Назад Go Back

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В БЕТОННОЙ КОЛОННЕ

English version
Фото Воронова Ольга Сергеевна (Донбасская национальная академия строительства и архитектуры)
Фото Конопацкий Евгений Викторович (Донбасская национальная академия строительства и архитектуры)


Аннотация

В работе представлен способ геометрического моделирования и аналитического описания процесса распределения прочностных характеристик по всему объёму бетонной колонны.



Ключевые слова: БН-исчисление, геометрическая модель процесса, ядро зоны, прочностные характеристики, бетонная колонна, поверхность отклика

Введение

Важным этапом проведения исследований является обработка и анализ данных, полученных в результате эксперимента. В современном мире эти весьма трудоёмкие работы невозможны без использования современной вычислительной техники. Но для создания компьютерных моделей необходимо вначале иметь их аналитическое описание. Математический аппарат БН-исчисление (точечное исчисление Балюбы-Найдыша [1-3]) позволяет каждой графической операции поставить в соответствие аналитическую операцию. Таким образом, любой алгоритм построения геометрического объекта можно представить в аналитическом виде с последующей его реализацией на ЭВМ.

Для геометрического моделирования сложных многофакторных процессов (или явлений) особое значение в БН-исчислении имеет возможность обобщения на многомерное пространство, поскольку все точечные уравнения являются инвариантными относительно размерности пространства. Так в 2-мерном пространстве можно смоделировать зависимость от одного фактора, геометрическим отображением которой служит линия, как однопараметрическое множество точек. В 3-мерном пространстве в качестве геометрической модели можно использовать отсек поверхности, как двухпараметрическое множество точек, описывая тем самым 2-факторный процесс. Далее используя методы обобщения и аналогии можно моделировать в БН-исчислении геометрические объекты в зависимости от любого необходимого количества факторов, влияющих на состояние исследуемого объекта, процесса или явления. В качестве примера рассмотрим геометрическую модель процесса распределения прочностных характеристик в бетонной колонне.

Постановка задачи и исходные данные для моделирования

Во время строительства жилого дома были проведены исследования на монолитных бетонных фрагментах колонн, которые изготавливались непосредственно на строительной площадке одновременно с другими вертикальными конструкциями. Изготовленные опытные фрагменты колонн выдерживались около 1-2 месяца, транспортировались в лабораторию, и там проходили испытания и ультразвуковые исследования. Методика такого исследования включает в себя распиливание фрагментов колонн на опытные образцы – призмы (с размерами граней пропорциональными размерам стандартных образцов), с проведением дальнейших испытаний образцов и фрагментов на прочность и деформационные свойства полученного бетона. Колонна сечением 400х400 мм была разделена по высоте на пять одинаковых ярусов (рис. 1). В свою очередь каждый ярус колонны был дополнительно разбит на 25 зон (5х5) (рис. 2). Т.е. было испытано 125 бетонных призм. Причём все необходимые измерения относились к ядру зоны (центр тяжести призмы).

В результате проведения натурных экспериментальных исследований колонны [4, 5] были получены экспериментальные данные распределения прочностных характеристик тяжёлого бетона по объему вертикального монолитного элемента (табл. 1). Далее следует задача: на основе полученных данных, получить значения прочностных характеристик в любой точке бетонной колонны.

Модель процесса распределения прочностных характеристик в бетонной колонне

В данном случае процесс распределения прочностных характеристик в колонне зависит от трёх факторов положения. Значит, результатом моделирования будет гиперповерхность, принадлежащая 4-мерному пространству, представленная как 3-параметрическое множество точек. Сформируем отсек гиперповерхности с помощью метода подвижного симплекса [7]. Для этого сначала определим пять поверхностей отклика, соответствующих каждому из пяти ярусов. Учитывая симметричное расположение зон в каждом ярусе (рис. 2), определяем направляющие линии опорного контура 1-го яруса с помощью дуг кривых, проходящих через 5 наперед заданных точек:

Тогда точечное уравнение образующей поверхности отклика для 1-го яруса будет иметь следующий вид:

Остальные точечные уравнения 4-х поверхностей отклика, соответствующие 2-5 ярусам, определяются аналогичным образом. В уравнениях изменяются только индексы значений прочностных характеристик.

Далее зададим образующую гиперповерхности отклика, для которой опорными являются текущие точки образующих поверхностей отклика:

Таким образом, получим уравнение отсека гиперповерхности, проходящей через 125 наперед заданных точек, который определяется тремя параметрами: u, v и w. Следует отметить, что в данном случае для моделирования использовались однотипные уравнения дуги кривой 4-го порядка, проходящей через 5 наперед заданных точек. Точечное уравнение для 1 яруса можно было бы упростить, поскольку все значения прочностных характеристик являются одинаковыми (т.е. геометрически имеем не поверхность отклика, а плоскость). В нашем случае мы не стали этого делать, чтобы не потерять универсальность предложенного способа моделирования по отношению ко всем ярусам колонны.

Выводы

В работе предложена геометрическая модель и аналитическое описание процесса распределения прочностных характеристик в бетонной колонне, что позволяет не только определить все необходимые характеристики по всему объёму колонны, но и исследовать их с помощью методов математического анализа.

Список литературы

1. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. … докт. техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. – Макеевка: МИСИ, 1995. – 227 с.

2. Найдыш В.М. Алгебра БН-исчисления / В.М. Найдыш, И.Г. Балюба В.М. Верещага / Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. – К.: КНУБА, 2012. – Вип. 90. – С. 210-215.

3. Балюба И.Г. Точечное исчисление: [учебное пособие] / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. – Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. – 236 с.

4. Булавицкий М.С. Исследование неоднородности бетона вертикальных элементов монолитных зданий ультразвуковым импульсным методом / Булавицкий М.С. // Материалы V международной научной конференции молодых ученых, аспирантов, студентов (секция каф. «Бет. и железобет. констр.»). Вестник ДонНАСА 2006-4(60). - С. 169-171.

5. Лещинский А.М. Систематическая неоднородность прочности тяжелого бетона в сборных железобетонных изделиях, формуемых на виброплощадках, Дисс. на соиск. степ. к.т.н. - Киев, 1981. – 202 с.

6. Конопацький, Є.В. Геометричне моделювання алгебраїчних кривих та їх використання при конструюванні поверхонь у точковому численні Балюби-Найдиша. Дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / Е.В. Конопацький. – Мелітополь, 2012. – 164 с.

7. Давыденко, И.П. Конструирование поверхностей пространственных форм методом подвижного симплекса: Дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / И.П. Давыденко. – Макеевка, 2012. – 186 с.

Вопросы и комментарии к выступлению:


Фото
Хейфец Александр Львович
(25 марта 2017 г. 10:05)

Ольга Сергеевна, Евгений Викторович, здравствуйте.

Ваш доклад меня очень заинтересовал как экспериментатора. Работаю над прикладной геометрической задачей, в которой хотелось-бы найти экстремум (максимум) функции 5-7 переменных, причем, эти переменные являются взаимовлияющими, например,  в одном диапазоне первого параметра второй приводит к возрастанию функции отклика, в другом – к убыванию, в третьем – не оказывает влияния. То есть, налицо значительная нелинейность функции отклика. К тому же нет той красивой прямоугольной сетки для замеров, как в Вашем примере.

Пытался применить известный метод крутого восхождения по поверхности отклика (применение которого в 70-е годы было обязательным в кандидатских диссертациях) – остановила громоздкость эксперимента и опасение ввиду нелинейности выйти на местный максимум, но не на экстремум (как “самый максимальный максимум”). Поэтому пока нахожу экстремум интуитивным поиском.

В связи с этим хотелось бы изучить БН-исчисление как  метод поиска экстремума.   Но приведенная Вами литература в России недоступна. Как быть?

И еще, насколько детально разработана методика применения БН-исчисления  для экспериментального поиска экстремума. Реально ли достижение практических результатов на основе  этого метода? Ведь Вы в данном докладе показали только результат – найденное уравнение поверхности, а где познакомиться с “кухней” эксперимента.

С уважением. А.Л. Хейфец

Фото
Кокарева Яна Андреевна
(25 марта 2017 г. 20:13)

Прочитав доклад и вспомнив эту задачу, пришла в голову мысль: не хотите попробовать применить БН-исчисление к визуализации объемных данных? 

А в целом по самой задаче вопрос такой: насколько интерполяция дугами 4-го порядка соответствует действительному распределению прочностных характеристик в объеме? Пробовали другими кривыми интерполировать? Здесь, возможно, надо сравнивать с данными расчетов Ansys и подобных программ (или с натурными измерениями?).

Фото
Конопацкий Евгений Викторович
(27 марта 2017 г. 1:20)

Добрый вечер, уважаемые коллеги!

Извиняюсь, что не мог ответить раньше.

Яна Андреевна, а что ты понимаете под визуализацией объёмных данных? Интересная идея, но нужно будет почитать более подробно и разобраться.

Любая модель – это, по сути, гипотеза. Она не может быть абсолютной. Проверяется эта гипотеза сравнением модели с исходными данными. В данном случае в этом нет необходимости, поскольку условие прохождения дуги кривой через наперед заданные точки было заложено уже на стадии формирования самой дуги. Поэтому полученные таким образом модели имеют абсолютную устойчивость по отношению к исходным данным (они же натурные исследования). Вообще, по сравнению с исходными данными мы проверку делали, но это больше для проверки внимания. Бывает знак потеряется в уравнении или ещё какая нибудь механическая ошибка. А вот с  результатами, полученными в Ansys такую модель сравнивать не корректно. Здесь задача имеет другой смысл. Ansys, и другие подобные ему программы, построен на методе конечных элементов (тоже гипотеза, о том что напряженно-деформированное состояние описывается дифференциальным уравнением в частных производных). Численное решение таких уравнений сводится к определению матрицы жесткости и подразумевает линейный и нелинейный расчёты. Линейный расчёт делается очень быстро, но при этом часто даёт результат далёкий от действительности. В общем случае при расчёте конструкций на прочность и устойчивость нелинейность, обычно делят на четыре категории: геометрическая, физическая, конструктивная и генетическая. Для получения адекватных результатов в Ansys нужно учитывать как минимум физическую и генетическую нелинейность. Но вы же понимаете, что наши коллеги с кафедры строительных материалов не просто так испытывали эту колонну. Они пробовали различные добавки для улучшения прочностных характеристик бетона. Как мне такой состав заложить в Ansys, если он даже в натурном виде существует в единственном экземпляре? А уж его физические свойства тем более Ансису не известны. Их только следует изучить. Но есть и другая сторона медали. Нелинейный расчёт Ansys будет делать не один час на довольно мощном компьютере. Для примера, у Крысько А.А. нелинейный расчёт с учётом геометрической и конструктивной нелинейности занял больше суток на i5 второго поколения. И это при том, что конструктивная нелинейность, по сути, была нами задана вручную. А предложенную нами модель можно за пол часа обсчитать на калькуляторе!

Другими дугами кривых тоже интерполировали. Иван Григорьевич решил своим методом, я другим, но в обоих случаях использовалась аффинная система координат для координации точек каждого яруса колонны, пользоваться которой инженеру не всегда легко. В данном случае можно пользоваться обычной декартовой системой координат. К тому же данный подход является более универсальным, т.к. для построения модели несколько раз используется одно и тоже уравнение, только с разными исходными данными, формируя тем самым последовательность точечных уравнений.

 

 

 

 

Фото
Конопацкий Евгений Викторович
(27 марта 2017 г. 2:19)

Уважаемый Александр Львович!

Спасибо за ваш отзыв.

На данный момент БН-исчисление находится на стадии становления. Ещё не всё в нем отработано и исследовано, но с решением каждой практической задачи, получением каждого уравнения мы расширяем его возможности и сферы практического использования. Вообще в БН-исчислении можно моделировать функции с любым количеством переменных, потом искать их экстремум. Единственным условием является необходимое количество экспериментальных данных. При этом план может быть любым. Вообще задача решена в общем случае для криволинейного плана, а в примере с колонной получился частный случай. Но эти же уравнения можно использовать и для криволинейного плана. Сетка тоже может быть абсолютно любая, не обязательно прямоугольная. По определению экстремальных точек у нас разработаны два алгоритма. Один из них опробован на специфическом 3-факторном процессе, который был сведен к 2-факторному. Ссылка на статью: http://donnasa.ru/publish_house/journals/spgs/2016-2/05_bumaga_bratchun_konopatskiy.pdf  О построении моделей можно ещё почитать в статьях и в диссертации моего аспиранта Бумаги А.И. Если хотите могу сбросить по электронной почте.

С точки зрения решения задачи, принципиального отличия между 2 и 7 переменными я не вижу. Поэтому и вашу задачу тоже можно решить, если будет достаточное количество экспериментальных данных. Посмотреть бы таблицу с исходными данными.  Здесь самое главное правильно сформировать геометрическую схему. В примере с колонной мы её приводить не стали, но если вкратце, то  на рис. 2 дан план, для которого строится поверхность отклика. Эта же процедура повторяется для каждого яруса. Получаем 5 поверхностей отклика для каждого яруса, потом их объединяем в одну гиперповерхность отклика. Основная идея заключается в том, что любой геометрический объект можно представить как организованное множество точек (отсюда и первое название – точечное исчисление, которое, впоследствии, стало БН). Тогда задача сводится к аналитическому описанию объекта, который проход через наперед заданные точки. Если хотите, давайте совместно поработаем над вашей моделью.

А чем вас пугает местный максимум? Почему бы не перебрать все местные максимумы и выбрать из них самый максимальный? Главное корректно составить геометрическую схему, а потом можно в Maple за пол часа написать программку и пусть она считает.

С уважением, Конопацкий Е.В.

Фото
Конопацкий Евгений Викторович
(27 марта 2017 г. 9:48)

Забыл, что по требованиям МОН диссертация должна быть выложена на сайте диссертационного совета. Вот ссылка на диссертацию Бумаги А.И.: http://donnasa.ru/upload/files/dissertation_bumaga.pdf

Фото
Хейфец Александр Львович
(27 марта 2017 г. 11:07)

Евгений Викторович, и Вам благодарен за обстоятельный ответ и ссылку на диссертацию по теме. По мере готовности матрицы эксперимента, возможно, обращусь к Вам, учитывая предложение о сотрудничестве.

С уважением. А.Л. Хейфец

Фото
Конопацкий Евгений Викторович
(27 марта 2017 г. 11:17)

Александр Львович, для связи можно использовать почту: e.v.konopatskiy@mail.ru

С уважением, Конопацкий Е.В.

 

Фото
Кокарева Яна Андреевна
(27 марта 2017 г. 13:24)

Евгений Викторович, я имела в виду, сравнивали вы полученную модель распределения свойств по объему с какими-то стандартными? наверняка же есть какие-то модели (а может даже и математические), где говорится "с каждым метром высоты и 20 сантиметрами глубины такая-то характеристика в стандартных образцах марки бетона ХХ должна изменяться на столько-то процентов" (что-то типа этого)? А то, что для каждой конкретной колонны свои будут конкретные значения величин в зависимости от состава, его качества и т.д., это не подлежит сомнению.

И, конечно, самый большой вопрос в увеличении количества точек и ярусов: при этом увеличивается порядок кривой. Или приходится применять сплайн, состыковывая куски. Как известно, экспериментальные данные априори не могут быть абсолютно точными. Поэтому и применяют обычно к ним аппроксимацию, а не интерполяцию. Вот я и спросила про применение других кривых (только не пойми мои слова привратно: сам процесс конструирования гиперповерхности таким способом я не подвергаю сомнению или критике).

А про объемные данные: в качестве четвертой координатной оси чаще всего выступает цвет. Вот я и подумала, что можно использовать выведенные зависимости для определения цвета каждой точки заполняемого объема. Но здесь я и сама не спец, просто недавно пару интересных статей читала.

Я.А.

Фото
Конопацкий Евгений Викторович
(27 марта 2017 г. 18:09)

Яна, за идею с цветом спасибо. Я поищу информацию. Оля Воронова как раз архитектор, возможно ей эта тематика будет ближе, чем то что я предложил по теории тепломассообмена.

А вот с терминологией я не могу с тобой до конца согласиться. У нас в модели есть и аппроксимация и интерполяция. С моей точки зрения, я аппроксимировал точки, полученные на основе эксперимента, гиперповерхностью. А уже то, что теперь есть возможность посчитать промежуточные значения между ядрами зоны - это уже интерполяция. Т.е. наша модель включает и то, и другое.

Согласен, что экспериментальные данные не могут быть абсолютно точными, но в данном случае за воспроизводимость результатов экспериментальных данных отвечают наши коллеги со строительных материалов. Мы работаем с теми данными, которые нам предоставили. А увеличение количества точек и ярусов – это экономические затраты на проведение эксперимента. Опять же, сколько точек и ярусов было ими получено, столько мы и использовали. Конечно, чем их больше будет, тем точнее будет модель, но это уже зависит не от нас.

С порядком кривой тоже согласен. При увеличении количества экспериментальных точек порядок кривой растёт, но здесь тоже есть разные варианты. Например, в данном случае с колонной, можно было бы использовать в качестве направляющих для построения поверхности отклика на каждом ярусе дуги кривой 2-го порядка, которые также проходят через 5 наперед заданных точек, но модель потеряла бы свою универсальность. При этом в порядке кривой был бы выигрыш, а вычислений наоборот было бы больше, потому что к2п плоская, а плоскость определяют 3 точки, значит, ещё 2 точки пришлось бы определять в симплексе этих трёх точек, а это ведет к вычислению ориентированных площадей треугольников. Всё зависит от конкретной задачи.


Назад Go Back