ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СЛОЖНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КАК ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ ТОЧЕК С ПОМОЩЬЮ 3D- МОДЕЛИРОВАНИЯ

Изучение геометрических мест точек (г.м.т.) рассматривалось в многочисленных работах. В последние годы вновь появились исследования на г.м.т. с учетом новых воззрений. В докладе изучены аналитическим путём г.м.т. двадцати двойных систем, образованных точками, прямыми, плоскостями, сферами, цилиндрами и конусами вращения, расстояния точек которых от заданных систем связаны шестью зависимостями. В докладе рассматривается 3D-модель поверхности 4-го порядка как г.м.т., суммы расстояний которых до прямой и сферы есть величина постоянная, а также 3D-модель поверхности 4-го порядка как г.м.т., отношения расстояний которых до точки и конуса есть величина постоянная.

В курсах элементарной, аналитической, начертательной геометриях можно встретить много задач, решение которых связано с нахождением геометрических мест (сокращенно г.м. или множеств), расстояния которых до двух заданных объектов (систем, образов) связаны определенной зависимостью.

Геометрическим местам посвятили свои работы целый ряд авторов [1 ÷ 8, 10, 9 ÷ 12]. Геометрические места точек, лежащие в плоскости и задачи на эти множества подробно описаны академиком Н.Ф. Четверухиным [1]. Простейшие геометрические тела в пространстве рассмотрены Н.В. Наумович [2].

Множествам точек, равноотстоящих от окружностей (в плоскости) или сфер (в пространстве) посвящены работы А.В. Огнева [3].

Много внимания уделено геометрическим местам в работах В.В. Глоговского [4 ÷ 7]. Множество точек, равноудаленных от двух и более геометрических образов им названы эквидистантами двойных и (более) систем по количеству образов, составляющих систему. Им произведено обобщение и систематизирование этого вопроса в направлениях, определяемых: 1) метрикой и размерностью пространства, в котором производится обследование; 2) видом и количеством фигур, по отношению к которым определяется искомое равноотстоящее множество; 3) размерностью элементов пространства, образующих искомое множество. Однако в работах Глоговского В.В., также как и в работах Вышнепольского И.В. [9, 10], появившихся в последние годы, рассматриваются только равноотстоящие множества. Между тем большое количество достаточно интересных геометрических мест можно получить, разыскивая множества, расстояния точек которых от двух данных систем (объектов) связаны какой-то зависимостью.

В данной работе, тема которой предложена д.т.н., профессором Котовым И.И. еще в 1965г., рассматриваются такие множества. Современные методы 3D моделирования позволяют увидеть полученные сложные множества (поверхности) наглядно. В докладе найдены уравнения множеств двадцати двойных систем, образованных точками, прямыми, плоскостями, сферами, цилиндрами и конусами вращения, расстояния точек которых от заданных образов связаны следующими зависимостями:

1. г.м.т., сумма расстояний, которых до двух данных образов есть величина постоянная;

2. г.м.т., разность расстояний, которых до двух данных систем есть величина постоянная;

3. г.м.т., отношение расстояний, которых до двух данных объектов имеет  постоянную величину;

4. г.м.т., отношения квадратов расстояний, которых до двух данных объектов имеет  постоянную величину;

5. г.м.т., сумма квадратов расстояний, которых до двух данных объектов имеет  постоянную величину;

6. г.м.т., разность квадратов расстояний, которых до двух данных образов имеет  постоянную величину.

Рассмотрим некоторые из этих множеств.

1. Геометрическое место точек М (x, y, z), сумма расстояний которых до двух данных точек G₁ и G₂ есть величина постоянная. Точки G₁ и G₂ заданы следующими координатами для упрощения вычислений G₁ (0, 0, g₁) и G₂ (0, 0, - g₁). По формулам аналитической геометрии получим

,

,

.

Величина С должна быть больше расстояния между точками, т.е. С > 2g₁. После упрощения получим уравнение множества

,

где , ,

которое является уравнением поверхности эллипсоида вращения, фокусами которого являются данные точки.

2. Геометрическое место точек M (x, y, z), сумма расстояний которых до прямой G₁ и сферы G₂ есть Const.

.

После преобразований получим поверхность четвертого порядка

,

где .

В зависимости от расположения прямой и сферы могут встретиться следующие случаи:

а) 2g₁ > R - прямая не пересекает сферу;

б) 2g₁ = R - прямая касается сферы;

в) 2g₁ < R - прямая пересекает сферу;

Сечения полученного множества плоскостями Х = Х₁, Х₂, ... , Х_i дают семейство эллипсов.

Семейство искомой поверхности плоскостями Y = Y₁, Y₂,  ... , Y_i и Z = Z₁, Z₂, ..., Z_i дают соответственно семейства кривых четвертого порядка, симметричных относительно оси Z и осей X и Y. С помощью 3D-моделирования выполнена трехмерная модель этой поверхности (Рис. 1).

3. Геометрическое место точек, отношение расстояний которых до точки G₁ и конуса G₂ есть величина постоянная. Пусть точка G₁ задана координатами G₁(g₁, 0, g₂), а конус вращения - уравнением :

По формулам аналитической геометрии находим расстояния от произвольной точки пространства М до данных систем

,

.

Берем отношение этих расстояний

.

Упростив, получим следующее уравнение четвертого порядка

,

где .

Сечения этой поверхности плоскостями Z = Z₁, Z_2, ... , Z_i дают семейство эллипсов при > и при < , или семейство гипербол при < и при > , или параболу при ;

а при Z_i = 0 получаем прямую линию. Сечения этой поверхности плоскостями Х = Х₁, Х₂, ... , Х_i и Y = Y₁, Y₂, ..., Y_i дают соответственно семейства кривых четвертого порядка. Для случая Х = Х₁, Х₂, ... , Х_i кривые четвертого порядка симметричны относительно оси Z. На Рис. 2 представлена 3D-модель этой поверхности.

Заключение

Итак, получено 120 уравнений г.м.т. Пять уравнений являются уравнениями плоскости, сорок три - поверхности второго порядка, пятьдесят восемь - поверхности четвертого порядка, четырнадцать - поверхности восьмого порядка. Подробное исследование полученных поверхностей, их оптических свойств, на наш взгляд, представляет интерес не только для геометров, но и для специалистов, разрабатывающих отражательные системы в светотехнике, радиоэлектронике и радиолокации.

Список литературы

Рисунки к докладу

Хейфец Александр Львович (23 марта 2019 г. 11:32)	Здравствуйте, коллеги. Несколько вопросов по докладу. Чем вызван выбор шести приведенных Вами множеств из бесконечного множества таких множеств.  Что дальше будете делать с полученными 120-ю уравнениями изученных множеств. Было бы интересно увидеть сводную таблицу изученных множеств. Как выполняли 3d визуализацию уравнений. С уважением. А.Л. Хейфец.
Харах Матвей Максимович (24 марта 2019 г. 13:18)	Уважаемый Александр Львович! Как указано в докладе тема данной работы была предложена мне в 1965 году известнейшим учёным д.т.н. профессором Котовым И.И при поступлении в аспирантуру на кафедру прикладной геометрии Московского авиационного института ( ныне технического университета). Мной были найдены 120 уравнений множеств двадцати двойных систем, образованных точками, прямыми,плоскастями, сферами, цилиндрами и конусами вращения, расстояние точек которых от заданных образов связаны шестью зависимостями. Наглядные изображения этих поверхностей строились в аксонометрии методом сечений плоскастями, параллельными координатным плоскостям. Была составлена сводная таблица этих уравнений. Методы 3-D  моделирования позволяют ускорить выполнение наглядных моделей этих поверхностей, что видно на рисунке 1 и 2. 3-D визуализация выполнялаь так же методом сечений.Будем благодарны Вам за любые ваши предложения по 3-D  визуализации, зная вас как таланливого учёного и крупного специалиста в области 3-D  моделирования. С уважением Харах М.М
Харах Матвей Максимович (24 марта 2019 г. 13:25)	P.S.     Допущена ошибка: читать ПЛОСКОСТЯМИ*!
Хейфец Александр Львович (24 марта 2019 г. 14:27)	Матвей Максимович, спасибо за похвалу. "Бальзам на раны". Готов помочь с визуализацией. Но для этого нужен либо построенный  объект в AutoCAD'е, и я его визуализирую, либо уравнение.  Построю Вашу поверхность и визуализирую. Мой адрес: heifets@yandex.ru С уважением. А.Л. Хейфец.
Козлова Ирина Алексеевна (25 марта 2019 г. 12:23)	Уважаемый Александр Львович! Как отметил Матвей Максимович, 3D-модели выполнялись операцией "По сечениям" в САПР КОМПАС-3D. В дальнейшем обратимся также к Вам.