|
|
Волошинов Денис Вячеславович | (Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича) |
В статье затрагиваются вопросы организации исследовательской деятельности студентов, изучающих вопросы конструктивного геометрического моделирования, проводимых в рамках факультативных занятий. Приводится решение некоторых комплексных задач, сформулированных в терминах пространств второй, третьей и четвертой размерности. Решение задач осуществляется с использованием системы геометрического моделирования Симплекс.
О проблемах геометро-графического образования, как и высшего образования вообще, на конференции было высказано много суждений, прозвучало немало справедливой критики. Каждый из преподавателей, кто честно относится к выбранной им профессии, к делу, которому он посвящает свое время, кто занимает ответственную гражданскую позицию, не может оставаться безразличным к тем процессам, которые происходят в современном нам высшем образовании. И, наверное, поэтому всем нам хочется найти ответ на два извечных вопроса: кто виноват и что делать. А также определиться: к кому из тех, кто посильней и повлиятельней в нашем мире, обратиться за помощью и поддержкой.
Отвечать на эти вопросы, как и всегда, чрезвычайно трудно.
Геометрическая наука сильна прежде всего тем, что позволяет научиться рассуждать о том, что происходит в окружающем нас мире с позиций проекционного схематизма. Мир многомерен, в то время как судим мы о нем лишь по его проекциям, если так можно выразиться, по теням. А мир и его тень – не одно и то же. Кому, как не геометрам, прекрасно известно, в какой геометрический образ проецируется прямая на плоскость, если проходит она через центр проецирования. В точку, конечно же! И как нелегко по одной лишь этой тени догадаться, что за ней в действительности скрывалось. Если понимания общефилософской сути принципа проекционного схематизма у человека или у общества нет, то будет он или оно пребывать в плену иллюзий, делать порой совершенно неадекватные выводы о мире сущего. И выводы эти, может быть, иногда и будут казаться неискушенному наблюдателю достоверными и безобидными, но при определенных обстоятельствах окажутся однажды источником серьезнейших заблуждений, а иногда и катастроф. О всех этих явлениях замечательно просто и в то же время исключительно серьезно рассуждал К.И.Вальков в своей книге «В сумерках полузнания» [1].
Геометрия, хотя и не позволяет раскрыть всю природу вещей бесконечномерного мира, говорит о том, что более информированным и защищенным окажется тот, кто осознает эту многомерность и способен по ее проекциям-теням восстанавливать прообраз наблюдаемого в возможно большей полноте. В этом смысле разные взгляды на одну и ту же проблему – это важнейшее достояние, которое есть у общества. Плюрализм – это своего рода механизм, по которому, как по проекциям, можно пытаться приблизиться к сути происходящего в реальности.
При всей кажущейся катастрофичности состояния образования, при всех страстных призывах изменить ход дел к лучшему, обратив на проблему внимание высших руководителей страны или же лиц, ответственных за тот или иной участок (хочется сказать «народного») хозяйства, вряд ли можно будет ожидать каких-то заметных перемен к лучшему в обозримый период времени, соизмеримый с периодом нашей деловой активности. Социальный маховик раскручен, повернуть его вспять вряд ли кому-то под силу. Хочется ли нам того или не хочется, все эти благородные порывы так или иначе будут восприниматься несведущими наблюдателями, как борьба за учебные часы, которых, как известно, всем не хватает. Да и получи сейчас эти часы – еще очень большой вопрос, что в них вложить, что действительно надо делать, как делать и насколько массово проводить свои идеи в жизнь. При этом возникает вопрос, а способен ли современный учащийся взять то, что мы хотим ему дать? Ведь какого-то консолидированного мнения на этот счет у геометрического сообщества нет. Как видим, многомерность и здесь налицо!
Сказанное, конечно же, не означает, что делать ничего не надо. Надо и много надо! Многое и делается: материалы, публикуемые на конференции, тому убедительное подтверждение.
Как и в любых делах, каждый должен быть силен на своем месте. Конечно же, нельзя «вариться в собственном соку», очень важными факторами успеха в любых делах являются самосовершенствование и активное взаимодействие с коллегами. Без всякого сомнения, исключительно важную роль в этом деле в настоящее время играют конференция «Проблемы качества графической подготовки» и журнал «Геометрия и графика», которые доносят до всех нас мнения коллег во всем их разнообразии и в то же время консолидируют геометрическое сообщество. К сожалению, в настоящее время личное общение заинтересованных людей, осложнено непростыми материальными обстоятельствами, и это – горькая правда. Это относится и к совещанию в Дивноморском, о котором на конференции напомнил С.И.Ротков.
В свою очередь, хотелось бы сделать деловое предложение. Ездить друг к другу в настоящее время непросто. Но современные технологии телекоммуникации позволяют организовать, например, рабочий форум по геометрии. Подобных форумов «по интересам» на просторах Интернета великое множество, но, к сожалению, форумов по проблемам геометрии встречать не доводилось. В качестве одного из рабочих инструментов такого форума можно предложить систему Симплекс. Видится, что это могло бы поспособствовать развитию геометрической мысли. На ее использование в качестве такого инструмента не требуется получать никаких лицензий, к тому же это отечественная разработка, подтверждающая мысль о том, что не боги горшки обжигают. Впрочем, чем больше было бы инструментов, тем лучше.
Направленность форума никак бы не противоречила ни деятельности конференции, ни журнала «Геометрия и графика», а наоборот, дополняла бы их активные начинания теми возможностями, которые предоставляют нам современные средства информатизации и телекоммуникации.
Безусловно, одной из важнейших задач, которую нужно решить, – это возрождение научных школ. Без сильной науки все благородные помыслы и подвижничество наших коллег окажутся бесплодными, а относиться к геометро-графическим дисциплинам с должным уважением никто не будет. Дефицит кадров высшей квалификации в нашей области – серьезнейшая проблема.
У геометрии огромный научный и прикладной потенциал – тема ее «архаичности» или ненужности закрыта и более не обсуждается. Но геометрия сложна. Особенно на старте. Для освоения ее канонов, а тем более, для продвижения вперед по пути познания, требуются немалые усилия, усердие и терпение, должная информационная и педагогическая поддержка. И далеко не каждый, кто даже расположен к этой науке, может этот старт преодолеть. Нужно во что бы то ни стало вовлекать в решение геометрических проблем способную молодежь и оказать ей всю необходимую помощь в преодолении стартовых барьеров. Это будет почти невозможно сделать, если не считаться с тенденциями современности, требующими принципиально новых подходов к организации научной деятельности, в частности с требованиями информатизации научных исследований, в том числе, геометрических. Вряд ли кого-то сейчас удастся увлечь наукой, которая не согласуется с тиражируемыми жизнью идеями информатизации. К активному взаимодействию информатики и геометрии непременно нужно идти. Конечно, нужно также понимать, что не всякая информатизация геометрии – наука.
Одна из форм привлечения молодежи к геометрии, которая может оказаться доступной в условиях дефицита основного учебного времени, – организация факультативных занятий. Конечно, в реализации такой формы обучения есть немало проблем, прежде всего организационных и финансовых, но речь сейчас идет не об этом. Как показывает опыт, молодежь отзывается на такие предложения и весьма охотно. Но ее надо заинтересовывать. И сделать это можно, если отказаться от старых догм, от прикипевшего к сознанию многих из нас убеждения, что геометрия – это лишь покорная служанка черчения. Нужно представлять геометрию в совершенно новом свете, раскрыть глаза и увидеть, что она есть везде, а не только в конструкторских чертежах (важность сего не подвергается сомнению) или недрах программных комплексов САПР, что она есть средство моделирования всего. И проблем с заинтересованными людьми не будет!
Для того чтобы увлечь геометрией молодых людей, нужно снять с этой науки покров архаичности, выйти в аудиторию и начать рассказывать о дисциплине по-другому, не так, как мы обычно делаем в основной учебной аудитории. Так, чтобы это стало интересно, жизненно а не догматично. Сделать это, в общем-то, не столь уж и трудно – было бы желание. И второе: задачи, предлагаемые молодежи, не должны быть слишком простые и сугубо академичные. В них тоже нужна новизна. Они должны быть такими, чтобы на их основе могло бы разворачиваться полноценное геометрическое исследование, еще лучше, если они будут представлять собой систему задач, позволяющую учащемуся продвигаться по пути от простого к сложному – это увлекает. Сейчас многие молодые люди идут в программисты, среди них есть немало толковых и талантливых людей. Они будут изучать математику, реализовывать полученные знания в математических моделях и компьютерных программах. Готовы ли мы соединить наши геометрические знания с их помыслами и устремлениями?
Ниже речь пойдет об одной из таких геометрических микросистем, предлагаемых для самостоятельного исследования студентам, выбравшим курс конструктивного геометрического моделирования в качестве факультатива, на примере СПбГУТ им. М.А.Бонч-Бруевича. Опыт пока небольшой, но интересный. В вузе начертательная геометрия не преподается – в нем учатся будущие связисты, у которых этой дисциплины в учебных планах нет по определению. А желающие изучать начертательную геометрию есть. Их не слишком много, но достаточно для того, чтобы сформировать академическую группу. Есть, потому что студентам предлагается решать геометрические задачи так, как их больше никто и нигде подобными способами не решал. Возможно, это утверждение звучит нескромно, но метод работает!
По всей видимости, изложение нижеследующего материала покажется читателям излишне подробным или избыточным. Возможно, что-то представится слишком сложным и нереализуемым. Но, как кажется автору, проблематика организации исследовательской работы, направленной на изыскание информационного компонента геометрического моделирования, иначе была бы освещена не в должной полноте. Было бы некорректно утверждать, что в этом деле есть одни лишь успехи. Есть и проблемы. Хотелось бы надеяться на то, что материал статьи окажет посильную помощь тем коллегам, кто хотел бы разнообразить задачи, предлагаемые студентам, нетиповой (но простой по своей сути). И, конечно же, следует помнить, что все, что будет изложено ниже, – это только небольшой пример, малый срез того, что можно предложить студентам на геометрическом факультативе. Педагогическая фантазия может здесь обнаружить неограниченный простор.
* * *
Начертим на плоскости три окружности d1, d2 и d3. Зададимся целью построить окружность d, перпендикулярную к трем заданным. Эта известная задача решается путем построения точки, называемой радикальным центром, степень которой по отношению ко всем трем окружностям одинакова. Известно, что радикальный центр лежит на пересечении трех радикальных осей, каждая из которых индуцируется парой соответственных исходных окружностей. На плоскости все три оси пересекутся в одной единственной точке, поэтому для нахождения радикального центра достаточно найти точку пересечения всего двух осей. На приведенном чертеже показаны радикальные оси o1=raxe(d1,d2), o2=raxe(d2,d3) и o3=raxe(d1,d3).
Радикальный центр C найден, как точка пересечения прямых o1 и o2. Следует заметить, что вещественную окружность, ортогональную к трем заданным окружностям, можно построить только в том случае, если радикальный центр будет лежать вне исходных окружностей и из него можно будет опустить вещественную касательную на эти окружности. Поскольку длины касательных будут в этом случае одинаковы, то для определения радиуса окружности, перпендикулярной к трем заданным, достаточно опустить лишь одну касательную на любую из трех исходных окружностей, а затем построить искомую окружность с центром в точке C и радиусом, равным длине касательной. Алгоритм построения радикальной оси исключительно прост, способ построения радикальных осей широко представлен в литературе [2] и в Сети и поэтому здесь не обсуждается; этот алгоритм использован нами как процедура с закрытой структурой и известными входными и выходным параметрами.
По аналогии с алгоритмом построения радикальной оси имеет смысл оформить алгоритмы нахождения радикального центра трех окружностей и нахождения окружности, ортогональной к трем окружностям в самостоятельные процедуры и включить их в состав стандартных геометрических операций, что и сделано в системе Симплекс.
Наличие процедуры построения окружности, ортогональной к трем окружностям, позволяет в свою очередь построить еще три окружности, используя в качестве исходных данных только что построенную окружность d, сопоставляя с ней пары окружностей d1–d2, d2–d3 и d3–d1 и применяя к этим тройкам только что сформированную процедуру. В итоге получим еще три окружности d4, d5 и d6, взаимно ортогональные к исходным. Таким образом, получена геометрическая конструкция из семи окружностей. Если теперь выбрать в этой конструкции любую тройку окружностей, не включающих в себя окружность d, в качестве исходных и найти окружность, ортогональную к ним, то будет получена окружность, совпадающая с d (рис. 1).
Рис. 1
Данная система обладает множеством замечательных геометрических свойств, которые несложно выявить и, следовательно, предложить учащимся посильную исследовательскую задачу по поиску и изучению таковых. В этой системе несложно продемонстрировать изящные проявления свойств преобразования инверсии, относительно окружности, интересные проявления положений некоторых характерных точек, располагающихся на кривых второго порядка (например, коника y1, построенная на пяти точках p14, p15, p16, p17, p18 и проходящая через точку p19) и т.п.
Разумеется, схожие в своей постановке задачи, но в отношении объектов трехмерного пространства, а также пространств более высоких размерностей, легко сформулировать. Логическое решение этих задач, в принципе, не представляет собой никакой сложности, потому что так же, как и в плоском случае, оно сводится к построению радикальных пространств по отношению к сферам (гиперсферам) соответственных размерностей. После нахождения общей точки пересечения этих пространств (радикального центра в пространстве соответственной размерности) и вычисления длины касательной, опущенной из найденного центра на любой из исходных объектов, искомая сфера (гиперсфера), ортогональная к заданным, будет определена.
Однако следует признать, что даже при выходе в пространство трех измерений, процедура поиска решения подобной задачи с точки зрения инструментального исполнения, становится весьма сложной и трудоемкой. Более того, программные инструменты твердотельного моделирования оказываются малопригодными даже для такой, казалось бы, несложной геометрической задачи, а в случае ее формулировки в терминах четырехмерного пространства, и, тем более, пространства более высокой размерности, становятся попросту бесполезными.
В то же время несложно показать, что решение подобных задач методами начертательной геометрии не составляет какой-либо принципиальной сложности и, более того, демонстрирует общность и универсализм проекционных методов, которые образуют вполне определенную иерархическую схему, пригодную, вообще говоря, для формального синтеза необходимых алгоритмов для пространств любой размерности. При этом, несмотря на безусловно высокую насыщенность чертежей геометрическими объектами и построениями, эти методы сохраняют свою визуальность, а следовательно, демонстрируют пригодность для выполнения геометрических экспериментов, располагают к проявлению исследователем геометрической интуиции, опирающейся на образные и логические ассоциаций, служат основой для формального анализа получаемых структур и взаимосвязей, приводящих в конечном итоге к обнаружению ранее неизвестных геометрических закономерностей и представления их в качестве информационных моделей. Безусловно, все это становится возможным и практически реализуемым при наличии соответственных инструментальных средств, предназначенных для осуществления такой исследовательской деятельности.
Итак, вернемся к исходной задаче и сформулируем ее в терминах трехмерного пространства. Пусть в нем заданы четыре сферы, для которых необходимо построить пятую сферу, ортогональную к четырем заданным. Легко видеть, что эта задача полностью соответствует намеченному выше условию в общей постановке, а следовательно, и принципиальному алгоритму ее решения.
Зададим в трехмерном пространстве четыре сферы: alpha, beta, gamma и delta. Решение задачи будем выполнять на проекционной модели трехмерного пространства – эпюре Монжа.
На приведенном рисунке сфера alpha представлена очерками d1 и d2, beta – очерками d3 и d4, gamma – d5, d6, delta – d7 и d8 (рис. 2). Для решения поставленной задачи необходимо трижды построить радикальные плоскости для трех пар сфер. В связи с этим имеет смысл определить процедуру по нахождению таких плоскостей, в качестве формальных входных параметров которой выступали бы две сферы, а в качестве выходного формального параметра – радикальная плоскость.
Рис.2
Реализация такого алгоритма на эпюре Монжа представлена на рис. 3. Дадим краткие пояснения к предложенной схеме.
Рис. 3
Исходные сферы alpha и beta промоделированы проекциями очерков этих сфер: alpha – d1, d2; beta – d3, d4. Выполним переход к новой системе проекций, для того чтобы отрезок, соединяющий центры сфер, в новой системе проекций представлял собой линию уровня. Для выполнения этого преобразования выбрана ось o5, параллельная оси исходной системы проекций, а новая ось o6 параллельна проекции отрезка, соединяющего центры сфер, представленной линией o4. Находя превышения точек p1 и p3 над осью o5, найдем положение точек p5 и p6, реализуя известный из теории начертательной геометрии алгоритм дополнительного ортогонального проецирования. Изобразим в новом поле проекций очерки сфер alpha и beta – d5 и d6 соответственно. Нетрудно понять, что радикальная плоскость в этом поле будет изображаться, как проецирующая, и представляться линией o8, которую легко построить, как радикальную ось двух окружностей d5 и d6. Следовательно, в этом поле не составит труда найти проекцию точки пересечения радикальной плоскости с проекцией отрезка, соединяющего центры сфер – точку p7. Восстановим положение найденной точки в исходных полях проекций – точки p8 и p9. Поскольку радикальная плоскость проходит через точку, моделируемую проекциями p8 и p9, а также перпендикулярна линии, соединяющей центры сфер, то определим эту ортогональную к отрезку плоскость проекциями двух прямых (o12–o15 и o13–o14) в соответствии с принципом моделирования плоскости, перпендикулярной к прямой линии. Назначим в качестве входных параметров алгоритма пары окружностей d1–d2 для alpha и d3–d4 для beta. Выходной параметр – плоскость sigma будет представлен проекциями пары прямых l: o12–o15 и m: o13–o14. После этих назначений алгоритм пригоден для использования в качестве процедуры.
Для нахождения радикального центра необходимо найти пересечение трех радикальных плоскостей pi, ro и tau, полученных как результат поиска радиальных плоскостей на парах сфер alpha–beta (o5–o7; o6–o8), alpha–gamma (o9–o11; o10–o12) и alpha–delta (o13–o15; o14–o16) (рис. 2). Для нахождения пересечений определим два алгоритма: нахождение точки пересечения прямой линии и плоскости, а также линии пересечения двух плоскостей. Оба алгоритма представляют собой элементарные задачи начертательной геометрии, поэтому в целях сохранения логики повествования остановимся лишь на описании их входных и выходных параметров.
В алгоритме нахождения точки пересечения прямой линии и плоскости прямая линия определена формальным параметром, представленным двумя проекциями o7 и o8. Плоскость задана проекциями двух прямых: o3–o6 и o4–o5. Выходной параметр – точка – представлен своими проекциями p10 и p9 (рис. 4).
Рис. 4
Алгоритм нахождения линии пересечения двух плоскостей дважды использует алгоритм нахождения точки пересечения прямой и плоскости. Полученные две точки (p3–p5) и (p4–p6) соединяются прямой линией o7–o9, являющейся результатом преобразования, и соответственно, выходным формальным параметром алгоритма. Входные плоскости представлены двумя парами прямых: o3–o5; o4–o6 и o7–o9; o8–o10 (рис. 5).
Рис. 5
Применение описанных алгоритмов в соответствии со схемой, представленной на рис. 6 позволяет определить положение искомого радикального центра.
Рис. 6
Последний этап задачи – определение длины касательной, опущенной из радикального центра p9–p10 на любую из исходных сфер (рис 2). На рисунке эта операция выполнена трижды (для проверки корректности работы всех алгоритмов). Это линии o30 (o31), o25 (o26) и o35 (o36). Для решения этой задачи применялся метод преобразования плоскостей проекций – типовая задача из студенческого курса по начертательной геометрии.
Итак, нами получен алгоритм построения сферы, ортогональной к четырем заданным сферам. Не составит труда оформить и этот алгоритм, как процедуру. Для этого укажем в качестве его входных формальных параметров сферы alpha: d1–d2, beta: d3–d4, gamma: d5–d6, delta: d7–d8. В качестве выходного формального параметра назначим полученную в алгоритме сферу ksi: d12–d13. Выполнив теперь этот алгоритм четырежды, осуществляя в него подстановки сфер alpha–beta–gamma–ksi, alpha–beta–delta–ksi, alpha–gamma–delta–ksi и beta–gamma–delta–ksi, получим еще четыре сферы, ортогональные к заданным (рис. 7) – трехмерный аналог задачи, представленной на рис. 1.
Рис. 7
Логика решения задачи, сформулированной в четырехмерном пространстве, в принципе, остается той же самой. Такую задачу несложно решить средствами проекционного геометрического моделирования. Покажем это.
Пусть в четырехмерном пространстве имеются пять гиперсфер: alpha представлена очерками d1, d2 и d3, beta – d4, d5, d6, gamma – d7, d8, d9, delta – d10, d11, d12 и epsilon – d13, d14, d15.
Сформируем алгоритм определения радикального пространства для двух гиперсфер (рис. 8). Идея построения, в принципе, аналогична ранее рассмотренному трехмерному случаю, за исключением лишь того, что в четырехмерном пространстве для определения истинной величины длины отрезка необходимо выполнить преобразование системы плоскостей проекций дважды. Итак, имеем две формальные гиперсферы alpha и beta, заданные проекциями очерков d1–d2–d3 и d4–d5–d6. Переведем отрезок, соединяющий центр сфер в такое положение, чтобы он предстал перед нами, как линия уровня. Для этого, выбрав произвольное положение оси o6, перпендикулярной линиям связи основной системы проекций, а оси o7, параллельной третьей проекции отрезка – o5, переведем проекции o3 и o4 в новое поле и получим проекции o8 и o9. Теперь выберем новую ось o10 так, чтобы она была параллельна одной из полученных проекций. В нашем случае выбран отрезок o8. Тогда отрезок o9 перейдет в отрезок o13, и мы обнаружим, что прямая, соединяющая центры гиперсфер, заняла положение линии уровня в новой системе проекций. Это означает, что радикальное пространство в окончательном поле выродится в прямую линию и эту линию легко будет построить, как радикальную ось очерков гиперсфер в этом поле. Получив точку p13, восстановим положение точки пересечения радикального пространства с линией, соединяющей центры гиперсфер, в исходных полях проекций – проекции p16, p17 и p15. Нам лишь остается задать проекции трех прямых, определяющих трехмерное пространство в четырехмерном, перпендикулярное к заданной прямой. По аналогии с трехмерным пространством, в четырехмерном это определение выполняется на основе правила моделирования линий, перпендикулярных к заданной прямой. Поэтому мы имеем следующие проекции трех прямых: (o16–o17–o17), (o19–o18–o19) и (o21–o21–o20), чем и описывается формальное выходное пространство алгоритма.
Рис. 8
Применив теперь этот алгоритм к четырем парам исходных гиперсфер alpha–beta, alpha–gamma, alpha–delta и alpha–epsilon получим четыре радикальные пространства sigma, pi, ro и tau.
Алгоритм построения точки пересечения прямой линии с гиперплоскостью представлен геометрическим построением на рис. 9. Алгоритм реализует классическое решение данной задачи, представленное в книге [3]. Отметим лишь входные и выходные параметры алгоритма: формальное пространство задается тремя проекциями трех прямых: l( o2–o5–o8), m(o3–o6–o9), n(o4–o7–o10). Исходная формальная прямая – это три проекции k(o11–o12–o13). Выходная точка – это три проекции p22, p21, p20.
Рис. 9
Алгоритм пересечения двух трехмерных пространств alpha и beta в четырехмерном пространстве реализуется исключительно просто. Каждая из прямых, определяющая второе трехмерное пространство пересекается с первым трехмерным пространством, реализуемым предыдущим алгоритмом. В итоге имеем плоскость sigma, заданную двумя триадами прямых: o21–o24–o26 и o22–o23–o25 (рис. 10).
Рис. 10
Последний алгоритм, который требуется реализовать для решения поставленной задачи – точка пересечения двух плоскостей в четырехмерном пространстве (рис. 11). Этот алгоритм также подробно описан в [3], поэтому на деталях его реализации здесь останавливаться не будем. Отметим лишь то обстоятельство, что в нем выполняется выбор произвольной дополнительной прямой, для того чтобы заключить первую из плоскостей в гиперплоскость. Входом этого алгоритма являются две пары прямых, задающих две плоскости alpha (o3–o5–o7) (o4–o6–o8) и beta (o9–o11–o13) (o10–o12–o14). Выходной параметр – точка, определяемая проекциями p22, p21 и p20.
Рис. 11
Таким образом, нами сформированы все необходимые алгоритмы, чтобы решить задачу в соответствии со схемой, представленной на рис. 12.
Рис. 12
После нахождения радикального центра остается найти радиус исходной гиперсферы. Эта задача сводится к нахождению истинной величины отрезка, ее решение выполнено трижды на рис. 13: прямые o67(o70), o133 (o134), o119 (o120). Совпадение длин этих отрезков подтверждает правильность решения задачи и корректность алгоритмов, составляющих данный алгоритмический проект. Результат работы алгоритма – гиперсфера, модель которой представлена очерками d22, d23 и d21. (Рисунок в высоком разрешении можно загрузить по адресу: http://dww.no-ip.org/simplex/kgp2016/13_high.png)
Рис. 13
Рассмотренные задачи позволяют подойти к одному интересному обобщению – одномерной сфере и одномерной радикальной оси, совпадающей с радикальным центром. По определению сфера – это поверхность, которая служит геометрическим местом точек, равноудаленных от заданной точки. Применительно к одномерному пространству, под сферой на прямой следует понимать пару точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки этой прямой. Определив таким образом две одномерные сферы (рис. 14 ), зададим на прямой o1 инволюцию pr1 точками p1, p2, p3 и p4. Двойные точки этой инволюции p6 и p7 при выходе в двумерное пространство, взятые как диаметральные, задают окружность d1. Центр этой окружности x1 совпадает с образом бесконечно удаленной точки прямой o1 в инволюции pr1. Мы видим также, что радикальная ось o2 двух окружностей d2 и d3, построенных на точках p1–p2 и p3–p4, взятых как диаметральных, пересечет исходную прямую в точке х1. Интересно отметить, что указанное свойство сохраняется, если прямая, например o3, является секущей по отношению к d2 и d3 (прямая o3 – точка x2), а также и в случае мнимых пересечений: прямая o4 – точка x3 .
Рис. 14
В завершение хочется отметить, что представленные задачи следует рассматривать как исключительно простой пример, в который не включены доказательства, в котором не исследованы какие-либо особые свойства полученных геометрических систем. Тем не менее эти примеры призваны были продемонстрировать возможность решения подобных задач с использованием инструментальных средств конструктивного геометрического моделирования и это возможно сделать в студенческой аудитории. Следует также подчеркнуть, что в данной реализации не затронуты проблемы объектно-ориентированного проектирования геометрических алгоритмов, позволяющих добиться существенно большей лаконичности и простоты описаний алгоритмов. А следовательно, впереди большая работа по созданию необходимых геометрии информационных систем.
Хотелось бы закончить повествование на следующей мысли: очень часто можно услышать утверждение о том, что в начертательной геометрии все уже давно открыто – ничего нового больше нет, все задачи давно решены, и ее не к чему более применить. Хочется верить в то, что после прочтения статьи у читателя сложится несколько иное мнение по этому вопросу.
Бойков Алексей Александрович (17 марта 2016 г. 0:54) |
Денис Вячеславович, буду первым. Спасибо за замечательный доклад! Интересно, свежо, с настоящей геометрией, есть над чем подумать и чему поучиться. |
Хейфец Александр Львович (17 марта 2016 г. 8:09) |
Денис Вячеславович, здравствуйте. Рискну задать вопрос, который, мне кажется, возник или возникнет у большинства преподавателей НГ. Что такое окружность, перпендикулярная трем другим? Мне понятна сфера, касательная к другим сферам, а здесь - простите. Ваш призыв "ребята давайте жить дружно" сегодня нереален. Потому, что одни "ребята" стремятся развивать наше дело, а другие, мягко говоря, нет. Да, я еще вспомнил Вашу статью о том, можно ли считать прямую множеством точек. Актуально.... С уважением. А.Л. Хейфец. |
|
Волошинов Денис Вячеславович (18 марта 2016 г. 21:07) |
Алексей Александрович! Очень рад тому, что статья оказалась Вам полезной! Благодарю Вас за отзыв и за позицию, полностью ее разделяю. Обещаю, что поделюсь и другими интереснейшими задачами. Их у меня много. |
|
Волошинов Денис Вячеславович (18 марта 2016 г. 21:33) |
Здравствуйте, Александр Львович! |
|
Хейфец Александр Львович (18 марта 2016 г. 21:53) |
Денис Вячеславович, спасибо за обстоятельный ответ. Но, может быть и к сожалению, это "не мой мир". То, что Вы указали на ортогональные сферы в моем докладе, меня очень заинтересовало. Постараюсь разобраться. А за мою неудачную реплику в конце предыдущего коментария, извините. С уважением. А.Л. Хейфец |
