Назад Go Back

ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА И АЛГОРИТМЫ В ПРЕПОДАВАНИИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Жирных Борис Георгиевич (Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана)
Максутова Раися Абдрахмановна (Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана)
Фото Полубинская Людмила Георгиевна (Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана)
Хуснетдинов Тимур Рустямович (Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана)


Аннотация

Статья посвящена обсуждению вопросов, связанных с методикой преподавания начертательной геометрии в условиях нарастающей интенсификации учебного процесса. В условиях очень низкой геометро-графической подготовки выпускников средней школы с одной стороны и сокращением времени на традиционные формы преподавания (курс лекций и практические занятия) с другой, формируется формализованный подход, понятийное представление о науке не формируется.



Ключевые слова: начертательная геометрия, алгоритмы, формальные методы, понятийное мышление

Идеи, в которые всё глубже погружается сообщество геометров, по нашему мнению, наносят непоправимый ущерб инженерному образованию. Эти идеи не только формируют внутреннее содержание учебников [1, 2], но выносятся на их обложки как новое видение проблем и способов их решения.

Для преподавателей ВТУЗов, читающих курсы Начертательная геометрия и инженерная графика.

Цитата с обложки учебника [3]:

«Глубоко формализованный (!?) математический аппарат, используемый начертательной геометрией (Н.Г.), позволяет рассматривать (?) ортогональные чертежи как некоторые плоские эквиваленты пространства. При таком подходе к изучению Н.Г. на первый план выходит задача по изучению формальных методов графических построений. (И планиметрические построения, и построения любых проекций имеют в основе своей теоремы геометрии и стереометрии, а не формализованные логические конструкции!) А это уже не требует наличия у обучаемых пространственного мышления. (!?)

В книге решение задач Н.Г. помимо традиционного метода изложения, рассчитанного на студентов, способных представить в пространстве абстрактные геометрические объекты, дано в виде определённого алгоритма, основанного на формальной логике. Такой подход ставит в равное положение студентов с различным уровнем пространственного мышления. (!?)

Более того, формирование навыков формализованного решения задач во многом способствует будущему освоению средств компьютерной графики, базирующейся на структурированном описании геометрических объектов» [2].

Нет ничего странного и предосудительного в том, что люди, обладающие определённым объёмом знаний в какой-то области, стремятся их систематизировать, структурировать, классифицировать, определить логические зависимости между отдельными разделами, алгоритмизировать решение однотипных задач и т.д. Но этот процесс начинается с понимания сути предмета и обычно идёт естественным путём накопления логических связей и зависимостей, выливаясь, в конечном итоге, в структурные схемы и алгоритмы, но никак не в набор формальных действий.

Более того, термин «алгоритм» необъяснимым образом изменяет свой смысл. Алгоритмом теперь многие авторы называют последовательность примитивных графических действий, которая в итоге вырождается в какую-то инструкцию по решению типовых задач.

В процессе преподавания таких дисциплин как Инженерная графика, а в особенности - раздела Начертательная геометрия, мы сталкиваемся с постоянным сокращением времени на изучение этих дисциплин. В связи с этим мы вынуждены работать в режиме нарастающей интенсификации учебного процесса. Она проявляется во всё большей иллюстративности курса («компьютерные лекции», презентации, структурные схемы, рабочие тетради, раздаточные материалы и т.д.), а так же со стремлением дать студентам готовые алгоритмы решения задач. Т. е. в результате формируется только примитивное мышление, нацеленное на запоминание, понятийная составляющая учебного процесса пропадает [2].

Всё чаще и чаще разработчики учебных планов и программ стремятся представить содержательную часть курса в форме прямой линии, где отслеживается жесткая последовательность изложения тем и разделов:

-Нельзя, плоскость ещё «не проходили»!

-Нельзя, еще не дошли до алгоритма пересечения прямой с плоскостью!

-Нельзя, до поверхностей ещё не дошли! т. д.

Самую красивую, наглядную, воспринимаемую не только визуально, глазами, но и, что главное – умом, логическим мышлением, внутренним зрением, часть математики стремятся препарировать, разложить по клеточкам схем, уложить на прокрустово ложе метрических или позиционных задач [1, 2, 4]. «Он алгеброй гармонию проверил». Н.Г. вообще не выстраивается в линейную структуру, что ярчайшим образом подтверждается не только разнообразием способов решения одной и той же задачи, но и разнообразием логических связок при выборе пути решения, анализе результатов решения. Вообще, ни одна задача просто не может быть отнесена только к одному из двух типов задач, на что указывалось автору – родоначальнику этого деления [4]. Более того, первая половина учебников [1, 4] посвящена интересным и важным вопросам, но общим вопросам, а конкретные, частные вопросы, на которых и держится понятийная составляющая курса, начинаются с середины учебника. И ещё вопрос - если лекционная часть курса базируется на таком учебнике, то в чём состоит, чем наполнена программа практических занятий в 1-ой половине семестра?

С другой стороны: «Зачем так много времени тратить на точку, прямую, плоскость? Ведь всё так легко и быстро решается с помощью преобразований!»

Но ведь никакие преобразования не могут быть выполнены без понимания вообще законов 3D пространства, без понимания, без знания и грамотного использования сведений из геометрии и стереометрии. В противном случае механически выполняются формализованные графические действия. И любой простой вопрос: «Зачем…?», «Почему…?», вызывает у студента желание быстренько стереть начерченное, или сказать: «А нас так учили».

«Он не может пересказать своими словами только что выученное правило или увидеть, какие формулы в каких задачах надо использовать, пока не превратит их в понятия. Это становится возможным только по мере их употребления. Когда ученик, решая задачи, выполняя различные упражнения, пользуется формулами, правилами, то тем самым он устанавливает их связи с другими понятиями, очерчивает область применения, конкретизирует их значение, символы и слова наполняются смыслом. Только постепенно, по мере употребления, формулы или правила, соединяясь с личным, внутренним опытом ребенка, будут наполняться конкретным содержанием, становиться понятными, используемыми произвольно и правильно, а не просто воспроизводится на память» [3].

И, обратившись к «несовременным» учебникам [5], задачникам [6] в самом начале толстой книги (изучены только темы: точка; взаимное положение точки и прямой, двух прямых) в главе VΙΙΙ «Длина отрезка и углы наклона прямой к плоскостям проекций» получаем задачи (рис. 1):

И всё это до темы Проецирование углов, до поверхностей, до алгоритма - как опустить перпендикуляр на прямую общего положения.

Чуть-чуть продвинемся дальше. Тема – проекции прямого угла и задача (рис. 2).

Если перефразировать условие задачи из рис. 2 а, например, – из точки A опустить перпендикуляр на прямую b, или – определить расстояние от точки A до прямой b, задача воспринимается студентами как совершенно новая, а главное – непонятная. Т.е. какие «междисциплинарные связи»? Связь с элементарной геометрией из программы средней школы утеряна. А выученные к этому времени теорема о проецировании прямого угла и правило определения натуральной величины отрезка не наполнены внутренним содержанием и поэтому не могут быть реализованы даже в решении такой простой задачи.

Рассмотрим рис. 2б.

Сколько времени уходит на то, чтобы студенты вспомнили и перечислили свойства квадрата!

Сколько времени уходит на то, чтобы они выбрали из перечисленных свойств те, что нужны для решения задачи!

И в заключение, сколько времени уйдёт на то, чтобы проверить правильность решения и сформулировать те свойства, на которые опирается эта проверка!

«Если понятийное мышление не сформировано, ребенок может образно представлять отдельные научные факты и положения, но последовательной логики и системы в изучаемых предметах он не видит, и поэтому ему в основном приходится заучивать излагаемую на уроках и в книгах информацию. Однако никакую науку выучить невозможно» [3]. Теперь это состояние из школы пришло в ВУЗы. И первокурсник уверенно «цитирует» заученное наизусть: «Проецируем прямой угол на фронтальную проекцию фронтали».

Рассмотрим эту ситуацию на примере темы «Взаимное положение прямой и плоскости». Вопросы взаимного положения прямой и плоскости какое-то время тому назад рассматривались в курсе Н.Г. просто как набор задач с предопределённым решением. Позднее все задачи были разделены на 2 группы - позиционные и метрические [1, 2, 4], где позиционные задачи имели опять предопределённое решение.

Реже в условии задачи формулировался вопрос:

Для решения любой из предложенных задач необходимо провести анализ условия, в том числе графической части его. Затем провести исследование – определение теоретических вопросов, непосредственно связанных с поставленной задачей; составить план решения - логически определенную последовательность действий в пространстве даже если задача плоская. Именно эта последовательность при решении однотипных задач становится алгоритмом. И в заключение – проверить решение, доказать его достоверность.

В реальности при недостатке времени, при наличии рабочих тетрадей и раздаточных материалов и студенты, и преподаватели стремятся скорее начать «решать задачу», т.е. – чертить линии. В результате преподаватель может что-то говорить, а студенты в это время чертят практически случайные линии, которые потом стирают и «перерисовывают» с доски «правильные», или просто ждут, когда можно будет срисовать с доски то, что нужно. Из этой ситуации вырастает требование: «Выучить алгоритм построения точки пересечения прямой с плоскостью!» Более того, выясняется, что стандартную иллюстрацию к этому алгоритму студент просто не видит. (Можно вернуться к вопросам иллюстративности и наглядности в курсе И.Г. вообще и Н.Г. в частности).

Решим задачу – Определить взаимное положение прямой и плоскости (рис. 3).

Но этот анализ опять опирается на цепочку последовательных высказываний, логически связанных друг с другом, вытекающих одно из другого. И эти высказывания нужно понять, осмысленно сформулировать и проговорить, а на это нужно время и неослабевающее внимание к происходящему в аудитории, как со стороны преподавателя, так и со стороны студентов.

Теперь можно обратить внимание на то, что совпадающие фронтальные проекции прямых свидетельствуют об их компланарности и о том, что плоскость, которой они принадлежат, является проецирующей. Вот только теперь можно сформулировать 3 пункта алгоритма.

Графическая часть решения состоит всего из 3-х прямых, для построения которых достаточно 3-х секунд. А содержательная часть решения находится в области наук Геометрия, Стереометрия и Начертательная геометрия и основана на логических связях и зависимостях. И наша задача научить студентов не проводить 3 прямых, а эти логические связи устанавливать и использовать, т. е. в основе всего лежит понятийное мышление [3].

Кроме того, в решении задачи огромную роль играет графическая часть условия. И очень часто небрежно выполненное на доске условие задачи (или перенесённое студентом с доски в тетрадь) приводит к серьёзному сбою в процессе изучения данного раздела курса.

Задача сформулирована: Построить точку пересечения прямой с плоскостью (рис. 4).

И не важно, выполнял ли студент графические действия согласно выученному алгоритму, наносил ли соответствующие обозначения, если ожидаемая точка «сползла» с листа или с доски, или горизонтальная проекция точки оказалась выше оси x. Эта ситуация нарушает привычный формализованный ритм ведения занятия и нуждается в анализе, т.е. понимании сути графических действий в процессе решения задачи и в анализе результатов решения. А для этого опять нужно время и нацеленность всех участников учебного процесса на достижение понимания изучаемого курса.

Нам дана установка: «сохранить контингент»! Но как сохранить интеллект?

Вообще усиленная алгоритмизация курса с целью ускорить изучение и освоение курса Н.Г. проявляется и дальше, вплоть до составления экзаменационных билетов, где студенту навязывается способ решения задачи, иногда даже нерациональный. Например, построить геометрическую фигуру (равносторонний треугольник, квадрат, трапецию и т.д.), лежащую в плоскости общего положения, используя теоремы стереометрии и понятия - геометрические места. Решать четко сформулированные метрические или позиционные задачи указанным способом и никак иначе.

Студента не готовят к ответственному подходу и самостоятельному решению поставленной задачи, к поиску рационального «красивого» решения. Необходимо показать освоение алгоритмов, основных приёмов решения базовых задач, не более того.

«Если понятийные структуры не сформировались, то человек неадекватно представляет суть ситуации, с которой имеет дело, не осознает нелогичности собственных рассуждений и умозаключений, не считает нужным проверять или обосновывать выводы, в итоге принимает решения, которые не приводят к желаемому результату. Однако причиной неудач он считает неблагоприятное стечение обстоятельств, нерадивость сотрудников, происки конкурентов или просто невезение, но сомнений в логике собственных умозаключений у него не возникает.

Цель образования состоит не в том, чтобы дать детям конкретные знания, а в том, чтобы научить их думать. Сам процесс обучения не должен заключаться в запоминании различных полезных сведений и фактов, не в отработке практических навыков, а способствовать развитию понятийного мышления.

Если в процессе обучения у подростка не формируется понятийное мышление, то сохраняется «детская» неосознанность собственных интеллектуальных операций и невозможность их произвольного использования. Он, заучив правила и формулы, не видит область их применения, не умеет ими пользоваться. Также он затрудняется в переносе интеллектуальных навыков в аналогичные, а тем более в частично трансформированные ситуации, т.к. не понимает, что эти ситуации аналогичны, не может преобразовать используемые им алгоритмы, объяснить или доказать правильность выбранного способа действий и полученного результата, не замечает нелогичности, ошибочности собственных выводов, противоречия в высказываниях. Имеющиеся у молодого человека теоретические знания оказываются несвязанными с его практической деятельностью, пониманием текущих событий, не помогают в решении жизненных или учебных задач. При этом большинство теоретических знаний поверхностны, схематичны, не представляют целостной системы, подросток не видит внутреннюю логику изучаемых наук, уроки кажутся непонятными и неинтересными. В дальнейшем для такого индивида возможно овладение только узкой специализацией в конкретной сфере деятельности, когда работа не требует использования знаний из смежных областей» [3].

Статья, цитата из которой приведена выше, написана на базе многолетних исследований, проводимых автором – кандидатом психологических наук - в средней школе. Все выводы её абсолютно укладываются в процесс преподавания такой специфической науки как начертательная геометрия. И наша задача вернуть Геометрии – праматери всех разделов математики - её законное место или хотя бы не потворствовать её уничтожению алгоритмизацией, формализацией и компьютеризацией.

Список литературы

  1. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. Учебник для ВУЗов. – 3-е изд. – М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. 340 с.
  2. Талалай П.Г. Начертательная геометрия на примерах. – БХВ-Петербург, 2011. 288с.
  3. Ясюкова Л.А. Реформирование образования: цели и проблемы// Школьные технологии. – 2011. - № 5. С. 7-19.
  4. Фролов С.А. Начертательная геометрия. Учебник для ВТУЗов. 2-е изд. – М.: Машиностроение, 1983. 240 с.
  5. Гордон В.О. и Семенцов – Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. Учеб. пособие - 23-е изд. перераб. - М.: Наука, 1988. – 272 с.
  6. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии. Изд. 9-е, стереотип. Учебное пособие для студентов ВУЗов. М.: Машиностроение, 1978. 445 с. С ил.

Рисунки к докладу

Рис. 1
Рис. 1

Начальные задачи




Рис. 2
Рис. 2

Проекции прямого угла




Рис. 3
Рис. 3

Взаимное положение прямой и плоскости




Рис. 4
Рис. 4

Решение задачи на определение точки пересечения прямой с плоскостью




Вопросы и комментарии к выступлению:


Фото
Селиверстов Александр Владиславович
(9 марта 2017 г. 13:44)

Здравствуйте, Борис Георгиевич, Раися Абдрахмановна, Людмила Георгиевна  и Тимур Рустямович.
Я во многом согласен с вами. Очень жаль, что графической подготовки нет в школе.
Но изучение и создание алгоритмов отнюдь не противоречат развитию интеллекта (надеюсь, что так). И при разумном подходе изучение алгоритмов не вырождается в подобие работы на конвейере. Алгоритм - не синоним уничтожению. И алгоритмы всегда были частью математики.
Удивляюсь вашей фразе: "Более того, термин «алгоритм» необъяснимым образом изменяет свой смысл. Алгоритмом теперь многие авторы называют последовательность примитивных графических действий, которая в итоге вырождается в какую-то инструкцию по решению типовых задач."
А как надо определять алгоритм? Можно излишне формально, как программу для машины Тьюринга. Можно менее формально, что отражено в сочетаниях "алгоритм Евклида" или "алгоритм построения сечений". Какова ваша точка зрения? Вы полагаете, что алгоритм - это зло?
Наконец, позвольте напомнить строки Максима Богдановича:
Чаму у нас акамянеласці
"Духоўнай страваю" завуць?
Іх ужываць – не хопіць смеласці!
Ў музеум іх няхай нясуць!
(Надеюсь, белорусский язык понятен без перевода.)

Фото
Тихонов-Бугров Дмитрий Евгеньевич
(9 марта 2017 г. 14:24)

Уважаемые коллеги! Рад появлению Бауманцев на конференции. У нас с вами много общего. Полностью согласен с вашими аргументами. Пытаемся работать именно в данном ключе. Наилучшие пожелания от коллег родственной кафедры Военмеха.

   Тихонов-Бугров. 

Фото
Селиверстов Александр Владиславович
(9 марта 2017 г. 17:00)

Уважаемый Дмитрий Евгеньевич!
Вы написали в комментарии к этому докладу, что "Полностью согласны".
Однако Вас не удивляет, что на Военмехе Мария Валентиновна Ракитская применяет алгоритм решения изобретательских задач (мне очень понравился её доклад)? Ведь упомянутые там приёмы и принципы - это лишь "примитивные действия", последовательность которых составляет "какую-то инструкцию"?
Вы полагаете, что на Военмехе алгоритмы нужны, в МГТУ нет?
Или Вы были полностью согласны, даже не читая доклад, не обдумывая сказанное?
Но тогда не удивляетесь отпискам властей!
Логика и алгоритм не должны становиться ругательствами. Если же авторы доклада хотели сказать одно, а получилось другое, то тем хуже для людей с многолетней практикой в начертательной геометрии, развивающей интеллект (я с этим согласен).

Фото
Тихонов-Бугров Дмитрий Евгеньевич
(9 марта 2017 г. 19:09)

Уважаемый Александр Владиславович! Я очень обрадовался тому, что Вы согласны с тем, что начертательная геометрия развивает интеллект. А то мне показалось, что вы активно поддерживаете её противников в некоторых комментариях. Ракитская применяет теорию решения изобретательских задач, где нет жёстких путей (алгоритмов) решения, а есть огромное разнообразие подходов с ответвлениями. Я поддержал коллег в том смысле, что следует избегать жёстких однообразных подходов к решениям задач, способствовать тому, чтобы студенты искали оригинальные подходы к решению. Если реализацию таких решений называть алгоритмом, то я  - за. А уж логику представлять ругательством никто не собирается. 

Фото
Селиверстов Александр Владиславович
(9 марта 2017 г. 21:16)

Дмитрий Евгеньевич!
Тогда я согласен с Вами: следует избегать жёстких однообразных подходов к решениям задач, надо искать оригинальные подходы к решению. В этом нет противоречия с моими комментариями. А к докладу Людмилы Валерьевны и Ольги Петровны уже писал о пользе возобновления преподавания черчения в школе. Из-за недостатка времени преподавание НГ в большинстве вузов будет вытесняться или уже исчезло. Также уходит преподавание некоторых других разделов математики. Если Военмех позволяет выделить часы для НГ без ущерба для других дисциплин, то хорошо. У таких преподавателей, как Мария Валентиновна, эти часы не пропадут даром! Но если выбрать одно из двух (либо НГ, либо 3D), то выбор будет сделан в пользу 3D. И коллеги пишут, что делу этот выбор не мешает. Однако же Наталья Евгеньевна предлагает сохранить "разделы (НГ), связанные с основами проецирования". И Людмила Анатольевна пишет о задачах по НГ, которые бережёт для внуков.
С уважением, А.В. Селиверстов

Фото
Кокарева Яна Андреевна
(10 марта 2017 г. 12:20)

Здравствуйте, уважаемые коллеги. Я и согласна, и не согласна с Вами. Согласна с тем, что нельзя давать студентам просто алгоритм, который они должны вызубрить. А не согласна в том, что алгоритмы в принципе не нужны. Пример. На занятии мы расмотрели задачу, достаточно объемную, с множеством линий построения. Все объяснили. На занятии все всё вроде понимали. Пришли домой, открыли через неделю задачу. И всё. На этом воспоминания, откуда какая линия взялась, хотя в целом вроде и помнится ("тут помню, тут не помню"), закончились. И в этом случае будет неплохо, если у них есть подсказка, как же в целом проводилось решение (нет, не просто набор фраз и знаков "поднимем из точки А1 перпендикулярно линию связи до пересечения..." и т.п., а сама суть метода). Я - за осмысленные алгоритмы.

С уважением, Кокарева Я.А.

Фото
Полубинская Людмила Георгиевна
(12 марта 2017 г. 18:18)

Уважаемые коллеги!
 К сожалению, при публикации статьи рисунки оказались извлечёнными из текста и

перемещёнными в конец статьи. При этом нарушилась логика изложения.  Особенно это

заметно на Рис.3., т.к. на них представлены этапы решения - анализ, исследование, план

решения, анализ результата решения. Примите, пожалуйста, наши извинения.
 Теперь по существу вопроса.
Конечно же. мы никак не против алгоритмов! И Логика (с большой буквы) для нас не

ругательное слово, а основа всего, в том числе математики вообще и Н.Г. в частности. Наша

задача - простите за выспренность - открыть ворота в 3D пространство, расширить его перед

внутренним взором, помочь применять законы геометрии -  планиметрии и стереометрии,

изученные в школе, - в этом пространстве. Помочь выстраивать длинные логические цепочки. И

это мышление активизируется с помощью и посредством плоского чертежа. Один мой студент

однажды воскликнул: "Я понял! Задачу нужно сначала решить в уме!" Готова в каждой

аудитории повесить этот радостный возглас.
 3D пространство и законы его формируются в мозгу человека. И при использовании

3D компьютерных технологий 3D пространство тоже в мозгу, а не на плоскости экрана дисплея

и не за ней.
 - "Я не могу себе этого представить!"
 - "Чего? Прямой, висящей над полом перед противоположной стеной?"
 Уважаемая Яна Андреевна! Совершенно с Вами согласна! Проблема в отсутствии

плана решения, обдуманного (и желательно - записанного) до начала работы карандашом

(Рис.3.). "...(нет, не просто набор фраз и знаков "поднимем из точки А1 перпендикулярно линию

связи до пересечения..." и т.п., а сама суть метода). Я - за осмысленные алгоритмы...". Мы тоже!

В сложной задаче план формируется из логической последовательности более мелких и

простых задач, каждая из которых - тоже логическая последовательность ещё более мелких и

простых задач, а там недалеко и до "поднимем из точки А1 перпендикулярно линию связи до

пересечения..." Вот именно это последнее стали представлять в качестве алгоритма.
 Спасибо, Дмитрий Евгеньевич! Спасибо за единомыслие и поддержку!
 Уважаемый Александр Владиславович! Я надеюсь наша позиция по вопросу

алгоритмов прояснилась. Спасибо за интерес и внимание к нашей работе.
P.S. Можно начать дискуссию на новую тему "Использование аналогий в преподавании Н.Г. и

И.Г." Простите мою поэтическую ущербность - белорусский язык я поняла (даже проверила

переводом), я не поняла аналогии :-(

Фото
Селиверстов Александр Владиславович
(12 марта 2017 г. 23:54)

Здравствуйте, Людмила Георгиевна!
Рад, что Вы не считаете логику основой чуждого мировоззрения. Поэтому уже нет нужды искать аналогию. Но без Ваших объяснений заметить это было трудно, хотя несколько раз перечитал весь текст, прежде чем писать комментарий. Возможно, это  лишь мои трудности.
С уважением, А.В. Селиверстов


Назад Go Back