|
|
Волошинов Денис Вячеславович | (Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича) |
Доклад посвящен рассмотрению задачи нахождения координат точек, являющихся результатом пересечения двух кривых кривых второго порядка. Приведены все необходимые формулы для реализации задачи в виде программ на ЭВМ. Рассмотрены некоторые вопросы преобразования объектов коник в коллинеациях, переводящих коники друг в друга.
Задача о нахождении точек пересечения двух кривых второго порядка является исключительно важной для дальнейшего развития теории конструктивного геометрического моделирования, поскольку она служит отправным моментом для реализации проекционных методов в задачах образования кривых более высоких порядков. В частности, алгоритмы пересечения коник с прямыми и другими кониками, учитывающие возможность получения мнимых решений, позволяют вплотную подойти к инструментальной реализации взаимно-двузначных соответствий, при которых каждому лучу одного пучка соответствуют два действительных или мнимых луча другого и обратно [1]. Отсутствие программных систем, которые обладали бы средствами выполнения квадратичных [2], кремоновых [3] и других сложных преобразований [4], позволяющих генерировать и обрабатывать сложные кривые, существенно ограничивают возможности инженерного проектирования в тех областях, в которых к форме изделий предъявляются специальные требования [3]. Необходимость оперирования с объектами мнимой природы требует качественного пересмотра функционально-алгоритмического аппарата систем конструктивного геометрического моделирования для обеспечения возможности работы с такими объектами. Это означает, в частности, что большинство функций, оперирующих с данными геометрических объектов, должны быть созданы или переработаны с таким расчетом, чтобы принимать в себя, и, конечно же, порождать объекты с мнимыми (комплексными) значениями. Визуально-графический интерфейс таких систем должен быть рассчитан на отображение и интерактивное взаимодействие с объектами, имеющими как вещественную, так и мнимую природу.
Несмотря на то, что объявленная в заглавии доклада задача не является чем-то принципиально новым и сводится к формированию коэффициентов уравнения четвертой степени, решение которого в радикалах всегда возможно, в литературе и в Сети практически нет материалов, освещающих решение этой задачи в исчерпывающей полноте. Отсутствие необходимой информации служит причиной того, что написание компьютерных программ, выполняющих поиск точек пересечения двух кривых второго порядка, для многих разработчиков, которые хотели бы воспользоваться соответственным геометрическим алгоритмом, становится довольно трудным делом.
Соответственная функция, выполняющая поиск пересечения двух коник с обеспечением получения мнимых решений, реализована в системе Симплекс [5, 6]. Несмотря на относительную простоту математических выкладок, которые, без всякого сомнения, способен выполнить любой человек, имеющий высшее техническое образование или хорошую математическую подготовку, автору видится целесообразным восполнить этот информационный недостаток, представить решение поставленной задачи как нечто единое, цельное и завершенное.
Хочется также отметить, что в процессе решения этой задачи автором были обнаружены весьма любопытные геометрические факты, которые, вероятно, потребуют более глубокого осмысления, а возможно и теоретических обобщений. Так, например, геометрическое место центра кривой второго порядка, получаемое при коллинеарных преобразованиях плоскости, заставляет задуматься о причинах получаемого результата и, возможно, о целесообразности или уместности определения этого понятия как результата полярного преобразования бесконечно удаленной прямой по отношению к конике [7, 8].
* * *
Итак, пусть имеется кривая второго порядка, заданная своими пятью точками. Будем предполагать, что все эти точки – собственные точки плоскости. Если же среди точек, определяющих кривую, имеются несобственные, заменим их на любые инцидентные с этой кривой собственные точки плоскости. Пусть также в плоскости начерчена окружность произвольного радиуса с центром в начале координат. Задавшись целью определить координаты точек пересечения двух кривых второго порядка l и m, начнем решать эту задачу в частной постановке: найдем пересечение коники с окружностью.
Переведем одну из пересекающихся коник, например m, в окружность d. Для этого выберем на конике (пусть это будет эллипс) главные диаметры, а на окружности два произвольных перпендикулярных друг другу диаметра, и установим коллинеарное соответствие ksi между двумя парами точек пересечения диаметров коники с самой кривой с соответственными точками пересечения диаметров окружности с самой окружностью. Казалось бы, аналогичное действие с гиперболой выполнить будет невозможно ввиду отсутствия у нее второго вещественного диаметра. Тем не менее преобразование такого типа можно определить – к детальному рассмотрению этого случая вернемся несколько позже.
Наметим общий ход решения. Задав соответственную коллинеацию ksi, преобразуем в ней и вторую конику l в l*=ksi(l). Решив задачу нахождения точек пересечения преобразованной коники l* и окружности d: p*1, p*2, p*3, p*4, выполним обратное коллинеарное преобразование p1=ksi–1(p*1), p2=ksi–1(p*2), p3=ksi–1(p*3), p4=ksi–1(p*4) над полученными точками и тем самым найдем решение исходной общей задачи. Заметим еще раз, что все сказанное будет относиться как к вещественным, так и к мнимым точкам пересечения двух коник.
Найдем совместное решение уравнений коники и окружности, центр которой для упрощения вида уравнения разместим в начале координат. Для нахождения коэффициентов a, b, c, d и e уравнения кривой второго порядка воспользуемся методом Гаусса, подставив в систему из уравнений, задающих конику, x- и y-координаты пяти точек, определяющих конику. Коэффициент f для определенности приравняем к единице. Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом:
|
ax21+bx1y1+cy21+dx1+ey1+f=0, ax22+bx2y2+cy22+dx2+ey2+f=0, ax23+bx3y3+cy23+dx3+ey3+f=0, ax24+bx4y4+cy24+dx4+ey4+f=0, ax25+bx5y5+cy25+dx5+ey5+f=0. |
(1) |
Определив из системы (1) коэффициенты a, b, c, d и e, запишем систему (2) из уравнения коники и уравнения прямой для определения значений координат искомых точек:
|
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0, x2+y2=R. |
(2) |
Выразим из второго уравнения системы x через y:
|
x2=R–y2 x=±sqrt(R–y2), где sqrt – функция корня квадратного. |
(3) |
При подстановке x в первое уравнение с учетом знаков перед радикалом получим два уравнения:
|
a(R–y2)+bsqrt(R–y2)y+cy2+dsqrt(R–y2)+ey+f=0, a(R–y2)–bsqrt(R–y2)y+cy2–dsqrt(R–y2)+ey+f=0. |
|
Перенесем члены со знаками радикалов в правую часть уравнений, а без радикалов – в левую часть.
|
a(R–y2) +cy2+ey+f=–bsqrt(R–y2)y–dsqrt(R–y2)=
=(–by–d) sqrt(R–y2),
|
(4) |
|
a(R–y2) +cy2+ey+f=bsqrt(R–y2)y+dsqrt(R–y2)=
=(by+d) sqrt(R–y2).
|
(5) |
После возведения в квадрат левых и правых частей уравнений (4) и (5) для освобождения от радикалов получим одинаковые уравнения вида (6)
|
(a(R–y2)+cy2+ey+f)2=(by+d)2(R–y2). |
(6) |
Обозначим левую часть уравнения (6) через A, а правую через B.
|
(a(R–y2)+cy2+ey+f)2=((c–a)y2+ey+aR+f)2=A, |
|
|
(by+d)2(R–y2)=B. |
|
Раскроем скобки в этих частях и приведем подобные.
|
((c–a)y2+ey+aR+f)((c–a)y2+ey+aR+f)=
=(c–a)2y4+(c–a)ey3+(c–a)(aR+f)y2+(c–a)ey3+e2y2+
+(aR+f)ey+(c–a)(aR+f)y2+(aR+f)ey+(aR+f)2=
=(c–a)2y4+2(c–a)ey3+[2(c–a)(aR+f)+e2]y2+2(aR+f)ey+(aR+f)2=A.
|
|
|
(by+d)2(R–y2)=(b2y2+2bdy+d2)(R–y2)=
=b2Ry2–b2y4+2bdRy–2bdy3+Rd2–d2y2=
=–b2y4–2bdy3+(b2R–d2)y2+2bdRy+Rd2=B.
|
|
Перенеся члены правой части уравнения (6) в левую часть, приравняем полученный результат нулю:
|
0=A–B=(c-a)2y4+2(c–a)ey3+[2(c-a)(aR+f)+e2]y2+
+2(aR+f)ey+(aR+f)2–(–b2y4–2bdy3+(b2R–d2)y2+2bdRy+Rd2)=
=[(c–a)2+b2]y4+2[(c–a)e+bd]y3+[2(c–a)(aR+f)+e2–b2R+d2]y2+
+2[(aR+f)e–bdR]y+(aR+f)2–Rd2=My4+Ny3+Py2+Qy+S.
|
(7)
|
Таким образом, нами получено уравнение четвертой степени (7) относительно y, позволяющее найти решение [9] поставленной задачи. Для выполнения дальнейших действий обозначим коэффициенты при степенях переменной y через M, N, P, Q и S. Тогда:
|
M= (c–a)2+b2, |
|
|
N=2[(c–a)e+bd], |
|
|
P=2(c–a)(aR+f)+e2–b2R+d2, |
|
|
Q=2[(aR+f)e–bdR], |
|
|
S=(aR+f)2–Rd2. |
|
Для решения уравнения четвертой степени (8):
|
ay4+by3+cy2+dy+e=0, |
(8) |
записанного в общем виде, выполним подстановку: y=t–b/(4a). Напомним, что в нашем случае b=N и a=M. Получим так называемое неполное уравнение четвертой степени следующего вида:
|
t4+pt2+qt+r=0, где |
(9) |
|
p=(8MP–3N2)/(8M2), |
|
|
q=(8M2Q+N3–4MNP)/(8M3). |
|
и
|
r=(16MN2P–64M2ND–3N4+256M3S)/(256M4). |
|
Известно, что корни этого уравнения равны одному из следующих выражений
|
±sqrt(z1) ±sqrt(z2) ±sqrt(z3), |
(10) |
в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:
|
±sqrt(z1) ±sqrt(z2) ±sqrt(z3)=–q/8, |
(11) |
причем z1, z2, z3 – это корни следующего кубического уравнения (12):
|
z3+(pz2)/2+(p2–4r)z/16–q2/64=0. |
(12) |
В данном уравнении коэффициент при третьей степени равен единице, поэтому при дальнейших рассуждениях для него можно было бы не вводить отдельное обозначение.
Однако для полноты картины решим это уравнение в общем виде.
Пусть кубическое уравнение (12) записано следующим образом:
|
gz3+uz2+vz+w=0. |
(13) |
Посредством замены z=h–u/(3g) уравнение (13) приводится к каноническому виду
|
h3+ph+q, где |
|
|
p=(3gv–u2)/(3g2) и |
|
|
q=(2u3–9guv+27g2w)/(27g3). |
|
В нашем случае
|
g=1, u=p/2, v=(p2–4r)/16, w=–q2/64 |
|
Зная значение дискриминанта T=(p/3)3+(q/2)2, можно заранее определить тип корней.
При T<0 будут получены три вещественных корня. При T>0 получим один вещественный и два сопряженных корня. При T=0 в решении будет присутствовать однократный вещественный корень и один двукратный, если же p=q=0, то решением станет трехкратный вещественный корень.
В соответствии с методом Кардано корни уравнения будут равны:
|
z1=alpha+beta, z2,3=–(alpha+beta)/2±i(alpha+beta)/2×sqrt(3), где |
|
|
alpha=cubert(–q/2+sqrt(T)), beta=cubert(–q/2–sqrt(T)); cubert – функция корня кубического. |
|
Подставляя в (11) найденные значения z1, z2, z3 со всеми возможными сочетаниями знаков, отметим из них те, которые удовлетворяют условию этого уравнения, а из выражения (10) найдем четыре значения корней уравнения (9) относительно переменной t. Преобразовав значения t к y, найдем значения корней уравнения (8). Соответственно, все четыре возможных значения x можно будет найти подстановкой соответственных y в выражение (3). Знак перед радикалом определяется путем подстановки найденных x и y в первое уравнение системы (2). Таким образом, задача нахождения точек p*1(x1,y1), p*2(x2,y2), p*3(x3,y3), p*4(x4,y4) пересечения коники с окружностью решена, и потребуется лишь выполнить коллинеарное преобразование p1=ksi–1(p*1), p2=ksi–1(p*2), p3=ksi–1(p*3), p4=ksi–1(p*4).
Нам остается теперь более подробно рассмотреть случай преобразования гиперболической кривой в окружность. Как уже было сказано ранее, в гиперболе различается лишь один вещественный диаметр, проходящий через ее центр и «стягивающий» две ближайшие друг к другу точки гиперболы. Второй диаметр считается мнимым, проходящим через центр гиперболы перпендикулярно первому диаметру. Точки пересечения этого диаметра с гиперболой являются мнимыми, так как данная прямая явно гиперболу не пересекает, а вещественные компоненты этих координат равны координатам центра кривой второго порядка. Вследствие этого, определить необходимую коллинеацию, переводящую гиперболу в окружность с помощью этих точек не представляется возможным.
Поскольку в проективной геометрии кривые второго порядка не различаются и коллинеарное преобразование переводит кривую второго порядка также в кривую второго порядка, то преобразование гиперболы в окружность, безусловно, возможно. Существуют алгоритмы, основанные на гомологическом преобразовании кривых [10], однако сущность этих алгоритмов такова, что в них явным образом не затрагивается понятия диаметров кривых. Поэтому задача коллинеарного преобразования различных видов коник в окружность (или друг в друга) не описывается единым алгоритмом, что нарушает стройность теории проективной геометрии.
В литературе остается незамеченным тот факт, что на самом деле необходимую коллинеацию совсем несложно определить, используя только вещественные точки гиперболы, если обратить внимание на то, что в качестве недостающей пары точек можно взять точки пересечения гиперболы с несобственной прямой. Действительно, подстановка в коллинеацию пары точек, полученных от вещественного диаметра и двух несобственных точек гиперболы, и сопоставление с ними аналогичных по природе точек на второй кривой, позволяет определить коллинеацию, однозначно переводящую одну кривую в другую. В этом смысле несобственная прямая, соединяющая две несобственные точки гиперболы, является как бы вторым вещественным диаметром гиперболы. В этом случае алгоритм преобразования кривых друг в друга становится единообразным, а исходные кривые неразличимыми. Исследуя полученный результат в геометрическом эксперименте, переводящем, скажем, сопряженные диаметры эллипса, находящиеся в инволюционном соответствии, в диаметры гиперболы, обнаружим, что на гиперболе диаметры образуют инволюционный пучок прямых, параллельных действительному диаметру гиперболы (рис. 1). Несобственная точка, являющаяся центром этого пучка, находится в точке пересечения вещественного диаметра с несобственной прямой, являющейся, между прочим, образом центра эллипса в установленной коллинеации, то есть в точке, в которой пересекаются все ее диаметры. Такая картина происходящего заставляет задуматься о содержательной части определения центра кривой второго порядка. Ведь при назначенной коллинеации каждой вещественной точке одной кривой соответствует вполне определенная и притом вещественная точка другой кривой, возможно, несобственная. И тогда каждому диаметру, стягивающему точки одной кривой, соответствует вещественный же диаметр другой кривой, возможно, несобственный.
Если под центром кривой второго порядка понимать точку пересечения диаметров, речь о которой шла выше, то процедура коллинеарного преобразования таких кривых друг в друга становится единообразной. Ту точку, которая традиционно называется центром гиперболы и через которую проходят ее асимптоты, можно было бы назвать ее антицентром. Аналогичная точка, между прочим, есть и у эллипса. Так, например, если в коллинеации, переводящей гиперболу в эллипс, задать преобразование асимптот гиперболы, то получим две параллельные прямые, касательные к эллипсу в одном из его диаметров и пересекающиеся в точке, являющейся «антицентром» эллиптической кривой (рис. 2).
Данный результат был получен в результате проведения многочисленных геометрических экспериментов с кривыми второго порядка в среде системы Симплекс и анализа получаемых картин. Безусловно, результаты этого эксперимента еще требуют осмысления и тщательной проверки, однако уже сам тот факт, что коллинеарное преобразование, позволяющее переводить одну кривую второго порядка в другую кривую единым для всех кривых способом, а не искусственно разными алгоритмами, побуждает к раздумьям о содержании определений и терминов, которые традиционно используются в проективной геометрии. Стройность и лаконичность полученных алгоритмов стали определяющими факторами в пользу того, что функция нахождения центра кривой второго порядка в системе Симплекс была переопределена в соответствии с изложенными выше соображениями.
Инволюция сопряженных диаметров коник при установленном коллинеарном преобразовании эллипса в гиперболу
Преобразование асимптот гиперболы в линии, касательные к эллипсу
Гирш Антон Георгиевич (25 февраля 2016 г. 14:53) |
Здравствуйте Денис Вячеславович. Хорошая, грамотная работа, на хорошей математической основе. Через исследование коник, несобственных элементов и, извините, комплексных элементов, уточняются фундаментальные вопросы и термины проективной геометрии. Мы, например, начали работу о конвертировании коник от задания их комплексными элементами к заданию их действительными элементами. Без проективной геометрии в этой работе ни шагу. С пожеланием успехов, А.Г. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Волошинов Денис Вячеславович (25 февраля 2016 г. 23:15) |
Здравствуйте, Антон Георгиевич! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Гирш Антон Георгиевич (26 февраля 2016 г. 18:29) |
Денис Вячеславович, какую замечательную задачу вы ставите! От души желаю вам успеха в этом полезном деле. Кажется, нашего полку прибывает. Интерес к комплексным образам проявил и Короткий В.А., и добожелательно воспринимает тему Иванов Г.С. С уважением, Антон Гирш. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Волошинов Денис Вячеславович (27 февраля 2016 г. 0:32) |
Антон Георгиевич! Симплекс доступен по адресу: http://dww.no-ip.org/simplex/. Его можно загрузить и пользоваться - никаких ограничений нет.
Я уже давно писал на конференции о Симплексе, о его достоинствах и преимуществах при решении конструктивных задач в сравнении с системами типа Автокад, Компас и т.п. Они действительно есть, и пишу я об этом вовсе не из-за того, что я автор и продвигаю свою разработку - к Симплексу у меня совершенно спокойное отношение, это моя экспериментальная установка в геометрии, работа над которой доставляет большое удовлетворение - а потому, что мне в определенной степени огорчительно, что многие из наших коллег, которые справедливо и правильно обосновывают важность изучения начертательной геометрии, пытаются реализовывать ее алгоритмы средствами Компаса, Автокада, но убедительного эффекта достичь не могут. Прошу прощения уважаемых коллег, но невостребованными останутся эти старания. К сожалению. И всегда будут предметом критики, критики жесткой и обоснованной.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сальков Николай Андреевич (27 февраля 2016 г. 3:43) |
Денис Вячеславович, здравствуйте! Я не только предлагл, но и повторяю свое предложение как можно быстрее начать публиковать Ваши статьи. Может быть, тогда не только у студентов появится желание хотя бы попробовать применить Симплекс в своих работах. С уважением, Н. Сальков |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Волошинов Денис Вячеславович (27 февраля 2016 г. 11:03) |
Здравствуйте, Николай Андреевич! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Волошинов Денис Вячеславович (27 февраля 2016 г. 11:06) |
Приношу извинения перед читателями: в текст доклада вкралась опечатка. Строку "Определив из системы (1) коэффициенты a, b, c, d и e, запишем систему (2) из уравнения коники и уравнения прямой для определения значений координат искомых точек:" следует читать "Определив из системы (1) коэффициенты a, b, c, d и e, запишем систему (2) из уравнения коники и уравнения окружности для определения значений координат искомых точек:".
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Бойков Алексей Александрович (28 февраля 2016 г. 1:38) |
Здравствуйте, Денис Вячеславович! Большое спасибо за доклад. Как вы верно отметили, "в литературе и в Сети практически нет материалов" по этому и другим, близким вопросам, и все приходится выводить заново, изобретать велосипед. Не встречались ли вам аналитические выкладки к построению коник, касательных к коникам? Прямых, касательных к парам коник? Будет очень хорошо, помимо прочего, дополнить методические материалы конференции публикациями, освещающими во всей полноте те или иные сугубо прикладные вопросы геометрического моделирования: полезно для студентов, занимающихся научной работой, для преподавателей и аспирантов, разрабатывающих технические средства преподавания. Очень рад услышать, что в "Геометрии и графике" будут выходить статьи по Симплексу. Отличная новость! с уважением, Бойков |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Волошинов Денис Вячеславович (28 февраля 2016 г. 16:49) |
Здравствуйте, Алексей Александрович! Большое спасибо за отзыв!
Задача о построениях касательных к двум коникам решается относительно просто, если есть процедура построения точек пересечения двух коник. Осуществим полярное преобразование первой коники относительно второй (красная – в красную пунктирную) и обратно (синюю – в синюю пунктирную). Найдем точки пересечения красной пунктирной коники с синей и синей пунктирной с красной. Полученные точки есть точки качания прямых линий к коникам. В Симплексе полярное преобразование – штатная процедура, которая была однажды запрограммирована для точки (построение поляры по полюсу относительно коники), а потом естественным образом распространена на другие объекты проективной плоскости. Поэтому особенной необходимости искать аналитическое выражение для расчета координат точек касания прямых к коникам нет. Это просто результат последовательного выполнения двух процедур: полярного преобразования и точек пересечения двух коник. Пример решения задачи в Симплексе, соответствующий рисунку, привожу в таблице. Если Вы его повторите, то получите необходимый результат.
Пока готовил пример, обнаружил, что функция пересечения двух коник пару раз дала неверный результат. Это не результат каких-либо ошибок в приведенных формулах. Где-то есть внутренняя ошибка (редко проявляющаяся) в неверной засылке значений во внутренние переменные системы. С подобными явлениями я встречаюсь неоднократно, очень часто они случаются из-за ограничений по точности или из-за недосмотра за выбором возможных альтернативных вариантов. Сбойный вариант я записал. Буду анализировать и постараюсь поскорее устранить причину, после чего сформирую обновление. Если Вы решите создать в Симплексе свой пример и обнаружите, что точки пересечения получились неправильные, то сдвиньте немного точки, задающие исходные коники, чтобы проблема ушла. Я пока не сформировал функцию сопряжения двух коник с прямыми, потому что она требует скрупулезного осмысления проблемы порядка формирования получаемых точек. Если сейчас соединить полученные точки прямыми линиями, а затем начать изменять форму коник, то может получиться, что прямые станут соединять точки не в той последовательности, в которой следовало бы. Над этим еще надо думать. А делать так, как показано в примере, используя функцию «касательная в точке коники», мне не очень хочется, так как этот прием хоть и правильный, но нарушает естественную логику построений. Что касается задачи о сопряжении коник кониками, то в той постановке, в которой Вы ее сформулировали, она не вполне определена. С двумя коникам можно сопрячь множество коник, так же как и в случае сопряжения двух окружностей окружностью (ее радиусы могут быть различными). Поэтому необходимы дополнительные условия. С задачами подобного рода интересно экспериментировать: например, можно выполнить сопряжение двух окружностей окружностью и преобразовать все то, что получится, в некоторой заданной коллинеации. Получатся именно те сопряжения, о которых Вы говорите. Очень много полезного для анализа и компьютерной реализации таких сопряжений можно было бы почерпнуть из статьи В.А.Короткого на конференции КГП 2012 «Центральное проектирование двух компланарных коник в две окружности» – http://dgng.pstu.ru/conf2014/papers/47/. К сожалению, я обнаружил, что доступ к материалам этой конференции сейчас закрыт, а печатной копии у меня, к сожалению не сохранилось. Помню, что именно эта статья мотивировала меня к тому, чтобы ускорить работу над функцией определения точек пересечения двух коник. С нее и начался пересмотр функций Симплекса с точки зрения учета комплекснозначных результатов. Постараюсь поделиться и другими интересными материалами, которые, на мой взгляд, могут быть полезными для работы со студентами, и при успешном их развитии пополнить функциональный состав системы, чтобы всем нам стало возможным решать еще более сложные и интересные задачи. С уважением, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Панчук Константин Леонидович (28 февраля 2016 г. 18:08) |
Денис Вячеславович, здравствуйте! Получил удовольствие и хорошее настроение, прочитав Ваш доклад по кривым второго порядка. Приведу некоторые размышления относительно Ваших “раздумий о содержании определений и терминов, которые традиционно используются в проективной геометрии”. В геометрии, Вы знаете, известен общий проективный подход к исследованию эллиптической (римановой), параболической (евклидовой) и гиперболической (Лобачевского) геометрий на плоскости и в пространстве - так называемые проективные интерпретации Келли-Клейна. В этих интерпретациях евклидова геометрия занимает промежуточное положение между двумя неевклидовыми. При рассмотрении кривых второго порядка в общей проективной схеме центры кривых второго порядка представляют собой вершины полярного относительно кривой и абсолюта треугольника. У кривых второго порядка имеются 3 центра и 3 оси, 6 фокусов и 6 фокальных прямых и др. важные характеристики (Ф. Клейн “Неевклидова геометрия”, Б.А. Розенфельд “Неевклидовы геометрии”). К сожалению, практически отсутствуют геометрические монографии с обстоятельным проективным исследованием неевклидовых плоскостей, в том числе в части кривых второго порядка в них. Но та информация, что имеется в указанных монографиях, наталкивает на мысль о том, не проявляется ли результатами Ваших исследованиях “неевклидовость” евклидовой плоскости. Ведь многие существующие понятия и определения по кривым второго порядка в неевклидовых плоскостях, несмотря на существующий единый системный проективный подход в исследованиях ко всем трем плоскостям, явно отличаются от существующих для проективной геометрии евклидовой плоскости. Может быть стоит посмотреть на результаты Ваших исследований и с этой точки зрения? В 2015 г. нами издана небольшая по объему монография “Кривые второго порядка эллиптической плоскости” с проективно-аналитическими исследованиями. Если хотите – с удовольствием Вам презентую эту работу. С искренним пожеланием успехов, К.Л. Панчук |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Волошинов Денис Вячеславович (28 февраля 2016 г. 23:03) |
Здравствуйте, Константин Леонидович! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Бойков Алексей Александрович (12 марта 2016 г. 14:49) |
Денис Вячеславович, спасибо за решение в Симплексе, интересно видеть решение новых задач в этом замечательном инструменте, еще раз повторюсь, буду ждать статьи в ГиГ с нетерпением! По поводу касательных коник - была такая идея. Мы можем строить окружность, касательно к трем другим прямым или окружностям. Следующим обобщением было бы рассмотреть построение, скажем, параболы (4 параметра) или эллипса (5 параметров), касательно прямым и окружностям в разных сочетаниях, из которых по крайней мере одна - окружность. Очевидно, там порядки будут высокие, но хотелось хотя бы взглянуть на эту систему уравнений. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Гирш Антон Георгиевич (22 марта 2016 г. 1:11) |
Здравствуйте, Денис Вячеславович. 1. С большим интересом прочитал Ваш комментарий "Здравствуйте, коллеги! Хорошо, давайте пофилософствуем, поразмышляем. " Материю вопроса Вы осветили глубоко, подробно, в деталях и на примерах. Такие эссе читать приятно и полезно. Скоротечная жизнь и быт забирает у людей время и силы и у многих не доходит до философствования. Но хотя бы прочтут, как видят некоторые вопросы их коллеги. В ряду, который Вы выстроили по пространствам (димензион), есть один момент, где говорится о влиянии точки на прямую. Здесь, как мне показалось, лежит та, ещё до времени скрытая связь с сопряжённой евклидовой геометрии псевдоевклидовой геометрии. Да, точка, в зависимости от размерности пространства, или нуль-окружность, или нуль-сфера, а эти фигуры ой как влияют на прямые и плоскости. Тут надо мне остановиться, чтобы не растечься по древу … 2. Может Вам будет интересно, я искал точки пересечения коник, напр., двух эллипсов, спускаясь до точки. По главным осям эллипса натягивал на него прямоугольник, главные оси и диагонали дают инволюционный пучок, два эллипса – два пучка. Они имеют один общий луч. В каждом пучке есть сопряжённый ему луч, они пересекаются в некоторой точке. Затем я центрально увеличивал каждый эллипс, пока он не проходил через эту точку. Эти фантомные эллипсы пересекались в точках на общих хордах двух данных эллипсов. Здесь на задачу работает электронная визуализация, на бумаге такое недостижимо. Извиняюсь, если я не по делу. С уважением, Антон Г. Гирш. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Волошинов Денис Вячеславович (22 марта 2016 г. 23:27) |
Здравствуйте, Антон Георгиевич! Большое спасибо Вам за отзыв на мой комментарий! Я не хотел бы, чтобы у читателей создалось впечатление, что в том, о чем я пишу, я всегда абсолютно и безоговорочно прав. Я просто излагаю свои соображения, которые могут быть и ошибочными. Просто это мои взгляды на природу вещей, явления которых мне не удается объяснить каким-либо иным образом, кроме как нарушением обычной привычной логики. Впрочем, многие такие соображения логическим нарушением и не назовешь. Это как бы продолжение естественного хода обычных дел, только с новой «начинкой». Ведь, собственно, идея определения пространств отрицательной размерности, например, исключительно проста. Но к ней трудно подойти, если не иметь опыта замены одних привычных объектов другими, то есть не прочувствовать до глубины души смысл информационного содержания понятия «моделирование», как всеобщего средства познания окружающей действительности. Ведь по сути, я ничего такого сверхъестественного в комментарии не описал: все просто. Логика и только логика. Антон Георгиевич, о природе взаимодействия прямой и точки я тоже много думал. Возможно, Вы правы. Наверное, связи евклидовой геометрии с неевклидовыми геометриями надо искать где-то здесь. В своих рассуждениях я стараюсь придерживаться принципа организации и взаимодействия звезд – организованных пространств, которые размещаются в других операционных пространствах, имеют ядра, определяющие инцидентность своих элементов-лучей определенной размерности. Анализ взаимного соотнесения звезд и их организации позволяет выявлять многие закономерности моделей, которые образуются от этого взаимодействия. Для эпюра Монжа – одной из возможных и наиболее используемых моделей трехмерного пространства – это две звезды с «ядрами» в двух бесконечно-удаленных точках и элементами – прямыми, которые индуцируют на картине (в двух полях) пучки параллельных прямых, проходящих через исключенные образы моделей и играющих исключительно важную организационную роль для этой модели: задают правило моделирования точек (да и всех остальных объектов) на единых линиях связи. Аналогичные явления происходят при организации моделей других пространств, только картина происходящего становится, конечно, иной, но схожей по принципу. Но, в целом, причинно-следственные явления - результатов взаимодействия пространств различной размерности проявляются именно здесь. Пространства отрицательной размерности не должны быть в этом смысле исключением. Та же логика должна прослеживаться и в них. Но поиском этих свойств надо заниматься, и, я думаю, это будет одной из интереснейших задач будущего, которая нам приоткроет завесу тайн мироздания в его исключительно любопытных проявлениях. Если через точку плоски провести пучок прямых и пересечь эти прямые с другой прямой плоскости, то, как известно, между пучком и образованным на прямой линии точечным рядом образуется проективное соответствие. Если допустить мысль о том, что проективитет – это точно такой же полноценный геометрический объект, как и все другие геометрические объекты пространства (хотя мысль «приравнять» преобразование пространства его объектам может показаться безумно), то становится ясно, что этот объект (во множественных проявлениях) присущ и точке, и прямой, которая ее явно не пересекает. Значит, есть что-то такое, что мы явно не видим, но и исключить это из рассмотрения тоже не можем. Интересно, не правда ли? По поводу точки и нуль-окружности (нуль-сферы и т.д.) я придерживаюсь несколько иного мнения. Я не считаю, что окружность при равенстве ее радиуса нулю стягивается в точку. Для меня это нуль-окружность и ничто другое. То, что чисто физически мы воплощаем на бумаге при помощи карандаша, то есть строим предметную, а не абстрактную модель, из ее чисто визуальных свойств, ставящих знак равенства между графическим образом точки и графическим образом окружности, еще не позволяет делать логического заключения о равенстве логическом между этими образами. Можно ведь нарисовать и другую картину. И не единственную. И изотропные прямые – самое сильное тому подтверждение. Об этом, собственно, и шла речь в моем повествовании о «торжестве» терминов и влиянии на этот процесс проекционного схематизма и инвариантной неопределенности. Ведь по аналогичной же причине прямая трехмерного пространства, проходящая через произвольно выбранную точку, являющуюся центром проецирования в выбранном проекционном аппарате центр – плоскость, образует нам на картине проекцию-точку, то есть образ пространственной проецирующей прямой на плоскости. И имея только этот аппарат, мы не сможем по проекции-точке определить, что в индуцирующем ее пространстве источником информации была прямая. Но ведь от этого прямая никуда не делась. Поэтому и следует говорить о том, что не всякая картина хороша для того, чтобы по ней делать окончательные и безоговорочные заключения о мире, который мы видим только лишь через тени – проекции. Если кто-то что-то хочет спрятать в этом мире, то один из самых лучших способов сделать это: разместить объект сокрытия так, чтобы он занял «проецирующее положение» в мире вещей, который мы наблюдаем на картине нашего восприятия, и был бы неразличим в среде ему подобных. Разве не так? Антон Георгиевич, Вы совершенно правы, говорить об этом можно очень долго и интересно и растечься по древу далеко-далеко. Тем более, что все, о чем приходится здесь рассуждать, так тесно, а порою и больно, перекликается с нашей реальной земной жизнью. Второе Ваше замечание очень интересно. Я постараюсь разобраться в Ваших умозаключениях. Если признаться честно, у меня была распечатка всех Ваших публикаций, размещенных некогда на сайте МАИ. Я зачитывался, хотя и не все понимал, и мысль о том, как все это богатство было бы здОрово применить в средствах электронного обеспечения средств решения геометрических задач (то есть разрабатываемой мною системы) меня постоянно одолевала. Это было бы в высшей степени полезно в деле продвижения идей и проекционного геометрического моделирования, и геометрии вообще. Потому что без обобщений геометрии мнимыми образами – ну, просто никак! Я очень надеюсь, что Вы не будете в обиде на мой такой «неофициальный» порыв, хотя я понимаю, что Вашего разрешения на использование материала в своей разработке я не спрашивал. Впрочем, я пока еще и не слишком сильно продвинулся в этом деле. Просто экспериментирую. Мы ведь все проводим исследования на благо нашей науки, которая дарит нам незабываемые ощущения от чувства прозрения и постижения того, чего никто никогда пока еще не видел. Эту распечатку у меня «зачитали». Я, конечно, могу сделать и новую, но руки пока не дошли. Пользуюсь копией сохраненного сайта. Лично, безусловно. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||