. Возьмем, к примеру, поиск алгоритма в решении простейшей позиционной задачи на определение точки пересечения прямой и плоскости. Все действия, которые необходимо совершить на чертеже часто объясняются рассуждениями в пространстве (через заданную прямую проведем вспомогательную проецирующую плоскость, построим ее проекцию и т.д. …). Если бы мы действовали только средствами проекционной модели, то алгоритм звучал бы, скорее всего так: построить пару точек, одновременно соответственных как в заданной аффинной гомологии, так и в проективитете двух заданных рядов точек. Такая пара, как известно из проективной геометрии, только одна – она и представляет собой модель точки пересечения прямой и плоскости в трехмерном пространстве.

Из этого следует, что если Вы сформировали алгоритм построений в трехмерном пространстве, то он адекватно может быть представлен и на плоской проекционной модели. В этом смысле нет разницы в способе представления модели. Если говорить о конкретной задаче с «квадрикой и эллипсом» по второму варианту, где Вы рассматриваете «лобовое» решение («не мудрствуя лукаво» ищите множество эллипсов от пересечения двупараметрического множества плоскостей с гиперболоидом с дальнейшей их сортировкой и подборе подходящего эллипса), то этот же ход рассуждений Вы можете применить и к проекционному методу. Только вот проекционный способ реализации предложенного Вами алгоритма оказывается в тысячи раз производительнее и это весомый и очень убедительный аргумент. Правда объясняется этот феномен не какими-то особыми достоинствами Симплекса, а, скорее всего неприспособленностью Autocad'а к постановке и решению подобных задач.

У меня зародилось предположение, что в своей системе Simplex Вы заложили 2D алгоритмы. Если это так, то дарю совет: перейдите на 3D и Вы существенно повысите ее возможности.

Уже экспериментировал. Но существенного выигрыша не получил. То есть столкнулся с теми же  проблемами, о которых писал ранее. Прежде всего, это неудобство работы с бесконечностью, отказ от которой перечеркивает все преимущества, связанные с универсальностью моделей. Для решения типовых инженерных задач это не критично, но для серьезных научных исследований неприемлемо. Система перестанет отвечать исходно поставленным требованиям.

Теперь о количественной эффективности инструментов, то есть о том, что я на AutoCAD’е считал два часа, а Вы на своей системе – 3 секунды. Мой инструмент, AutoCAD+AutoLisp, универсальный и общедоступный. Программированию на AutoLisp я учу студентов. Ваша система специализированная. Любой универсальный подход менее производителен, чем специальный. Известно также, что AutoLisp медленный транслируемый язык. Если был бы коммерческий выход, то я бы применил методы оптимизации, перешел бы на другой язык, нанял бы мальчиков-программистов для этой цели. Мне сейчас нужно было пробить брешь и показать существо и эффективность новых методов. По Вашей рецензии я считаю, что это удалось сделать.

Все о чем тут говорится, нет смысла комментировать; разговор получится пустым. Хочу лишь отметить, что Симплекс не специализированная система, а универсальная, я об этом уже говорил. Она предназначена для геометрии и для геометров, а это очень широко. И еще – о новизне метода – так ведь метода-то по сути никакого нет. Если Вы все же утверждаете, что он есть, то попробуйте его сформулировать и показать отличие от традиционного описания проблемы и ее решения в терминах исходного трехмерного пространства.

То, что Вам удалось “определить функциональную зависимость двух главных диаметров искомого эллипса от двух параметров управления положением плоскости, качающейся вокруг выбранной на гиперболоиде точки” тоже здорово и говорит в пользу эффективности новых 3D методов, за которые я ратую.

Не сказал бы, что нахождение мною зависимости подтверждает эффективность Вашего метода. Я бы лучше сказал, что в который раз уже было доказано, что математика и в Африке есть математика.

Метод проецирования нужен. Но исследовать пространственную форму по ее проекциям уже неактуально.

Со вторым предложением этого утверждения позвольте не согласиться. Работы ведущих ученых страны, разделяющих взгляды научных школ К.И.Валькова, В.Я.Волкова, З.А.Скопеца, говорят об обратном.

Начну с того, что и НГ – это сплошь аппроксимация. НГ признает точными лишь точки, построенные циркулем и линейкой.

Вопрос о предмете и методе начертательной геометрии  мы уже обсуждали. Дополнительно отмечу, что начертательная геометрия как метод проекционного моделирования не оперирует понятиями точности выполняемых построений, точно так же как не оперирует этими понятиями аналитическая модель. Точность получаемой информации в том и другом случае зависит от применяемого инструмента. Графически исполненный алгоритм на клочке бумажки, так же как и вычисление «столбиком» дадут равно «слабые» в смысле точности результаты. Компьютерное исполнение в обоих случаях ограничивается только разрядностью используемого процессора.

Коники, квадрики и др. поверхности создаются в ней приближенной аппроксимацией …

Это утверждение не соответствует действительности. Все эти объекты задаются в начертательной геометрии реперами (определителями), а задачи решаются на алгоритмической основе. Аппроксимации здесь совершенно ни при чем.

Вспоминаю, что в 80-х годах уважаемый С.А. Фролов опубликовал идею создания компьютеров для геометрического моделирования на основе проекционных алгоритмов, как более производительных в нашем деле, чем аналитические алгоритмы. Но дальше этого не пошло.

Незачем куда-либо ходить. Объекты природы – те же вычислительные устройства. Наука занимается моделированием природы, если модель подходит для адекватного описания объекта или процесса, то с ее применимостью все в порядке. Отношение к спору о преимуществах аналитических и синтетических методов я уже выражал. Не вижу повода повторять его еще раз. Хочу лишь отметить, что вычислительные устройства с архитектурой фон Неймана не единственное и не всегда удобное средство для осуществления информационных  преобразований. Работа механических устройств – простейший тому пример.

Какие алгоритмы закладывают фирмы-разработчики мы точно не знаем, просто не интересуемся. Но что им, как бы помягче выразиться, безразлична наша начертательная геометрия – это 100%. 

Это их проблемы и наше преимущество. Результат этого безразличия – отсутствие программных инструментов, которые способствовали бы решению важных практических и научных задач с применением теории из той области знаний, о которой идет речь. Поэтому и приходится создавать такие инструменты самостоятельно. Что, в общем-то, и неплохо.

Кстати, имеется информация, что в зарубежных университетах НГ как учебную дисциплину не преподают.

Почему не преподают? Преподают. Но уровень преподавания ниже, чем у нас. Мне, например, довелось познакомиться с этой проблемой в дрезденском техническом университете. У нас вообще современная школа геометрического моделирования значительно сильнее, чем нынешняя мировая, что подтверждается отсутствием в последнее время научно значимых иностранных публикаций по вопросам конструктивной геометрии. Хотя это мое утверждение вовсе не означает, что проблемами конструктивного моделирования в мире не занимались и не занимаются. Очень серьезное влияние на развитие отечественной геометрической школы оказала, например, немецкая классическая геометрическая школа.

Это называется “приплыли”. Откройте учебник НГ и прочтите ее определение. О плоском интерфейсе вопрос непростой, близкий к обратимости аксонометрических и перспективных проекций.  Образ легко воспринимается с плоского экрана, а метрические свойства дополняются не вторичной проекцией, а возможностью 3d-манипулирования и измерения виртуальной модели, расположенной “за экраном”..  

Предложение «открыть учебник и прочитать определение» можно адресовать и Вам. Видно, разную литературу мы с Вами читаем.

Хорошо, я открываю книги нескольких авторов, научные взгляды которых разделяю.

 

Бударин О.С. Начертательная геометрия. Краткий курс: Учеб. посо­бие. СПб.: Лань, 2008. C.3

Начертательная геометрия — раздел общей геометрии, в котором изучаются методы построения геометризованных изображений предметов трехмерного пространства на плоскости, изучаются прие­мы обработки зафиксированной на изображениях информации.

Изучение предмета расширит общую геометрическую интуицию, разовьет пространственное воображение, позволит сту­дентам применить полученные навыки в своей дальнейшей трудо­вой деятельности не только в проектировании, инженерной или компьютерной графике, но и в других областях науки и техники. Например, процесс обобщения методов начертательной геометрии на пространство высшей размерности приведет к возможности при­ложения этих синтетических методов в химии или физике.

 

Соболев Н.А. Общая теория изображений: Учеб. пособие для вузов. М.: Архитектура-С, 2004.  С. 249.

Г. Монж, подробно рассмотрев ортогональное проецирование трехмерного пространства на две плоскости проекций, открыл ряд строгих закономерностей, положенных им в основу алгоритмов ре­шения прямых и обратных задач проеци­рования на эпюре. Это ознаменовало со­здание нового раздела математики — на­чертательной геометрии, которая сразу же после опубликования в 1978 г. учеб­ного курса получила признание крупных математиков и стала широко применять­ся в самых различных областях науки, техники и инженерного творчества.

Вот как оценивает значение методов начертательной геометрии в такой, каза­лось бы, далекой от геометрии науке, как химия, академик Н.С. Курнаков: «Без графических построений начертательной геометрии изучение химических равно­весных систем, особенно при большом числе компонентов, становится невозможным. Поэтому химики должны изощрять свое воображение путем изучения начертательной геометрии. Можно сказать, что тени Монжа и Бертолле невидимо присутствуют при современной рабо­те химиков и поощряют их к дальнейше­му движению вперед».

Что же касается областей любого ин­женерного творчества, то здесь без зна­ния начертательной геометрии просто немыслимо решение задач проектирова­ния и конструирования.

 

Вальков К.И. Курс начертательной геометрии. Учеб. пособие. Л.: ЛИСИ, 1971. С. 6.

Изображение предмета, чертеж является носителем прежде всего геометрической информации. Именно геометри­ческая информация, т. е. сведения о положении объекта в про­странстве, его форме и размерах, составляют общую основу, дающую право говорить о том, что объект и его изображение моделируют друг друга. Раскрытие этой идеи позволило зна­чительно свободнее взглянуть на предмет начертательной гео­метрии. Если речь идет о геометрической информации, то та­кую информацию может доставлять не только реальный пред­мет технического назначения, но и движение планеты или полет элементарной частицы, траектория светового луча, какое-либо явление, развивающееся во времени, действующие силы, мате­матическая формула, наконец, абстрактный геометрический образ и т. д. С другой стороны, моделирование всех перечислен­ных и других объектов может осуществляться не только с по­мощью примитивно понимаемого изображения, выполненного на чертеже, а также с помощью фотографии, рентгенограммы, киноленты, специального графического приспособления, име­нуемого номограммой, с помощью макета, прибора, аналоговой вычислительной техники, с помощью мысленно созданной гео­метрической конструкции и иными сходными средствами.

При такой широкой постановке вопроса функции начерта­тельной геометрии сводятся к изучению собственно процессов геометрического моделирования во всех их разнообразных про­явлениях. Объекты моделирования могут располагаться в пространстве любой размерности, поскольку в современной математике и физике приходится постоянно встречаться не только с трехмерным, но и с многомерным пространством.

Сама научная дисциплина должна бы, скорее всего, имено­ваться теорией геометрического моделирования. Термин «на­чертательная геометрия» сохраняет лишь свое историческое значение, поддержанное традицией.

 

Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования: учебник / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. – С. 253. (Рецензенты: д.т.н., профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации, Г.С. Иванов (Московский государственный университет леса); д.т.н., профессор, Н.Д. Вертинская (Иркутский государственный технический университет)).

Начертательная геометрия должна рассматриваться в первую очередь как раздел математики, изучающий теорию и методы конструктивных отображений пространств различных размерностей и структур друг на друга. В частности пространств высших размерностей с нелинейными структурами на пространства низших размерностей с линейной структурой. Только во вторую очередь она может быть трактована узко специализированно как теоретическая основа построения чертежей пространственных фигур на плоскости.

По-моему, приведенных примеров определений начертательной геометрии более чем достаточно, чтобы убедиться в моей правоте.

А вот насчет интерфейса Вы круто повернули. Это просто замечательно. Наконец-то мы с Вами сидим в одной лодке. Высказанная Вами мысль обладает всеми признаками истины, поэтому возразить нечего. Однако пользоваться предлагаемой системой далеко не всегда целесообразно. Все зависит от квалификации пользователя и от назначения используемых в дальнейшем документов.

На нашей кафедре много лет тому назад, когда только начиналась компьютерная эра, велась хоздоговорная работа по подготовке серии плакатов сопровождения для изделия «Токомак» (ускоритель ядерных частиц). Очень сложная конструкция для понимания устройства физиками (не механиками). Поэтому потребовалось представить конструкцию в аксонометрических проекциях. Естественно, все выполнялось вручную, и здесь бы метод 3D, как Вы его называете, был бы весьма кстати.

Еще раз о высокой вычислительной эффективности Вашей системы. Я понимаю, реклама на рынке – дело важное.

Уважаемый коллега. Ваше замечание, по крайней мере, не тактично. Симплекс – это некоммерческий продукт, и в рекламе для рынка он не нуждается. Создавался в течение многих лет для научных целей как средство, выравнивающее возможности аналитического и синтетического моделирования. Это система  развивающаяся, постоянно пополняющаяся новыми функциями для расширения ее возможностей.

Обобщая сказанное, считаю, что Вы, похоже, невольно, подтвердили мои выводы об эффективности методов 3d в сравнении с методами 2d начертательной геометрии, продемонстрировав их универсальность и еще большую эффективность на своей системе Simplex. Досадно, что Вы не признаете этого для меня очевидного факта.

Александр Львович, я, как ни пытаюсь, не могу понять, на каком основании Вы делаете этот вывод. Создается впечатление, что в Ваших рассуждениях причина меняется со следствием.

Вы пишите: «В задачах геометрического моделирования алгоритмы 2D (начертательной геометрии) позволяют получить решение, как правило, лишь в частных случаях…»  и «Общие случаи решения задач геометрического моделирования, а к ним относятся большинство инженерных задач, требуют применения современных методов 3D компьютерного моделирования…». Из сказанного следует, что существуют такие геометрические задачи, которые доступны только для «методов 3D». А как же их можно понять иначе? Не соглашаясь с этим, я Вам и ответил, что Вашу задачу можно также решить и привычным для многих «методом начертательной геометрии». Заметьте, приближенно, как и при Вашем подходе! И об этом в моем ответе Вам четко сказано, я специально сделал акцент на идентичности подходов «иначе сравнение полученных мною результатов с Вашими было бы неправомерным»! Принимая на веру Ваше решение за эталон (а зачем же мне было в противном случае за задачу браться?), я провожу свой эксперимент, применяя «методы начертательной геометрии», и получаю результаты, аналогичные Вашим. О чем я и сообщил. Таким образом, было доказано, что решение можно получить и Вашим, и традиционным способами, причем ни о каких «частных случаях» говорить не приходится.

Разве в тексте есть хоть единый намек на противопоставление методов по признаку разрешимости? Как раз наоборот, я показываю их полную эквивалентность. Разве мои слова говорят о том, что Ваш «метод» никуда не годится? Годится, подтверждаю. Используйте, на здоровье! Только он не очень эффективен в плане практического решения задач и не нов в теоретическом плане. Но право на существование имеет, о чем я и писал.

Теперь вдумайтесь в смысл фразы, которую Вы написали в конце Вашего комментария: Вы … подтвердили мои выводы об эффективности методов 3d в сравнении с методами 2d начертательной геометрии, продемонстрировав их (то есть Ваших 3D-методов – примечание моё) универсальность и еще большую эффективность  на своей системе Simplex (которая a priori 2D – примечание моё). То есть получается, что универсальность Ваших 3D-методов я показал на своей 2D-системе! И система 2D некоторым чудесным образом доказала «еще большую эффективность» Ваших 3D-методов по сравнению с «традиционными методами начертательной геометрии»? Честное слово, голову можно сломать от осознания этой мысли!

Для меня выглядят полным абсурдом  попытки противопоставления моделей, которые входят в единый транзитивный ряд моделей пространства любой размерности. Об этом я писал в докладе. Все модели транзитивного ряда доставляют одну и ту же информацию. Разница состоит лишь в удобстве использования той или иной модели для конкретной задачи. Говорить об эффективности или же преимуществах одной модели над другой в отношении информационного содержания моделей единого транзитивного ряда бессмысленно.

Модель, к повсеместному использованию которой Вы призываете, хорошо известна. Она занимает четкое место в классификации проекционных моделей, предложенной более пятидесяти лет назад Кириллом Ивановичем Вальковым. Вы выполняете операции предельного моделирования, в котором картина совпадает с моделируемым пространством. Ее классификационные характеристики следующие: пространство трехмерное, картина трехмерная, поле картины одно. Самый простой вариант. Изучается стереометрией. Обозначается G3,3,1.

 

Александр Львович, Вы собираетесь защищать докторскую диссертацию. Это похвально. Но наша дискуссия обнаруживает, что Ваши взгляды на проблемы геометрического моделирования отрицают научные достижения, как минимум, трех отечественных научных школ. Отрицают по незнанию. Это может стать для Вас серьезной проблемой, так как членам специализированных советов по защите докторских диссертаций, безусловно, работы представителей этих школ известны. Ваши комментарии и ответы убедили меня в том, что с фундаментальными основами теории геометрического моделирования Вы не знакомы. Этот пробел нужно срочно ликвидировать, ибо он может привести Вас к нежелательному результату. Поэтому очень рекомендую ознакомиться с работами К.И.Валькова и, конечно же, других авторов, уже упоминавшихся мною. Советую начать с классических книг, например Вальков К.И. Введение в теорию моделирования. Л:, ЛИСИ, 1974. Используя Ваши 3D-методы  для расчетных целей, Вы концептуально пытаетесь реализовать средствами Autocad'а так называемую геометрическую машину, хотя и не признаете или не понимаете этого. В предлагаемой мною книге об этих проблемах очень хорошо и доступно написано. Я уверен в том, что Вы почерпнете из нее очень много полезного для Ваших исследований.

Еще раз вынужден сказать, что продолжающаяся между нами дискуссия отняла уже очень много времени. А время для меня – большой дефицит. Думаю, что мы закончим на этом раунде полемику, так как все точки над i уже расставлены. У каждого из нас свое видение вопроса и консенсуса  в рамках настоящей конференции, видимо, не достигнуть.

В своей статье Вы предложили свою задачу, на ее решении строили выводы и старались создать  у читателей определенное отношение к проблеме предмета, который называется ‘Начертательной геометрией’. Поэтому считаю справедливым и допустимым предложить Вам другую задачу, не менее интересную и практически важную, при решении которой Вы бы также смогли бы отстаивать Вашу позицию в отношении преподаваемого нами предмета.

Задача.

В трехмерном пространстве задан криволинейный контур из трех или четырех некомпланарных звеньев. Требуется сформировать алгоритм, позволяющий однозначно спроектировать двумерную поверхность, «натянутую» на этот контур.

Решение поискать в так называемых 2D и 3D – методах. 

Разумеется, это уже вне рамок конференции. Думаю, что полученные результаты помогут Вам взглянуть на Ваши позиции с новой точки зрения.

 

С уважением Д.В. Волошинов.


Назад