ВАРИАТИВНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Рассматриваются различные способы решения позиционных задач. Для этого используется параллельное или центральное проецирование. Более подробно рассмотрены варианты решения первой позиционной задачи.

Целью вариативного обучения математике (а значит и начертательной геометрии) является развитие логики мышления, творческой инициативы, устойчивого формирования знаний, умений выбирать и применять математические (геометрические) знания в исследовании инженерных вопросов. Современные образовательные стандарты требуют вариативности обучения (и решения задач), начиная с начальной школы. Уже в третьем, четвертом классах педагоги предлагают решать простенькие математические (арифметические) задачи несколькими методами.

В начертательной геометрии  изучаются различные способы решения геометрических задач на чертеже: вращение, совмещение, плоскопараллельное перемещение, перемена плоскостей проекций.  Также для решения задач можно использовать  вспомогательное параллельное или центральное проецирование. Поэтому каждая даже самая простая задача имеет вариативность решения и носит творческий характер. Многочисленность способов решения порождает большое разнообразие  операций, как в пространстве, так и на проекционной модели, с помощью которых строятся алгоритмы решения.

Традиционный курс начертательной геометрии предполагает решение некоторых задач несколькими способами. Например, определение истинной величины отрезка прямой, или определение истинной величины и формы фигуры осуществляется с использованием различных способов преобразования чертежа. Так же как некоторые другие метрические задачи, такие, например, как определение расстояния от точки до прямой или плоскости, решаются с преобразованием чертежа или без оного. Что же касается большинства позиционных задач, то в этом случае различие вариантов решения не в чести. Более того, в некоторых случаях предлагается только один алгоритм решения для задач, где различных способов решения значительно больше двух. Это обедняет курс и не приучает студентов к творческому поиску.

Начнем с самой простой задачи, а именно, построения профильной проекции точки. Традиционно ее рекомендуют решать с помощью координатного способа, реже используют постоянную прямую эпюра Монжа (или прямую k_о). Но (по крайней мере нам) неизвестно, чтобы профильную проекцию точки определяли с помощью способа замены плоскостей проекций, заменяя горизонтальную плоскость на профильную.  Конечно, традиционный курс начертательной геометрии предполагает рассмотрение способов  преобразования чертежа после изучения проекционных моделей точки, прямой и плоскости. А почему, собственно?  Нам кажется можно (и нужно) все, так сказать, «инструменты» начертательной геометрии изучить в самом начале курса. Так, сразу после проекций точки следует рассмотреть, во-первых, способ замены плоскостей проекций и, во-вторых, вспомогательное параллельное и центральное проецирование. После разбора прямых общего и частного положения сразу же (до решения задач) рассказать о других способах преобразования чертежа. И тогда самые простенькие задачи можно решать различными способами. Например, определение положения точки расположенной на профильной прямой. Можно строить профильную проекцию прямой различными способами, можно использовать замену одной из плоскостей проекций на любую другую, можно воспользоваться параллельным проецированием на плоскости проекций или на биссекторную плоскость, можно употребить любое вращение или плоскопараллельное перемещение.

Та же история и с задачей построения точки, принадлежащей заданной плоскости. Есть во всех учебниках изложенный способ, связанный с проведением прямых в плоскости. Но ведь можно  эту же задачу решить при помощи вспомогательного параллельного проецирования или используя способ замены плоскостей проекций. И дело не в поиске оптимального способа решения. Такой способ как раз во всех книжках и приведен.  Хотя в случае необходимости определения положения большого количества точек, разбросанных по полю чертежа и принадлежащих одной заданной плоскости, оптимальным как раз может быть решение, основанное на использовании вспомогательного параллельного проецирования на биссекторную плоскость. Дело в том, что требование  решать задачу различными способами заставляет студента шевелить мозгами. Как писал «наше всё» в науке М.В. Ломоносов: «Математику только затем учить надо, что она ум в порядок приводит». Использование одного, пусть оптимального, способа одного решения часто приводит к механическому бездумному проведению линий, можно сказать к запоминанию картинки. Такие действия «ум  в порядок точно не приводят».  У студентов, у молодежи очень хорошо развита зрительная память, и они частенько запоминают последовательность проведения линий и саму картинку, так сказать технологию построения чертежа, а не суть решения задачи. Не знаю как вы, господа читатели, а я частенько прошу студента доказать, что полученный им результат действительно удовлетворяет условию задачи. Например, в задаче требуется при определенных условиях построить точку равноудаленную от двух заданных. Студент представляет абсолютно правильно решенную задачу, все построения и обозначения на месте. Прошу доказать, что построенная точка действительно равноудалена от двух заданных. В ответ в лучшем случае молчание, в худшем – «провожу эту линию, эту точку опускаю, эту точку поднимаю и т.д.», то есть излагает технологию построения, а еще хуже, если прозвучит в ответ: «Потому что в условии так сказано». И в глазах у студента, «измученного нарзаном», то есть разными ГИА и ЕГЭ непонимание: «Ну чего пристал. Задача решена? Решена. Правильно? Правильно. Какие еще вопросы! Закрывай тему! Финиш!» Ведь при сдаче этого пресловутого единого экзамена не надо ничего объяснять, записал ответ и получай свои баллы. Внедрение ЕГЭ в образовательный процесс принесло большое число бед. На нижнем, так сказать преподавательском, уровне это было ясно с самого начала. Теперь, по-моему, это становится ясно и на более высоком уровне. Но это другая тема, которая требует отдельного большого разговора. Здесь же я упомяну только об одной беде – студенты разучились разговаривать, то есть выражать свои мысли вербально. Виноват ли в этом единый экзамен? Безусловно. Устных экзаменов нет, сочинения писать не надо, формулировать теоремы и их доказывать не надо. Когда же и где этому учиться (выражать свои мысли вербально)?  Очевидно, уже в вузе. Не поздновато ли?  Иногда слушаешь ответ студента,  и хочется уши заткнуть. Причем, такой ответ может быть у студента с очень приличным баллом по математике, например, 70 -80 баллов.

Но вернемся, так сказать, к нашим баранам. Требование к студентам решать задачи различными методами в какой-то мере нивелирует эти недостатки.  

Перейду к рассмотрению так называемой первой позиционной задачи. В настоящее время для её решения рекомендуется во всех случаях пользоваться одним всем хорошо известным алгоритмом – проведением вспомогательной плоскости и так далее. Мне кажется, это абсолютно неправильный подход. Во-первых, для различных задач оптимальными могут оказаться различные способы решения, а, во-вторых, не стоит забывать о пользе вариативности решения задач. Тем более, что в начертательной геометрии существует интересная, если не сказать, уникальная ситуация: при решении задачи различными способами картинка (проекционная модель) может быть совершенно одинаковая, а пространственные операции абсолютно различными.

Рассмотрим несколько задач.

Определение точки пересечения прямой с плоскостью.

Традиционно элементы, задающие плоскость, и проекции прямой располагаются на чертеже компактно. Даже в этом случае есть как минимум два подхода к решению: традиционный, состоящий из трех пунктов и второй, который используется значительно реже и состоящий из двух пунктов, а именно:

Почему этот более простой, более очевидный способ реже используется, мы объяснить не можем. Чертеж  при этом абсолютно не меняется, разве что во втором случае исчезает обозначение вспомогательной плоскости.

Теперь отойдем от традиций и отдалим прямую l от геометрических объектов, задающих плоскость (на рис.1 плоскость задана двумя параллельными прямыми a и b). В этом случае открывается широкий простор для решения задачи различными способами. (В некоторых случаях и при компактном расположении элементов удобно пользоваться рассмотренными ниже способами).

Возникает вопрос: «Как «подтянуть» плоскость к прямой»? Можно это осуществить с помощью двух параллельных прямых, принадлежащих плоскости. А можно сделать так, как показано на рис.1 – построить двойную прямую g. Если в курсе начертательной геометрии не упомянута теорема Дезарга, то эту прямую можно интерпретировать как линию пересечения заданной плоскости с биссекторной плоскостью. Или считать эту прямую параллельной проекцией плоскости на биссекторную плоскость, причем направление проецирования можно выбрать параллельно любой прямой, принадлежащей заданной плоскости. Если же в курсе рассматривается теорема Дезарга (и мне кажется, что это необходимо, если есть для этого минимальная возможность), то эта прямая есть ось гомологии, а центром гомологии будет несобственная точка. Тогда имея один и тот же чертеж (рис.1) можно говорить о нескольких вариантах решения задачи:

• с помощью вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости; тогда прямая n  есть линия пересечения вспомогательной и заданной плоскостей;
• с помощью конкурирующих прямых m и n, где прямая n принадлежит заданной плоскости;
• с помощью вспомогательного косоугольного параллельного проецирования на биссекторную плоскость, где направление проецирования выбрано параллельно прямой m, принадлежащей заданной плоскости, при  m₂ = n₂ . Тогда точка X есть вспомогательная проекция искомой точки K на биссекторную плоскость;
•  с помощью теоремы Дезарга или гомологии. В этом случае искомые точки  K должны быть соответственными в заданной гомологии, то есть принадлежать соответственным прямым, которые в свою очередь должны пересекаться на оси гомологии.

Кроме этого, эта же задача может быть решена еще двумя способами, но при которых чертеж будет отличаться от приведенного на рис.1.

На рис.2 приведено решение той же задачи так же с использованием вспомогательного косоугольного параллельного проецирования. Но в этом случае направление проецирования выбрано параллельно любой прямой, задающей плоскость. Тогда прямая  l_в  является проекцией заданной прямой l на биссекторную плоскость, а точка X  пересечения  l_в   с двойной прямой g – проекция искомой точки K на биссекторную плоскость.  В некоторых случаях можно несколько сократить количество линий, необходимых для построения прямой l_в . Так, если проекции заданной прямой параллельны между собой, то и прямая l_в будет им параллельна, а если их проекции пересекаются, то и прямая  l_в  пройдет через точку их пересечения.

На рис.3 эта же задача решена с применением способа замены плоскостей проекций. В этом случае главное правильно выбрать, первое, положение исходных плоскостей проекций (а значит положение оси  x) и, второе, положение новой плоскости проекций (положение оси x₁). Тогда новые проекции заданных плоскости и прямой будут располагаться в удобном месте и точка их пересечения будет найдена без больших проблем.

Итак, даже самые простые позиционные задачи можно (и нужно) решать достаточно большим количеством разнообразных способов.

Перейдем к рассмотрению  следующей позиционной задачи, а именно, определение точек  пересечение прямой с поверхностью прямого кругового конуса.

Если «погуглить» в интернете (любимое выражение продвинутой молодежи) или поискать в учебниках по начертательной геометрии, то найдется одно единственное решение этой задачи (по крайней мере мы только однажды нашли решение, имеющее тот же традиционный чертеж, но другое объяснение) при котором используется вспомогательная плоскость, проведенная через вершину конуса. Остается за скобками способ решения этой задачи с помощью вспомогательных проецирующих плоскостей.  (Кстати, и в этом случае можно говорить не о вспомогательных плоскостях, а о конкурирующих линиях:  одна – заданная прямая, другая – линия принадлежащая поверхности).  А зря.  Предлагая студентам решать задачу и этим способом, мы убиваем двух зайцев. Во-первых, они, разумеется, узнают о многообразии решений одной и той же задачи, а, во-вторых, учатся строить кривые второго порядка  и изучают их свойства. Конечно, нельзя допускать, чтобы построение кривой происходило по бездумно построенным точкам, принадлежащим поверхности. Нужны только характерные точки, а далее для построения должны быть использованы свойства кривой. Так, например, для построения эллипса достаточно отыскать большую и малую оси. Можно пообсуждать со студентами и различные свойства эллипса и попросить найти его фокусы.

Следующее решение той же задачи (при неизменном чертеже) – построение центральной проекции конуса и прямой на плоскость основания когда центром проекций является вершина конуса. Тогда окружность основания есть центральная проекция конуса, а точки пересечения центральной проекции прямой с окружностью есть центральные проекции точек пересечения.

Еще одно решение представлено на рис.4. В этом случае задача решена с помощью косоугольного параллельного проецирования на плоскость основания конуса, причем направление проецирования выбрано параллельно заданной прямой. Тогда точка с координатами (X_s,Y_s) есть параллельная проекция вершины конуса, а точка с координатами (X_l,Y_l) – параллельная проекция заданной прямой. Прямая, проходящая через две эти точки есть параллельная проекция образующей конуса, на которой находятся искомые точки. Разумеется, точно такой же чертеж будет соответствовать решение при помощи вспомогательной плоскости, проходящей через вершину конуса. 

Итак, рассматриваемую задачу можно решать шестью различными способами. Теми же способами  могут быть решены  аналогичные задачи для цилиндрических поверхностей,  приз и пирамид. Может возникнуть вопрос: «А зачем огород городить? Есть один универсальный способ и ничего другого и не надо». Во-первых, ответ на этот вопрос дан в первых строках сей статьи. А, во-вторых, ответим  вопросом на вопрос: «А зачем вообще нужно находить точку пересечения прямой с плоскостью или поверхностью конуса?  Если эта задача имеет какое-то практическое значение, то не проще ли её решить аналитически?»  Выберем систему отсчета так, как показано на рис.4.

Конус может быть задан своей высотой  H  и радиусом основания R. Фронтальная проекция прямой задается уравнением z = a₂ x + b₂ , а горизонтальная -  y = a₁ x + b₁  . 

      Прямая, проходящая через точки  Y_s  и   Y_i ,  имеет вид:   y = Ax + B ,

где           ;  ..

Далее находим координаты точек пересечения этой прямой с окружностью основания, для чего решается простенькое квадратное уравнение. Результат:

Легко определяются и координаты Y_1,2 .

Далее записываем уравнение одной из образующих конуса:

.

И, наконец, находим координаты одной из искомых точек:

Понятно, что координата Y  будет определена из уравнения горизонтальной проекции точки, а координата Z – из уравнения фронтальной проекции.

      Теперь можно соорудить простенькую программу для расчета координат точек пересечения прямой с поверхностью прямого кругового конуса и быстренько получать результат с большой точностью.

      Можно и без использования вычислительной техники достаточно быстро вычислить искомые координаты, особенно если все параметры задать зависимыми от высоты конуса H, а саму высоту считать равной H =1 .

         Подведем итоги.

1. Мы считаем, что при изучении дисциплины «Начертательная геометрия» нельзя для решения даже самых простых задач рекомендовать один единственный оптимальный (или кажущийся оптимальным) алгоритм решения задачи. Это приводит к механизации получения решения, отучает студента от мыслительной деятельности, убивает творческую инициативу.
2. Мы считаем, что в условии задачи геометрические объекты не надо располагать компактно, удобно для решения задачи. Привычные необходимые для решения точки и линии должны располагаться за пределами чертежа, другими словами условия должны принципиально  отличаться от тех, которые рассматриваются на лекции или в учебниках. Ведь в практической деятельности не бывает удобных для решения условий и студентов с раннего студенческого детства необходимо к этому приучать.

В заключение случай из жизни. В девяностые годы и в начале двухтысячных мы по роду своей деятельности ездили по городам и весям нашей необъятной Родины (и не только) с одной целью – найти способных школьников и предложить им поступать в наш славный «ВОЕНМЕХ». Для этого проводились тренировочные тесты по математике и физике. И вот случались такие казусы:  решается квадратное уравнение, под корнем предположим 54, ответ школьника – задача решения не имеет. Почему? Корень не извлекается. Оказывается,  в школе все задачи подбирались таким образом, чтобы не мучиться с решением:  корень извлекается только нацело, дроби только простенькие etc.  

Нам не хочется, чтобы студент, увидев условие задачи, сказал, что задача не имеет решения только потому, что решение уходит за привычные ему рамки.

Рисунки к докладу

Горнов Александр Олегович (12 марта 2016 г. 2:10)	Константин  Олегович, Александр  Николаевич, здравствуйте!  Немножко  дополню интересную тему  статьи  фрагментами своего опыта  и  методических  приёмов , которые иногда, по своему “настроению” или студентов  и  наличии времени периодически использую. Но при этом я “педалирую”  прикладные аспекты наличия вариантов решения. Так, например, в задаче как на рис.4  я подхожу как к  построению  картины  теней на горизонтальной плоскости ( в частности )  , когда  лучи солнышка  параллельны прямой,   претендующей пересечь поверхность  конуса и это прямая  будет иметь тень в  виде точки, принадлежащей  каркасной  линии конической поверхности,  с которой  заданная прямая возможно пересекается. Тень второй точки  этой линии каркаса - естественно тень вершины. Конечно  графика та же, что и ваш рис.4.  В  аналогичных  “благоприятных условиях”  в” образе теней”  предлагаю решить задачу и о пересечении  прямой с  плоскостью ….   Мне кажется, что   решение пространственных  задач с помощью  дополнительных  косоугольных  или   центральных  проекций  очень  интересно и  полезно для  жизненной и инженерной  практики.  Мы  же постоянно , чаще и “не отдавая себе в этом отчета” ,   анализируем  пространство и днем и ночью (при различных условиях освещения),   в котором не только сами объекты, но и их тени ( на предметные ” Н” ,”F”, “Р”)  Причем,  последние строятся  вне зависимости от чьего либо желания и отношения к   проекционным  процедурам   или  знаниям   методов  НГ. Умение читать тени  (в реальном времени! и динамических  ситуациях), на  мой  взгляд,  элемент  геометрической  культуры  и  один из методов  чтения  пространственной  ситуации  в  технических  и  технологических  целях  в открытом  или  замкнутом пространстве.  Это  те ситуации,  когда  решать  эти задачи, если решать, придется  пока уж точно без  помощи  РC  и  ПО. На  эту  тему,  и именно в таком, прикладном , аспекте заготовил статью ( уже упоминал об этом в одном комментарии), но пока отложил. И  второе, что  у меня в контексте вариативности постановки задач НГ или  ИГ. В проектно- деятельностной  практике  фундаментальное  значение имеют  процедуры  выбора ( определение и анализ  лучшего или худшего из “возможного” ) . А  под возможным (или допустимым ) могут выступать как  методы решения ( например задачи как на рис.4) так  и результаты  решения при  соответствующей  начальной  постановке  задачи. А  с  выбором  всегда связаны показатели качества.  Поэтому, даже   в  этой  задаче задаю при анализе какое либо скалярное или, хотя бы двумерное “качество”.  В первом случае, например  время решения в данной ситуации. Такие постановки в моем совместном опыте с профессиональным конструктором  И.А. Еременко ( сыном  маршала), когда он еще здравствовал, были и более интересные  на материале  формирования чертежа сборочной единицы.  Был  разработан комплект  заданий, в котором  задавалось  ядро базовой конструкции и  варианты  узлов, которые предстоить  конструктивно сопрячь  с ядром. Но для каждого  студента  задавалась  та или иная  совокупность  показателей качества  и  тот или иной критерий  предпочтения  выбора  варианта  узла.  И сначала они, используя  элементарные алгоритмы  выбора,  определяли “их”  узел, а  потом  выполняли конструктивную адаптацию  узла  к  ядру  и   чертеж  СБ. Близкие  постановки  задач мы в прошлом году  обсуждали с коллегой  В.П. Варушкиным  из  ПНИПУ. Для  фрактальной  практики  такой  постановки задач выросли известные препятствия, о которых  лишний  раз “не  хочется”,  но  на основе  компьютерных  технологий  такие постановки  вполне  возможны.                   Спасибо, за интересные примеры и  тему. С  уважением, А.О.
Тихонов-Бугров Дмитрий Евгеньевич (12 марта 2016 г. 13:03)	Александр Олегович, спасибо за замечание о том, что умение читать тени - элемент геометрической культуры. Очень правильно!
Лызлов Александр Николаевич (13 марта 2016 г. 14:36)	Уважаемый Александр Олегович, здравствуйте! Огромное спасибо за ценные замечания и поддержку. Энное количество лет тому назад в своих лекциях я уделял достаточно много времени построению теней. Но это было другое время и другие студенты. Теперь о тенях мы вспоминаем, когда придумываем задачи для олимпиады по начертательной геометрии, разумеется задачи, имеющие прикладное значение.  С уважением, А.Н.Лызлов
Бойков Алексей Александрович (14 марта 2016 г. 0:58)	Уважаемые Александр Николаевич и Константин Олегович, спасибо за интересный доклад с хорошими примерами. Полностью поддерживаю вашу точку зрения насчет необходимости изучать разные способы решения задач, в том числе при помощи аффинных и проективных преобразований, дополнительного параллельного и центрального проецирования. Боюсь только, реальных часов на изучение дисциплины в большинстве вузов попросту не хватит, ведь каждый из этих интересных способов требует времени - показать применение, объяснить сущность, попробовать, закрепить. Чтобы был эффект, показать надо не один раз.  Ограничено не только число часов в аудиториях, но и часы самостоятельной работы расписаны в РПД. Формально: одно только домашние графические работы требуют многих часов от первокурсников. Физически: у них еще высшая математика, физика, химия... - пятилетняя программа, "сжатая" в четыре бакалаврских года, и более слабая школьная подготовка. Плюс отсутствие материала в учебниках и задачниках основного фонда литературы (последние 5 лет!). Фактически, все это богатство методов остается для факультативов с олимпиадниками. С уважением, Бойков
Тихонов-Бугров Дмитрий Евгеньевич (14 марта 2016 г. 12:07)	Уважаемый Алексей Александрович, среди учеников Лызлова и Глазунова, к счастью, пока 40% специалистов, а не бакалавров. К сожалению, и среди них попадаются такие о которых Вы пишете в своей статье: не понимают, как две палочки на чертеже представляют одну. Это - паталогия. Следствие ущербности школьной программы и ЕГЭ в первую очередь. Таким не стоит рваться в инженеры. И отчислить их - проблема. Вам, наверное известно, что невыплнение госзаказа на 10% влечёт за собой закрытие финансирования вуза. Вот Лызлов и Глазунов, как и остальные преподаватели кафедры, проводят четырёхчасовые еженедельные СРС (самостоятельная работа студента под руководством преподавателя), где те студенты, которым это надо, получают ответы и помощь. Эта нагрузка лежит за пределами официальной, но таково требование времени, и преподаватели не ропщут. А Лызлов и Глазунов ещё возятся со способными, где это богатсво применимо. Благодарю Вас за высокую оценку работы коллег. Ваше авторитетное мнение для нас очень важно.
Лызлов Александр Николаевич (15 марта 2016 г. 0:04)	Уважаемый Алексей Александрович! Спасибо за высокую оценку нашей работы. И с Вашего позволения несколько замечаний.  1. Вспомним незабвенного Владимира Ильича; "Лучше меньше, да лучше". Можно сократить число задач, но просить студентов решать их различными способами.  2. Времени на самостоятельную работу достаточно ( если посмотреть учебные плаы ). Мне кажется. что в последние годы появилось такое мнение, что наши бедные детишки слишком перегружены. Наше поколение, оканчивая школу, сдавало в июне 7 ( или 8) экзаменов, а затем в августе еще 5 вступительных. Что происходит теперь Вы прекрасно знаете. Хочешь достигнуть чего-то в жизни вкалывай. Любой спорсмен начинает вкалывать с 5-7 лет. При этом он необязательно станет олимпийским чемпионом. К сожалению, школа не приучает молодежь много работать. Поэтому не надо бояться нагружать студентов, но при этом и преподавателю приходиться поработать. Как отметил Дмитрий Евгкньевич, у нас есть СРС, где можно общаться со студентами и отвечать на вопросы. 3. Проще всего с литературой. Можно написать  учебное пособие или методические указания. Кстати, в этом случае отпадает необходимость объяснять материал несколько раз. С уважением, Лызлов А.Н.
Бойков Алексей Александрович (17 марта 2016 г. 22:55)	Уважаемые Александр Николаевич и Константин Олегович, Вы делаете большое дело, и то, что Вы делитесь своим опытом, тоже очень важно. Доклад замечательный, я точно возьму кое-что на вооружение. Что касается загрузки детей, я наблюдал за своей специальностью, хотя непосредственно НГ я у них не читаю, но на втором курсе мы с ними занимаемся алгоритмами машинной графики. Разговаривая о том, что и как они изучают, что успевают, и вспоминая себя в их возрасте, я пришел к выводу, что все-таки у меня было больше свободного времени. В частности, я каждый день мог позволить себе час-два программировать "для души" и даже еще посещал кружки, а они, такое ощущение, что все время только выполняют домашние задания. Может быть, причина в том, что они хуже подготовлены, и те задачи, которые у меня требовали полчаса, отнимают у них часы. Впрочем, могу ошибаться, спорить не стану.