Назад Go Back

ПОВЕРХНОСТЬ ОТ ВРАЩЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ

Фото Гирш Антон Георгиевич (Universität Kassel)


Аннотация

Начертательная, как и элементарная геометрия, своими абстракциями изучает реальный мир. Но евклидова геометрия реального мира сопряжена с псевдоевклидовой геометрией и они составляют одну сопряжённую пару. Как следствие, каждая реальная фигура сопряжена с некоторым мнимым образом. Доклад, кроме некоторых научных фактов, показывает присутствие в геометрических конструкциях мнимых образов, проявляющих себя как сингулярности или как ГМТ в сопряжённых парах реальное – мнимое.



Ключевые слова: вращение; ось; окружность; сфера; тор; мнимое сопровождение; сингулярность; двойные точки.

         Введение

Исследование ведётся, как правило, от простого к сложному, от частного к общему. Вращение окружности вокруг произвольной оси образует, в общем случае, поверхность четвёртого порядка. Среди поверхностей четвёртого порядка стоит круговой тор и как частный случай тора – сфера. [1, 3, 4]

         1. Круговой тор

            Определение.

Поверхность получается от вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось не пересекает образующую окружность, то поверхность называют открытым тором; если ось пересекает образующую окружность, то поверхность называют закрытым тором; и, если ось вращения проходит через центр образующей окружности, то поверхность есть сфера.

Открытый тор ассоциируется с бубликом, закрытый тор – с яблоком.

            Уравнение тора.

Уравнение образующей окружности: (x - R)2  +z2 = r2               (1)
Переход к уравнению тора делается подстановкой x=Sqrt(x2 + y2) в уравнении (1). После приведения подобных, получают уравнение поверхности тора:

 (x2 + y2 + z2 + R2 - r2)2 - 4R2(x2 + y2) = 0,                                 (2)      

где r – радиус образующей окружности, R – радиус направляющей окружности.

            Предложение.

Каждый круговой тор имеет на оси вращения две узловые точки, удалённые от центра поверхности на расстояние l = Sqrt(r2 + R2).

Открытый тор имеет две мнимые узловые точки на оси вращения, закрытый тор имеет две действительные узловые точки, которые в частном случае могут слиться в одну. Действительно, положив в уравнении (2) x = 0, y = 0, получим z2 = r2 - R2.   В случае R = r две двойные точки сливаются в одну.

            Исследование тора сечениями.

  1. Произвольное плоское сечение кругового тора есть кривая четвёртого порядка, что следует и из степени уравнения (2). Плоская кривая порядка  распадается на кривые более низкого порядка, если кривая содержит более чем  двойных точек. Число возможных двойных точек алгебраической кривой порядка  по MacLaurin  d=(n - 1)(n - 2)/2. Нераспадающаяся кривая четвёртого порядка может иметь до трёх двойных точек. Если кривая имеет одной точкой больше, то она распадается. Четыре двойные точки – это двойные точки N1 и N2 на оси вращения и циклические точки I1 и I2.
  2. Осевое сечение тора (меридиан) распадается на две окружности – в плоскости сечения лежат обе пары названных двойных точек.
  3. Нормальное к оси сечение тора (параллели) распадается на две концентрические окружности, проходят через циклические точки.
  4. Сечение тора дважды касательной плоскостью распадается на две окружности Вилларсо – в плоскости сечения лежат две точки касания и циклические точки.
  5. Сечение тора плоскостями, параллельными оси вращения есть нераспадающиеся кривые четвёртого порядка – кривые Персея. Когда плоскость получает касание внутренней части поверхности, кривая приобретает узел и переходит в лемнискату Бута. При соотношении параметров тора R = 2r лемниската Бута переходит в лемнискату Бернулли [2].

            Три вида точек поверхности тора.

В точке поверхности определяется Гауссова кривизна K = k1k2. Знак Гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При K > 0, где k1 и k2 имеют одинаковые знаки, точку называют эллиптической, при K < 0, где k1 и k2 имеют разные знаки, точку называют гиперболической, при K = 0 – параболической. Цилиндр радиуса R, соосный с тором, делит поверхность тора на две области – внутреннюю и внешнюю.

  1. Внешняя область поверхности тора имеет в каждой точке K > 0. Точки поверхности, достаточно близкие к эллиптической точке, все расположены по одну сторону от плоскости, касательной в данной точке.
  2. Внутренняя область поверхности тора в каждой точке имеет K < 0. Поверхность в каждой своей гиперболической точке седловидна. Внутренняя область поверхности тора имеет особое название – катеноид.
  3. Линия пересечения названного цилиндра (R) с тором разделяет поверхность на эллиптическую и гиперболическую области и сама состоит из параболических точек

         Площадь поверхности и объём тора.

Тор служит идеальным примером для приложения двух знаменитых формул Гульдина [1]:

  1. Площадь S поверхности вращения равна произведению длины l образующего контура на длину окружности, описываемой центром тяжести образующего контура,  S = l · 2πR: → S = 2πr · 2πR = 4π2rR. 
  2. Объём V тела вращения равен произведению площади s образующего контура на длину окружности, описываемой центром тяжести образующего контура, V = s · 2πR:  → V =  2πr2 · 2πR = 4π2r2R.

     2. Мнимое сопровождение тора

Показ этой конструкции объяснит происхождение мнимых двойных точек на оси вращения тора. Итак, образующая окружность c(r)  имеет мнимое расширение в форме равнобочной гиперболы h(r), рис.1а. Равносторонняя гипербола h при своём вращении вокруг оси заметает поверхность, которая распадается на четыре части, рис.1b (на рисунке для наглядности мнимый образ показан сплошной линией, а действительная фигура – штриховой). Ветвь гиперболы h, удалённая от оси вращения a, заметает поверхность, похожую на однополостный гиперболоид. Ветвь гиперболы h, пересекающая оси вращения a, заметает поверхность, распадающуюся на три составляющие: веретено N1N2 и два гиперболических конуса, с вершинами N1 и N2, рис.1b. Для гиперболы h с уравнением (x - R)2 - z2 = r2 точки N1 и N2 имеют координаты z12=Sqrt(R2 - r2).  В евклидовом пространстве мнимые образы не имеют изображения, но их сингулярности продолжают проявляться – на оси вращения открытого тора проявляют себя две двойные точки N1 и N2, которые и указаны в предложении, п.1.

* Guldin T. (1635), швейцарский математик, во французской транскрипции читается Гюльден [1].

.     3. Сфера от вращения окружности

Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, нормально проецирующейся на плоскость окружности в её диаметр. Центр сферы нормально проецируется на плоскость образующей окружности в её центр. Радиус сферы равен длине отрезка от центра сферы до периферийной точки образующей окружности.

В общем случае образующая окружность при вращении вокруг оси заметает только сферический пояс. Но это при геометрическом или, если угодно, физическом вращении. При аналитическом вращении, т.е. при написании уравнения поверхности вращения по данной оси и данному уравнению образующей окружности, получается уравнение полной сферы. Не сферического пояса! Отметим, что в аналитической геометрии не бывает уравнения отрезка линии или отсека поверхности, а есть уравнения полных образов – прямой, сферы, тора и др., которые задаются их элементами. В [5] было показано, как сферический пояс завершается до полной сферы в комплексном пространстве за счёт её мнимого расширения.

Пусть ось  расположена параллельно образующей окружности c(r) на расстоянии  от плоскости. Покажем вывод уравнения сферы рис.2.

Уравнение образующей окружности:

{y2 + z2 = r2,  x = b}.                                          (3)      

Каждая точка A окружности c(r) описывает в плоскости y параллель радиуса ρ с центром на оси a, уравнение параллели  x2 + y2 = ρ2 , где ρ2 = b2 + yA2.  Сделав подстановку значения ρ2 в уравнение параллели, поучают: x2 + y2 = b2 + yA2, или, yA2 = x2 + y2 - b2. Точка A пробегает всю образующую окружность c(r), потому выражение для yA подставляют в уравнение (3) и получают уравнение сферы Ω:

x2 + y2 +z2 = r2 + b2.                                        (4)      

            Анализ сферы (4).

  1. Радиус полученной сферы Ω больше радиуса образующей окружности c, r2 + b2 > r2. Очевидно, окружность c при своём вращении вокруг оси a не может заполнить всю поверхность сферы Ω (Это к вопросу "полярных шапочек", которые при геометрическом вращении остаются незаполненными [5].)
  2. Конструкция рис.2 позволяет в качестве образующей брать и мнимую окружность c(ir). Если действительная образующая окружность при своём вращении вокруг оси a заметает действительную сферу Ω(R = Sqrt(r2 + b2), то мнимая образующая окружность c(ir) также может определить действительную сферу Ω(R = Sqrt(b2 - r2). Но определяемая сфера может быть и мнимой и даже выродиться в точку без того, чтобы образующая окружность выродилась в точку и совпала с осью вращения. Радиус конструируемой сферы зависит от соотношения параметров r и b в выражении  Sqrt(b2 - r2):
                a)  b > r , сфера Ω действительная, рис.3а;

                     b) b < r, сфера Ω мнимая, рис.3b;

                    c) b = r, сфера Ω вырождается в точку, рис.3с.

         Заключение

Мир геометрии огромен. Каждый, имеющий отношение к геометрии, с необходимостью сориентирован на самообразование и постижению мира геометрии. К миру геометрии относятся и мнимые образы. Мнимые образы выводят на комплексные числа, по поводу чего негодовал великий Я.Штейнер, называя их "иероглифами анализа" не без оснований. Но мнимые образы существуют помимо формул анализа – они суть часть геометрии. Впервые мнимые точки осознал В.Понселе в 1812 г., сидя в русском плену в Саратове и, что важно, совсем без формул анализа. Вычислительная геометрия часто показывает количества, большие числа реальных фигур, потому что учитывает и мнимые образы.

Пример с тором, который изучен вдоль и поперёк, показывает сингулярность – пару двойных точек на оси вращения, которые в зависимости от соотношения параметров тора могут быть действительными, мнимыми или слиться в одну. А дилемма сферический пояс – полная сфера, вообще повод для размышлений. Её разрешение требует подключения живой мысли и здесь только машинной графикой не обойтись.

Список литературы

  1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
  2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.
  3. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями. // Геометрия и графика, Т.3, №2. DOI: 10. 127/12163.
  4. Гирш А. Г. Мнимости в геометрии. // Геометрия и графика, Т.2, №2. DOI: 10. 12737/5583.
  5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. – 213 с.
  6. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. – 216 с.
  7. http://www.anhirsch.de  Антон Георгиевич Гирш (Dr. A.Hirsch) – Сайт. 

Рисунки к докладу

Рис. 1
Рис. 1

а) Гипербола h, сопутствующая образующей окружности c. b) Гипербола h заметает поверхность, содержащую узловые точки




Рис. 2
Рис. 2

Вращение окружности c(r) вокруг оси a. Вывод уравнения




Рис. 3
Рис. 3

Задание сферы  Ω(R) образующей окружностью  c(r) и осью вращения a




Вопросы и комментарии к выступлению:
Фото
Ракитская Мария Валентиновна
(21 февраля 2016 г. 16:23)

Здравствуйте, Антон Георгиевич! Спасибо за доклад. Можно задать вопрос? Недавно ко мне обратился студент с такой задачей: Есть сфера, из точки вне сферы на сферу направляется конус (но  ось конуса не проходит через центр сферы). Необходимо построить линию пересечения. Графически эту задачу решить легко. Как бы помочь студенту  находить решение этой задачи в условиях программирования.

С уважением к Вам,  М.В.  
Фото
Гирш Антон Георгиевич
(25 февраля 2016 г. 14:25)

Мария Валентиновна, спасибо, что заглянули на эту страничку. Вопрос неполный - конус общего вида или вращения? Если вращения, то всегда есть такая ось вращения сферы, которая пройдёт через вершину конуса. Через эту точку проходит и проекция ЛПП. А программа, вопрос конечно интересный, зависит от пакета, но если есть идея решения, то напишется и программа. 

С уважением, А.Г.

Назад Go Back