|
|
Волошинов Денис Вячеславович | (Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича) |
В статье рассматривается единый конструктивно-геометрический подход к решению задач о касании сфер произвольной размерности.
Как известно, задача о нахождении центра сферы, касательной к четырем заданным сферам, решается исходя из нахождения точки взаимного пересечения трех гиперболоидов, каждый из которых является геометрическим местом точек, равноудаленных от одной из пар сфер, участвующих в геометрической операции [1].
Рассмотрим альтернативный конструктивный способ решения той же задачи с использованием метода построения ортогональных сфер (гиперсфер). Реализованный в системе плоско-проекционных моделей, данный способ без каких-либо принципиальных сложностей распространяется на задачу нахождения гиперсферы, касательной к другим гиперсферам произвольной размерности без необходимости использования квадрик (или гиперквадрик), за исключением сфер (гиперсфер).
Принцип построения касательных сфер поясним на примере касания окружности к трем заданным окружностям на плоскости (задача Аполлония). В пространствах более высоких размерностей принцип выполняемого построения остается тем же.
Пусть на плоскости заданы сферы a, b и c (рис. 1). Построим окружность d, ортогональную к данным окружностям [2].
Рис.1
Найдем точки пересечения общих касательных, проведенных к каждой паре исходных сфер: ab для a и b; ac для a и c; bc для b и c. Как известно, точки пересечения касательных системы трех окружностей лежат на одной прямой axis. Построим теперь радикальные оси rda для окружностей a и d, rdb для b и d и rdc для c и d.
В пересечении с осью axis прямая rda образует точку pa, rdb – точку pb, rdс – точку pс. Опустим из точки pa касательные на окружность a, из pb на окружность b и из pc на окружность c.
С центрами в этих точках и радиусами, равными длинам соответственных касательных, строим окружности dpa, dpb и dpc. Из чертежа видно, что эти окружности ортогональны окружности d и прямой axis, а также соответственным окружностям a, b и c. Точки пересечения окружностей dpa и a, dpb и b, dpc и c позволяют построить искомые окружности k1 и k2, касательные к трем заданным окружностям a, b и c. Задача решена. Оставшиеся варианты касания окружностей строятся по той же схеме.
На чертеже также показаны точки центров найденных окружностей: ck1 для k1 и ck2 для k2. Из него также видно, что центры окружностей лежат на пересечении гипербол, являющихся геометрическими местами точек, равноудаленных от пар исходных сфер. Данные коники в описанном алгоритме не используются.
Перенос описанного метода на сферы пространств высших размерностей принципиальной трудности не составляет. Методы построения радикальных пространств, необходимых для решения задач в пространствах высшей размерности, подробно описаны в [2].
1. Хейфец А.Л. Геометрическая точность компьютерных алгоритмов конструктивных задач // Проблемы качества графической подготовки: традиции и инновации: Материалы VI международной научно-практической Интернет-конференции. Февраль - март 2016 г. Пермь, 2016
2. Волошинов Д.В. Геометрический факультатив. Чем "озадачить" заинтересованного студента? // Проблемы качества графической подготовки: традиции и инновации: Материалы VI международной научно-практической Интернет-конференции. Февраль - март 2016 г. Пермь, 2016
Хейфец Александр Львович (19 марта 2016 г. 22:35) |
Денис Вячеславович, нисколько не сомневаюсь в достоверности Вашего решения. Вывод, о том, задача Ферма является 3d аналогом задачи Аполлония, это истроическая постановка той задачи (Как пишет Шаль, П.Ферма предложили провести такую аналогию). Но я о другом. Уверен, что Ваше решение, как и решение Глаговского, и Н.А. Салькова (об этом решении скоро выйдет моя публикация), понять без специальной подготовки невозможно либо на спор, либо... Решения же 3d, приведенные в моей работе, просты, наглядны и понятны каждому. А вот могли бы Вы объяснить, почему в этой задаче шесть гиперов пересекаются в одной точке? Был бы признателен. Этот вывод я проверил экспериментално. Действительно так и есть. Но почему? С уважением. А.Л. Хейфец |