|
|
Гирш Антон Георгиевич | (Universität Kassel) |
Приводятся конструкции построения сферы по двум парам комплексно сопряжённых точек по аналогии с задачей построения сферы по четырём действительным точкам. Как необходимая поддержка построения сферы приводятся унифицированные конструктивные блоки (Бл.) по построению окружностей по комплексным точкам.
В статье предлагается построение сферы по четырём точкам. Точки могут все быть действительными, все быть мнимыми, пара быть действительными и пара мнимыми сопряжёнными. В статье предлагаются конструкции построения сферы, опирающиеся на конструктивные примитивы – блоки решений (Бл.) по построению точек пересечения прямой с окружностью и построению окружности по её точкам [1, 3, 4].
1. Построение сферы
Задача 1.1. Построить сферу Θ по четырём действительным точкам A, B, C, D в пространстве R.
Задача 1.2. Построить сферу Θ по двум парам мнимых сопряжённых точек A1, A2 и B1, B2 в пространстве C.
Задача 1.3. Построить сферу Θ по паре действительных точек A, B и паре мнимых сопряжённых точек C1, C2 в пространстве C.
2. Вычисление параметров сферы
Задача 2.1. Определить координаты центра и величину радиуса сферы Θ(C, R), заданной двумя парами мнимых точек с комплексными координатами A12(± 2i; 0; 0) и B12(3 ± i; ± 3.5 i; 2).
Задача 2.2. Определить координаты центра и величину радиуса сферы Θ(C, R), заданной двумя парами мнимых точек с комплексными координатами A12(± 4i; 0; 0) и B12(3 ± i; 2 ± 3.5 i; √7).
Задача 2.3. Определить координаты центра и величину радиуса сферы Θ(C, R), заданной двумя парами мнимых точек с комплексными координатами и A12(± 4i; 0; 0) и B1(2 + 2i; 4 - 3.5 i; 4), B2 (2 - 2i; 4 + 3.5 i; 4).
3. Содержание конструктивных блоков решений
Задача Бл.1. Определение главных точек M1, M2 в инволюционном ряду точек на прямой g.
Задача Бл.2. Построить точки пересечения прямой линии g с окружностью (C, R).
Задача Бл.3. Построить окружность по данному центру C и паре комплексно сопряжённых точек M1, M2.
Задача Бл.4. Построить окружность (C, R) по двум парам комплексно сопряжённых точек M1, M2 и N1, N2.
Задача Бл.5. Построить окружность (C, R) по паре действительных точек D1, D2 и паре комплексно сопряжённых точек M1, M2.
Решение задачи 1.2, рис.1.
На поле проекций П1 строят срединные перпендикуляры отрезков A1A2 и B1, B2, которые пересекаются в точке O' – проекции центра искомой сферы Θ. С точкой O' совпадает и проекция вертикальной ось вращения v сферы. Центр O' лежит вне окружности (A1A2) – окружность, заданную центром и парой мнимых точек, строят по Бл.3, рис.2b – окружность (O', R1) действительная. Далее, центр O' лежит внутри окружности (B1B2) – окружность, заданную центром и парой мнимых точек, строят по Бл.3, рис.2c – окружность (O', R2) мнимая. Обе окружности (O', R1) и (O', R2) рассекаются меридиональной плоскостью, первая по точкам D1 и D2, вторая по точкам M1 и M2, лежащих на проекции меридиана m. По линиям проекционной связи точки переносят на поле проекций П2 – точки D1 и D2 на линию Г1 – точки M1 и M2 на линию Г2. Построение проекции O" центра сферы выполняется по Бл.5а для разнородных пар точек. На фрагменте рис.1 А приведено построение центра и радиуса окружности, заданной двумя разнородными парами точек D1, D2 и M1, M2. Это пример того, как в унифицированном конструктивном блоке учитываются актуальные параметры задачи. Искомая окружность действительная, радиус равен длине отрезка от точки O до одной из действительных точек D1 или D2. Построенная окружность (O", r) является фронтальным очерком искомой сферы Θ(O, r). Вычисление параметров сферы Общее уравнение сферы имеет вид:
(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = r2.
В уравнение сферы последовательно подставляют координаты данных четырёх точек. В результате получится система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными x0, y0, z0, r. Решение системы уравнение позволяет получить значения координат центра C(x0, y0, z0) и величину радиуса r искомой сферы Θ(C, r).
Решение задачи 2.1.
Решение системы уравнений по условиям задачи 2.1 даёт параметры сферы Θ(C, r): C(0; 2.8; - 0.7), r = 2. Условия задачи определяют действительную сферу.
Решение задачи 2.2.
Решение системы уравнений по условиям задачи 2.2 даёт параметры сферы Θ(C, r): C(0; 3; √7), r = 0. Условия задачи определяют сферу, выродившуюся в точку.
Решение задачи 2.3.
Решение системы уравнений по условиям задачи 2.3 даёт параметры сферы Θ(C, r): C(0; 2.666; 2.2), r = 2i, где i2 = -1. Условия задачи определяют мнимую сферу.
Решение задачи Бл.1.
Две разделяющиеся пары действительных точек A1, A2 и B1, B2 на действительной прямой g образуют инволюционный ряд. Такой инволюционный ряд называют эллиптическим, он имеет пару мнимых двойных точек M1, M2. Полуокружности (A1A2) и (B1B2) пересекаются в точке L – точке Лагерра, с основанием в точке P – центре инволюционного ряда точек. Мнимые точки M1, M2 лежат на носителе на g. Центр C окружности, проходящей через мнимые точки M1, M2, будет лежать на прямой LP и её радиус будет меньше отрезка LP, рис.2а.
Решение задачи Бл.2.
Прямая g не накладывается на действительную окружность (C, R) точки пересечения M1, M2 будут мнимыми, рис.2b. Строят круг Фалеса – окружность (CP), и отмечают точки пересечения R. Окружность (P, R) пересекает прямую g в точках M1, M2, рис.2b. Положение прямой g относительно мнимой окружности (C, R) безразлично. Через точку C параллельно прямой g проводят прямую p и отмечают точки R пересечения с окружностью (C). Окружность (P, R) пересекает прямую g в искомых точках M1, M2, рис.2с.
Решение задачи Бл.3.
Данный центр C лежит вне окружности (M1M2), искомая окружность будет действительной. Строят круг Фалеса (CP) и отмечают точки R пересечения с окружностью (M1M2). Окружность (C, R) искомая. Данный центр C лежит внутри окружности (M1M2), искомая окружность будет мнимой. Через точку C параллельно прямой g проводят прямую p и отмечают точки R пересечения с окружностью(M1M2) . Окружность (C, R) искомая.
Решение задачи Бл.4.
Прямые g1 и g2 параллельны, окружности (M1M2) и (N1N2) не пересекаются, искомая окружность будет действительной. Каждой окружности (M1M2) и (N1N2) придают некоторое касательное приращение δ, чтобы окружности пересеклись. Через точки пересечения вспомогательных окружностей проходит радикальная ось p.o. окружностей. Радикальная ось пересекает линию центров v данных окружностей в центре C искомой окружности. Радиус CR искомой окружности равен длине касательной из точки C к одной из окружностей (M1M2) или (N1N2), рис.3а. Прямые g1 и g2 параллельны, окружности (M1M2) и (N1N2) пересекаются, искомая окружность будет мнимой. На общей хорде окружностей как на диаметре строят окружность (C, R), являющейся носителем мнимой окружности. Мнимая окружность проходит через данные точки своими гиперболическими ветвями, на рис.3b ветви мнимой окружности не показаны.
Решение задачи Бл.5.
Прямые g1 и g2 параллельны, точки D1 и D2 лежат вне окружности (M1M2), искомая окружность будет действительной. Строят радикальную ось разнородных окружностей. Для этого окружности (M1M2) придают некоторое касательное приращение δ, а окружности (D1D2) придают приращение равнобедренным треугольником с основанием D1D2 и сторонами δ. Через точки пересечения вспомогательных окружностей проходит радикальная ось p.o. окружностей. Радиус CR искомой окружности равен длине касательной из точки C к окружностей (M1M2). Окружность (C, R) проходит через действительные точки D1 и D2 и через точки M1 и M2 одной своей гиперболической ветвью, рис.4а – гиперболическая ветвь не показана. Прямые g1 и g2 параллельны, точки D1 и D2 лежат внутри окружности (M1M2). Задача имеет два решения, искомые окружности будет мнимыми. Носители мнимых окружностей проходят через точки D1, D2, через точки M1, M2 мнимые окружности проходят своими гиперболическими ветвями, рис.4 b.
Конструкция по рис.4 b имеет и чисто планиметрический интерес как решение задачи:
Даны окружность (M1M2) и внутренняя точка D. Построить окружность, проходящую через точку D, имеющую своим диаметром хорду окружности (M1M2), параллельную диаметру M1M2.
Автор имеет для этой задачи как точное решение [4, с.67], так и приближённое. Кроме чисто абстрактного упражнения, построение может служить конструктивным блоком для пространственных задач, например, построении сферы в этой статье. Изначально задача появилась как конструкция окружности псевдоэллиптического пучка с базисными точками M1, M2 по одной наперёд заданной точке D.
Мы исходим из того, что построение сфер по четырём действительным точкам пространства, задача 1.1, известно [2]. Нами приведено построение сферы по двум парам мнимых сопряжённых точек. Построения сферы по двум парам разнородных точек, задача 1.3, укладывается в схему приведённой конструкции решения задачи 1.2. Кроме того, в работе приведены решения пяти вспомогательных задач на построение окружности по различным условиям образующих точек, встречающиеся в конструкциях сферы. Эти задачи обозначены как конструктивные блоки.
Задачи и упражнения по графическим построениям с включением мнимых элементов имеют целью укрепить уверенность исследователей в доступности восприятия мнимых образов как геометрических объектов и в возможности конструктивных построений с участием мнимых объектов – точек, прямых, окружностей, наравне с действительными объектами.
Построение сферы Θ(O, r) по двум парам мнимых точек A1, A2 и B1, B2
а) Бл.1 – определение мнимых точек M1, M2 в инволюционном ряду на g; b,
b) Бл.2 – построение мнимых точек M1, M2 пересечения прямой с окружностью; b,
с) Бл.3 – построение окружности по паре мнимых точек M1, M2 и центру C
Бл.4 – определение окружности (C, R) по двум парам мнимых точек M1, M2 и N1, N2
Бл.5 – определение окружности (C, R) по паре мнимых точек M1, M2 и паре действительных точек D1, D2
Головнин Алексей Алексеевич (22 февраля 2015 г. 2:51) |
Здравствуйте уважаемый Антон Георгиевич! Любая комбинация из трех точек задает плоскость, которая пересекает искомую сферу по окружности. Остается провести перпендикуляр из центра окружности, проведенной через эти три точки. Повторим эту процедуру с другой комбинацией из трех точек и в точке пересечения перпендикуляров получим центр сферы. Но решение приведенной задачи по конструктивным посылкам, приведенным Вами, на мой взгляд, являет пример, когда знание начертательной геометрии (метод замены плоскостей проекций) приводит к более изящному решению, чем решение «в лоб» (встречал в литературе, что еще это называется путем грубой силы). Чаще начертательная геометрия применяется в учебных задачах, условие которых дано на эпюре Монжа, что само по себе сразу подразумевает, что задача должна решаться методами начертательной геометрии. Антон Георгиевич, 1. Может ли приведенная Вами задача служить примером, когда задача может быть решена аналитическими методами, но знание метода замены плоскостей проекций дает подсказку, какие математические выкладки использовать более рационально? 2. Находят ли мнимые окружности, построенные по комплексным точкам, применение в технике и если находят, то где, или Ваше исследование является развитием математической науки? С уважением Головнин А.А. |
|
Гирш Антон Георгиевич (22 февраля 2015 г. 15:52) |
Уважаемый Алексей Алексеевич, спасибо, что обратили внимание на мой доклад. Три точки - это хорошо, но мнимые точки существуют только парами и с этим надо считаться. Математические выкладки позволяют варьировать параметрами, например, определить положение определяющих точек, чтобы результрующая сфера стала точкой, но связи с графическими способами преобразования я не заметил. Приложения пока только гноссиологические. Достижением считаю доказательство теоремы Вилларсо о сечении кругового тора, распадающееся на два круга. Скромной целью считаю популяризацию комплексных образов - они достижимы, с ними можно работать и получать результаты. Когда я крутнул (аналитически) мнимую окружность воруг оси, лежащей параллельно её плоскости и получил действительную сферу - это впечатлило. Из ничего нечто! Потом остыл, ведь любое сечение сферы плоскостью, проходящей мимо - это мнмая окружность. Но это потом, а сразу было интересно. С пожеланием успехов. Гирш А.Г. |
|
Принцев Николай Владимирович (27 февраля 2015 г. 19:54) |
Уважаемый Антон Георгиевич! Ваши задачи ВЕЛИКОЛЕПНЫ для детского сада! Это - комплимент! Потому что профессор Акияма (см. комментарий к докладу конференции) КАЖДУЮ недедю посещает детские сады в Японии и в других странах, где он для детей 4-5 летнего возраста читает свои лекции. "Крутит" окружности и т.д.. Вы обладаете ТАЛАНТОМ увлекать постановкой своих задач! Акияма так выбирает своих будущих учеников: если у ребёнка загораются глаза на его занятиях, то с таким реюёнком начинают заниматься индивидуально. В Японии сегодня в 12 лет талантливые математики заканчивают ВУЗ, в 16 лет защищают докторскую, к 30 годам их подводят к уровню Нобелевской премии (по математической физике, потому что по математике Нобелевской нет). Но там ощущается другой недостаток. МНОГО хорошо тренируемых детей, мало креативности. А Вы способны создавать КРЕАТИВ. После Вас и мне захотелось покрутить, повертеть, прийти к новым результатам! Успехов Вам в ваших поисках. |
|
Гирш Антон Георгиевич (27 февраля 2015 г. 21:36) |
Николай Владимирович, спасибо на добром слове! Комплексные числа, мнимые образы и детский сад - очень смелые параллели, если параллели ... |
Хейфец Александр Львович (22 марта 2015 г. 18:51) |
Антон Георгиевич, я по ошибке поместил послание к Вам по коникам на поле своего доклада "РАЗВИТИЕ КУРСА ИНЖЕНЕРНОЙ 3D КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ В НОВОМ УЧЕБНИКЕ". Опасаюсь, что оно пройдет Вами не замеченным. С уважением. А.Л. Хейфец |