МОДЕЛИРОВАНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩЕГО 16-ТОЧЕЧНОГО ОТСЕКА ПОВЕРХНОСТИ ОТКЛИКА, ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РЕШЕНИЮ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В работе предложен метод решения дифференциальных уравнений математической физики с помощью геометрических объектов, проходящих через наперёд заданные точки, а именно решение неоднородного уравнения теплопроводности с помощью аппроксимирующей поверхности отклика, проходящей через 16 наперёд заданных точек. Также приводится сравнение результатов решения неоднородного уравнения теплопроводности аппроксимированного 16-точечным отсеком поверхности отклика с эталонным отсеком поверхности, полученным с помощью метода разделения переменных.

Введение

Моделирование геометрических объектов по наперёд заданным условиям имеет важное теоретическое и прикладное значение. С практической точки зрения это могут быть геометрические модели поверхностей технических форм и инженерных сооружений, а также процессов и явлений. Теоретическое же значение заключается в том, что геометрические модели могут служить инструментом решения сложных математических, физических и других задач. Например, дифференциальных уравнений математической физики, сложность решения которых заключается в том, что оно сводится к интегралам, не выражающимся в элементарных функциях. Решение таких уравнений во многих случаях сводится к различным способам аппроксимации. Эту же задачу можно решить, используя методы геометрического моделирования.

Для моделирования геометрических объектов по наперёд заданным условиям автор использует дуги алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки [1, 2]. При этом для того чтобы моделируемый геометрический объект был одновременным носителем всех исходных точек, он разбивается на более простые геометрические объекты, которые объединяются в более сложный с помощью метода подвижного симплекса [3]. Тогда весь процесс геометрического моделирования сводится к формированию геометрической схемы объекта (дерева модели), которая аналитически описывается с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки.

В процессе формирования геометрической модели достаточно использовать основы начертательной геометрии. Например, для того чтобы некоторые точки принадлежали поверхности достаточно чтобы они принадлежали линиям, лежащим на поверхности. Конструирование поверхности, проходящей через наперёд заданные точки, производится в обратном порядке. Сначала исходные точки группируются в направляющие линии, которые объединяются в поверхность с помощью образующей. При этом образующая поверхности – это тоже некоторая линия, проходящая через наперёд заданные точки, только не фиксированные, координаты которых соответствуют исходной экспериментально-статистической информации, а текущие, движение которых обеспечивается изменением параметра от 0 до 1. Следует отметить, что в рамках БН-исчисления [4, 5] точка является той основой, из которой формируются все геометрические объекты. Эти же геометрические объекты не только аналитически выражаются с помощью точек, но и результатом также является точка, только не фиксированная, имеющая конкретные координаты, а текущая, которая своим движением заполняет пространство и формирует тем самым искомый геометрический объект. Таким образом, любые линии, поверхности, гиперповерхности и т.д. определяются текущей точкой.

Моделирование отсека поверхности, проходящего через 16 наперёд заданных точек

Рассмотрим на примере 16-точечного отсека поверхности [6] предложенный выше способ моделирования геометрических объектов. Выбор необходимого количества исходных точек является следствием дальнейшего использования полученного отсека поверхности для решения отдельных дифференциальных уравнений. Для решения дифференциальных уравнений второго порядка нужна дуга кривой как минимум 3-го порядка. Одной из самых простых и хорошо изученных кривых 3-го порядка является дуга кривой Безье. Для модификации точечного уравнения дуги кривой Безье 3-го порядка, обеспечивающей прохождение кривой через наперёд заданные точки, используется методика, изложенная в работе [1].

Дуга кривой Безье 3-го порядка однозначно определяется 4 точками. Это значит, что для определения образующей линии необходимо иметь 4 текущих точки, другими словами – 4 направляющих линии. Если каждая из направляющих линий будет определяться 4 точками, то получим отсек поверхности проходящий через 16 наперёд заданных точек. При этом движение текущих точек направляющих линий согласовано одним параметром u, а движение текущей точки образующей линии определяется параметром v. Оба параметра изменяются в пределах от 0 до 1.

Вычислительный алгоритм моделирования 16-точечного отсека поверхности определяется следующей последовательностью точечных уравнений:

В БН-исчислении любой геометрический объект задаётся системой однотипных параметрических уравнений, которые представляют собой проекции текущей точки на оси глобальной системы координат. Поэтому для перехода от точечных уравнений (1) к параметрическим, необходимо сделать покоординатный расчёт.

Описание метода решения уравнений математической физики с помощью геометрического моделирования

В работе [7] предлагается метод решения дифференциальных уравнений с помощью геометрического моделирования и приводится пример решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Аналогичным образом возможно решение дифференциальных уравнений и более высокого порядка. Однако в системах автоматизированного проектирования и расчёта используются уравнения математической физики, которые не просто имеют более высокий порядок, но и более высокую размерность пространства, в котором находится решение.

Следует отметить, что работа [7] далеко не первая попытка использовать геометрические методы для решения уравнений математической физики. В работе [8] приводятся способы решения уравнений Монжа-Ампера эллиптического типа на выпуклой поверхности с данной интегральной гауссовой кривизной или с данной линейной комбинацией интегральной гауссовой и средней кривизн. В работах Софуса Ли [9, 10] предлагается подробное изучение точечных групп преобразований плоскости, тогда как дифференциальные уравнения встречаются не как основной объект исследования, а как вспомогательный аппарат.

В соответствии с исследованиями Л. Эйлера [11] всё многообразие дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных путём замены переменных может быть сведено к уравнению трёх типов: эллиптическому, параболическому и гиперболическому. Однако если выполнять аппроксимацию решения дифференциальных уравнений с помощью геометрических объектов, проходящих через наперёд заданные точки, то классификационный признак будет другим, а именно количество текущих параметров, определяющих геометрический объект в пространстве. Так геометрическим решением одномерных уравнений математической физики является отсек поверхности отклика (двухпараметрическое множество точек: U=f(x,t)), двумерных – отсек гиперповерхности, принадлежащий четырёхмерному пространству (трёхпараметрическое множество точек: U=f(x,y,t)), трёхмерных – отсек гиперповерхности, принадлежащий пятимерному пространству (четырёхпараметрическое множество точек: U=f(x,y,z,t)).

Рассмотрим одномерный случай, для которого решением дифференциального уравнения будет некоторая поверхность отклика. В трёхмерном пространстве текущая точка поверхности отклика М (рис. 1) задаётся множеством исходных точек M_ij. Применительно к аппроксимации решения дифференциальных уравнений, это множество точек лучше всего задавать на прямоугольном плане. Причём точки и по оси х и по оси у необходимо распределять равномерно, формируя тем самым регулярную сеть точек в плане. Это условие исключает необходимость решения сложных алгебраических уравнений и обеспечивают линейную зависимость между факторами влияния x, t (рис. 1) и параметрами множества точек u, v, необходимую для определения функции отклика U.

Значения функции отклика U в узловых точках сети определяется в соответствии с искомым дифференциальным уравнением. Другими словами определяются такие значения функции отклика U, при которых выполняется равенство левой и правой частей дифференциального уравнения. Далее составляется система линейных алгебраических уравнений, количество которых соответствует числу узловых точек в плане. Решив полученную СЛАУ, находим параметрические уравнения поверхности отклика, соответствующие решению искомого дифференциального уравнения в пределах исследуемой области. При этом преобразование из полученных параметрических уравнений к явному виду достаточно легко осуществить, поскольку значения параметров находятся в линейной взаимозависимости с факторами влияния.

Аналогичным образом решаются и другие уравнения математической физики. При этом метод решения является инвариантным по отношению к размерности пространства.

Решение неоднородного уравнения теплопроводности с помощью геометрического моделирования

Рассмотрим более подробно предложенный выше метод на примере решения неоднородного уравнения теплопроводности:

В работе [12] приводится решение этого же уравнения методом разделения переменных. В результате искомое решение имеет следующий вид:

Следует отметить, что полученный результат – это частный случай решения уравнения (2) с учётом граничных условий. Считается, что дифференциальные уравнения, которые относятся к математической физике, имеют бесконечное множество частных решений. Конкретное решение, описывающее рассматриваемое физическое явление, выделяется из множества частных решений с помощью начальных и граничных условий. Решая эту задачу с помощью геометрического моделирования можно ограничиться лишь начальными условиями, поскольку граничные условия обеспечиваются выбором аппроксимирующей поверхности отклика.

Воспользовавшись представленным выше методом, получим поверхность отклика для решения неоднородного уравнения теплопроводности, аппроксимированного 16-точечным отсеком, которая имеет следующий вид (рис. 2). Таким образом, для всех 16-ти узловых точек полученного отсека поверхности отклика выполняется условие дифференциального уравнения (2), а промежуточные значения найдены с помощью двумерной интерполяции.

Для сравнения результатов решения неоднородного уравнения теплопроводности, рассмотрим его частный случай с учётом не только начальных, но и краевых условий. Другими словами необходимо обеспечить прохождение отсека аппроксимирующей поверхности отклика через 3 прямых линии: U(0,t)=1, U(1,t)=2 и U(x,0)=x+1, для определения которых достаточно задать координаты граничных исходных точек таким образом, чтобы они принадлежали соответствующим прямым. Тогда задача сводится к геометрическому моделированию криволинейной поверхности, проходящей через 3 наперёд заданные прямые. При этом следует учесть, что из 16-ти точек, 10-ть точек будут определяться граничными условиями по контуру и для аппроксимации поверхности отклика решения неоднородного уравнения теплопроводности с учётом начальных и граничных условий необходимо будет определить ещё 6 точек таким образом, чтобы их координаты удовлетворяли уравнению (2). Это в значительной степени сокращает количество вычислений, поскольку СЛАУ будет состоять всего из 6-ти уравнений. В результате при v=x, u=t и a=1,5 уравнение отсека аппроксимирующей поверхности будет иметь следующий вид:

В результате получим уравнение поверхности отклика проходящей через 3 прямые, узловые точки которой соответствуют уравнению (2). Следует отметить, что в данном примере интервалы изменения параметров v, u и исследуемых факторов влияния v, u совпали. Поэтому можно минуя систему параметрических уравнений представить уравнение (4) в явном виде. С другой стороны учитывая особые свойства дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки [1], и равномерное распределение точек на плане поверхности 16-точечного отсека, взаимосвязь факторов влияния и параметров аппроксимирующей поверхности отклика носит линейный характер. Поэтому всегда достаточно легко перейти от параметрических уравнений к уравнению, представленному в явном виде. Однако в некоторых случаях такой переход может привести к значительному увеличению требований к точности вычислений и округления количества знаков после запятой при определении значений полиномиальных коэффициентов в уравнении аппроксимирующей поверхности отклика.

Используя уравнения (3) и (4) сравним результаты моделирования. На рисунке 3 с разных ракурсов представлены наложенные друг на друга поверхности отклика решения неоднородного уравнения теплопроводности. Фиолетовым цветом показан 16-точечный отсек аппроксимирующей поверхности отклика, зеленым цветом – эталонный отсек поверхности, полученный с помощью метода разделения переменных.

Как видно из представленного сравнения, аппроксимирующий 16-точечный отсек поверхности отклика с достаточно высокой точностью дублирует эталонный отсек поверхности, полученный с помощью метода разделения переменных. Тем не менее, предложенный метод предусматривает возможность увеличения точности моделирования за счёт увеличения количества узловых точек аппроксимирующей поверхности отклика.

Заключение

В работе рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений математической физики с помощью геометрических объектов, проходящих через наперёд заданные точки. При этом он легко обобщается на многомерное пространство и потому потенциально может быть использован для решения дифференциальных уравнений с большим количеством переменных по аналогии с геометрическим моделированием многофакторных процессов и явлений [13]. Предложенный метод рассмотрен на примере решения неоднородного уравнения теплопроводности с помощью аппроксимирующей поверхности отклика, проходящей через 16 наперёд заданных точек. Аналогичным образом число узловых точек аппроксимирующей поверхности отклика может быть увеличено, что позволяет геометрически моделировать решение дифференциальных уравнений с любой наперёд заданной точностью. Для этого могут быть использованы не только дуги кривых, проходящих через наперёд заданные точки, но и обводы необходимого порядка гладкости [14].

Список литературы

1. Конопацкий, Е.В. Моделирование дуг кривых, проходящих через наперед заданные точки [Текст] / Е.В. Конопацкий // Вестник компьютерных и информационных технологий. – М.: 2019. – № 2. – С. 30-36. – DOI: 10.14489/vkit.2019.02.pp.030-036.
2. Конопацкий, Е.В. Аппроксимация геометрических объектов с помощью дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки [Текст] / Е.В. Конопацкий // Информационные технологии. – М.: 2019. – № 1. – Т. 25 – С. 46-52. – DOI: 10.17587/it.25.46-51.
3. Метод подвижного симплекса при конструировании 2-поверхностей многомерного пространства / [Балюба И.Г. и др.] // Моделювання та інформаційні технології: Збірник наукових праць. – К.: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2010. – Т.1. – С.310-318.
4. Балюба И.Г. Точечное исчисление [Текст]: учебное пособие / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. – Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. – 236 с.
5. Введение в математический аппарат БН-исчисление [Текст] / Бумага А.И., Конопацкий Е.В., Крысько А.А., Чернышева О.А. // Материалы VII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации». – Пермь: ПНИПУ, 2017. – Вып. 4. – С. 76-82.
6. Конопацкий, Е.В. Моделирование криволинейного участка топографической поверхности на нерегулярной сети точек [Текст] / Е.В. Конопацкий, О.А. Чернышева, Я.А. Кокарева // Вестник компьютерных и информационных технологий. – М.: 2018. – № 7. – С.17-22. – DOI: 10.14489/vkit.2018.07. pp.017-022.
7. Конопацкий, Е.В. Решение дифференциальных уравнений методами геометрического моделирования [Текст] / Е.В. Конопацкий // Труды 28-й Международной конференция по компьютерной графике и машинному зрению «GraphiCon 2018». 24-27 сентября 2018 г. – Томск: ТПУ, 2018. – С. 322-325.
8. Бакельман, И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений [Текст] / И.Я. Бакельман. – М.: Наука, 1965. – 340 с.
9. Зайцев, В.Ф. Симметрии дифференциальных уравнений. Формальные операторы [Электронный ресурс] / В.Ф. Зайцев // Известия РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. – №8. – Точка доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/simmetrii-differentsialnyh-uravneniy-formalnye-operatory (дата обращения: 08.03.2019).
10. Яковенко, Г.Н. Дифференциальные уравнения с фундаментальными решениями: Софус Ли и другие [Текст] / Г.Н. Яковенко. – М.: Физматкнига, 2006. – 112 с.
11. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. – М.: Наука, 1977 – 736 с.
12. Задача по уравнению с математической физики с решением Неоднородное уравнение теплопроводности. Точка доступа: https://www.matburo.ru/Examples/Files/umf_3.pdf (дата обращения: 08.03.2019).
13. Конопацкий, Е.В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных процессов и явлений многомерной интерполяции [Текст] / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия. – М.: 2019. – Т.10. – № 2. – С. 77-86.
14. Конопацкий, Е.В. Принципы моделирования многофакторных процессов и явлений с большим количеством исходных данных [Текст] / Е.В. Конопацкий // Информационные технологии в проектировании и производстве. – М.: НТЦ «Компас», 2018. – № 4(172). – С.20-25.

Селиверстов Александр Владиславович (13 марта 2019 г. 20:35)	Здравствуйте, Евгений Викторович. 1) Поясните, пожалуйста, как Ваш метод "легко обобщается на многомерное пространство". Вы предполагаете строить (двумерные) поверхности в многомерном пространстве? Или, скажем, трёхмерную гиперповерхность в четырёхмерном? При этом будут использованы лишь кривые Безье или также поверхности (патчи) Безье для моделирования сложных поверхностей (patch modeling)? 2) Во введении написано: "...достаточно использовать основы начертательной геометрии. Например, для того чтобы некоторые точки принадлежали поверхности достаточно чтобы они принадлежали линиям, лежащим на поверхности." Как этот (тривиальный) пример связан с начертательной геометрией? Или это шутка? С уважением, А.В. Селиверстов
Хейфец Александр Львович (13 марта 2019 г. 21:33)	Евгений Викторович,  Итак, имея сложное аналитическое уравнение (теплопроводности) Вы находите его 16 (или сколько нужно) точек, по ним строите каркас из кривых линий (Безье) и натягиваете на этот каркас поверхность. Дальнейшие исследования уравнения предусмотрено выполнять по геометрической модели поверхности. Ведь современный аппарат САПР и мат_пакетов позволяет выполнить сожнейший анализ геометрической поверхности, не прибегая к ее аналитческой модели. Аналитика свою роль сыграла и уже не нужна. Если я Вас правильно понял, то это современный рациональный подход, с которым полностью согласен. Техническое замечание - зачем нужен каркас. По точкам можно с тем же успехом непосредственно натянуть поверхность. Мне Ваша работа близка тем, что в одном из КГЗ по спецкурсу компьютерной графики для строителей студенты, применяя программирование, строят поверхности, заданные аналитическими выражениями, как основы архитектурно-строительных сводов. Эти примеры приведены в нашей книге "Инженерная 3d компьютерная графика",2015-17 г.г.  Вам знакомы мощнейшие работы С.Н. Кривошапко и В.Н. Иванова на тему построения поверхностей по их уравнению на заданном контуре (в Вашей литературе не увидел). Я черпаю оттуда примеры для вариантов КГЗ. И вопрос о жизни. Как там у Вас в Макеевке, стреляют? Как идет учебный процесс? С уважением. А.Л. Хейфец.
Конопацкий Евгений Викторович (13 марта 2019 г. 23:46)	Здравствуйте, Александр Владиславович! 1) В общем случае уравнения математической физики содержат три координаты (x, y, z), время t и функцию отклика U=f(x, y, z, t). Таким образом, получается четырёхпараметрическая гиперповерхность, принадлежащая пятимерному пространству. Параметрические уравнения такой гиперповерхности достаточно сложно представить в наглядном виде. Уравнения большие и сложные, формально это даже не одно уравнение, а вычислительный алгоритм. Поэтому приводится пример решения частного случая, для которого U=f(x, t). Общая идея заключается в том, что результат решения любого дифференциального уравнения можно аппроксимировать некоторым геометрическим объектом. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение можно аппроксимировать некоторой линией отклика (однопараметрическим множеством точек), уравнения с двумя переменными – в виде отсека поверхности отклика (двухпараметрическое множество точек). Далее обобщая, уравнения с тремя переменными – в виде отсека гиперповерхности отклика (трёхпараметрическое множество точек) и т.д. Вопрос возникает лишь в том, как смоделировать все эти геометрические объекты, чтобы они удовлетворяли условию дифференциального уравнения? Для этого формируется специальная сеть точек, размерность которой зависит от моделируемого геометрического объекта. Для одномерного случая – одна из осей системы координат, соответствующая исследуемому фактору, разбивается на участки, в которых узловые значения функции отклика вычисляются таким образом, чтобы удовлетворять исходному дифференциальному уравнению. Такой случай я рассматривал в докладе на конференции «GraphiCon 2018». Для двумерного случая – две оси системы координат, соответствующие исследуемым факторам, разбиваются на участки, формируя тем самым сеть точек в плане. В узлах сети вычисляются такие значения функции отклика, которые соответствуют исходному дифференциальному уравнению. Это как раз то, что я пытался представить в данной статье. Для трёхмерного случая – три оси системы координат, соответствующие исследуемым факторам, разбиваются на участки, формируя тем самым сеть точек в трёхмерном пространстве. В узлах сети вычисляются такие значения функции отклика, которые соответствуют исходному дифференциальному уравнению и т.д. Вот об этом обобщении и идёт речь. В приведенном примере оказалось достаточным использовать всего одну поверхность отклика, но в её основе лежат особые дуги кривых, проходящих через наперёд заданные точки. Некоторые из них получены на основе кривых Безье, но после модификации полученные кривые обладают совершенно другими свойствами. Например, отсутствуют касательные в начальной и конечной точках, за счёт которых увеличено количество точек, через которые проходит кривая. Такой подход позволил найти единое уравнение регулярной поверхности отклика, проходящей через 16 наперёд заданных точек. Т.е. можно взять любые координаты 16 действительных точек и поверхность обязательно через них пройдёт (с мнимыми не экспериментировал). Но на самом деле 16 точек это только пример. В общем случае количество точек может быть практически любым и план может быть не прямоугольным, как в приведенном примере. Если точек слишком много, то рациональнее не увеличивать порядок кривых, формирующих геометрический объект, а использовать составной геометрический объект (В №4 журнала «Информационные технологии в проектировании и производстве» за 2018 г. у меня есть статья по моделированию многомерных обводов, в которой приводятся необходимые вычислительные алгоритмы). В случае, когда составные части будут стыковаться по нулевому порядку гладкости, получим классический метод конечных элементов. В нашем случае при необходимости можно состыковать геометрические объекты и по первому, и по второму порядку гладкости. Всё зависит от конкретных условий задачи. Здесь получается отдельная задача. Что лучше? Увеличивать количество узловых точек для достижения необходимой точности или использовать для этой цели кусочно-полиномиальные функции? 2) С «основами начертательной геометрии» я возможно погорячился. У меня прошлым летом вышел интересный случай с рецензентом. Послал свою статью в один из солидных журналов. Получил две рецензии. Одна содержала конструктивные замечания, а вторая довольно странные. Цитирую: «Следует отметить, что рецензент не обладает знаниями в области начертательной геометрии… Дело в том, что остается неясным, что автор понимает под «гиперповерхностью», «поверхностью», «образующей линией»…». К сожалению, бывают случаи, когда специалистам из других областей приходится рецензировать наши статьи, ведь если верить Сергею Игоревичу, то в РФ всего 11 докторов по специальности 05.01.01. Хотя в данном случае конференция геометрическая. С замечанием согласен, лучше было бы перефразировать. С уважением, Евгений Конопацкий.
Конопацкий Евгений Викторович (14 марта 2019 г. 0:16)	Здравствуйте, Александр Львович! В нашем случае каркаса нет. Вы совершенно правы, поверхность сразу натягивается непосредственно на точки. На рисунке 1 приведена лишь геометрическая схема моделирования поверхности, чтобы было понятно, каким образом она натягивается на исходные точки и каким образом формируются необходимые точечные уравнения. С работами уважаемых коллег С.Н. Кривошапко и В.Н. Иванова знаком. Ссылок не делал, потому что не использовал их идеи моделирования поверхностей. В БН-исчислении используются немного другие методы, которые позволяет выполнить обобщение способа моделирования геометрических объектов на многомерное пространство. Ведь целью статью было не просто смоделировать конкретную поверхность, а продемонстрировать метод решения дифференциальный уравнений, который может иметь обобщение на многомерное пространство. К тому же, если бы я использовал другие методы, то решение задачи было бы более частным. Т.е. для каждых граничных условий пришлось бы моделировать новую поверхность. В нашем случае уравнение поверхности не меняется. Меняются лишь координаты точек, которые в него входят. В Макеевке сейчас спокойно. Выстрелов пока нет. Учебный процесс идёт очень тяжело, потому что не хватает кадров. У нас на кафедре почти все на 1,5 ставки и плюс ещё есть совместители с других кафедр. Такая проблема почти на всех кафедрах. Ещё наш ВУЗ подал документы для прохождения аккредитации в РФ. От коллег много жалоб, что вместо учебного процесса приходится делать целую кучу бумаг для аккредитации и это не только РПД, УМКД и ФОСы. Время уходит непонятно на что. Здесь же на конференции Яна Кокарева писала об аналогичных проблемах. С уважением, Евгений Конопацкий.
Селиверстов Александр Владиславович (14 марта 2019 г. 2:22)	Евгений Викторович, спасибо за подробный комментарий. В теории мне нравится моделирование сложных (гипер)поверхностей лоскутками кубических (гипер)поверхностей. Кубических, поскольку они параметризуются рациональными функциями, тогда как для общей поверхности четвёртого порядка такой параметризации нет. У меня был в 2017 доклад [Селиверстов А.В. "Эффективная унирациональность кубической гиперповерхности" Труды 60-й Всероссийской научной конференции МФТИ. 20–26 ноября 2017 г. Прикладная математика и информатика. С. 173–175 https://abitu.net/public/admin/mipt-conference/FPMI.pdf ] со ссылками на другие статьи по теме. Но когда нужно построить какую-либо поверхность, пользуюсь готовыми программами. Кстати, Вы не пробовали опубликовать работу в журнале Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки? Конечно, этот журнал предъявляет относительно высокие требования к содержанию статей по сравнению с ГиГ, но это приличный журнал с открытым доступом к статьям, индексируется Scopus. С уважением, А.В. Селиверстов
Конопацкий Евгений Викторович (14 марта 2019 г. 9:12)	Доброе утро, Александр Владиславович! С довольствием прочитал Вашу статью. Вчера посмотрел ещё некоторые другие ваши работы в РИНЦ. В плане моделирования многомерных геометрических объектов наши исследования действительно достаточно близки, но проводятся различными методами. Спасибо большое за информацию о журнале, который индексируется в Scopus. В связи с тем, что наша Академия прохот аккредитацию в России, у неё появилась необходимость публикации статей в журналах, индексируемых в Scopus. Правда на это не выделяются никакие средства... Поэтому приходится искать бесплатные журналы. Из этих соображений Вам отдельная благодарность за информацию! С уважением, Евгений Конопацкий.
Конопацкий Евгений Викторович (14 марта 2019 г. 17:06)	Извиняюсь за опечатку: "С удовольствием..." Жаль нельзя редактировать комментарии. Иногда бывают чисто механические описки.
Бойков Алексей Александрович (26 марта 2019 г. 13:37)	Здравствуйте, Евгений Викторович! Спасибо за хороший доклад. Всегда с интересом читаю в Ваших работах о применении кусочных кривых и поверхностей, полученных на основе БН-исчисления, для решения практических задач. с уважением, А.Бойков
Конопацкий Евгений Викторович (28 марта 2019 г. 23:05)	Здравствуйте, Алексей Александрович! Спасибо большое за положительный отзыв!  С уважением, Евгений Конопацкий.