|
|
Волошинов Денис Вячеславович | (Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича) |
|
|
Селезнев Владислав Сергеевич | (Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича) |
Статья посвящена рассмотрению ряда вопросов инструментального воплощения преобразования инверсии относительно действительных окружностей и окружностей, имеющих мнимый радиус, в среде системы Симплекс. Представлен алгоритм, позволяющий решать задачи на построение образов геометрических объектов относительно сфер инверсии в пространствах произвольных размерностей.
В статьях [1-3] был высказан ряд соображений по поводу создания виртуальных геометрических инструментов, позволяющих существенно расширить спектр решаемых задач конструктивной геометрии. В данной статье рассмотрим еще один такой инструмент, отвечающий за реализацию преобразования инверсии [4].
Пусть на плоскости заданы две окружности a и b, пересекающиеся в двух действительных точках (рис. 1). Проведем через центры Ca и Cb этих окружностей прямую линию t, которую пересечем с окружностью a в точках A1 и A2, а с окружностью b в точках B1 и B2. Определим на прямой t две инволюции: pr1 точками A1, B1, A2, B2 и pr2 точками A1, B2, A2, B1. Двойные точки T1 и T2 первой инволюции pr1, взятые, как диаметральные, позволят нам построить окружность u, а двойные точки W1 и W2 инволюции pr2 - окружность v. Обе окружности u и v являются представителями пучка окружностей, к которому принадлежат исходные окружности a и b и проходят через центры пучка F1 и F2. Окружности u и v являются ортогональными по отношению друг к другу: каждая из них переходит сама в себя при преобразовании инверсии по отношению ко второй окружности этой пары. Условно назовем такие окружности инверсии сопряженными.
Выберем теперь где-нибудь на плоскости точку X и получим ее образы Xu и Xv в инверсии относительно окружностей u и v. Окружность w, проведенная через X, Xu и Xv проходит перпендикулярно пучку окружностей, задаваемому центрами F1 и F2. Это свойство позволяет нам определять положение точки Xv косвенно даже в том случае, если окружность v неизвестна. Зная точку X, проведем через нее окружность w, ортогональную к а и b. Зная точку Xu, проведем через нее и точки F1 и F2 окружность z, принадлежащую исходному пучку. В пересечении w и z образуют две точки: Xu и Xv. Первая из них - известна. Искомой является вторая точка Xv.
Рис.1. Образование сопряженных окружностей в пучке, заданном двумя другими окружностями
Придадим теперь перемещение окружности b. Из иллюстрации видно, что независимо от того, что окружность v становится окружностью с мнимым радиусом, общее геометрическое построение по-прежнему существует и позволяет получить точку Xv даже в том случае, если окружность v является мнимой. Тем самым мы наметили путь к тому, чтобы определить преобразование инверсии не только для вещественных окружностей плоскости, но также и для окружностей с мнимым радиусом.
Рис. 2. Демонстрация существования преобразования инверсии точки относительно сопряженных окружностей инверсии, в том числе, если одна из них имеет мнимый радиус
Результат косвенного преобразования точки в инверсии, безусловно, не зависит от произвола выбора сопряженной окружности инверсии (рис 3).
Рис. 3. Конструктивная связь образов точки в инверсиях относительно сопряженных инверсионных окружностей
Пусть теперь на плоскости задана окружность с мнимым радиусом v и точка Х, образ которой требуется построить в инверсии относительно окружности v. Зададим произвольно прямую rxm и найдем точки M1 и M2 ее пересечения с окружностью v. Выбрав на плоскости произвольно точку M, проведем через нее и через точки M1 и M2 окружность m, являющуюся представителем пучка окружностей, заданных мнимыми центрами M1 и M2. Начертим произвольно, но так, чтобы она не совпадала с прямой rxm, прямую rxn и найдем точки N1 и N2 ее пересечения с окружностью v. Выбрав на плоскости произвольно точку N, проведем через нее и через точки N1 и N2 окружность n, являющуюся представителем другого пучка окружностей, заданных мнимыми центрами N1 и N2.
Проведем теперь через точку X окружность mw, перпендикулярную радикальной оси rxm и окружности m, и окружность nw, перпендикулярную радикальной оси rxn и окружности n. Точка пересечения этих окружностей Xv является образом точки X в инверсии относительно окружности с мнимым радиусом v (рис. 4).
Рис. 4. Построение образа точки в инверсии относительно окружности с мнимым радиусом
В инверсии окружности относительно окружности с мнимым радиусом образ и прообраз не имеют общих действительных точек пересечения, в то время как прямая линия по-прежнему преобразуется в окружность, проходящую через центр окружности инверсии (рис. 5).
Рис. 5. Пример преобразования действительной окружности в инверсии относительно окружности с мнимым радиусом
Реализовав полученный алгоритм, как самостоятельную процедуру, и подключив его к уже имеющейся в системе Симплекс функции преобразования точки относительно действительной окружности инверсии, получаем инструмент, пригодный для решения задач о построении образов точек и иных объектов относительно сфер с мнимыми радиусами в пространствах произвольных размерностей. Покажем пример реализации подобного алгоритма на модели G322.
Пусть задана сфера с действительным радиусом, относительно которой как сферы инверсии требуется найти образ точки, заданный проекциями своих очерков a1 и a2, а точка проекциями X1 и X2. Выполним замену плоскостей проекций таким образом, чтобы проекция отрезка, соединяющего точку X с центром сферы, была изображена в натуральную величину. В этой проекции находим образ точки X3 - точку N3. Нам остается вернуть точку N в исходные поля, что делается элементарно. Как видно, алгоритм не зависит от того, каким будет радиус исходной сферы - вещественным или мнимым. Естественно, представленный алгоритм легко распространяется на пространства любой размерности [5, 6].
Рис. 6. Пример построения точки относительно сферы инверсии на модели G322
Таким образом, нами разработан еще один полезный виртуальный геометрический инструмент, который находит применение при поиске общих решений задач, представленных в проективной постановке.
1. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Закладываем основы // Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII международной Интернет-конференции. Февраль - март 2017 г. Пермь, 2017.
2. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Новый геометрический инструмент // Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII международной Интернет-конференции. Февраль - март 2017 г. Пермь, 2017.
3. Волошинов Д.В. Геометрическая лаборатория. Инструменты ортогональности // Качество графической подготовки: проблемы, традиции и инновации: Материалы VII международной Интернет-конференции. Февраль - март 2017 г. Пермь, 2017.
4. Бакельман И.Я. Инверсия. М.: Наука. 1966, 79 с.
5. Волков В.Я., Юрков В.Ю., Панчук К.Л., Кайгородцева Н.В. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования: учебник / В.Я.Волков, В.Ю.Юрков, К.Л.Панчук, Н.В.Кайгородцева. - Омск: Изд.-во СибАДИ, 210. - 253 с.
6. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения. Изд. 2-е. - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 282 с.