Александр Львович!
Зря Вы сердитесь. И просьбу я Вашу выполню. Задача Ваша с очень большим количеством интереснейших свойств. Я просто истинное наслаждение получаю, пока еду в метро до работы (и обратно) и размышляю над Вашей задачей. Если бы Вы только видели, какой там сомн ортогональных сфер в трехмерном случае!

Но я не обладаю большим количеством свободного времени. У меня 17 пар занятий в неделю  в университете телекоммуникаций, шесть в двух других ВУЗах, обязанности заведующего кафедрой и аккредитация в апреле, к которой мы сейчас в ВУЗе готовимся. Я не успеваю и задачи решать, и беседы вести, и Вам отвечать в режиме on-line. Мое длительное молчание - это занятость и невозможность каждый день к компьютеру добираться, чтобы поучаствовать в конференции. Поэтому я вовсе не игнорирую Ваши просьбы, а отвечаю по мере возможности.

Я действительно очень часто нахожусь в затруднении, что Вам ответить. Посмотрите на Ваши сообщения критически по отношению к самому себе: Вы говорите про практическую точность, а считаете ее до восьмого знака; Вы говорите, что теория Вам не нужна, а сами просите в задаче разобраться и применяете теорию вполне успешно. Трудно Вашу логику проследить, и порой просто не знаешь, как и ответить.

Вы очень напрасно считаете, что я - беспросветный теоретик. У меня есть масса практических интересов и применеий геометрическим методам. Это и система, которую я программирую и развиваю лично (это серьезное практическое дело), у меня есть слесарная и столярная мастерские, где я сам работаю на мини-станках, ставлю эксперименты, есть электронно-измерительное оборудование, которое все это объединяет, снимает и обрабатывает данные. Есть сотрудничество с научно-образовательным центром разрабоки информационных образовательных систем, развиваем технологии объемной печати с использованием многомерных геометрических моделей. Есть и  другие применения геометрии к практике. Результаты этих работ я не выношу на нашу конференцию, потому что получаемые результаты  к ней не относятся. Если я начну здесь рассказывать об информационных системах, принципах программирования ПЛИС, соединениях плат, процессоров  и т.п., пусть и сформированных на основе геометрических принципов, то прозвучит очередной призыв: уберите, все это непонятно. И так, как видите, сложно дается продвижение в общем-то несложных идей.

Что касается Вашей докторской степени, то могу сказать следующее: при Вашей энергии и энтузиазме Вы могли бы горы сворачивать в геометрической науке. Но Вы выбрали свой путь, который, к сожалению, противоречит изначальной цели. Я Вам много раз писал о том, что Вы избрали путь разрушения вместо пути созидания, единения, и, по моему глубокому убеждению, сделали это зря. Все объяснения того, что в теории геометрии трудно разобраться, это, Александр Львович, отговорки. Вы могли бы в ней разобраться в том достаточном уровне, который бы позволил Вам защититься. Сейчас Вы говорите, что вы не обижены, но сердиты. Но на кого сердиться-то? Зла Вам никто не желал. И не желает. Это однозначно.

Вот теперь и получается: Вы выискиваете интересную задачу, много над не работаете, экспериментируете в Автокаде, статьи пишете с иллюстрациями, которые поди еще сделай. А получается так, что только Вы задачу опубликовали, а я, например, уже через час знаю множество ее внутренних свойств, принципов распространения результатов на подобные модели и т.д. и т.п. Вы ведь прямо в руки отдаете богатейший материал тем, кто его может обобщить и распространить на другие объекты. Вот это действительно обидно! Обратите внимание, я ни разу не воспользовался такими благоприятными возможностями в своих целях.

Что касается шестнадцати решений... Там не шестнадцать решений, а шестнадцать степеней свобод. Множество всех возможных исходных сфер в вашей задаче обладает шестнадцатью независимыми возможностью варьирования, следовательно, это множество шестнадцатимерно. Точно так же, как и точка на плоскости имеет две независимые степени свободы, значит, множество точек двумерно. Множество пар точек на плоскости четырехмерно, а всех окружностей трехмерно. Все очень просто.

Так что еще раз призываю, не сердитесь!

С уважением,
Д.Волошинов

Александр Львович!

Читайте, пожалуйста, материалы конференции внимательно и делайте корректные выводы!

Вы претендуете на соискание степени доктора технических наук и отвечаете мне, что Вам нужен эксперт, для того чтобы разобраться в Вашей же собственной задаче. Простите, я не понимаю, где брать такого эксперта, который разъяснил бы професоосу, что (12-8)*4=16. Где? Во втором классе средней школы?

Никакого высокомерия у меня нет. Честно совершенно, есть растерянность. И возникает она от того, что мне нечего написать, когда нет понимания подробно разъясненных, простых и основополагающих вещей. Поэтому и не отвечаю.

Программы пишут люди. Перекладывают на конечность модель бесконечности. Программы всегда несовершенны. Это тривиальная истина. А для того, чтобы разучиться доверять компьютерным программам слепо, нужно однажды сыграть в каком-нибудь интернет-казино. На деньги. Тонизирующее действие будет обеспечено.

Извините.

С уважением,
Д.Волошинов

Здравствуйте, Алексей Алексеевич!

Спасибо за Ваш комментарий и добрые слова. Вы напрасно терзались сомнениями, обсуждать накопившиеся вопросы, делиться сомнениями надо. Мы для этого здесь и собираемся.

Алексей Алексеевич, конечно, я должен извиниться перед Вами за то, что у нас на Вашей странице разгорелась дискуссия.  Надо, конечно, нам было переместиться в наши рабочие пространства. Но я все же надеюсь, что этим мы не доставили Вам каких-то огорчений.

Я понимаю Вашу обеспокоенность и сомнения в том, что теоретическая составляющая геометрии может быть непонятна коллегам, раздражать, пугать своей сложностью, подавлять желание выступить с каким-то мнением или вопросом в кругу людей, которые общаются на непонятном языке, да еще иногда и на повышенных тонах. Да, конечно, такая проблема есть.

Но как, я думаю, нам надо здесь поступать. Во-первых, конференция задумана, как научно-практическая. Поэтому отстранить от дискуссии людей, занимающихся пусть и не очень понятными, но серьезными научными проблемами, было бы все-таки неправильным решением. Все мы так или иначе занимаемся одним общим делом, и природа обсуждаемых вопросов – она одинаковая.

Нужно ли внедрять в современный учебный процесс то, что говорится в докладах по многомерной, мнимой и прочим геометриям в масштабах? Отвечу: нет, не нужно. По крайней мере, сейчас. И без этого проблем хватает. Низкий поклон тем нашим коллегам, кто держит на себе передовую оборону на поле воспитания бакалавров, на которых страна собирается строить свое будущее.

Для кого тогда пишутся все эти статьи? Тоже отвечу: для вас, уважаемые коллеги. И для тех, кто способен эту информацию воспринять. Если кто-то хочет не просто зарабатывать деньги, но и творчески подходить к делу, понимать, что он делает и видеть положительную перспективу, то иного выхода, как изучать теоретическое наследие, нет.

Реальное положение дел сейчас состоит в том, что мы не способны соединить сильную теорию с сильной практикой. Приходится пользоваться тем, что есть. Затыкать дыры иностранными программными пакетами, от бездумного применения которых серьезных продвижений и технологических рывков в стране не будет. Это очень грустно, потому что без инноваций, основанных на теории, мы всегда будем оставаться на позиции слабых.

Алексей Алексеевич, Ваши слова о том, что ни многомерная, ни мнимая геометрия не находят в такой огромной стране, как Россия, никакого реального практического приложения, это печальная констатация факта. Вы правы: не находит. Но это не значит, что не надо менять положение вещей.

Давайте посмотрим повнимательнее вокруг себя. Разве конструирование сводится только к проектированию корпусных изделий? А механизмы? А сложные технологические процессы, которые связывают в себе многопараметрические зависимости. Что, разве это не многомерность? Почему мы все предписываем геометрии область ее применения только для воссоздания поверхностей? Разве не существовала такая наука номография, которая была исключительно действенным средством технического расчета? Где она сейчас? Разве ее визуальные и расчетные преимущества где-то сейчас используются в расчетных моделях или интерфейсах информационных систем? Разве можно это сделать без теории многомерности?

А мнимость! Да без мнимости вся электротехника – как ноль без палочки. Ну почему мы должны сами себя загонять в угол, ссылаясь на то, что мы что-то не понимаем или не способны это понять?

Да, новое познается трудно. Но честное слово, утверждения, наподобие того, что все это заумно, непостижимо, ненужно – это, простите, проявление слабости. Поймите меня правильно, я не хочу никого обидеть своими словами. Понимаете, я сам чувствую вину за то, что не способствую в полной мере распространению знаний о том, чем владею и что могли бы и должны были бы знать коллеги, применяющие геометрические знания в своей педагогической деятельности. В Санкт-Петербурге была одна из самых сильных школ геометрии в Советском Союзе. Сейчас ее нет. Растаяла по вполне естественным причинам.

Если не предпринимать никаких действий по сохранению того научного наследия, волею судеб, с которой мы соприкоснулись на своем жизненном пути, то произойдет полное ее вымирание. Я не хочу произносить громких слов, но геометрическая наука – это наше национальное достояние. Ничего подобного не было и нет в других странах мира со всеми их компьютерами, технологиями, уровнем жизни. Скажут ли будущие поколения нам спасибо за столь вольное и беспринципное отношение к геометрической науке, к ее классикам. Наукообразие! Ну, слов нет!

Давайте с НГ отменим линейную алгебру, аналитическую геометрию, векторную алгебру. Теорию матричного исчисления. Теорию комплексного переменного туда же! Они ведь о том же, что и геометрия рассуждает, только в них результаты других символах записываются. За которыми далеко не всякий разберет, что за образ скрывается. Нормальная идея?

Не хочется о грустном, но все мы являемся свидетелями того, что происходит, если память предков предается забвению, если низвергаются памятники, если наизнанку выворачивается сознание. Наступают разруха и рабство. И дай Бог нам никогда до подобного состояния не дойти!

Мы собираемся на конференции, чтобы сверять позиции, делиться опытом, познавать новое. Давайте делать так, чтобы это было никому не в ущерб. И будем думать о том, чтобы передать наш опыт новым поколениям, чтобы они были нам благодарны!

Денис Волошинов

Здравствуйте, Евгений Владимирович!

Благодарю Вас за отзыв и внимание к моему выступлению.

По первому Вашему комментарию я имею абсолютно то же мнение. Разговор о точностях идет совершенно ненужный. Нечего тут сравнивать.

По второму комментарию тоже согласен. Компьютер работает по программе, поэтому, в принципе, все его действия прогнозируемы. Другое дело, что когда программа по какой-либо причине неизвестна, то абстракция черного ящика к нему может быть применена. Но этот выбор – воля наблюдателя. Я бы обратил большее внимание на другую проблему. Написав, например, программу вычисления координат точки пересечения двух прямых, используя для этого простейшие аналитические зависимости, мы были бы вправе ожидать, что всегда будем получать и правильный результат. Однако, это не всегда возможно по понятной причине – ограничение разрядной сетки. Пересекая почти параллельные прямые (или делая иные вычисления подобного рода) мы вполне можем получить результат плюс-минус километр, а то и еще хуже. Поэтому без специальных приемов, например, принятия «почти» параллельных прямых как параллельных (или же еще каких-то хитростей), мы обречены на ошибки или отказы программ. Сколь легко или сложно будет судить о том, насколько правильным и корректным получится результат, – вопрос сложный.

Второй пример. Геометрия проективная, безусловно, сильна своими алгоритмами и обобщениями. Казалось бы, в ней все давно продумано, четко и слажено. Однако, всем известно, что в любой системе (необязательно, кстати, геометрической) выбор чего-либо в качестве объекта исключительных свойств, системы отсчета например, порождает исключенные образы, а также исключенные отношения. Какими бы малыми не казались вероятности попадания данных в такие ситуации, в которых эти исключенные отношения смогут проявить себя, практика только и показывает, что при решении реальных задач, только на них и натыкаешься. Единой теории об исключенных отношениях в геометрии пока нет, да и не уверен я, что она вообще возможна. Если заглянуть в учебники проективной геометрии Глаголева или Четверухина, да и в другие тоже, то никакого анализа причин возникновения исключенных образов или рекомендаций по их «обходу» мы не найдем. Для человека все просто: выбери иные позиционны отношения в условиях задачи и решай ее дальше. С формальной точки зрения все сложнее. Не всегда так просто обойти исключения операторами if-then-else. Тут есть над чем поразмыслить.

Третий комментарий: разумеется, кривые Безье третьего порядка взяты только для примера. Рассуждение сводилось к одной мысли: использование чего-то одного для замены чего-то другого требует серьезного внимания к адекватности и правомерности этой замены. Для каких-то практических целей это допустимо, а для каких-то нет.

Я не берусь судить, как какие программисты решают те или иные задачи. Я, например, использую уравнения четвертой степени в своей системе. Разумеется, согласно принципу Абеля, уравнения более высоких степеней (кроме частных случаев), аналитическому решению не поддаются – их разрешают численно. Однако и здесь есть много подводных камней. Я не хотел бы их сейчас серьезно обсуждать, но, для того чтобы решение получилось и сошлось, нужно, чтобы процесс сходимости был «хорошо» обусловлен. Очень часто это условие весьма трудно обеспечить, в особенности, если для этого требуется выработать некий универсальный подход.

В четвертом комментарии тоже соглашусь с Вами. Модель может быть востребованной, может быть невостребованной. Как ей повезет. Но, если подходящей модели однажды вдруг не окажется под руками, особенно, когда она очень нужна, то с этой «нехваткой» придется считаться. Я ведь ни в одном своем выступлении не ругал и не критиковал практиков. Но, если обращать внимание только на практику, а теорию игнорировать, то однажды можно оказаться не у дел. Однажды откуда ни возьмись придет некий «дядя» со знанием никому доселе не известной теории и внедрит ее в новую практику. Только уже не с нами. Я за то, чтобы между практиками и теоретиками был разумный баланс. Нарушить его – это все равно, что сук под собой разрубить. Причем это относится к обеим сторонам в равной степени.

С уважением,
Д.Волошинов

Здравствуйте, Антон Георгиевич! Большое спасибо Вам за отзыв на мой комментарий!

Вы совершенно правы в том, что быт и жизнь оставляют нам слишком мало времени на то, чтобы остановиться однажды и помыслить о тех вещах, с которыми мы постоянно сталкиваемся, и постараться при этом нарушить привычные и вошедшие в плоть и кровь стереотипы, дабы узреть что-то новое, общее и важное. Мне тоже, как и всем, нечасто удается это делать, но занятия геометрией, программированием и информатикой позволяют иногда обратить внимание на удивительные вещи, которые нарушают привычный ход мысли. Как правило, такие «прозрения» наступают тогда, когда с каким-либо вопросом заходишь в тупик или сталкиваешься с парадоксом.

Я не хотел бы, чтобы у читателей создалось впечатление, что в том, о чем я пишу, я всегда абсолютно и безоговорочно прав. Я просто излагаю свои соображения, которые могут быть и ошибочными. Просто это мои взгляды на природу вещей, явления которых мне не удается объяснить каким-либо иным образом, кроме как нарушением обычной привычной логики. Впрочем, многие такие соображения логическим нарушением и не назовешь. Это как бы продолжение естественного хода обычных дел, только с новой «начинкой». Ведь, собственно, идея определения пространств отрицательной размерности, например, исключительно проста. Но к ней трудно подойти, если не иметь опыта замены одних привычных объектов другими, то есть не прочувствовать до глубины души смысл информационного содержания понятия «моделирование», как всеобщего средства познания окружающей действительности. Ведь по сути, я ничего такого сверхъестественного в комментарии не описал: все просто. Логика и только логика.

Антон Георгиевич, о природе взаимодействия прямой и точки я тоже много думал. Возможно, Вы правы. Наверное, связи евклидовой геометрии с неевклидовыми геометриями надо искать где-то здесь.

В своих рассуждениях я стараюсь придерживаться принципа организации и взаимодействия звезд – организованных пространств, которые размещаются в других операционных пространствах, имеют ядра, определяющие инцидентность своих элементов-лучей определенной размерности. Анализ взаимного соотнесения звезд и их организации позволяет выявлять многие закономерности моделей, которые образуются от этого взаимодействия. Для эпюра Монжа – одной из возможных и наиболее используемых моделей трехмерного пространства – это две звезды с «ядрами» в двух бесконечно-удаленных точках и элементами – прямыми, которые индуцируют на картине (в двух полях) пучки параллельных прямых, проходящих через исключенные образы моделей и играющих исключительно важную организационную роль для этой модели: задают правило моделирования точек (да и всех остальных объектов) на единых линиях связи. Аналогичные явления происходят при организации моделей других пространств, только картина происходящего становится, конечно, иной, но схожей по принципу. Но, в целом, причинно-следственные явления - результатов взаимодействия пространств различной размерности проявляются именно здесь. Пространства отрицательной размерности не должны быть в этом смысле исключением. Та же логика должна прослеживаться и в них. Но поиском этих свойств надо заниматься, и, я думаю, это будет одной из интереснейших задач будущего, которая нам приоткроет завесу тайн мироздания в его исключительно любопытных проявлениях.

Если через точку плоски провести пучок прямых и пересечь эти прямые с другой прямой плоскости, то, как известно, между пучком и образованным на прямой линии точечным рядом образуется проективное соответствие. Если допустить мысль о том, что проективитет – это точно такой же полноценный геометрический объект, как и все другие геометрические объекты пространства (хотя мысль «приравнять» преобразование пространства его объектам может показаться безумно), то становится ясно, что этот объект (во множественных проявлениях) присущ и точке, и прямой, которая ее явно не пересекает. Значит, есть что-то такое, что мы явно не видим, но и исключить это из рассмотрения тоже не можем. Интересно, не правда ли?

По поводу точки и нуль-окружности (нуль-сферы и т.д.) я придерживаюсь несколько иного мнения. Я не считаю, что окружность при равенстве ее радиуса нулю стягивается в точку. Для меня это нуль-окружность и ничто другое. То, что чисто физически мы воплощаем на бумаге при помощи карандаша, то есть строим предметную, а не абстрактную модель, из ее чисто визуальных свойств, ставящих знак равенства между графическим образом точки и графическим образом окружности, еще не позволяет делать логического заключения о равенстве логическом между этими образами. Можно ведь нарисовать и другую картину. И не единственную. И изотропные прямые – самое сильное тому подтверждение. Об этом, собственно, и шла речь в моем повествовании о «торжестве» терминов и влиянии на этот процесс проекционного схематизма и инвариантной неопределенности.

Ведь по аналогичной же причине прямая трехмерного пространства, проходящая через произвольно выбранную точку, являющуюся центром проецирования в выбранном проекционном аппарате центр – плоскость, образует нам на картине проекцию-точку, то есть образ пространственной проецирующей прямой на плоскости. И имея только этот аппарат, мы не сможем по проекции-точке определить, что в индуцирующем ее пространстве источником информации была прямая. Но ведь от этого прямая никуда не делась. Поэтому и следует говорить о том, что не всякая картина хороша для того, чтобы по ней делать окончательные и безоговорочные заключения о мире, который мы видим только лишь через тени – проекции. Если кто-то что-то хочет спрятать в этом мире, то один из самых лучших способов сделать это: разместить объект сокрытия так, чтобы он занял «проецирующее положение» в мире вещей, который мы наблюдаем на картине нашего восприятия, и был бы неразличим в среде ему подобных. Разве не так?

Антон Георгиевич, Вы совершенно правы, говорить об этом можно очень долго и интересно и растечься по древу далеко-далеко. Тем более, что все, о чем приходится здесь рассуждать, так тесно, а порою и больно, перекликается с нашей реальной земной жизнью.

Второе Ваше замечание очень интересно. Я постараюсь разобраться в Ваших умозаключениях. Если признаться честно, у меня была распечатка всех Ваших публикаций, размещенных некогда на сайте МАИ. Я зачитывался, хотя и не все понимал, и мысль о том, как все это богатство было бы здОрово применить в средствах электронного обеспечения средств решения геометрических задач (то есть разрабатываемой мною системы) меня постоянно одолевала. Это было бы в высшей степени полезно в деле продвижения идей и проекционного геометрического моделирования, и геометрии вообще. Потому что без обобщений геометрии мнимыми образами – ну, просто никак! Я очень надеюсь, что Вы не будете в обиде  на мой такой «неофициальный» порыв, хотя я понимаю, что Вашего разрешения на использование материала в своей разработке я не спрашивал. Впрочем, я пока еще и не слишком сильно продвинулся в этом деле. Просто экспериментирую. Мы ведь все проводим исследования на благо нашей науки, которая дарит нам незабываемые ощущения от чувства прозрения и постижения того, чего никто никогда пока еще не видел.

Эту распечатку у меня «зачитали». Я, конечно, могу сделать и новую, но руки пока не дошли. Пользуюсь копией сохраненного сайта. Лично, безусловно.

С уважением,
Денис Волошинов

Присоединяюсь к мнению о том, что Виктор Анатольевич достоин ученого звания доктора наук. Интереснийший и богатейший материал, профессионализм - все налицо.

Виктор Анатольевич, надо защищаться. Непростое это дело, но очень нужное!

С уважением,
Денис Волошинов

Здравствуйте, коллеги!

Хорошо, давайте пофилософствуем, поразмышляем. Это всегда полезно, а занятия геометрией к этому располагают. Да и по-другому просто нельзя, поскольку геометрия и есть концентрированное, образное  выражение философии. Хотим мы этого или не хотим.

Даже как-то трудно выбрать вопрос, с которого начать. Хорошо, давайте поговорим о геометрической «точности», как ее нам следует понимать.

Алексей Алексеевич задал хорошую тему для разговора. Ведь речь сейчас пойдет именно о терминах и о том, как мы их понимаем. Спор и шум вокруг термина «точность» ведь и возникает из-за того, что мы вкладываем в это понятие смысл, который близок нам по духу. У меня есть свое понятное мне интуитивно мнение о том, что такое геометрическая точность. Я его никому не навязываю, и понимаю, что полностью эквивалентного содержания моего мнения ни у кого не смогу вызвать (см. предыдущее размышление), но этого и не нужно добиваться. Достаточно простых слов, интуитивно понятных каждому, чтобы нечто похожее либо было принято, как полезный аргумент в дискуссиях, либо отвергнуто за ненадобностью.

Теперь о предмете разговора. Я считаю неправильным говорить о «точности геометрии», применяя для этого инструментальные аргументы: линейки, циркули, компьютеры. Все они не точны по своей природе, поскольку при их использовании приходится прибегать к категории конечности, а геометрия оперирует категорией бесконечности, и нет у нас никаких возможностей эти две категории однозначно сопоставить. На линейке есть шкала, которая выражена дискретными штрихами, компьютер обладает ограниченной разрядной сеткой, пусть даже очень большой, но все равно конечной, а значит, неточен все равно. Мало того, компьютер, в принципе, не слишком-то отличается от той же линейки, поскольку в него заложены всего три базовые операции: он умеет складывать, сдвигать и пересылать состояния электрических сигналов, которые по причине удобства люди назвали числами, хотя никаких реальных чисел в компьютере нет. Это модель. Преимущества у компьютера перед линейкой есть лишь одно. Внутри себя он «прикладывает эту линейку» к данным очень быстро, и только. А все операции сводятся исключительно к сложению и умножению на два (к сдвигу). И все! Практически требуемую точность получаемого результата можно увеличивать за счет временных и материальных ресурсов компьютерной системы. Можно добавить в него памяти и заставить считать длительное время. Но опять же, все эти ресурсы конечны, а значит, к идеальному результату приблизиться не удастся. А для практики, как правило, беспредельная точность и не нужна.

Проблема «точности» кроется как раз в другом: насколько можно доверять полученному результату, если компьютер работает, как черный ящик. Если нам не известны правила того, как он получает результаты. И ничего другого, вроде бы и не остается, кроме как смириться с судьбой и довериться компьютеру, полагаясь на добросовестность и компетентность программистов, заставивших вычислительное устройство перебирать и сдвигать сигналы. И все было бы неплохо, если бы не одна беда: алгоритмы, они тоже подчиняются законам проекционного схематизма, и они не могут нести в себе учета всего того, что в мире возможно. Нельзя идеализировать процесс переноса абстрактной системы на конечную физическую основу, в особенности, если это делается без должного внимания к самой абстрактной системе. Однажды от такой деятельности может получиться монстр – аналог русской рулетки, когда судьбу человека или мира решит автомат, перебросивший нолик или единичку куда-то по правилу, которое совсем не относилось к делу. Привет искусственному интеллекту! Но не будем о грустном.

Когда я рассуждаю о геометрической точности, то я думаю о том, что мне даст та или иная модель, которую я хочу применить для достижения результата. Модель как информационное понятие, как средство доставляющее мне информацию. Мне нужна практическая «координатная» точность? Да, безусловно. Я не стану применять линейку (пусть и компьютерную) там, где мне реально нужен циркуль. Но мне нужно больше. Нужно, чтобы результат был прогнозируем, воспроизводим и достигался без излишних затрат. Именно об этой точности и хотелось бы поговорить, она интересна прежде всего.

Не буду прибегать к теории, поясню мысль на примере. Полагаю, что большинству коллег известно, что графические системы векторной графики используют для представления кривых линий кубические кривые Безье. Причем для любых, для окружностей в том числе. Реально любая окружность в таких системах, как CorelDraw!, Adobe Illustrator, 3D Studio Max и других – это четыре плотно и гладко пристыкованные друг к другу четыре кубические кривые Безье с заранее вычисленными коэффициентами при соответственных степенях переменных. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Безье) . Удобно такое решение для пользователя? Безусловно! Выглядит, как окружность, а при необходимости – разбил себе «окружность» на четыре сегмента, освободив коэффициенты четырех кривых от фиксированных значений, и наслаждайся «кривляниями», твори искусство.

Но! Но при необходимости определить точку пересечения прямой и все той же окружности программисты вынуждены были использовать не квадратное уравнение, а уравнение кубическое. Причем дважды: для x и для y в отдельности, ибо уравнение параметрическое. И в решении этой задачи получили не две точки, а двенадцать: по три для каждой кривой, да кривых четыре, из которых львиная доля точек – мнимых. Налицо и усложнение уравнения, и непроизводительность сложных вычислений. Да, для одной окружности, вроде бы и незаметно будет, а если таких окружностей миллиард? Стоит ли овчинка выделки? И что особенно важно для геометрии  – теория коник и теория кубик, они разные. С разными объектами, зависимостями, функциями и т.д. Правомерно ли с геометрической точки зрения заменять ежа ужом, если один из них колючий, а другой – скользкий?

В глобальных масштабах мы имеем дело не только растранжириванием ресурсов, но и с невозможностью развития теории вследствие нарушения логики. Остается одно: эмпирика. Она, безусловно, полезна в ряде применений, но ограничена. И непременно требует доказательств своего использования, так как при определенных условиях она способна дать катастрофический сбой, за необдуманное допущение которого наступает ответственность, а это не шутки. И вообще, вся наука, работающая на технику, стремится получать оптимальные решения, а не абы какие. Это ведь и прибыль, и безопасность, и все, что хотите! Поэтому для меня геометрическая точность – это адекватность и непротиворечивость модели, чего стараюсь и придерживаться. А количество знаков после запятой – дело вторичное. Весь вопрос состоит в том, какой ценой это достигается.

Теперь поговорим о D. Или nD, если хотите. Вопрос тоже интересный, дискутируемый, но тоже покрытый налетом недопонимания. Давайте, порассуждаем.

Мы по причине нашего воспитания и образования вложили себе в головы, что мы живем в мире трехмерном и обозначили это явление символом 3D. И очень редко задумываемся о том, что мерность – это понятие относительное, как и все в этом мире.

Каждодневный опыт и ассоциация математического пространства с физическим пространством, скажем так, «протяженности» наводит нас на мысль о том, что существовать и действовать в этом пространстве мы можем исходя из того, что будем механически перемещаться в нем по трем независимым линейным направлениям. Вот вам и еще один перенос бесконечного на конечное, откуда и проистекают многие проблемы. Давайте, попробуем разобраться и с этим.

Никаких конкретных определений, что такое точка, прямая и плоскость, мы, конечно же, дать не можем. По той причине, что за словами будут стоять новые слова. И так до бесконечности. Поэтому придется пользоваться интуицией и инвариантной неопределенностью. А они дают нам большую свободу для размышлений и действий. Не называя конкретно, что такое точка, что такое прямая, мы, однако, можем кое-что сказать об их взаимных проявлениях. Тоже, конечно, на интуитивной основе, но с пользой для дела. Мы, например, можем сказать, что две несовпадающие точки определяют прямую линию, причем единственную. То есть мы установили отношение между объектами разной природы и назвали их словами «точка» и «прямая». Вполне возможно дать и другие определения. Ну, скажем, что две точки определяют бесконечно много прямых. И можно будет выстроить другую логику, но это – тема совсем другого разговора.

Наш выбор, как оказывается, в общем-то, произволен и допускает определенное число свобод. Свободы эти зависят от свойств, которые мы приписали объектам при их определении, а количество этих свобод и станет впоследствии тем, что мы  назовем размерностью.

Обычно (и с большой пользой для себя), мы считаем что точка – это нечто абстрактное и неделимое. Прямая делится на точки (что неверно в принципе) и т.д. И приписываем точке размерность ноль (ибо нечего делить), прямой – размерность единицу, ибо она делится только на точки (что опять же неверно в принципе) и далее по той же схеме.

В действительности, никто ни на что не делится, а лишь может друг друга содержать. Относительно легко понять, что пространство большей размерности может содержать в себе пространство меньшей размерности. Сложнее себе представить, что и обратное возможно. Но пока оставим этот разговор.

Давайте, произведем мысленный эксперимент. Давайте, представим себе жуткую картину: точек нет. Нет в природе, а все начинается с прямой. Если прямая ничего в себе не содержит (точки отсутствуют), то тогда она должна быть обозначена нулем. И так далее. Да, геометрия получается непривычная – линейчатая. Видите, что происходит с нашим обыденным понятием «размерность». Чудеса просто творятся! Но это уже сложно для понимания, вернемся к привычным точкам.

Нарисуем теперь несколько простых таблиц и попытаемся сделать ряд обобщений. Все будет примитивно, объяснения будут просто детские (рис.1). Чтобы было понятно. Надеюсь, что никто из коллег на примитивность объяснений не обидится.

Рис. 1 Пояснения к образованию размерностей пространств от пересечения линейных образов в операционных пространствах разных размерностей

Возьмем, скажем, плоскость и посмотрим, что мы можем на нее поместить, и как все это может там взаимодействовать.

Итак, в плоскости могут «существовать» точки и прямые. Обозначим их в первом столбце и первой строке таблицы символами R₀ и R₁. Само пространство – плоскость – обозначим через R₂ и поставим его обозначение в верхнюю левую клетку таблицы.

Констатируем факт: в плоскости две прямые пересекаются в точке. И более в ней никаких пересечений быть не может. Зафиксируем это обстоятельство в соответствующих строке и столбце таблицы.

Поехали дальше. Возьмем теперь пространство трехмерное. Строчек и столбцов станет на единицу больше. Чертим, проставляем символы. Что же видим? Видим то, что взаимных пересечений тоже стало больше. Две плоскости пересекаются по прямой, а прямая с плоскостью – в точке. Вроде бы и все. Но взгляните на таблицу! Замечается закономерность? Видно, что нижняя правая клетка увеличила свое значение на единицу, а в остальных клетках образовалась диагональ равных размерностей? Можно ли теперь, пользуясь подмеченной закономерностью, нарисовать таблицу для четырехмерного, пятимерного или n-мерного пространства? Разве сложно?

Да, как-то непривычно осознавать, что в четырехмерном пространстве две плоскости пересекаются в точке, но эта сложность осознания уходит через неделю после того, как разберешься, почему это так. Ведь, если две плоскости в трехмерном пространстве пересекались по прямой линии, а при переходе от трехмерного к четырехмерному пространству мы добавили одну свободу, то от прямой – результата пересечения, эту одну свободу надо отнять! Вот и останется точка. Разве это не логично? Просто здесь все на самом деле.

А теперь шаг диковинный. Посмотрите на пустые клетки таблиц и постарайтесь догадаться, что туда можно вписать, если следовать все тем же правилам. Разве не очевидно, что там должны оказаться минус единицы, минус двойки и т.д. Слышу вопрос: что это? Как это понять, как с этим работать? Сейчас поясню.

Из таблиц очень хорошо видно, что неделимая точка на плоскости «пересекается» с не проходящей через нее прямой по фантастическому образу минус первой размерности. Но насколько он фантастичен на самом деле?

Давайте вернемся в понятную часть пространства. Скажем так, чем мы можем задать плоскость? Ответ очевиден. Один из вариантов – плоскость задается тремя точками или двумя пересекающимися прямыми. Но этого мало. Нужен еще алгоритм того, как при помощи заданного репера построить образы (точку хотя бы), которые бы принадлежали этой плоскости. В остальном, никого не удивляет, что плоскость выражается тремя точками (или двумя пересекающимися прямыми). Но, подождите, а чем образ минус первой размерности хуже? Разве мы не можем его задать все теми же прямой и точкой, которые не пересекаются? И вот он, он в наших руках! И получается, что «неделимая» точка вдруг стала «делимой», и пошло и поехало. И получили мы возможности куда более мощные и интересные, чем никому не нужный спор о том, что лучше 3D или 2D. Честное слово, уже надоело повторять то, что все они составляют ряд пространств, ни одно из которых не лучше и не хуже других, а между моделями этих пространств устанавливается транзитивная связь, от которой нам никогда никуда не уйти, ибо она – объективная реальность. И есть дисциплина, которая ее изучает – это НГ. Точка.

Понимание того, что я сейчас рассказал, позволяет осознать, какой невероятно огромный потенциал у нас есть для расширения возможностей математики. Оно у нас под руками, а мы его обходим и не замечаем. Давайте посмотрим внимательно, есть ли решение у системы уравнений 3x-y-12=0, x=-1, y=-1. Многие скажут, что его нет, а я скажу, что есть. По обозначенной выше причине. Ведь, если записать 3x-y-12=0 или x=5, а y= 3, то вряд ли кто-то будет возражать, что записи отражают одно и то же. Это тавтология. Что так запиши, что этак. И я имею право считать выражение 3x-y-12=0 репером точки x=5, а y= 3. Почему же тогда система 3x-y-12=0, x=-1, y=-1 не репер объекта минус первой размерности (см. рассуждение о задании плоскости тремя точками)? Ведь она сама уже является решением. Просто мы пока не умеем работать с такими объектами, но дело только лишь в этом. Думаю, я дал повод к тому, чтобы поразмышлять на досуге.

Александр Львович, когда Вы говорите о том, что 7D – это наукообразие, Вы противоречите сами себе. В Вашей задаче четыре сферы. Каждая сфера задается четырьмя точками в трехмерном пространстве – это двенадцать параметров на одну сферу. Каждая точка может «скользить» по сфере, как по поверхности, не заменяя при этом саму сферу,  поэтому по две степени свободы от каждой точки надо отнять. 12-8=4. Именно поэтому множество всех сфер в трехмерном пространстве четырехмерно. У Вас четыре сферы. Всего мы имеем 16 параметров, ибо все сферы в Вашей задаче свободны.

Поэтому в Вашей задаче, хотите Вы этого или нет, присутствует объект шестнадцатимерного пространства 16D, которому Вы ставите в соответствие со сферой-результатом! И делаете это успешно, применяя, кстати, для этого конструктивный метод. Вам же не даны координаты центра касательной сферы, как данность, Вы его строите через гиперболоиды. Зачем бы тогда нужна была задача? Так что никуда Вам от конструктивного метода не уйти! И еще прячете от нас Ваши 16D. Ну куда там Пекличу с его всего-то навсего семимерным пространством!

Эксперимент в геометрии – дело великое. Александр Львович, в этом я Вас поддерживаю на все сто. Обобщение Вашей задачи я выполнил тоже на основе эксперимента. Скажу совершенно честно, я просто посмотрел на то, что должно получаться в Симплексе, поперемещал окружности туда-сюда и увидел то, что задача Апполония может быть решена так, как я ее описал. Да, конечно, помимо интуиции нужны еще и знания. Но если они есть, то эксперимент очень помогает. На всю работу потребовался один час.

Эксперимент может приносить досаду только в одном случае: когда не понимаешь, почему получились такие результаты, какие наблюдаешь, и не можешь их объяснить. В остальных случаях эксперимент должен приносить радость, тем более, если ранее никто ничего подобного не наэкспериментировал.

Над Вашими геометрическими вопросами подумаю. Сходу не знаю. Я – обычный человек, не семи пядей во лбу (можно проверить по фотографии). Могу ошибаться в чем-то и далеко не все знаю.

 
С уважением,
Д.Волошинов

 

Здравствуйте, Алексей Алексеевич!

Вы затрагиваете очень сложный философский вопрос - можно ли что-то в жизни или науке определить точно.

На него есть однозначный ответ - нельзя.

Мои слова могут показаться для большинства коллег неожиданностью и даже быть восприняты с негодованием. В сказанное трудно поверить, с этой мыслью безумно трудно согласиться, ибо, как всем нам кажется, наука – она и призвана добираться до первооснов, до первопричин, и в этом ее основная благородная миссия. Чем, собственно, всегда и занималась математика – царица всех наук. И однажды потерпела фиаско.

Любое определение - это слова, которым люди приписывают смысл. Заметьте, свой личный смысл, который может быть совсем не таким, какой будет заложен в те же слова другим человеком. Именно поэтому возникает соблазн "уточнить" определения, придать им более "точный", конкретный и, как кажется, самый-самый "фундаментальный" смысл. Вот тогда-то все и будет разложено по полочкам! Науке известно замечательное выражение Лейбница: " Вычислим и тогда узнаем, кто прав". К сожалению, а скорее, к счастью ничего подобного никогда сделать не смог, и никогда не сможет. Многие пытались идти по подобному пути. И сейчас пытаются убедить всех, что жить надо так-то и только так-то, и будет вам счастье. Но ничего серьезного в достижении этой цели не видно и не увидится, потому что цель, направленную на то, чтобы что-то определить конкретно и окончательно, реализовать нельзя - это миф. Миф с благими пожеланиями, и только.

Как раз геометрия очень четко показывает, что поиск фундамента науки (да и всего остального) оказывается принципиально бесперспективным делом. Первым, кто осознал это (и поплатился за это жизнью) был Янош Больяи, который из лучших побуждений в порывах и стремлениях укрепления фундамента математики, допустил невозможное - предположил, что параллельные линии пересекаются и пытался опровергнуть это. И не только не смог этого сделать, но и показал, что «безумное» допущение порождает новую стройную логическую систему, и привычное "очевидное" может быть далеко не единственной правдой.

Попытка дать определение каждому слову в определении, дабы его "уточнить" может привести только к тому, что поток новых определений начинает расти, как снежный ком. И нет этому конца, а значит, мы имеем дело с бесконечностью, которая не позволит нам приблизиться к намеченной цели.

Поэтому любые определения, как это чудовищно ни звучит, ничего в математике не уточняют в принципе. Определения служат только одной цели - сокращению записи. Это их основное и исключительно важное предназначение. Внутренние термины определений неопределимы. Люди в них могут только, простите, верить, исключительно интуитивно понимая их смысл, опираясь на так называемую инвариантную неопределенность, которая с неизбежностью возникает из-за невозможности адекватного и однозначного сопоставления конечного и бесконечного. И в подавляющем большинстве случаев, этого бывает достаточно.

В нашей жизни непонимание и игнорирование этих важнейших философских принципов очень часто приводит к парадоксам и катастрофам, которые мы наблюдаем ежедневно. Это и попытка насадить свою демократию там, где ее не понимают и никогда не воспримут, это войны, в которых каждая сторона считает, что ее дело правое, а противник мерзок и гнусен, и многое другое. И все это следствие того, что найти единственную и «самую верную» правду нельзя - это невозможно.

Хочу раз обратить внимание на то, геометрия учит нас тому, что мир многомерен. Мы судим о нем по теням - по проекциям, рассуждаем, ищем причины происходящего в то время, как у нас никогда не бывает достатка информации о реальном бесконечномерном мире. И именно поэтому следует изучать многомерность, чтобы хоть как-то приближаться к пониманию окружающей нас действительности. И не отчаиваться. Ведь в спорах рождается истина, путь и не единственная.

С уважением,
Д.Волошинов

Алексей Александрович, хотел бы обратить Ваше внимание на автогенерацию в Симплексе программы на языке Prolog, эквивалентной тому построению, которое формируется в результате синтеза алгорима посредством чертежа. В Симплекс встроен интерпретатор языка Prolog, и он взаимодействует с геометрической базой как в смысле анализа, так и в смысле синтеза алгоритмов, которые сразу же могут быть исполнены и отображены. Мощь логического программирования, объединенного с конструктивным геометрическим моделированием, может дать весьма интересные результаты в деле автоматизации проверки решений геометрических задач. И не только. Автоматический синтез геометрических алгоритмов, заданных правилами Prolog, - это возможность забираться в такие "геометрические дебри", к которым без подобных информационных средств даже помыслить невозможно.

Prolog в Симплексе требует еще большого внимания с точки зрения обеспечения его эффективного функционирования, но даже сейчас задача сравнения алгоритма с эталоном-образцом, выраженным через геометрическое построение в логических переменных, - вполне реальное дело.

Алексей Александрович, если Вас подобный подход заинтересует, то буду рад поделиться с Вами своими мыслями и наработками.

С уважением,
Д.Волошинов

Здравствуйте, Александр Львович!

Ортогональная окружность - не мое изобретение. Ничего принципиально сложного и непонятного в ортогональности окружностей нет. Все вытекает из преобразования инверсии. Почитать о таких окружностях можно, например, в Жижилкин И. Д. Инверсия.— М.: Изд-во МЦНМО, 2009.—С. 19. ISBN 978. В задаче, которую Вы обсуждаете в своем докладе на сайте, ортогональных сфер превеликое множество. Они просто соседствуют с касательными сферами и проистекают из них.

Касание окружностей (сфер) - дело не такое простое, как может показаться. В аксиоматике Эвклида говорится, что через две точки можно провести объект, который называется "прямая", и такой объект - единственный. При этом ничего не говорится о том, как его нужно провести. Обычно все считают, что прямая "визуально проходит" через точки, но это всего лишь частный случай, хотя и очень часто используемый. Прямая может быть такой, что никакого "визуального" прохождения через точки не будет, но тем не менее именно эти две точки будут определять прямую.

Простой пример: зафиксируйте на плоскости две точки A и B. Возьмите еще две точки P и Q и проведите окружность m через B, P и Q. Найдите поляру k точки A относительно m. Получается, что точки P и Q при фиксированных A и B задают единственную прямую k, которая через них визуально не проходит. В полученной геометрической системе проявляются очень интересные свойства. В ней будут и "прямые" и "окружности" и все остальное. Но выглядеть все это будет весьма непривычно. В том числе и "окружности", которые касаются друг друга.

Призыв - реален. Он прозвучал. Возможно, нереально достижение цели. Посмотрим.

Прямую можно считать точкой. Можно и точку считать прямой. По разным причинам. Например, в соответствии с принципом двойственности. Но, конечно, не только из-за него. Геометрическое моделирование только и занимается тем, что осуществляет подобные подмены. Я обсуждал несколько иной вопрос, состоит ли прямая из точек и можно ли, зная всего две точки, "создать" по каким-либо правилам прямую, не имея заранее образца прямой. Ответ - нет, нельзя. Прямая и точка - объекты разной природы, друг из друга не состоят, но могут содержать друг друга в себе. Причем это содержание может быть организованным в соответствии с принципами инциденции образов в операционных пространствах разной размерности. Обобщающий образ организованного пространства в геометрии называется звездой.

С уважением,
Д.Волошинов

Алексей Александрович! Очень рад тому, что статья оказалась Вам полезной! Благодарю Вас за отзыв и за позицию, полностью ее разделяю. Обещаю, что поделюсь и другими интереснейшими задачами. Их у меня много.

Здравствуйте, Константин Леонидович!

Благодарю Вас за отзыв. Рад тому, что мой доклад вызвал у Вас приятные эмоции!

Буду очень признателен Вам за книгу, с радостью буду ее изучать! В тех явлениях, которые проявились с центрами кривых второго порядка, без всякого сомнения, скрыты глубокие закономерности. Конечно, было бы очень интересно их обнаружить, изучить и грамотно их применять. Признаюсь честно, то, что происходило с центрами коник на экране моего компьютера, оказались для меня большой неожиданностью, и я долго сомневался в том, что не ошибаюсь.

С уважением,
Денис Волошинов

Здравствуйте, Алексей Александрович! Большое спасибо за отзыв!

Задача о построениях касательных к двум коникам решается относительно просто, если есть процедура построения точек пересечения двух коник. Осуществим полярное преобразование первой коники относительно второй (красная –  в красную пунктирную) и обратно (синюю – в синюю пунктирную). Найдем точки пересечения красной пунктирной коники с синей и синей пунктирной с красной. Полученные точки есть точки качания прямых линий к коникам. В Симплексе полярное преобразование – штатная процедура, которая была однажды запрограммирована для точки (построение поляры по полюсу относительно коники), а потом естественным образом распространена на другие объекты проективной плоскости. Поэтому особенной необходимости искать аналитическое выражение для расчета координат точек касания прямых к коникам нет. Это просто результат последовательного выполнения двух процедур: полярного преобразования и точек пересечения двух коник.

Пример решения задачи в Симплексе, соответствующий рисунку, привожу в таблице. Если Вы его повторите, то получите необходимый результат.

Пока готовил пример, обнаружил, что функция пересечения двух коник пару раз дала неверный результат. Это не результат каких-либо ошибок в приведенных формулах. Где-то есть внутренняя ошибка (редко проявляющаяся) в неверной засылке значений во внутренние переменные системы.  С подобными явлениями я встречаюсь неоднократно, очень часто они случаются из-за ограничений по точности или из-за  недосмотра за выбором возможных альтернативных вариантов. Сбойный вариант я записал. Буду анализировать и постараюсь поскорее устранить причину, после чего сформирую обновление. Если Вы решите создать в Симплексе свой пример и обнаружите, что точки пересечения получились неправильные, то сдвиньте немного точки, задающие исходные коники, чтобы проблема ушла.

Я пока не сформировал функцию сопряжения двух коник с прямыми, потому что она требует скрупулезного осмысления проблемы порядка формирования получаемых точек. Если сейчас соединить полученные точки прямыми линиями, а затем начать изменять форму коник, то может получиться, что прямые станут соединять точки не в той последовательности, в которой следовало бы. Над этим еще надо думать. А делать так, как показано в примере, используя функцию «касательная в точке коники», мне не очень хочется, так как этот прием хоть и правильный, но нарушает естественную логику построений.

Что касается задачи о сопряжении коник кониками, то в той постановке, в которой Вы ее сформулировали, она не вполне определена. С двумя коникам можно сопрячь множество коник, так же как и в случае сопряжения двух окружностей окружностью (ее радиусы могут быть различными). Поэтому необходимы дополнительные условия. С задачами подобного рода интересно экспериментировать: например, можно выполнить сопряжение двух окружностей окружностью и преобразовать все то, что получится, в некоторой заданной коллинеации. Получатся именно те сопряжения, о которых Вы говорите.  Очень много полезного для анализа и компьютерной реализации таких сопряжений можно было бы почерпнуть из статьи В.А.Короткого на конференции КГП 2012 «Центральное проектирование двух компланарных коник в две окружности» – http://dgng.pstu.ru/conf2014/papers/47/. К сожалению, я обнаружил, что доступ к материалам этой конференции сейчас закрыт, а печатной копии у меня, к сожалению не сохранилось. Помню, что именно эта статья  мотивировала меня к тому, чтобы ускорить работу над функцией определения точек пересечения двух коник. С нее и начался пересмотр функций Симплекса с точки зрения учета комплекснозначных результатов.

Постараюсь поделиться и другими интересными материалами, которые, на мой взгляд, могут быть полезными для работы со студентами, и при успешном их развитии пополнить функциональный состав системы, чтобы всем нам стало возможным решать еще более сложные и интересные задачи.

С уважением,
Денис Волошинов

Ссылка на рисунок: http://dww.no-ip.org/simplex/kgp2016/kasat.png

Приношу извинения перед читателями: в текст доклада вкралась опечатка. Строку "Определив из системы (1) коэффициенты a, b, c, d и e, запишем систему (2) из уравнения коники и уравнения прямой для определения значений координат искомых точек:" следует читать "Определив из системы (1) коэффициенты a, b, c, d и e, запишем систему (2) из уравнения коники и уравнения окружности для определения значений координат искомых точек:".

Здравствуйте, Николай Андреевич!

Большое спасибо за комментарий и подтверждение предложения о публикации материалов по Симплексу. Я уже работаю над этим, скоро вышлю первую статью. Надеюсь также в материалах этой конференции представить решение некоторых, на мой взгляд, интересных и красивых геометрических задач, выполненных в Симплексе, относящихся к моделированию объектов плоскости, трехмерного и четырехмерного пространства. В частности, хотел бы показать, каким образом средствами начертательной геометрии можно построить гиперсферу, перпендикулярную к пяти заданным гиперсферам, а также некоторые способы формообразования поверхностей на основе преобразования инверсии относительно сферы. Задачи эти решены, осталось только дать описание и оформить в виде докладов. Надеюсь, что подобные задачи смогут показать, насколько богаты методы начертательной геометрии и что единственным фактором, мешающим использовать это богатство, является физическая трудоемкость (а потому и практическая невозможность) выполнения необходимых построений карандашом на бумаге.

С уважением,
Денис Волошинов

Антон Георгиевич! Симплекс доступен по адресу: http://dww.no-ip.org/simplex/. Его можно загрузить и пользоваться - никаких ограничений нет.

Информацию о том, как пользоваться программой, можно также получить на страницах сайта. Сайт, конечно, сыроватый - примеры относятся к достаточно старым версиям, а на обновление, как обычно и бывает, не хватает времени. Если бы это кому-то было нужно, то был бы и стимул, а когда всем этим пользуешься только сам, то вроде бы и пояснений не надо.

Я уже давно писал на конференции о Симплексе, о его достоинствах и преимуществах при решении конструктивных задач в сравнении с системами типа Автокад, Компас и т.п. Они действительно есть, и пишу я об этом вовсе не из-за того, что я автор и продвигаю свою разработку - к Симплексу у меня совершенно спокойное отношение, это моя экспериментальная установка в геометрии, работа над которой доставляет большое удовлетворение - а потому, что мне в определенной степени огорчительно, что многие из наших коллег, которые справедливо и правильно обосновывают важность изучения начертательной геометрии, пытаются реализовывать ее алгоритмы средствами Компаса, Автокада, но убедительного эффекта достичь не могут. Прошу прощения уважаемых коллег, но невостребованными останутся эти старания. К сожалению. И всегда будут предметом критики, критики жесткой и обоснованной.

Геометрическая модель сильна тем, что она работает, она не статична. Она служит средством передачи и преобразования информации. Но это важнейшее ее качество нельзя проявить средствами, предназначенными для черчения или трехмерного моделирования, которые не являются средствами программирования. Для этого нужна система программирования особого, графического свойства, со своей парадигмой и методологией. Программирования, которое рядовой пользователь, занимающийся геометрией как своим основным дело, не должен замечать, ибо он не программист. Программа, реализующая геометрическую модель, должна создаваться как бы сама собой, исподволь, без текстового ввода, несвойственного деятельности геометра, только за счет вычерчивания геометрических образов и установки связей между ними. То есть точно в таком же стиле, как и при исполнении обычного расчетного чертежа. И минимум текста!

Самое важное, что такой неявный чертеж-программа начнет работать, изменяться под воздействиями любых влияний, оказываемых на него извне, реализуя алгоритм своего построения, а поэтому он будет ничем не хуже, чем любая компьютерная программа, написанная на символьных языках программирования, тяготеющих не к геометрическим, а к аналитическим средствам вычислений. Если такая система геометрического программирования есть, то тогда у геометрии появляются точно такие же основания для развития, применения на практике ее методов, так как ее модели могут быть использованы столь же легко и удобно, как и модели аналитические. Они становятся равными как по теоретической значимости, так и по сферам приложения. Разработка системы Симплекс и преследовала эту основную цель.

Почему система не стремится покидать компьютеры автора? Этому есть несколько причин. Во-первых, очень непросто убедить коллег в том, что ее применение сулит выгоду. Система должна найти своих пользователей. Видимо, их будет немного, но эту работу надо делать. Второе: система создавалась в условиях, когда ни на какой аналог посмотреть было нельзя. Было непонятно, как ее строить, чем она должна быть насыщена. Было много ошибок, озарений и проч. Выпустить систему в свет в таком «недоделанном» виде - означало бы создать неправильное впечатление от общей идеи и, возможно, погубить ее. Симплекс и сейчас "сбоит" иногда, иногда дает неверные результаты, есть функции, которые проработаны слабо, и это сказано совершенно честно, потому что создание такой системы - дело непростое. Ну, и третья причина, конечно тоже важна. Нужна обратная связь от тех, кто воспользовался системой, но обнаружил какие-то ошибки или что-то не понял. И, если даже такую связь наладить, то понятно, что оперативно реагировать на все вопросы или "претензии" в едином лице автору крайне сложно.

Но, видимо, систему нужно выпускать из своих рук, иначе и у нее не будет будущего, да и геометрия лишается неплохого инструмента. Не мне, конечно, судить, но есть у меня убеждение в том, что заложенная в систему идея продуктивна.

Симплекс уже несколько лет свободно доступен на моем сайте. Всех заинтересованных коллег приглашаю зайти на него и при желании загрузить программу. Научиться ей пользоваться совсем не сложно. Все делается примерно так же, как решается обычная геометрическая задача. На сайте есть примеры, которые можно тоже загрузить и проработать. Студенты, которым я эту систему предлагаю к изучению, за два часа с этой задачей справляются. Конечно, им легче, ибо они могут оперативно задать вопросы

Недавно к системе были подсоединены два модуля, которые она подзагружает сама в конце сеанса работы, для выполнения обновлений версий и для отправки сообщений по почте вместе с файлом проекта, если возникли какие-то неясности. Обновления случаются часто. Это понятно, потому что многое приходится переосмыслять, переделывать. Ошибки тоже случаются, ничего не поделаешь.

Специальной монографии об использовании системы пока нет. Была мысль опубликовать цикл статей в журнале Геометрия и графика: Николай Андреевич Сальков любезно предложил мне подготовить такой цикл. Конечно, если заинтересованность у коллег будет, то я постараюсь как можно быстрее подготовить такие статьи.

Без ложной скромности скажу, что возможностей развития и применения системы много. Важна даже не сама система, а заложенная в ней парадигма. Возможно, что кто-то подхватит идею и создаст что-то лучшее и более совершенное. Это нормально. Во всяком случае, мне удалось увлечь геометрией около двух десятков студентов Санкт-Петербургского университета телекоммуникаций, которые четко осознали, что геометрия и информатика – понятия неразделимые. А это значит, что геометрия – это концентрированное выражение самых современных информационных технологий, таких, о которых в мире, возможно, еще и не догадываются! Это мое глубочайшее убеждение!

С уважением,
Денис Волошинов
 

Здравствуйте, Антон Георгиевич!

Благодарю Вас за высокую оценку доклада. Нет никаких сомнений в том, что геометрия без комплексных элементов неполна. Работая над своей системой, я постоянно сталкиваюсь с тем, что функции, реализованные только в действительной постановке, очень часто ограничивают возможности решения задач. Именно по этой причине в Симплексе за последний год проведена генеральная ревизия функционального состава в плане перевода многих (пока не всех) вычислений в форму, допускающую работу с объектами комплексной плоскости. Результаты получаются впечатлящими, но, конечно, требуется еще много работы для того, чтобы все функционировало слажено, правильно и не противоречило бы тому, что было уже сделано и работало надежно, хотя и неполно. А для этого, безусловно, нужна четкая теория и правильное ее понимание.  

С уважением,
Денис Волошинов