ФОКУСЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ

Обсуждается понятие фокуса алгебраической кривой, даются основы теории кривых, приводится математический аппарат для разыскания фокусов. Геометрическая картина фокусов показана на совмещённых эпюрах. Совмещённые эпюры сводят воедино данную кривую с мнимым сечением данной кривой, на котором сопряжённые изотропные прямые касаются кривой сечения и пересекаются между собой в фокусах. Совмещённые эпюры даны для 21 кривых – коник, кубик и квартик.

Введение

Кривые линии всегда ещё были частью геометрии. Вначале это были прямые и окружности, затем к ним добавились конические сечения и позже, с появлением аналитической геометрии, к ним добавились более сложные кривые. Особо в ряду линий стоят алгебраические кривые, описываемые алгебраическими уравнениями. Кривые линии находили приложение большей частью в механике. Сегодня алгебраические кривые используются как в технике, так и в самой математике – в теории чисел, теории узлов, в информатике, криминалистике и др. С привлечением к счёту комплексных чисел стало возможным рассматривать кривые на комплексной плоскости. Это расширило горизонты геометрии и обогатило знания по кривым, в частности, по алгебраическим кривым. Комплексные числа и их геометрическая реализация в виде мнимых образов на сегодня ещё настораживают геометров, особенно геометров старшего поколения. Мнимые образы ещё не стали рутиной и в силу не до конца решённого вопроса их изображения. Автор приложил определённые усилия, как к толкованию мнимых образов, так и к их изображению, в частности, с помощью совмещённых эпюров. Бытует мнение, что если евклидова геометрия не располагает средством для изображения мнимых образов, то их и не следует изображать, а учиться представлять их мысленным взором, каждый как может. Такой подход обедняет геометрию и потому не может быть рекомендован к всеобщему применению. Алгебраические кривые сопровождаются различными характеристиками, такими как степень, класс, асимптоты, поляры, фокусы. Кривые имеют особые точки, особенности поведения в бесконечности и др. Фокусы алгебраических кривых непосредственно связаны с комплексным расширением кривых и изотропными прямыми, которые являются сопряжёнными мнимыми прямыми. Мы ставим задачу дать геометрическую картину фокусов алгебраических кривых, наглядно показать положение фокусов на плоскости, показать, как количество фокусов связано с классом кривой. Решение поставленной задачи мы видим в приложении разработанного нами способа визуализации мнимых образов к исследованию фокусов и фокальных центров алгебраических кривых.

Теоретические посылки

Фокусы кривых второго порядка определяются опосредованно через соотношение определённых параметров. В таком подходе нет общности, которая позволила бы перейти к теории фокусов кривых более высокого порядка. Теория фокусов конических сечений была разработана Кеплером (1609 г.), теория фокусов алгебраических кривых более высокого порядка была разработана Ю. Плюккером (1832 г.). Основные определения [3, 4, 5, 7, 8]. Порядок n алгебраической кривой Kmn есть наибольшее число точек пересечения её с некоторой прямой и соответствует степени её алгебраического уравнения. Класс m алгебраической кривой Kmn есть наибольшее число касательных, которые можно провести к ней из некоторой точки плоскости. Если кривая не имеет особых точек, то класс кривой равен m = n(n - 1). Например, коника – K2^2, кубика – K6^3, квартика – K12^4. Фокус алгебраической кривой есть точка плоскости, в которой пересекаются изотропные касательные, проведённые к кривой из циклических точек. Изотропные прямые есть мнимые прямые с угловым коэффициентом, равным i или -i, где

 i^2 = -1: {y = ix + p + qi, y = -ix + p - qi }.

Действительная точка мнимой прямой y=ix+p+qi имеет координаты x0=-q, y0=p. Циклические (круговые) точки есть точки пересечения несобственной прямой с изотропными прямыми. Через циклические точки своим мнимым расширением проходят все окружности плоскости. Изотропные касательные, проведённые к кривой из циклических точек, пересекаются в её фокусах. Из каждой циклической точки I и J к кривой класса m можно провести m касательных прямых. Эти прямые пересекаются в m^2 действительных и мнимых фокусах. В действительных фокусах пересекаются только сопряжённые изотропные прямые и их число будет равно m. Остальные m(m-1) фокусов будут мнимые. Например, кривая K36 имеет 36 фокусов, из которых только шесть действительных.

Комплексная кривая

Принятие к рассмотрению комплексных координат точек (x=a+bi, y=c+di) означает переход от евклидовой плоскости к комплексному пространству. Для представления мнимой точки P(x=a+bi, y=c+di) необходимы четыре координатные оси: Ox, Oy, Oxi, Oyi. Четыре оси определяют шесть координатных плоскостей, из которых только одна действительная. Кривую в комплексном пространстве можно будет изучать сечениями координатными плоскостями. С переходом от реального пространства R^2 к комплексному пространству C^2 теряется непосредственное восприятие кривой, "кривая" в C^2 предстаёт уже поверхностью в четырёхмерном пространстве со свойствами Римановой поверхности. Но это не повод для расстройства, это только факт, который не затруднит наши вычисления по данному феномену. Выделение в пространстве C^2 = R^4 "реальных плоскостей" даёт различные действительные кривые как сечения поверхности в R^4 этими плоскостями.

Определение фокусов алгебраической кривой

Пусть уравнение кривой задано в явной форме y = f(x). Первую производную y' приравнять i, где i^2 = -1. Из уравнения y' = i определить xT точки T касания изотропной прямой к кривой. Далее, по значению xT вычислить значение yT = f(xT). Записать уравнение изотропной прямой, проходящей через данную точку T(xT, yT): y - yT = i(x - xT). Координаты x0, y0 действительной точки изотропной прямой (см. п. 1.8) определяют искомый фокус F.

Примеры визуализации картины фокусов кривых линий

В работе к рассмотрению приняты кривые с одной или двумя осями симметрии. Задача поиска и визуализации фокусов осесимметричных кривых значительно упрощается. Кривая рассматривается как поверхность в комплексном четырёхмерном пространстве. Если кривая имеет ось симметрии на оси x, то переход y → yi определяет плоскость Oxyi, которая рассекает комплексную кривую по мнимой кривой. Изотропные прямые касаются мнимой кривой и пересекаются на оси симметрии в действительных точках, называемых фокусами кривой. Если фокусы лежат симметрично оси координат, то их визуализация не столь проста. Поиск мнимой кривой, которой касались бы изотропные прямые, пересекающиеся в таких фокусах, требует определённой подготовительной работы, например перенос оси координат на фокусы. Некоторые фокусы так и не получили своей визуализации в этой работе. Визуализация фокусов, лежащих симметрично координатной оси, носит ещё эскизный характер, требует корректировки, но принципиально подход опирается на касательные изотропные прямые по Плюккеру. Конические сечения являются кривыми второго порядка и второго класса K2^2 и имеют два действительных фокуса. Парабола теряет один фокус, потому что касается несобственной прямой. Различают четыре невырожденные коники, это эллипс, гипербола, парабола и мнимый эллипс.

Пример 1. ЭЛЛИПС

Уравнение в канонической форме

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

Центральная кривая без особых точек, имеет две оси симметрии. Два фокуса эллипса лежат на большой оси и являются внутренними точками кривой, их координаты ±√(a^2 - b^2 ). Касательные прямые, проведённые к эллипсу через эти точки с необходимостью будут мнимыми прямыми. Мнимые прямые касаются не действительного эллипса, лежащего в плоскости Oxy, а касаются мнимой составляющей эллипса на комплексной плоскости. В данном случае это плоскость Oxyi. Перейти к кривой в этой плоскости можно с помощью преобразования

μ(y → yi): x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.

На рис.2В показана картина взаимного положения двух сечений комплексного образа эллипса двумя плоскостями Oxy и Oxyi, несущими названные кривые и изотропные касательные прямые, пересекающиеся в действительных фокусах кривой.

Разыскание фокусов эллипса

Пусть дан эллипс x^2/25 + y^2/9 = 1.

Уравнение разрешим относительно переменной y, y = ± 3/5 √(25 - x^2), и возмем первую производную, y' = -3x/5√(25 - x^2).

Первую производную приравняем равной i и вычислим координату x точки касания, i = - 3x/5√(25 - x^2 ), x12 = ± 25/4.

Через точки касания проходит директриса эллипса, она же является полярой фокуса относительно эллипса. По данной поляре определяется координата фокуса. Фокусы лежат на оси x симметрично относительно начала координат, F12 (±4; 0). Изотропные касательные лежат симметрично направлению i, соответственно, наклонены к оси x под углом 45°, рис.1.

Пример 2. ГИПЕРБОЛА

Уравнение гиперболы с осями a и b в канонической форме

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.

Центральная кривая без особых точек, имеет две оси симметрии и две асимптоты y = ± (b /a) x. Имеет действительную ось a и мнимую ось bi.

Связь гиперболы с эллипсом заметна из записи x^2/a^2 +y^2/(ib)^2 = 1.

Два фокуса гиперболы лежат на действительной оси и являются её внутренними точками, их координаты (±√(a^2+b^2); 0). Изотропные касательные прямые из циклических точек касаются не действительной гиперболы, лежащей в плоскости Oxy, а её комплексного дополнения, лежащего в плоскость Oxyi.

Перейти к кривой в мнимой плоскости можно с помощью преобразования μ(y → yi), уравнение комплексного дополнения есть эллипс x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Изотропные касательные пересекаются в фокусах гиперболы. Через точки касания изотропных прямых с мнимым эллипсом проходят директрисы гиперболы, которые также являются полярами фокусов относительно гиперболы. На рис.4В показана комплексная картина взаимного положения двух совмещённых сечений гиперболы как комплексного образа плоскостями Oxy и Oxyi. Эти плоскости несут названные кривые и изотропные касательные прямые, пересекающиеся в действительных фокусах кривой.

На рис.4С показано интересное семейство эллипсов, составляющих пучок, имеющий огибающие изотропные прямые. Каждый эллипс пучка сопряжён с одной гиперболой софокусного пучка гипербол. Алгебраические кривые третьего порядка без особых точек имеют шестой класс K6^3 и могут иметь до шести действительных фокусов. Кривые третьего порядка сильно различаются по форме, но, из-за нечётной степени их уравнений, все они имеют бесконечные ветви.

Из различных классификаций кривых третьего порядка приведём классификацию Ньютона [8]. По этой классификации любое уравнение третьей степени может быть приведено к одной из следующих форм:

A. xy^2 + ey = ax^3 + bx^2 + cx + d,

B. xy = ax^3 + bx^2 + cx + d,

C. y^2 = ax^3 + bx^2 + cx + d,

D. y = ax^3 + bx^2 + cx + d.

Каноническая форма D определяет кубические параболы. Каноническая форма С определяет расходящиеся параболы.

Пример 3. РАСХОДЯЩАЯСЯ ПАРАБОЛА, тип 2.

Расходящаяся парабола с бесконечной ветвью и изолированной точкой, K4^3 тип 2. Для примера взята парабола с уравнением

 y^2 = x^3 - x^2.         (1)

Корни уравнения: x12=0, x3=1. Кривая существует в интервале (1, ∞) оси x и имеет два фокуса F1 (0;0) и F2 (1.185;0), рис.9А, P – изолированная точка.

Сечение комплексной поверхности, порождённой уравнением (1), плоскостью Oxyi даёт кривую с уравнением

                   y^2 = -x^3 + x^2.      (2)

Кривая (2) существует в интервале (1, -∞) оси x и имеет корни x12=0, x3=1. Кривая состоит из бесконечной ветви с узловой точкой и есть расходящаяся парабола типа 3, рис.9В (штриховая линия). Этой кривой касаются изотропные прямые, проведённые из циклических точек (пунктирная линия). Сопряжённые мнимые прямые пересекаются в действительных фокусах на оси x, несопряжённые – в мнимых фокусах, лежащих симметрично оси x (в дальнейшем они показываться не будут).

Пример 4. ПРЯМАЯ СТРОФОИДА.

Кубика K43 имеет каноническую форму А, относится к дефективным гиперболам. Уравнение кривой:

x^2 (x + a) + y^2 (x - a)=0.    (1)

Изменение аргумента: -a ≤ x ≤ a, корни уравнения: x1 = a, x23 = 0. Строфоида есть циркулярная кривая – её уравнение в форме x(x^2 + y^2)=a(x^2 - y^2) содержит двучлен (x^2 + y^2), что определяет окружность и означает прохождение через циклические точки. Кривая состоит из одной бесконечной ветви с узловой точкой и имеет одну асимптоту a, рис.4А.

Переход к сечению Oxyi осуществляется подстановкой y → yi в уравнении (1). Уравнение кривой в мнимой плоскости:

x^2 (x + a) - y^2 (x - a)=0.     (2)

Кубика K4^3 состоит из трёх асимптотических ветвей, содержит три асимптоты x = a, y1 = x + a, y2 = -x - a, имеет в начале координат изолированную точку, рис.17В, в условиях рисунка a = 1 [9, c.88]. Прямые y12 есть мнимые асимптоты строфоиды (1) и пересекаются в её особом фокусе Φ(- a; 0).

Кроме особого фокуса строфоида имеет два действительных фокуса F12 (2a ± 2√2 a; 0). Изолированная точка кривой (2) в начале координат не является фокусом кривой (1) т.к. она двойная. Пара мнимых прямых через двойную точку сливаются в действительную прямую и уже не могут образовать фокус.

Примечание. В источнике [2, с.752] приведено стереометрическое образование строфоиды. Прямой круговой цилиндр с осью y и образующей прямой a рассекается плоскостью α, проходящей через точку Φ(-a; 0). Фокусы A1 и A2 эллипса сечения лежат на строфоиде, рис.4А.

Заключение

Принцип рассмотрения действительной алгебраической кривой как ядра Римановой поверхности в комплексном пространстве позволил делать мнимые сечения, в которых изотропные прямые касаются кривых линий сечения. Действительные точки каждой сопряжённой пары изотропных прямых есть действительные фокусы кривой-ядра. Нами приведена визуализация двадцати одной кривых порядков 2, 3 и 4. Визуализация осуществлялась на совмещённых эпюрах. Работа выполнена на математическом уроне, доступном инженеру.

Приведённые примеры убеждают в том, что алгебраические кривые служат ядром комплексной фигуры, сечения которой дают дальнейшую информацию о кривой-ядре, в нашем случае информацию о фокусах кривой, которые суть точки пересечения изотропных прямых, касательных к мнимым сечениям. Кроме того, исследования коник, которые, казалось бы, исследованы вдоль и поперёк, показали их новые свойства. Все четыре коники показали наличие новых пучков коник, сопряжённых с софокусными кониками.

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.
3. Математическая энциклопедия. тт. 1–5. – М.: Советская Энциклопедия, 1984. – 1060 с.
4. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в ХIХ столетии ч. I. – М.: Наука, 1989. – 465 с.
5. Клеменс Г. Мозаика теории комплексных кривых – М.: Наука, 1984. – 160 с.
6. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. – М.: Мир., 1991. – 151 с.
7. Савёлов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство). – М.: ФМ, 1960. – 293 с.
8. Смогоржевский А.С. и Столова Е.С. Справочник по теории кривых третьего порядка. – М.: ФМ, 1961. – 264 с.
9. Böttcher, R.: Einführung in die Theorie der algebraischen Kurven und deren Eigenschaften. – Fern Universität in Hagen, 2006, 434 S.
10. Heuser, W., Burau, W.: Integrale algebraischer Funktionen und ebene algebraische Kurven. − Berlin: Deutscher Verlag, 1958.
11. Wieleitner, H.: Theorie der ebenen algebraischen Kurven höherer Ordnung – Leipzig: G.J.Göschen'sche Verlagshandlung, 1905. – 313 S.
12. Plücker, J.: Über solche Punkte, die bei Curven einer höheren Ordnung als der zweiten den Brennpuncten der Kegelschnitte entsprechen. Journal für reine u. angewandte Mathematik. − 10, 1832, 84 − 91.
13. Rice Ethel A.: On the foci of plane algebraic corves with application to symmetric cubic corves. – Am. Math. Monthly, 43, 1936, 618 – 630.
14. Программа для ЭВМ "Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых" / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011 г.
15. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. – 216 с.
16. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова. – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. – 216 с.
17. Гирш А.Г. О комплексной геометрии и об авторе   http://www.anhirsch.de

Рисунки к докладу

А – график эллипса, В – картина совмещённых эпюров, С – картина фокусов в комплексном пространстве, D – комплексная картина софокусных эллипсов

А – график гиперболы, В – картина совмещённых эпюров, С – комплексная картина софокусных гипербол

А – график расходящейся параболы типа 2, В – картина фокусов на совмещённых эпюрах

А – график прямой строфоиды,

В – картина фокусов на совмещённых эпюрах,

C – положение действительной плоскости Oxy и мнимой плоскости Oxyi

Принцев Николай Владимирович (27 февраля 2015 г. 19:38)	Уважаемый Антон Георгиевич! Вы подготовили УВЛЕКАТЕЛЬНЫЙ доклад. Тоже много размышлял на эту тему. Постоянно поднимаю вопрос о том, что Начертательную геометрию нужно преподавать совместно с Аналитической геометрией. Вам надо почаще бывать у нас в Северной Столице в Математическом институте имени Стеклова! Постоянно просматриваю все "новинки" в библиотеке института. Там на нашу с Вами тему бывает одна статья в два года. Беседовал со многими учёными, они убеждены, что век Начертательной геометрии закончился, поэтому предпочитают заниматься теоретизированием. Именно поэтому Ваша работа - это ПРАКТИЧЕСКИЙ прорыв!
Гирш Антон Георгиевич (27 февраля 2015 г. 21:50)	Николай Владимирович, спасибо, что обратили внимание на этот доклад! В работе обигрываются комплексные числа, мнимые образы и движущей силой всех этих экзтических терминов являются изотропные прямые. Они могут касаться кривых, точки их взаимного пересечения - фокусы этих кривых, их пересечение с несобственной прямой - циклические точки и др. Тема фокусов алгебраических кривых позволяеи обращение к этим, на сегодня ещё неосвоенным образам. Но лично я в некотором сомнении о месте публикации такого материала, но попытка сделана.
Сальков Николай Андреевич (7 марта 2015 г. 23:34)	Антон Георгиевич, спасибо за интересную статью!  Единственным недостатком является расположение рисунков не в теле текста, а за его пределами: приходится крутить колесико туда-сюда, а это неудобно. Следует организаторам конференции разрешить расположение рисунков в самой статье - так удобнее для восприятия. И еще немного напрягала разница в номерах рисунков в тексте и в наборе самих рисунков, например, в тексте есть рис.9В, а на самом деле рисунков - 4. Так что приходилось выискивать из четырех тот, о котором в действительности шла речь. С уважением, сальков.
Дударь Елена Сергеевна (12 марта 2015 г. 17:45)	Уважаемый Антон Георгиевич! Спасибо за интересную статью. Возможно, что мой вопрос лишь косвенно связан с содержанием Вашего доклада. Но все же, Вы наверняка согласитесь, что геометрия играет важную роль в геометрической интерпретации результатов исследований в других дисциплинах. Известно, что поверхности 2 порядка используются для визуализации тензоров 2 ранга, в частности тензора деформаций, тензора напряжений, тензора скоростей деформаций и т.д. (поверхность Коши, эллипсоид Ламе). Поведение геометрического образа является геометрической интерпретацией механики поведения объекта исследования. С другой стороны линии тока, векторные линии используются для описания движения жидкости и, в этом случае, естественным образом возникает понятие особых точек, фокусов (?). В настоящее время, насколько мне известно, имеется геометрическая интерпретация только для тензоров 2 ранга. Нельзя ли использовать Вашу теорию в прикладном аспекте, например для геометрической интерпретации тензоров 2 и более высоких рангов, а также в механике жидкости и газа для более глубокой геометрической интерпретации полей скоростей? С наилучшими пожеланиями, Елена С. Дударь
Хейфец Александр Львович (14 марта 2015 г. 20:57)	Здравствуйте, Антон Георгиевич. Позвольте три вопроса, не столько по Вашим докладам, сколько по Вашим комментариям. 1. Ваша задача о построении параболы Мора выходом в пространство очень известна среди сторонников 3d. Мы нашли Вашу статью где-то в интернете, статья в электронном журнале МАИ. Статья дала нам импульс. Вы рассмотрели реальную задачу сопромата, где парабола касательна двух окружностей. Нам этого оказалось мало. Постепенно мы нашли решение  для двух эллипсов произвольных размеров, имеющих общую ось, затем самый общий случай - для двух совершенно произволных эллипсов. Материалы опубликованы. В моем докладе на данной конференции есть ссылка на наш учебник, где самый общий вариант подробно приведен (рекламирую учебник!). Особенность нашего подхода - средствами параметризации находися фокус и директриса параболы, касательной к произвольным эллипсам, а сама паоабола - выходом в пространство как сечение конуса плоскостью эллипсов. Понимаю, что такой поход Вам, как истому теоретику, не понравится. Но другого нет. В этом реалии и торжество современных компьютерных технологий над теоретиками.  2. Поясните, пожалуйста, что Вы имеете ввиду, говоря, что смогли доказать теорему о кругах Вилларсо. Мне казалось, что она доказана в средниеу века. Мои студенты в рамках НИРС как-то и где-то "сдирали"   аналитические выкладки на эту тему. Так в чем суть Вашего доказательства. 3. Если можно и если Вы преподаете наши предметы, расскажите об этом. Конечно, меня интересует положение с начертательной геометрией в Германии. С уважением. А.Л. Хейфец
Гирш Антон Георгиевич (19 марта 2015 г. 15:36)	Здравствуйте Александр Львович, спасибо за положительный отзыв по докладу. Извините, что поздно отвечаю. 1. Спасибо за рекламу книжки. Почти всё содержание её опубликовано как препринт в электронном журнале Ю.И.Денискина - МАИ. Там же есть и статья про сечения Вилларсо. 2. Поверхность вращения с меридианом кривой второго порядка есть алгебраическая поверхность 4-го порядка, плоское сечение v которой есть алгебраическая кривая 4-го порядка, которая по формуле Маклорена d=(n-1)(n-2)/2 может иметь до трёх двойных точек, d=3. Если кривая v будет иметь хотя бы одной двойной точкой больше, то она распадётся на две кривые, v(v1, v2). Вот эту недостающую точку я и искал в поле мнимого как двойную точку пересечения мнимых образов кривых сечения. Известные мне доказательства были длинными, сложными, манипулировали множествами шаров и пр. А здесь получилось как у древних греков - просто смотри и убедись. 3. Университеты в Германии делятся на старые по типу Советских в ноывх землях (бывшая ГДР) и новые, их больше в старых землях. Здесь в учебных программах всё лишнее отсекли. В Кассельском уни Машиностроители отказались от НГ ещё лет 20 тому. На строительном факультете декан встал против и там лет на 10 сокращение затянулось. Сейчас, то что относится к ИГ называется по определению Горнова А.О. пропедевтикой. А черчения вообще нет. Есть САД, вычислительный центр и компьютерные залы. Быть зав. кафедрой в уни нового поколения не каждый российский профессор согласился бы. Состав кафедры: 1 проф., доля секретарши, инженер по оборудованию. Всё. У профессора есть определённый счёт. С него он может пригласить туторов - студентов старшекурсников, для проведения практических занятий и лабороторок. Для чтения лекций может привлечь докторантов или ведущих хозтемы. Но для этого профессор должен их иметь, т.е. должен предложить людям реальные темы. Не всё так гладко в Датском Королевстве. Но зато учебная часть не достаёт с отчётностью. Мой отчёт был на одной странице: часов дано ХХ, выполнил ХХ. Подпись. Деканат в курсе происходящего на кафедрах через болтавню студентов. С уважением. А.Г. Гирш.
Гирш Антон Георгиевич (19 марта 2015 г. 15:42)	Уважаемый Николай Андреевич, спасибо, что обратили внимание. Статья большая и я для доклада вырезал фрагменты и, каюсь, проглядел невязки. Исправить, верно, невозможно. Но суть, надеюсь, я смог донести. С уважением. А.Г. Гирш.
Гирш Антон Георгиевич (19 марта 2015 г. 16:19)	Здравствуйте, Елена Сергеевна, спасибо, что обратили внимание на этот доклад. Мои познания в области аэродинамики ограничиваются известной максой: ЧТО ХОРОШО ДЛЯ  ГЛАЗА, ТО ХОРОШО ДЛЯ ГАЗА. Но кое-какие наработки в плане приложения кривых, пожалуй, есть. Пытаясь показать, что комплексная кривая гораздо больше своего действительного представителя, я строил огибающие семейств кривых. Получалось, что дискриминантная кривая  часто имеет больший порядок, чем огибающая от действительной кривой. Визуализация скрытой мнимой составляющей разъяснило картину. См. http://www.apg.mai.ru/index.htm Там что-то сломалось и не всегда открывается, но если откроется, то Выпуск 9, 2007, №20, п.4  Огибающая семейства кривых, с.260-266. С уважением, А.Г. Гирш.
Дударь Елена Сергеевна (19 марта 2015 г. 22:13)	Уважаемый Антон Георгиевич! Спасибо за ответ и ссылки на литературу. С огибающей семейства кривых приходится иметь дело при анализе турбулентного движения жидкости в шероховатых трубах. Возможно, Ваша теория поможет получить дополнительную информацию из известных экспериментальных данных (опыты Никурадзе). С наилучшими пожеланиями, Елена С. Дударь
Бойков Алексей Александрович (1 апреля 2015 г. 0:27)	Уважаемый, Антон Георгиевич, спасибо за доклад. Не подскажете, где можно найти Ваши монографии?