|
|
Гирш Антон Георгиевич | (Universität Kassel) |
Однопараметрическое семейство линий имеет огибающую линию так же, как движущаяся кривая оставляет след в виде огибающей линии. В докладе обсуждаются случаи, когда семейство линий имеет огибающую линию и даётся ответ на вопрос, что означает полное или частичное отсутствие огибающей линии для однопараметрического семейства линий.
Понятие огибающей линии присутствует в инженерной терминологии и практике. Часто огибающая линия ассоциируется со следом движущейся кривой линии, но это не совсем корректно. Понятие огибающей линии связано с понятием однопараметрического семейства линий. Мы затронули эту тему в той связи, что в конструкциях огибающих линий могут появляться мнимые составляющие кривых образующего семейства. Мнимые составляющие и отвечают на вопрос, почему семейство линий, которое, казалось бы, не должно иметь огибающей, её имеет, и объясняют случаи, когда огибающая частью или полностью становится невидимой.
Определения [1, 2, 3]
Из определения дискриминантной кривой следует, что она необязательно является только огибающей линией, она может показывать линию, которая не является огибающей, и иногда вовсе не показывать линии. Последнее утверждение рассмотрим подробнее на ряде примеров.
Пример 1.
Уравнение (x - C)2 + y2 = 1 определяет семейство окружностей радиуса r = 1 с центрами на оси x. Семейство имеет огибающую линию в виде двух прямых, параллельных оси x с уравнением y = ±1. Этот очевидный факт подтвердим аналитически:
{ f: (x - C)2 + y2 = 1, f'C: ( - 2(x - C) = 0} ⇒ y2 = 1.
Пример 2.
Уравнение (x - C)2 - y2 = 1 определяет семейство равнобочных гипербол с центрами на оси x и мнимой осью, направленной по оси y, соответственно, параллельно ей, рис.1.
{ f: (x - C)2 - y2 = 1, f'C: ( - 2(x - C) = 0} ⇒ y2 = - 1.
Исключение параметра C из системы уравнений даёт результат, но не предоставляет реального образа огибающей линии. Огибающая линия данного семейства гипербол состоит из двух мнимых прямых y = ±i, параллельных оси x. Эти прямые огибают семейство мнимых окружностей, каждая из которых сопровождает соответствующую гиперболу семейства. На комплексной плоскости предстаёт картина по примеру 1.
Пример 3.
Уравнение (y - 2C)2 = (x - C)3 определяет семейство полукубических парабол. Параболы семейства смещаются от начала координат в направлении 2:1 к оси x. Семейство парабол имеет дискриминантную кривую, в состав которой входит линия точек возврата.
{ f: (y - 2C)2 = (x - C)3, f'C: 4( - 2 C + y) = 3( - C + x)2} ⇒
(2x - y) (54x - 27y - 32) = 0, или, (y = 2x) (y = 2x - 32/27).
Уравнение огибающей семейства гипербол y = 2x - 1.185. Если полукубическая парабола просто смещается вдоль оси , то такое семейство парабол огибающей линии не имеет, а имеет только прямую, состоящую из точек возврата, совпадающую с осью x.
Пример 4.
Пусть дана гипербола x2/a2 - y2/b2 = 1. Однопараметрическое семейство гипербол образуется от вращения гиперболы вокруг её центра. Формулы поворота имеют вид: x = x cosφ + y sinφ, y = - x sinφ + y cosφ, где φ =0, 360°. Параметром семейства гипербол принимаем C = tgφ. Формулы поворота запишутся:
x = x/sqrt(1 + C2) + Cy/sqrt(1 + C2), y = - Cx/sqrt(1 + C2) + y/sqrt(1 + C2) .
Уравнение семейства гипербол f и первая производная по параметру примут следующую запись:
f: b2(x – Cy)2 – a2( - Cx + y)2 – a2b2(1 + C2) = 0,
f'C: 2b2y(x - Cy) + 2a2x( - Cx + y) - 2a2b2C = 0.
Исключение параметра C из системы данных уравнений даёт уравнение дискриминантной кривой, (x2 + y2)2 + 3x2 + 3y2 - 4 = 0, которое распадается на два сомножителя: (x2 + y2 = a2) (x2 + y2 = - b2).
Полученные уравнения определяют две окружности – действительную с радиусом a и мнимую с радиусом bi. Действительная окружность заметается действительной осью гиперболы, мнимая – мнимой осью гиперболы. Если семейство гипербол f рассматривать на комплексной плоскости на чертеже совмещённых эпюров, то обе окружности будут видимыми, рис. 2, они по понятным причинам изображены разным типом линий.
Пример 5.
Пусть дана гипербола x2/a2 - y2/b2 = 1, для которой параметры a и b связаны соотношением ab = k, где k есть некоторое постоянное число. Если величину a принять за параметр C семейства гипербол, то уравнение семейства гипербол получает запись:
f: k2x2 - C4y2 - k2C2 = 0.
f'C: - 4C3y2 - 2k2C = 0.
Исключение параметра C из системы уравнений {f, f'C} даёт уравнение дискриминантной кривой, которое в данном случае есть уравнение огибающей линии названного семейства линий: 4x2y2 + k2 = 0. Уравнение раскладывается на два сомножителя (xy = ki/2) (xy = - ki/2 ). Уравнение представляет две мнимые гиперболы, одна в нечётных, вторая в чётных квадрантах координатных осей, рис.3. Результат ещё не объясняет, но уже указывает на присутствие у семейства огибающей линии.
Если однопараметрическое семейство линий имеет мнимую огибающую, то эта линия огибает мнимые дополнения кривых данного семейства линий.
Подстановка y → yi в исходном уравнении переводит данные гиперболы в эллипсы. Эти эллипсы дополняют гиперболы семейства и сами образуют семейство. Семейство эллипсов в свою очередь имеет огибающую, рис. 3b. Той же подстановкой y → yi уравнение огибающей семейства гипербол переводится в уравнение огибающей семейства эллипсов: 4x2y2 - k2 = 0 ⇒ (xy = - k/2) (xy = k/2 ).
Пример 6.
Пусть дана некоторая окружность (R) с центром в начале координат. Центры окружностей однопараметрического семейства лежат на оси абсцисс на диаметре окружности (R). Диаметры окружностей семейства есть хорды данной окружности, параллельные оси ординат, рис.4. За параметр C окружностей семейства примем абсциссу центра. Тогда радиус окружности семейства будет r2 = R2 - C2. Уравнение семейства примет вид:
f: (x - C)2 + y2 = R2 - C2.
f'C: - 2(x - C) = - 2C.
Если из системы уравнений {f, f'C}, исключить параметр C, то получится уравнение огибающей линии:
x2/2R2 + y2/R2 = 1.
Огибающая рассматриваемого однопараметрического семейства окружностей есть эллипс с соотношением осей 1 : sqrt(2). Одна ось эллипса равна диаметру исходной окружности, вторая ось равна диагонали квадрата, описанного около исходной окружности. Круги кривизны в вершинах эллипса (M, 2R) и (1, r). Радиусы окружностей семейства варьируют от R до 0. Наименьшая окружность семейства, ещё касающаяся эллипса – это круг кривизны в вершине большой оси эллипса, т.е. окружности, касающиеся эллипса, варьируют от R до r. Окружности с центрами на отрезках 1R1 и 2R2 огибающего эллипса не касаются.
Здесь мы внесём одно существенное уточнение в определение по п.2, а именно:
если предложение «в каждой своей точке огибающая касается одной линии семейства» верно, то обратное предложение «каждая линия однопараметрического семейства касается огибающей» верно не всегда, как это часто и бывает с обратными предложениями.
Найденный эллипс (R, sqrt(2) R) появляется в ещё одной интересной конструкции, он является огибающей линией пучка мнимых окружностей с узловыми точками M1, M2 и нулевыми точками R1, R2. Окружности семейства этого примера являются носителями пучка мнимых окружностей, рис.4, [6, 7].
Анализ дискриминантной кривой показал, что не каждое однопараметрическое семейство линий имеет огибающую линию на действительной плоскости. Семейство линий может не иметь огибающей, огибающая может касаться не всех линий семейства и может быть мнимой, т.е. отсутствовать на реальной плоскости. Все эти случаи продемонстрированы на приведённых примерах и показаны на графиках.
а) Семейство гипербол в направлении не имеет огибающей линии. b) На совмещённых эпюрах каждая гипербола семейства сопровождается мнимой окружностью – семейство мнимых окружностей имеет огибающую линию, состоящую из двух параллельных прямых.
Огибающая специального семейства окружностей. Огибающий эллипс касается не всех окружностей семейства.
Бойков Алексей Александрович (29 февраля 2016 г. 22:43) |
Здравствуйте, Антон Георгиевич! Очень понравился ваш доклад, захотелось сразу на чем-нибудь попробовать. Интересно и для преподавателя, и для того, чтобы дать научную работу студенту. Спасибо! |
|
Гирш Антон Георгиевич (1 марта 2016 г. 22:12) |
Здравствуйте, Алексей Александрович. Спасибо за оценку, стараемся. Заметьте, тема комплексного в геометрии обсуждается мной с разных возможных сторон. Доношу простую мысль, что Евклидова и Псевдоевклидова геометрии неразрывно связаны. А со студентами - это хорошая идея, молодёж надо посвещать и приобщать. С уважением. А.Г. |
Тихонов-Бугров Дмитрий Евгеньевич (2 марта 2016 г. 0:21) |
Здравствуйте, Антон Георгиевич. Дублирую ответ на Ваш вопрос по Вольбергу. Его звали Овсей Аронович. С уважением, Тихонов-Бугров. |
|
Гирш Антон Георгиевич (2 марта 2016 г. 18:51) |
Здравствуйте, Дмитрий Евгеньевич. Большое спасибо за информацию. Я действительно делал несколько попыток гуглить, много новостей узнал об Вольберге: как он с парашютом прыгал, как с Ефимовым дружил и др. Но введение Ефимова к его книге тоже только О.А. Ничего личного, но хорошие и полезные книги написал, а часть его личности исчезла, спасибо Вам - восстановлена. С уважением. Антон Г. Гирш. |
|
Тихонов-Бугров Дмитрий Евгеньевич (3 марта 2016 г. 2:00) |
Здравствуйте, Антон Георгиевич. Очень трогает Ваше чуткое отношение к истории и людям науки. На Вольберга я вышел, собирая материал для статьи о маме. Она училась в Герценовском, была ученицей пушкиниста и краеведа Николая Павловича Анциферова. Среди людей, имевших отношение к Герценовскому институту обнаружил автора книги по начертательной геометрии и записал данные. Пригодилось. Спасибо. С уважением, Тихонов-Бугров. |
|
Гирш Антон Георгиевич (4 марта 2016 г. 20:57) |
Дмитрий Евгеньевич, вашей маме спасибо, что дневник вела. С уважением, Антон Г.Гирш. |