Назад Go Back

Геометрические задачи с мнимостями и ограничениями

Фото Короткий Виктор Анатольевич (Южно-уральский государственный университет)



Несмотря на развитие компьютерной графики, классическая начертательная геометрия как раздел математики остается учебным предметом для студентов технических специальностей. Основное содержание элементарного курса НГ– отображение пространственных фигур на плоскость и решение задач на полученном изображении. Незначительный объем исходных теоретических положений компенсируется большим количеством разнообразных задач, для решения которых требуется не столько знание “теории”, сколько способность к правильному геометрическому мышлению.

В качестве примера следует сослаться на сборники задач [1,2,3], составленные при доминирующем участии классика российской начертательной геометрии В.А. Пеклича. Многие задачи из этих сборников доставляют проблемы не только студентам, но и преподавателям.

Одна из причин сегодняшней непопулярности традиционных геометрических задач отчасти заключается в том, что в область геометрии внедряются компьютерные технологии, позволяющие автоматизировать большинство процедур геометрического моделирования.

Рассмотрим пример. На плоскости начерчен параллелограмм и произвольная прямая. Через данную точку плоскости провести прямую, параллельную данной прямой, пользуясь только односторонней линейкой без делений [4]. Как поступит инженер? Он сочтет, что нет никакого практического смысла решать эту задачу одной линейкой. Возьмет данную прямую и командой COPY скопирует ее в данную точку. Задача “решена”.

Иначе рассуждает математик. Он примет к сведению, что ему предложена задача с ограничением по набору геометрических операций и будет искать решение, не принимая во внимание его кажущуюся практическую бесполезность.

Известно, что теория геометрических построений была вызвана к жизни попытками решения задач трисекции угла, квадратуры круга, удвоения куба ограниченным набором инструментов. Эти задачи послужили развитию не только геометрии и алгебры, но и математики в целом [5].

Отказ от начертательной геометрии, как раздела математики, с ее традиционными инструментальными ограничениями (циркуль и линейка), замена ее 3D-технологиями не помогает совершенствованию геометро-графической подготовки учащихся.

“Сведение геометрических знаний инженера к … простейшим моделям трехмерного пространства в инженерной графике привело к катастрофическому падению уровня геометрического образования инженера …, а автоматизация процедур геометрического моделирования в системах компьютерной графики сделала его не более чем оператором автоматизированных систем проектирования и конструирования” [6, стр. 12].

“Современная информационная техника предлагает чудеса обработки сигналов, но мысль возбудить она не может” [6, стр. 101].

Как разбудить мысль учащегося? Один из способов – решение задач. В том числе – задач с ограничениями, либо инструментальными, либо алгоритмическими. Пример задачи с алгоритмическим ограничением: определить расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными на эпюре Монжа, не используя способы преобразования чертежа.  

Заметим, что в условии нет ограничений на инструментальные средства. Поэтому учащийся может смоделировать задачу на компьютере в 3D-пространстве и решить ее, используя привязку “перпендикуляр” и вызвав справку для определения расстояния.

Решение на компьютере – простое и безупречно точное, причем не требует знания ни признаков перпендикулярности на ортогональном чертеже, ни умения определять истинную длину отрезка по его проекциям. Напротив, решение на чертеже – сложное, трудоемкое и не особенно точное.

Какой вариант решения предпочесть в учебном процессе? Если изучаем 3D-компьютерное моделирование – решаем задачу на компьютерной модели. Если изучаем НГ – тогда лист бумаги, линейка и циркуль. Начертательная геометрия и компьютерное 3D-моделирование – разные учебные предметы.

Любая геометрическая задача (и не только геометрическая) – всегда задача с ограничениями, либо явными, либо подразумевающимися.

Инструментальное или алгоритмическое ограничение, добавленное к условию стандартной геометрической задачи, может потребовать для ее решения немалых умственных усилий. Но именно в развитии способности к геометрическому мышлению состоит одна из основных целей графо-геометрической подготовки.

Рассмотрим алгоритмические ограничения в типовых задачах НГ.

1. Построить на ортогональном чертеже линию пересечения двух плоскостей общего положения, не преобразуя чертеж и не применяя способ вспомогательных секущих плоскостей [7].

2. Построить на ортогональном чертеже перпендикуляр к плоскости общего положения, не преобразуя чертеж и не используя теорему о перпендикулярности прямой и плоскости [8].

Можно предположить, что успешное решение этих задач, хотя и не имеющих прикладного значения, все же будет способствовать повышению уровня общей геометрической образованности преподавателей и учащихся.

Еще одна типовая задача с наложенным алгоритмическим ограничением дана в [1]: построить круговое сечение эллиптического конуса, не пользуясь теоремой о двойном прикосновении. Для решения этой задачи требуется вычерчивать кривые второго порядка [9].

Монография В.А. Пеклича [8], содержащая неудобные и немодные задачи “с мнимостями”, заслуживает особого внимания. Как студенты, так и преподаватели не всегда ясно сознают присутствие мнимых элементов в рассматриваемых ими геометрических моделях.

В элементарной начертательной геометрии мнимости возникают при поиске общих элементов компланарных конических сечений или в особых случаях пересечения поверхностей второго порядка.

Как следует из алгебраической теории корней, точки пересечения двух непересекающихся коник – мнимые сопряженные. Их невозможно изобразить на чертеже. Но через них можно провести действительный отрезок и найти середину этого отрезка. Также невозможно начертить мнимое коническое сечение, но можно найти плоскость (действительную), в которой оно располагается [10].

В качестве содержательного примера, следуя [8,10], покажем, что линия пересечения однофокусных квадрик распадается на две коники, одна из которых – мнимая. В процессе доказательства будет также найдена действительная плоскость, в которой лежит мнимая часть линии пересечения.

Даны овальные квадрики вращения Φ12 с осями i1,i2, директориальными плоскостями Δ12 и совпавшей парой фокусов F. Доказать, что данные квадрики имеют касание в двух точках.

Доказательство. В сечении квадрик общей плоскостью симметрии H=i1∩i2 получаем конические сечения k1,k2 с директрисами d1=H∩Δ1, d2=H∩Δ2 и общим фокусом F (рис. 1). Точке J=d1∩d2 соответствует в поляритетах k1,k2 одна и та же поляра j, инцидентная F и перпендикулярная прямой JF (прямые j и JF соответственны в ортогональной инволюции, установленной кониками k1,k2 в пучке F). Через точку J проходят прямые n=AB и m=UV, где A,B – пара действительных, а U,V – пара мнимых комплексно сопряженных точек пересечения конических сечений k1,k2.

Ортогонально спроецируем квадрики  Φ12 на общую плоскость симметрии H (рис. 2) и рассмотрим сечения t1,t2 обеих квадрик плоскостью T связки F, проходящей через прямую d=Δ1∩Δ2 (на рис. 2 плоскость T совмещена с плоскостью чертежа). Сечения t1,t2 имеют общие фокус F и директрису d, поэтому они устанавливают на d одну и ту же эллиптическую инволюцию с двойными точками X,Y – мнимыми точками пересечения коник t1,t2. Через F проходят изотропные прямые x=FX, y=FY – общие касательные как к коникам t1,t2, так и к квадрикам Φ12 в их общих мнимых точках X,Y. Мнимые сопряженные точки X,Y располагаются на прямой d симметрично относительно общей плоскости симметрии H, поэтому действительная точка J=d∩H – середина мнимого отрезка XY. В силу симметрии, в точках X,Y обе квадрики имеют общие мнимые касательные плоскости, пересекающиеся по прямой j и инцидентные изотропным прямым x,y. Утверждение доказано.

Таким образом, овальные квадрики вращения Φ1 и Φ2 с одним общим  фокусом находятся в мнимом двойном соприкосновении. Линия их пересечения распадается на кривые второго порядка, плоскости которых проходят через действительную прямую d, соединяющую мнимые точки соприкосновения X,Y данных квадрик.

В частности, линия пересечения двух эллипсоидов вращения с общим фокусом распадается на два эллипса, один из которых мнимый. Действительный эллипс лежит в плоскости Θ(d,n), мнимый эллипс – в действительной плоскости Ψ(d,m), где n=AB, m=UV (см. рис. 2).

Проведенное доказательство предложено здесь как пример рассуждения, в котором мнимые элементы участвуют наравне с действительными. Мнимые элементы в геометрии – аналог комплексных чисел в математике. Знание теории мнимых элементов позволяет избегать смысловых и методических ошибок при изложении учебного материала, связанного с алгебраическими кривыми и поверхностями.

Ошибки возникают в том случае, когда математическое исследование какой-либо геометрической модели заменяют визуальным разглядыванием условно трехмерных изображений на экране компьютера.

Например, на 3D-макете однофокусных эллипсоидов вращения зритель наблюдает, что в пересечении визуально всегда образуется только один эллипс. Известно, что в пересечении квадрик должна быть кривая четвертого порядка. Чтобы как-то согласовать свое наблюдение с этим обстоятельством, предлагается ошибочное объяснение, будто бы виден не один эллипс, а два совпавших.

Причина ошибки – в пренебрежении методами начертательной геометрии. Приведенное выше строгое математическое рассуждение показывает, что “недостающий эллипс” – мнимый. Мнимый и действительный эллипсы, на которые в данном случае распалась линия пересечения, лежат в разных плоскостях. Их никак нельзя считать совпадающими.

Мнимые алгебраические дополнения кривых и поверхностей второго порядка как геометрические образы являются объектом изучения современной начертательной геометрии [10,11].

Выводы

1. Простые геометрические задачи существенно усложняются при наложении инструментальных или алгоритмических ограничений. Такие “задачи с ограничениями”, не имеющие утилитарной направленности, тем не менее, могут быть использованы в учебном процессе, поскольку решение таких задач дает учащимся новое знание.

2. При анализе геометрической модели нельзя ограничиваться визуальным рассматриванием ее условно трехмерных изображений на экране компьютера. Для выявления существенных свойств исследуемого объекта применяются методы классической начертательной геометрии.

3. Мнимые элементы (точки, прямые, коники) возникают при исследовании алгебраических линий и поверхностей. Мнимости в начертательной геометрии – аналог комплексных чисел в математике. Исследования в этой области составляют один из разделов современной начертательной геометрии.

Список литературы

1. Пеклич В.А. Задачи по начертательной геометрии. – М.: АСВ, 1997. – 230 с.

2. Пеклич В.А. Упражнения и задачи по начертательной геометрии. – М.: АСВ, 2002. – 190 с.

3. Пеклич В.А., Жирных Б.Г., Марков В.М. Задачи московских и российских олимпиад по начертательной геометрии. – М.: АСВ, 2004. – 150 с. 

4. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии. – М–Л.: Учпедгиз,       1949. – 188 с.

5. Энциклопедия элементарной математики, том 4. – М.: ФМ, 1963. – 567 с.

6. Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации (межвузовский научно-методический сборник). – Саратов, СГТУ, 2012. – 174 с.

7. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение, 2005. – 223 с.

8. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия. – М.: АСВ, 2007. – 103 с.

9. Короткий В.А. Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых (программа для ЭВМ) – свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.

10. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ИПЦ “Маска”, 2008. – 216 с.

11. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия. – М.: АСВ, 2000. – 344 с.

Рисунки к докладу

Рис. 1
Рис. 1

Сечение однофокусных квадрик вращения общей плоскостью симметрии




Рис. 2
Рис. 2

Сечение квадрик плоскостью Т(d,F)




Вопросы и комментарии к выступлению:


Фото
Тихонов-Бугров Дмитрий Евгеньевич
(3 ноября 2012 г. 19:57)

Здравствуйте, Виктор Анатольевич. Я уже отказался от дискуссии по поводу значения начертательной геометрии на данной конференции, и вдруг Ваш доклад. Спасибо! Хочу выделить те положения, которые полностью поддерживаю: 1. решение задач НГ способствует развитию правильного геометрического мышления (пусть противники укажут где, в каком курсе подготовки инженера это делается ещё); 2. существенный сдвиг в графической подготовке приводит к превращению обучаемого в оператора автоматизированных систем; 3. НГ и трёхмерное компьютерное моделирование - разные учебные предметы.

Согласен с важной ролью задач с алгоритмическими ограничениями. Применяю их в учебном процессе.

С уважением Тихонов-Бугров.


Назад Go Back