ПРИКЛАДНАЯ МНОГОМЕРНАЯ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕГОДНЯ И ВЧЕРА

Рассмотрены исторические примеры использования графических методов в кристаллографии, химии и оптимизации. Обсуждается применение чертежа Радищева. Также обсуждаются другие близкие задачи.

Цель этой работы – привлечь внимание к истории многомерной начертательной геометрии и описать некоторые прикладные задачи, которые стимулировали развитие графических методов. История классической начертательной геометрии кратко описана в обзорах [4, 6]. Уровень преподавания геометрии 1930-х годов можно оценить по статье Н.В. Наумович из Ростова-на-Дону [15].

Пространства размерности выше трёх рассматривал ещё Жозеф Луи Лагранж [20, стр. 4], но в начале XX века интерес к четырёхмерной геометрии значительно возрастает. Исследование многомерных решёток и многогранников возникло на стыке кристаллографии и теории чисел, начиная с работ Евграфа Степановича Фёдорова, Германа Минковского и Георгия Феодосьевича Вороного. Интересным продолжением этих работ служит изучение квазикристаллов [3], структуру которых можно описать проекцией трёхмерной гранёной гиперповерхности, вложенной в четырёхмерное пространство. Наглядным аналогом этой конструкции служит бесконечная симметричная невыпуклая гранёная поверхность, составленная из равных правильных пятиугольников.

Большой вклад в развитие четырёхмерной геометрии сделал Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской. В частности, им доказано обобщение теоремы Паскаля [14]. Один из подходов к изображению четырёхмерного пространства основан на применении гиперэпюра Наумович [16, стр. 198]. В этом случае рассматривают проекции не на плоскости, а на две ортогональные гиперплоскости. В свою очередь изображение таких проекций может быть выполнено разными способами. Н.В. Наумович работала вместе с Д.Д. Мордухай-Болтовским; результаты были представлены на семинаре Н.Ф. Четверухина [13]. Применение гиперэпюра Наумович для построения в трёхмерном пространстве конуса второго порядка по двум касательным плоскостям и четырём точкам рассмотрено в [16, стр. 202].

Важный инструмент изображения многомерных пространств – это чертёж, который Вячеслав Петрович Радищев разработал для описания многокомпонентных систем в неорганической химии. Например, об описании пятикомпонентной системы было доложено на заседании Геометрической бригады ИОНХ АН СССР 11 апреля 1937 года [17]. Ранее в 1935 году в этом институте была создана Геометрическая бригада, которая занималась систематическим применением геометрических методов к изучению химического равновесия [18, стр. 74]. Существовали и другие способы изображения многокомпонентных систем: метод Е.С. Федорова [19], метод спиральных координат В.Я. Аносова, метод В.Н. Лодочникова и метод 60-градусных координат В.И. Николаева [17]. С многомерной геометрией тесно связана номография [7, 8, 9, 20].

Современное описание чертежа Радищева для изображения четырёхмерного пространства дано в книге [16, стр. 203]. Фиксируем систему координат x₁, x₂, x₃, x₄ и рассмотрим три ортогональные проекции на координатные плоскости (x₁, x₄), (x₂, x₄) и (x₃, x₄), проходящие через ось x₄. Поворотом на 90 градусов вокруг оси x₄, проекции на плоскости (x₂, x₄) и (x₃, x₄) совмещаются с плоскостью (x₁, x₄), принимаемой за плоскость чертежа Радищева. Точка четырёхмерного пространства изображается на чертеже тройкой точек, лежащих на некоторой прямой фиксированного пучка параллельных прямых. Прямая в четырёхмерном пространстве изображается либо тройкой прямых, либо двумя прямыми и точкой, либо прямой и двумя точками.

Чертёж Радищева применяется и сегодня. Пентатоп – это симплекс с пятью вершинами в четырёхмерном пространстве. В работе [10] дан пример изобарной диаграммы состояния, изображаемой пятимерной призмой, основанием которой служит пентатоп, и ось температур ортогональна основанию. Пример четырёхмерной диаграммы описан в работе [25]. Даже в трёхмерном случае для описания диаграммы, состоящей из 24 фазовых областей [11], требуется графическая подготовка.

Применение чертежа Радищева в швейной промышленности описано в работе [24], где обсуждается оптимизация производства. Близкие задачи четырёхмерной геометрии связаны с параметрически заданными кривыми [5] и однопараметрическими семействами поверхностей в трёхмерном пространстве [12].

Графические методы описания многомерных объектов привлекают своей наглядностью. В работе [1] говорится об изучении основ многомерной геометрии студентами технических университетов на факультативных занятиях. С другой стороны, эта область геометрии становится более привлекательной с развитием программного обеспечения, позволяющего быстро выполнять построение проекций [2, 21, 22, 23].

Список литературы

1. Бойков А.А. О построении моделей объектов пространства четырех и более измерений в учебном процессе // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6, № 4. – С. 54–71. – DOI: 10.12737/article_5c21f96dce5de8.36096061

2. Бойков А.А., Сидоров А.А., Федотов А.М. К вопросу о методике использования алгоритмов при решении задач начертательной геометрии // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6, № 3. – С. 56–68. – DOI: 10.12737/article_5bc45add9a2b21.45929543

3. Векилов Ю.Х., Черников М.А. Квазикристаллы // Успехи физических наук. – 2010. – Т. 180, № 6. – С. 561–586. – DOI: 10.3367/UFNr.0180.201006a.0561

4. Головнин А.А. Гаспар Монж – ученый-энциклопедист (некоторые грани научного наследия) // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. – 2017. – Т. 1. – С. 458–469. – URL: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/106/

5. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования свойств параметрически заданных кривых // Геометрия и графика. – 2014. – Т. 2, № 3. – С. 3–6. – DOI: 10.12737/6518

6. Князева Е.В. Геометро-графические методы: история и перспективы // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. – 2017. – Т. 1. – С. 259–269. – URL: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/128/

7. Левкин Ю.С. Получение четырёхмерных номограмм на базе теоремы подобия // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5, № 2. – С. 69–74. – DOI: 10.12737/article_5953f334279642.78930109

8. Левкин Ю.С. Пятимерная двухоктантовая эпюрная номограмма // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5, № 4. – С. 44–51. – DOI: 10.12737/article_5a17fecf2feac9.18123975

9. Левкин Ю.С. Шестимерная эпюрная номограмма в четырёхоктантовом измерении // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6, № 1. – С. 39–47. DOI: 10.12737/article_5ad098b05f1559.36303938

10. Луцык В.И., Воробьева В.П., Зеленая А.Э. Визуализация пятикомпонентных систем в проекциях пентатопа // International Conference Graphicon 1998 Proceedings. – Москва, 1998. – С. 256–257. – URL: http://www.graphicon.ru/ru/conference/1998/proceedings

11. Луцык В.И., Воробьева В.П. Трехмерная модель фазовой диаграммы системы Au-Bi-Sb для уточнения термодинамических расчетов // Журнал физической химии. – 2015. – Т. 89, № 10. – С. 1511–1519. – DOI: 10.7868/S0044453715100192

12. Ляшков А.А., Панчук К.Л., Варепо Л.Г. Особенность отображения гиперповерхности четырехмерного пространства // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5, № 3. – С. 3–10. – DOI: 10.12737/article_59bfa3078af4c1.45321238

13. Мордухай-Болтовской Д.Д. Параллельность и перпендикулярность прямых, плоскостей и гиперплоскостей в трёхмерном и четырёхмерном пространствах Лобачевского // Успехи математических наук. – 1951. – Т. 6, № 4(44). – С. 176–183.

14. Мордухай-Болтовской Д.Д. Трёхмерный и четырёхмерный аналогон теоремы Паскаля // Успехи математических наук. – 1953. – Т. 8, № 2 (54). – С. 135–138.

15. Наумович Н.В. Построения, выполняемые односторонней линейкой, если задана дуга конического сечения, центр и фокус которого известны // Математическое просвещение, серия 1. – 1936. – Т. 5. – С. 71–80.

16. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия. – М.: АСВ, 2000. – 344 с.

17. Радищев В.П. Методы изображения шестикомпонентных и более сложных систем в проекциях правильных многомерных фигур // Известия сектора физико-химического анализа. – 1941. – Т. 14. – С. 153–174.

18. Соловьев Ю.И. Институт общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова Российской академии наук. – М.: Наука, 1993. – 191 с.

19. Федоровъ Е.С. Графическiя операцiи съ четырьмя независимыми перемѣнными // Извѣстія Россiйской Академіи Наукъ. VI серiя. – 1918. – Т. 12, № 7. – С. 615–624.

20. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения. – Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1979. – 280 с.

21. Харах М.М., Козлова И.А., Славин Б.М., Славин Р.Б., Гусева Т.В. Элементы теории параметризации и параметрические чертежи в КОМПАС-График // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5, № 1. – С. 64–72. – DOI: 10.12737/25125

22. Хейфец А.Л. 3D модели и алгоритмы компьютерной параметризации при решении задач конструктивной геометрии (на некоторых исторических примерах) // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. – 2016. – Т. 16, № 2. – С. 24–42. – DOI: 10.14529/ctcr160203

23. Хейфец А.Л. Коники как сечения квадрик плоскостью (обобщенная теорема Данделена) // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5, № 2. – С. 45–58. – DOI: 10.12737/article_5953f32172a8d8.94863595

24. Чижик М.А., Немирова Л.Ф. Моделирование процесса дублирования текстильных материалов // Проблемы современной науки и образования. – 2016. – № 39 (81). – С. 9–12. – DOI: 10.20861/2304-2338-2016-81-001

25. Lutsyk V.I., Zelenaya A.E., Nasrulin E.R. 4D space models of quaternary systems for the phase diagrams graphics correction // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2016. – V. 123, № 1 (012036). – P. 1–6. – DOI: 10.1088/1757-899X/123/1/012036

Иванов Геннадий Сергеевич (27 февраля 2019 г. 11:14)	Уважаемый Александр Владиславович! Приятно читать добрые слова математика о многомерной начертательной геометрии, которой занимаются в основном «технари». Жаль только, что Вы ни слова не сказали о школе многомерной начертательной геометрии кафедр прикладной геометрии МАИ, основанной проф., д.т.н. Валентиной Николаевной Первиковой. Она в 60-70 г.г. прошлого века руководила Московским ежемесячным городским семинаром по многомерной начертательной геометрии. Подготовила ряд к.т.н. для кафедр инженерной графики СССР. А его ученик, д.т.н., проф. Волков Владимир Яковлевич, организовал и много лет руководил Омской школой многомерной начертательной геометрии, подготовил двух докторов наук (Юрков В.Ю., Вертинская Н.Д.) и несколько к.т.н. по специальности 05.01.01. С ув. Г.С. Иванов
Селиверстов Александр Владиславович (27 февраля 2019 г. 14:29)	Здравствуйте, Геннадий Сергеевич! Благодарю Вас за справедливые замечания. О Владимире Яковлевиче Волкове и без того были недавно статьи на конференции http://dgng.pstu.ru/conf2016/papers/18/ в ГиГ и других журналах. Упомянутая в списке литературы Маргарита Анатольевна Чижик – соавтор Владимира Яковлевича. К сожалению, о Валентине Николаевне Первиковой читал лишь короткие упоминания, например, у В.А. Пеклича. Только сегодня узнал, что она защитила диссертацию д.т.н. 05.01.01 "Теоретические основы построения чертежей многомерных фигур в синтетическом и векторном изложении с применением для исследования многокомпонентных систем". Эту работу мне следовало бы упомянуть. Не могли бы Вы рассказать о Валентине Николаевне и её работах подробнее? Может быть на этой конференции. Надеюсь, что такой доклад заинтересовал бы не только меня. С уважением, А.В. Селиверстов
Иванов Геннадий Сергеевич (1 марта 2019 г. 0:17)	Здравствуйте, Александр Владиславович! На Ваше предложение рассказать о В.Н. Первиковой и ее работах подробнее отвечу так. Во-первых, я не считаю себя большим специалистом в многомерной начертательной геометрии. В аспирантские годы (1965-1968 г.г.) я регулярно посещал ее семинары; с 1969 г. работал вместе с ней на кафедре прикладной геометрии МАИ; начиная с 80-х г.г. работали вместе в диссертационном совете по специальности 05.01.01. Во-вторых, заведующий кафедрой прикладной геометрии Иван Иванович Котов, которого все «начертальщики» СССР считали нашим выдающимся лидером, еще в начале 70-х начал ратовать за превращение начертательной геометрии в инженерную. Он на самолетостроительном факультете читал несколько лет объединенный курс начертательной и аналитической геометрии. Если помните наше сообщение с И.М. Дмитриевой на КГП-2017, где речь идет не о преподавании многомерной начертательной геометрии, а лишь о ее основных положениях. Это дает возможность «перекинуть мосточек» от начертательной геометрии к некоторым разделам высшей математики. Что сейчас происходит? Студентов технических ВУЗов учат решать системы линейных уравнений, но им не объясняют геометрического смысла уравнений от 4-ех и более неизвестных. Такая же проблема с геометрическим толкованием нелинейных функций от трех и более переменных. Как в таком случае можно говорить о межпредметных компетенциях? Я не идеалист, хорошо вижу уровень знаний наших студентов. Но что-то надо делать: не продолжать же преподавание по программам прошлого века! Мое понимание этого вопроса я попытался реализовать в своем учебнике «Начертательная геометрия», - М.:ФГБОУ ВПО МГУЛ (в настоящее время Мытищинский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана), 2012. Извините за длинное вступление (наболело!). Я думаю, что хороший ответ на Ваш вопрос найдете в статье: В.Н. Первикова, Н.В. Наумович, Г.Е. Дмитренко, Е.П. Зайцева, М.Г. Подылина «Многомерная начертательная геометрия и геометрические методы исследования многокомпонентных систем» // Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике III, труды института, вып. 242, изд-во МАИ, М. – 1972 г. С уважением Г.С. Иванов
Хейфец Александр Львович (5 марта 2019 г. 21:50)	Андрей Владиславович, долго не решался комментировать по теме Вашего доклада - не мой мир. И все-таки. Сейчас возбновился интерес к построению квадрики по 9-ти параметрам. Помню статьи Антона Георгиевича о том, что эта задача не имеет общего решения. Помню, что было его частное решение. Встречал и  другие отдельные частные решения. Статью Д.Д. Мордухай-Болтовского [14] о том, что решение найдено - читал, ничего не понял. Видимо, там есть доказательство, но нет конкретного алгоритма.  Я неплохой программист. Был-бы алгоритм, будет программа его реализации. Задал 9 точек - получи 3d квадрику. Может, подумаете на эту тему.  Нужен алгоритм! С уважением. А.Л. Хейфец.
Хейфец Александр Львович (5 марта 2019 г. 22:02)	Александр Владиславович, извините за ошибку в имени. С уважением. А.Л. Хейфец.
Тихонов-Бугров Дмитрий Евгеньевич (14 марта 2019 г. 18:11)	Здравствуйте, Александр Владиславович! Спасибо за доклад. Полезный библиографический список (правда,некоторые публикации не по теме). Хотелось бы прочитать доклад на тему: Прикладная многомерная начертательная геометрия вчера, сегодня, завтра. К стати, поздравляю Вас с праздником днём ПИ и днём рождения Эйнштейна. Правда, некоторые исследователи считают, что он родился 15 го, но Вы же знаете, что  всё в этом мире относительно.   С уважением, Тихонов-Бугров.
Селиверстов Александр Владиславович (15 марта 2019 г. 3:00)	Здравствуйте, Дмитрий Евгеньевич. Название отражает желание говорить о прошлом, ибо гораздо удобнее писать о Древней Греции или начале прошлого века, чем о работах ныне здравствующих коллег. Вдруг обидится кто-нибудь, не ровён час. Но этот доклад не состоялся бы без комментариев Алексея Александровича Бойкова на КГП-2017, который побудил искать практическую значимость того, что на первый взгляд казалось оксюмороном. Таких прикладных работ нашлось не слишком много, но они существуют! Трудно отказаться от цитирования статей, которые понравились, даже если не соответствуют теме. Однажды получил рецензию со словами, что текст был "наперчен лишними ссылками". С другой стороны, пожелание Николая Андреевича цитировать ГиГ в хороших журналах трудно выполнить, если в ГиГ не будет статей с новыми результатами, близкими тематике других журналов. Хорошие рецензенты не допускают избыточного цитирования. С уважением, А.В. Селиверстов
Бойков Алексей Александрович (26 марта 2019 г. 17:24)	Здравствуйте, Александр Владиславович! Спасибо за подробный обзор и теплые слова. Некоторые работы мне не попадались, нужно поискать. Считаю, что такие обзоры нужны и служат хорошим напоминанием о том, что уже было сделано в самых разных областях геометрии, в частности, отечественными учеными. В ИГЭУ многомерной геометрией применительно к диаграммам состояния сплавов занимался Ю.А. Малеев. На меня памятная дискуссия на КГП-2017 произвела то же самое впечатление. И, как теперь оказалось, многомерные приложения находятся сами собой, в какую область не посмотри. В нашем докладе о фракталах появилось сначала 4-мерное, потом 5- и 6-мерное пространство. При попытках визуализовать фигуры комплексной плоскости само собой появляется 4-мерное (x+ixi, y+iyi) пространство, а если вслед за А.Г. Гиршем (см. доклад об изолированных точках) отправиться в комплексное пространство, то и 6-мерное.  с уважением, А.Бойков