| Дмитриева Ильзина Михайловна | (Мытищинский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана) | |
|
|
Иванов Геннадий Сергеевич | (Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана) |
Статья посвящена обоснованию внутрипредметных и межпредметных компетенций в преподавании начертательной геометрии. Внутрипредметные компетенции базируются на сочетании графических и аналитических способов решения геометрических задач, что следует из известного принципа двойственности. Начертательная геометрия при расширении ее предмета формами многомерного пространства способна обеспечить ряд смежных разделов курса высшей математики. Этот тезис подтверждается рассмотрением конкретных задач линейной алгебры и геометрии.
Методика и практика геометро-графической подготовки студентов технических вузов в современных условиях должны реализовываться в рамках внедрения в учебный процесс компетентностного подхода «как ключевого элемента новизны и главного принципа проектирования ГОС ВПО» [1]. Его реальное внедрение в преподавание геометро-графических дисциплин (начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика) возможно, по-видимому, только при условии трансформации курса начертательной геометрии в инженерную [3]. В этом случае объем и глубина геометрических знаний позволит студентам полноценно изучить не только курсы инженерной и компьютерной графики, но и смежные разделы курса высшей математики.
Такая модернизация курса (начертательной геометрии) обеспечит, по нашему мнению, геометрическое сопровождение при изучении последующих дисциплин инженерного образования (САПР, математическое моделирование и др.). Это можно реализовать за счет:
1) усиления внутрипредметных компетенций в виде рационального сочетания синтетических и аналитических способов решения геометрических задач, то есть отказа от догматического понимания начертательной геометрии как сугубо графической дисциплины;
2) установления междисциплинарных компетенций на базе расширения предмета начертательной геометрии многомерными формами.
Теоретическое обоснование тезиса об усилении внутрипредметных компетенций в преподавании начертательной геометрии дано в нашей статье [4]. Здесь показано наглядное построение многомерного проективного пространства, дано синтетическое и аналитическое описание его линейных форм, подсчетом их
параметров выявлена их симметричность. Существование двойственных пар линейных форм объясняет диалектическое единство синтетических и аналитических способов решения геометрических задач.
Это единство иллюстрируется на примерах
Тезис о возможности и целесообразности установления междисциплинарных компетенций проиллюстрируем на показе единства предмета линейной алгебры и многомерной начертательной геометрии на следующих двух примерах.
Пусть на чертеже Монжа даны три плоскости общего положения 
, 
, Г. Требуется построить их общую точку К.
Как правило, в начертательной геометрии эта задача решается в такой последовательности:
строится линия l пересечения плоскостей и ;
строится искомая точка K пересечения прямой l и плоскости Г.
На языке линейной алгебры эта задача сводится к решению системы трех линейных уравнений плоскостей , , Г с тремя неизвестными:
Она решается методом последовательного исключения неизвестных. Например, умножив первое уравнение на число 
и сложив со вторым уравнением, получаем новое уравнение от двух неизвестных x и y:
(2)
Геометрически это означает, что в пучке плоскостей, заданном осью 
выбрана горизонтально проецирующая плоскость Ф, определяемая уравнением (4).
Отсюда следует рациональный алгоритм графического решения данной задачи:
одну из заданных плоскостей , используя какое-либо преобразование, например, замену плоскости проекций, преобразуем в проецирующую 
;
в преобразованной системе строим линии 
, 
пересечения проецирующей плоскости с плоскостями общего положения 
, 
;
строим точку 
и обратным преобразованием находим искомую точку K в исходной системе координат.
В качестве второго примера рассмотрим решение системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.
Дана система четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными x, y, z, t
(3)
т. е. имеем четыре 3- плоскости четырехмерного пространства. Они пересекаются в одной точке K, если система (3) совместна.
Если большинство студентов прекрасно понимают геометрический смысл линейных уравнений от двух (x, y) и трех (x, y, z) неизвестных, то линейное уравнение от четырех и более неизвестных ставит их в тупик. На кафедрах высшей математики их учат решать системы линейных уравнений, но не объясняют геометрического смысла уравнения, систем уравнений, условий их совместности и т.д. Это же в полной мере относится к преподаванию дифференциального и интегрального исчисления функций многих (более двух) переменных, а также других разделов высшей математики (математическое программирование, решения оптимизационных задач и т.д.). Поэтому представляется обязательным при трансформации начертательной геометрии в инженерную обобщение 2-, 3-пространств на многомерные общеизвестных линейных (точка, прямая, плоскость) и нелинейных (кривая, поверхность) на многомерные. Такое обобщение, по нашему глубокому убеждению, обеспечит возможность установления реальных междисциплинарных компетенций между многомерной геометрией и смежными математическими дисциплинами.
Далее, вернемся к решению системы (3): даны четыре 3-плоскости четырехмерного пространства; считая систему совместной, требуется построить их общую точку K.
Геометрически решение этой системы можно объяснить как определение точки K пересечения гиперплоскости 
, заданной первым уравнением системы (3) и прямой l, заданной системой последних трех ее уравнений [2].
Эту систему трех уравнений с четырьмя неизвестными путем элементарных преобразований приводим к системе уравнений
(4)
трех проецирующих плоскостей 
, 
, 
.
Это равносильно заданию прямой l на обобщенном чертеже Монжа ее проекциями 
, 
и 
(на рис. вырожденные проекции 
не обозначены).
3- плоскость задаем проекциями определяющих ее четырех независимых точек A, B, C, D, то есть проекциями 
, 
, 
тетраэдра ABCD. Тогда графически задача решается в такой последовательности.
Через прямую l проводим проецирующую вспомогательную гиперплоскость 
, которая пересекает данную гиперплоскость по 2- плоскости 
На чертеже в качестве точек 1, 2, 3 выбираются три точки пересечения вырожденной проекции 
плоскости 
с любыми тремя сторонами тетраэдра ABCD. В результате размерность задачи понижается на единицу и сводится к определению точки K пересечения прямой l (l2 , l3) c 2- плоскостью Г2(123). Эта задача решается по общеизвестному алгоритму: через прямую l проводим проецирующую 2-плоскость 
, которая пересекается с 2- плоскостью Г2(123) по прямой m (4, 5). Построенная прямая m пересекает данную прямую l в искомой точке K
), проекции K1, K2 строятся из условия принадлежности прямой 
.
Таким образом, размерность задачи последовательно понижается на единицу 4 → 3 → 2 → 1, то есть графическое решение наглядно демонстрирует метод Гаусса о последовательном понижении размерности решаемой задачи и, как следствие, о месте начертательной геометрии в системе высшего технического образования.
1. Байденко В.И. Выявление состава компетенций выпускников вузов как необходимый этап проектирования ГОС ВПО нового поколения. Методическое пособие, 2006. [Текст] / В.И. Байденко: - М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов.
2. Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст] / Г.С. Иванов. М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012.
3. Иванов Г.С. Предыстория и предпосылки трансформации начертательной геометрии в инженерную [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика, М.: ИНФРА – М, 2016. Т. 4. Вып. 2. С. 29-36.
4. Иванов Г.С. Принцип двойственности – теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. М.: ИНФРА – М, 2016. Т. 4. Вып. 3. С. 3-10.
Селиверстов Александр Владиславович (1 марта 2017 г. 0:58) |
Уважаемые Ильзина Михайловна и Геннадий Сергеевич! |
Шацилло Людмила Анатольевна (1 марта 2017 г. 16:37) |
Александр Владиславович! 1. «Когда я учился, геометрический смысл этих понятий был объяснён и всем ясен!» А когда училась я – нам вообще все было понятно. А теперь … Другие времена и нравы. 2. «Действительно ли необходима четырёхмерная геометрия в техническом вузе?» В области техники изучаются, в основном, 3-х мерные объекты. Многомерная геометрия – думаю на уровне, когда это необходимо, научных исследований. Не для студентов первого курса, согласна с Вами. 3. «К сожалению, неудачное преподавание может обернуться нежеланием изучать даже более лёгкие разделы геометрии.» В публикациях журнала «Школа и производство» в 80-90г. отмечалось: уровень развития пространственных представлений при изучении черчения с 6-х классов был » (10¸15)%, а при начале изучении в старших классах достигал » (60¸75)%. Уровень восприятия графических объектов обучающихся даже одного возраста может существенно отличаться. Если обучающий материал не соответствует уровню его восприятия, то обучение напрасно. Работа в рамках профориентации с мотивированной молодежью, выбравшей дальнейшее образование в области техники и технологии, позволяет повысить начальный уровень подготовки будущих абитуриентов технических вузов. Но в Европах и Америках нет черчения в школах. Это я наблюдала с 90-х годов течение 17 лет в Англии и в 2011г. в США. Есть «Технология». Вот над ее содержательной частью, осваиваемой в проблемно-ориентированном обучении методом проектов, когда в классе 5 преподавателей, и необходимо напрячься научно-образовательному сообществу. Мы Е.В. Усановой уже писали об этом. С искренним уважением, Е.В. и Л.А. |
|
Селиверстов Александр Владиславович (2 марта 2017 г. 1:03) |
Здравствуйте, Людмила Анатольевна! В той школе, куда хожу на родительские собрания, графическая подготовка если и существует, то лишь формально. А метод проектов в этой школе применялся до поры. Однако после недавнего слияния нескольких школ и нескольких замен директоров за короткий срок, о таких проектах больше не вспоминали. Выполнение этих проектов напоминало выполнение студентами курсовых работ, но в сильно упрощённом варианте, допускалась совместная работа нескольких учеников. Это была хорошая идея, но не слишком долговечная. |
|
Иванов Геннадий Сергеевич (2 марта 2017 г. 15:39) |
Уважаемые Александр Владиславович и Людмила Анатольевна! Благодарим за вопросы и комментарии к нашей статье. Ваш вопрос: «Действительно ли необходима четырехмерная геометрия в техническом вузе?» На данном этапе (!) речь идет не о преподавании начертательной геометрии многомерного пространства, а о целесообразности введения понятия многомерного пространства (число независимых точек, задающих линейную форму; формулы для подсчета размерностей объемлющего пространства и пространства пересечения p- и q- плоскостей; обобщение кинематического способа образования поверхностей хотя бы на четырехмерное пространство). Это необходимо для объяснения геометрического смысла вопросов решения систем линейных уравнений; понятий частных производных; определенных интегралов от функций трех и более переменных, а также других разделов курса высшей математики (задачи линейного, геометрического и др. программирований). Наш опыт работы со студентами первого курса по линии НИРС по установлению межпредметных связей геометрии и линейной алгебры подтверждает реальность наших предложений. В перспективе (!) вопреки заявлениям некоторых радикалов «о начертательной геометрии – как умирающей науке», речь идет о трансформации начертательной геометрии в инженерную. [3]. Проблема видится в другом: готовы ли преподаватели кафедр инженерной графики воплотить эту идею в жизнь? Представляется, что для этого надо проводить системную работу по повышению квалификации кадров. |
|
Дмитриева Ильзина Михайловна (2 марта 2017 г. 23:10) |
К сказанному Геннадием Сергеевичем выше, хотелось бы добавить следующее: Очевидно, качество геометрической подготовки вчерашних школьников оставляет желать лучшего. Причина видится в следующем: в заданиях ЕГЭ по математике из первых 12 задач, предлагаемых в закрытой тестовой форме, только 3 задачи посвящены геометрии, а в задачах с развернутым ответом – 2 задачи (по планиметрии и стереометрии). Таким образом, геометрии в школе уделяется меньше внимания, чем алгебре. Поэтому рациональное сочетание графических и аналитических способов решения геометрических задач, по нашему мнению, является важным фактором усиления внутрипредметных компетенций. |
|
Шацилло Людмила Анатольевна (3 марта 2017 г. 2:41) |
Доброго времени суток, Ильзина Михайловна и Геннадий Сергеевич! По порядку. 1. Установлением межпредметных связей в области начертательной, аналитической геометрии и линейной алгебры занимались, еще когда я училась, где-то с 65-х годов. Вы все это лучше меня знаете. Увязывали математику с НГ. Наши аксакалы И.М.Халдеев и Ю.А.Торопов в лекции вставляли математическую терминологию - не больше. Так во всей стране это внедрялось. Это получались искусственные натяжки и, в общем, все свелось к наукообразию, которое постепенно затихло: начиналась эра компьютерной графики и все внимание к ней. А Игорь Михалыч такие задачки головоломные по НГ придумывал! Но не прикладные, чисто геометрия. Для внуков берегу. Преподавательницы всем коллективом решали-разбирали перед сессией. Я в этой области случайно оказалась. Вместе с главным «радикалом» А.П.Тунаковым, т.к. наш автомобильный факультет перевели в Челны на КАМАЗ и наши выпускники уже вовсю чертили там дипломные работы на компьютерах. Первые в институте. Учил их и сам учился чертить на итальянском, по-моему, оборудовании выпускник МВТУ Ю. Лавренченко. Я их на практику возила. А.П. сразу ввел на кафедре НГ и МЧ компьютерную графику. 2. О трансформации начертательной геометрии в инженерную (я понимаю – в приложении к техническим объектам, с привлечением практических инж.задач, чтобы не абстрактно? ) Для этого, прежде всего, надо, чтобы особое внимание профессорско-преподавательского состава было направлено на изучение новых проектно-конструкторских технологий, используемых в соответствующих отраслях. Связь у вузов д.б. с наукой и производством, чтобы задачки мотивировали своей нужностью, необходимостью их решения. 3. Готовы ли преподаватели кафедр инженерной графики воплотить эту идею в жизнь? Одним повышением квалификации тут не обойтись…Кадры, прежде всего, должны быть достойные. Дмитрий Евгеньевич, видите, как кадры себе подбирает? Опытнейших конструкторов (все, небось, мигом CADы освоили) + деятельную молодежь, дружащую с современными педтехнологиями (пример М.Ракитская). Так и обогащают друг друга. 4. Геометрии в школе уделяется меньше внимания, чем алгебре. Проблема №1. Бывший ректор МГПУ, академик двух государственных академий — РАН и РАО, признался на всю Россию, что учебники по геометрии с этими модернизациями в образовании «проглядели», срочно надо разрабатывать современные. А мы про слабую школьную подготовку размовляем. Откуда ей взяться, если на уровне учебников полный караул? Еще минимум лет 5 ждать, пока подрастут абитуриенты, выросшие на этих учебниках. Да еще чтобы рациональное сочетание графического и аналитического не вдруг находится - время на опыт надо, процесс лонгитюдный. Здесь тоже проблема в мудрых кадрах. Но движемся же! С искренним уважением, Л.А. |
|
Иванов Геннадий Сергеевич (4 марта 2017 г. 8:57) |
Уважаемая Людмила Анатольевна! Кратко отвечу по п.п. 1 и 2 Вашего комментария. 1. 50-70 г.г. прошлого века были годами расцвета начертательной геометрии в СССР. Это – заслуга наших выдающихся учителей Н.Ф. Четверухина, И.И. Котова, их соратников и учеников (в том числе и И. М. Халдеева)[3]. Называть достижения и научные результаты этих лет «наукообразными», говоря очень мягко, некорректно и непрофессионально. Значимость компьютерной графики все прекрасно понимают. Только некоторые, по-видимому, забыли, что в основе алгоритмов графических программ, наряду с достижениями электроники, лежит геометрия, в том числе, начертательная, а также смежные разделы математики. Поэтому говорить о целесообразности передачи учебных часов, отведенных начертательной геометрии, изучению компьютерной графики, равносильно предложению рубить сук, на котором сидим. 2. О необходимости изменений в преподавании начертательной геометрии начали говорить наши учителя еще в 60-70 годы прошлого века [3]. Они, будучи специалистами (подчеркнуто нами) в области прикладной геометрии и инженерной графики (инженерной геометрии и компьютерной графики), прекрасно понимали тренд трансформации начертательной геометрии в прикладную (инженерную). Отвлечемся от многомерных задач оптимизации параметров конструкций, технологических процессов и т.д. Какая кафедра и в пределах какой дисциплины может обеспечить студентов необходимым объемом знаний для освоения САПР? Проектирование одномерных и двумерных составных форм (обводов), твердотельное моделирование и т.д. требуют определенного объема знаний по теории изображений, кривых линий и поверхностей, геометрических преобразований и т.д., составляющих предмет дисциплины «инженерная геометрия». Наверное, можно подготовить «пользователей», способных использовать те или иные графические пакеты для решения определенного круга задач. Хотелось бы только, чтобы наши инженеры были не только пользователями, но и грамотными разработчиками. Поэтому лично меня мало утешает лозунг : «Но движемся же!» С ув. Г.С. Иванов |
Хейфец Александр Львович (4 марта 2017 г. 10:49) |
Геннадий Сергеевич, алгоритмов начертательной геометрии даже близко нет в программном обеспечении компьютероной графики. Ее, начертательной геометрии, вообще нигде нет, кроме учебного процесса кафедр графики. Поэтому не надо вводить в заблуждение и самому обольщаться. А.Л. Хейфец |
|
Шацилло Людмила Анатольевна (4 марта 2017 г. 13:45) |
Глубокоуважаемый Геннадий Сергеевич! П.1. Достижения и научные результаты выдающихся учителей Н.Ф. Четверухина, И.И. Котова, их соратников и учеников даже не имела ввиду называть «наукообразными». О наукообразии сказано именно в контексте преподавания: искусственно использовали символьное оформление алгоритмов графических решений в лекциях и вроде как научнее стало. Кроме того, не разделяю такую методическую позицию: то, что было актуально 60 лет назад - на века ... Сейчас теоретические акценты смещаются на анализ геометрии формообразования (см. статью Я.А.Кокаревой на этом форуме). П.2.Какая кафедра и в пределах какой дисциплины может обеспечить студентов необходимым объемом знаний для освоения САПР? А кто сказал, что в пределах одной дисциплины? Посмотрите на прошлой конференции доклады Пироговой и К*. Они сейчас как раз в авангарде (сожалею об их отсутствии на конференции). НГ там отдыхает. В инструментах CAD, пожалуй, только в процедуре «заметание» кинематическое формообразование можно разглядеть, но это прерогатива не только НГ. С Александром Львовичем могу только согласиться. Проектирование одномерных и двумерных составных форм (обводов) – так и надо давать это тогда и тем специалистам, думаю, где эти конструкции и эти формы изучаются, а не заранее, про запас. Твердотельное моделирование – математика Кунца. И в заключение: Разделяю мнение А.И. Половинкина, В.Ф. Взятышева и др..ю в том числе и нашего близкого коллеги М. Н. Лепарова - учить необходимо на основе изучения новых подходов к освоению инженерного проектирования как своеобразного стиля деятельности. С искренней признательностью за обмен мнениями, Л.А. |
|
Иванов Геннадий Сергеевич (6 марта 2017 г. 16:33) |
Я в своем ответе Людмиле Анатольевне говорил о тренде начертательной геометрии в инженерную в современных условиях преподавания нашей дисциплины. На Ваши замечания «НГ там отдыхает» (Л. А.), «… начертательной геометрии вообще нигде нет, кроме учебного процесса кафедр графики» (А. Л.), отвечу конкретным примером. В компьютерной графике, САПР пространственные кривые линии задаются в параметрической форме
удобной для вычислений. Но графики этих функций не позволяют строить касательные, круги кривизны. Поэтому возникает необходимость их перезадания в явной форме y = Как это делается, показано на рисунке.
Здесь дуга кривой l (1) четырехмерного пространства Oxyzp задана своими проекциями Дорогие оппоненты, не начертательная геометрия (тем более, инженерная геометрия) «отдыхает» в компьютерной графике, а Вы отдыхаете от начертательной геометрии! Извините за резкость (каков привет – таков ответ!) Далее, несколько слов хочу адресовать проф. Хейфецу А.Л. Судя по Вашим публикациям, Вы под начертательной геометрией подразумеваете чертеж Монжа (2D – модель), ратуете за широкое применение 3D – моделей, аналогов аксонометрии и линейной перспективы. К Вашему сведению, эти три вида наиболее широко применяемых в практике изображений получаются по единой схеме классического метода двух изображений (см. О.А. Вольберг «Лекции по начертательной геометрии», учпедгиз, М-Л., 1947, гл. 3). Поэтому они принципиально ничем не отличаются, а отличаются лишь формой представления (изображения) объекта. Их противопоставление – это непонимание предмета линейной начертательной геометрии. Есть еще много обобщений на предмет получения нелинейных начертательных геометрий, стыкующихся с бирациональной (алгебраической) геометрией. Может быть слышали, например, о перцептивной перспективе? Мой Вам добрый совет: не бросайтесь такими фразами «… начертательной геометрии вообще нигде нет …». Для таких заявлений следует владеть предметом разговора хотя бы в объеме кандидатского экзамена по специальности 05.01.01 (инженерная геометрия и компьютерная графика). Г.С. Иванов |
|
Хейфец Александр Львович (6 марта 2017 г. 18:39) |
Геннадий Сергеевич, поработайте в 3d САПР. Поймите различие между 3d моделью и аксонометрией. После этого выступайте с критикой. Я не помню Ваших работ по компьютерному 3D моделированию. А критики много… Начертательную геометрию я знаю в соответствии с задачами кафедр графики. До последнего урезания программ читал полный общий курс и еще полный курс перспективы и теней. Так что предмет критики – НГ для учебного процесса кафедр графики – знаю. Что же касается специальных разделов начертательной геометрии, то нужно посмотреть работы в тех областях за последние хотя бы 10 лет. Предполагаю, что там многое изменилось, и осталась ли там НГ? Или прошли те же процессы по преобладанию компьютерного 3d как и в целом в геометрическом моделировании. И давайте будем сдержаннее. Каждый переживает за свое дело, возможно, с лишними эмоциями. А.Л. Хейфец |
|
Шацилло Людмила Анатольевна (6 марта 2017 г. 20:00) |
Геннадий Сергеевич! В 1947г. мне было 3 года. Очень сомневаюсь, что заложенные тогда методы используются в алгоритмах КГ, когда мне уже перевалило далеко за... С кандидатскими экзаменами покончила 45 лет назад и далее работала в режиме реального времени на разработке изделий ВПК Присланные мне Вами несколько лет назад извинения за неосведомленность о том, что в МТИ не читают НГ, до сих пор храню в папке "Иванов Г.С." (разделы инжгеометрии, вероятно, изучают в индивидуальной подготовке старшие студенты). Добрые советы принимаю с благодарностью, нравоучения - с легким юмором. Искренне уважаю как специалиста. Л.А. |
|
Хейфец Александр Львович (17 марта 2017 г. 12:24) |
Геннадий Сергеевич, за общую положительную оценку доклада благодарен. Далее отвечаю по порядку Ваших замечаний. Тема конечно не нова (как и кино). А вот что Вы видели в 2002 г. в Киеве – интересно. Хорошо бы ссылку, а так, что Вы видели? Работ по геометрически точной 3d анимации я не встречал. И чем Вам не понравилась фраза о том, что для нахождение линии пересечения «...сферы и кругового конуса … следует решать задачу на пересечение указанных тел». Термин “тела” (“solids” – англ.) общепринятый термин. Включите хоть раз графический редактор, например, AutoCAD, и посмотрите или: http://dic.academic.ru/dic.nsf/eng_rus_apresyan/89892/solid О термине «цилиндр с тремя криволинейными направляющими». Да, в тексте пропустил слово “косой”, бывает, но в заголовке анимации к нему это есть. А в остальном термин общепризнан. За Ваше разъяснение по подсчету параметров – благодарен. Я знаком с исчислительной геометрией, читал Вашу подробную статью в последнем ГиГ, до этого статьи Н.В. Кайгородцевой и ее диссертацию, многочисленные работы Н.Ф. Четверухина (даже его диссертацию в Химках листал). Но мне такой расчет не понадобился, да и вообще, чаще всего этот расчет является бантиком для украшения работы, придания ей наукообразия. Мне было достаточно проверки на конгруэнтность. Замечание о “многолистности” вместо “многовариантности” я учту, но буду признателен за ссылку на этот расчет для косого цилиндра (кстати, вот и тема для статьи). Такое же замечание об отсутствии подсчета параметров для косого цилиндра мне сделал В.Я. Волков на семинаре в Омске. Я также ответил, что мне это не понадобилось, отсюда и получил отрицательное заключение. Ведь практическая часть работы вас, математиков, не интересует. В Москве в МГИУ в 2008 г. один из трех моих докладов был по торсу, но об анимациях – ни слова, их тогда у меня еще не было. ( А.Л. Хейфец. |
, 
, 
, (1)
(x), z = 
, 
, 
на обобщенном чертеже Монжа. Известными студентам 1-го курса построениями она перезадана в явной форме (2), то есть своими проекциями l1 и l2 на плоскостях проекций П1(Oxy), П2(Oxz) в трехмерном пространстве.
или 
)