ПРОЕКТИВОГРАФИЧЕСКОЕ ФОРМООБРАЗОВАНИЕ НА ОСНОВЕ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Описана задача получения формообразующих решений в трехмерном пространстве на основе выпуклых несимметричных многогранников, и варианты ее решения с учетом дальнейшей гармонизации для улучшения эстетического восприятия получаемых результатов.

Проективографический подход к формообразованию многогранников имеет многолетнюю историю (Коксетер, Венниджер, Брюкнер, В.Н.Гамаюнов). Были изучены различные группы полиэдров, представляющие интерес с точки зрения формообразования. В качестве исходных многогранников, являющихся ядрами звездчатых форм, рассматривались платоновы и архимедовы тела, которые характеризовались множественностью чертежей (эпюр), вследствие чего сами чертежи стали именоваться многоэпюрными. В отличие от архимедовых тел, двойственные к телам Архимеда многогранники Каталана порождали одноэпюрные чертежи, что упрощало их практическое использование.

Все вышеуказанные классы многогранников, а также бесконечные семейства призм, антипризм, пирамид и бипирамид характеризуются наличием в них определенных групп симметрии, что позволяет перейти от рассмотрения свойств конкретного многогранника к свойствам соответствующей группы и при формообразовании новых объектов использовать ограниченное число чертежей.

В данной работе для целей формообразования предлагается использовать чертежи, полученные на основе выпуклых многогранников общего вида, которые с помощью разработанной компьютерной программы позволяют моделировать различные многогранные объекты геометрического и эстетического интереса с точки зрения их использования в архитектуре и дизайне. С внедрением в практику компьютерных технологий проективографический подход к изучению многогранников приобрел новые возможности для применения, и были разработаны алгоритмы и программы решения задач формообразования этим методом.

В данной работе предлагается воспользоваться специальными чертежами, полученными на основе выпуклых многогранников общего вида (проективографическими чертежами - ПЧ), которые позволяют, с помощью разработанной компьютерной программы, моделировать разнообразные многогранные объекты, представляющие интерес в геометрическом и эстетическом отношении для использования в архитектуре и дизайне.

С появлением компьютеров и использованием вычислительной геометрии актуальность уменьшения трудоемкости расчетов во время проектирования новых форм ослабла, использование компьютерных технологий позволяет решать сложные задачи с многогранными телами и поверхностями.

Теперь уже не имеет практического значения количество ядер в проективографической системе плоскостей, и поэтому степень многоэпюрности исследуемых систем возросла практически на порядок. Стало возможным исследовать системы на основе нескольких ядер (многоядерные системы) или на многогранниках с частично нарушенной симметрией (тела Джонсона).

Рассматриваемый подход к исследованию многогранников также получил новые возможности применения. В частности автором разработаны алгоритмы и программы для решения задач проективографическим методом. Программа получения чертежей проекта для рассматриваемой системы написана на языке программирования Maple.

Основным принципом, позволяющим сделать вывод о целесообразности использования проективографического подхода в исследовании формообразования многогранников, является решение вопроса о наличии и степени симметрии в ядре многогранника. Авторами уже получены проективографические чертежи на основе выпуклых многогранников Джонсона, обладающих симметрией, которые позволяют смоделировать новые разнообразные формы. На примере тел Джонсона можно видеть, что от степени симметрии многогранника зависит количество эпюр его системы плоскостей. Чем сильнее нарушена симметрия исходного тела, на основе которого получено ядро, тем больше количество чертежей в системе. Несмотря на то, что в современный период развития компьютерных технологий количество эпюр не является препятствием для полноценной работы с такими системами, нужно отметить, что с эстетической точки зрения образующиеся формы обладают меньшей выразительностью при большей сложности вычислений.

Другим принципом классификации может быть многоядерность системы, а также взаимное расположение и отношение этих ядер друг к другу (например, принимаются во внимание такие факторы, как принадлежность нескольких ядер к одной и той же группе симметрий; соотношение двух ядер по размерам и их взаимному расположению, взаимная ориентация в пространстве осей и плоскостей симметрии этих систем и.т.д.), и лишь на следующем этапе решается вопрос о степени нарушения симметрии в системе плоскостей.

Естественным образом возникает вопрос о границах применимости проективографического метода и целесообразности его использования в отношении многогранников общего вида, по сравнению с другими способами получения новых форм (например, комбинаторного). Рассмотрим общие характеристики проективографической системы на примере шести плоскостей. Предположим, что заданы шесть плоскостей произвольного расположения, никакие две из них не параллельны между собой, никакие четыре не инцидентны одной точке, и любые две прямые их пересечения не являются параллельными. Эти шесть плоскостей пересекутся по пятнадцати различным прямым общего положения, и образуют двадцать точек пересечений плоскостей. Проективографическая система будет состоять из шести чертежей, на каждом из которых другие плоскости будут оставлять свои следы. В общем случае в этой системе нет двух подобных чертежей.

Проективографические системы общего вида не обладают ярко выраженной эстетической ценностью, поскольку в них отсутствуют какие-либо симметрии. Для гармонизации системы с целью улучшения ее эстетических качеств можно использовать ее преобразования, основанные на использовании различных типов симметрий.

В качестве примера гармонизации рассмотрим более подробно систему, образованную 8-ю плоскостями. Ее ядром является общая часть пересечения двух тетраэдров. Эта система будет взята за основу дальнейших преобразований, позволяющих получать достаточно интересные с точки зрения формообразования объекты. Программа получения чертежей для рассматриваемой системы составлена на языке программирования Maple.

Рассмотрим различные варианты гармонизации получаемых на основе данного ядра трехмерных объектов. Первый способ – получение копий исходных объектов путем применения поворотной симметрии. Это значит, что необходимо указать ось симметрии, и задать угол поворота (этот угол зависит от порядка осевой симметрии). При одном и том же порядке симметрии на основе заданного ядра можно получать различные варианты формообразующего решения за счет выбора оси поворотной симметрии.

На ПЧ (в рассматриваемой системе восемь ПЧ) ось перпендикулярна чертежу и представлена точкой. Следует отметить, что количество чертежей не увеличится, но каждый из них будет состоять уже не из 7 прямых, а из 23 (добавятся ещё 16 (8+8) после двух поворотов на 120 и 240 градусов соответственно). Формообразующее решение после введения оси симметрии четвертого порядка (соответственно, после добавления копий исходного объекта в результате поворота на 90, 180 и 270 градусов) будет основано уже на 31 прямой.

Кроме поворотной симметрии возможно использовать диэдральную симметрию, а также тетраэдрическую, октаэдрическую и додекаэдрическую симметрии. В этих случаях количество прямых на ПЧ существенно возрастет, и процесс формообразования трудно проводить без компьютерной поддержки.

Еще один вариант гармонизации – использование симметрии отражения. Плоскость симметрии, если она не параллельна ни одной из плоскостей ядра исходной системы, будет представлена на чертеже прямой линией. Количество линий на каждом из чертежей станет равным 15, а количество самих чертежей станет вдвое больше, то есть в нашем случае 16. Как и в предыдущих случаях, результат зависит от выбора плоскости симметрии.

Очевидно, что системы плоскостей общего вида, образующие многогранный объект, порождают бесконечное  разнообразие ПЧ. С прикладной точки зрения предлагаемая методика формообразования на основе ПЧ с привлечением компьютерных технологий, в качестве инструмента архитектора или дизайнера, открывает новые возможности совершенствования автоматизированного проектирования, значительно расширяя его выразительные средства.

Вышеописанный метод также перспективен для образовательных целей, в частности при обучении инженерной графике. Имеется опыт применения метода образования многогранных структур при выполнении курсовых и дипломных проектов строительных и архитектурных специальностей.

Список литературы

1. Steven Dutch, Polyhedra with Regular Polygon Faces. http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/johnsonp.htm.
2. Gurin A.M. To the history of studying convex polyhedra with regular faces // Siberian electronic mathematical news. 2010. T 7. pp. 5-23.
3. Nikulin E.A. Computer geometry and computer graphics algorithms. St. Petersburg. : BHV-Petersburg, 2003. 560 p.
4. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Автоматизация получения проективографических чертежей тел Джонсона. //Вестник МГСУ, М., 2014, № 6, cтр. 179-183.
5. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. О методе формообразования в архитектуре и дизайне, основанном на многоядерных проективографических системах. //Инновации и инвестиции. 2017, № 8, стр. 132-136.

Хейфец Александр Львович (19 марта 2019 г. 11:25)	Андрей Викторович, вспомнил Ваш доклад на эту тему осенью на Инфорино 2018. Помню, что тогда выразил Вам свое восхищение и решением и иллюстрациями.  Но здесь трудно что-то понять без иллюстраций. С уважением. А.Л. Хейфец.