ФОРМИРОВАНИЕ ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ – ВАЖНОЕ УСЛОВИЕ УСПЕШНОГО ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ

Алексей Алексеевич, здравствуйте. 

Строгий, методически выдержанный доклад. Своевременный и нужный. Спасибо.

Действительно, о терминах нужно договариваться "на берегу", причем, не только для понимания, но и сокращения терминологии. Отсюда, например, и злободневные сокращения "2d"  или "3d".  Я встречал множество нашей литературы 60-70х годов, посвященных терминологии в НГ (кстати, тоже прижившееся в нашем общении в последние 5 лет сокращение). Вспомните, кто-то ставил индексы проекций подстрочные, кто-то надстрочные штрихи... Сейчас все успокоилось. Договорились на индексах. Хотя, технически, штрихи ставить проще 

О термине "2d чертеж". Вы это считаете как "масло-масляное", ибо чертеж всегда плоский, то есть 2d. Это не совсем так. В том же AutoCAD'е есть вариант построения чертежа, кстати, активно рекомендуемой разработчиками, составлять чертеж из видовых окон, в которых отображена 3d модель в соответсвующем направлении взгляда, то есть не из проекций (плоских), а из видов на 3d модель. (Н.А.С., вы здесь?, жду Ваших реплик, связанных с Вашим непониманием различий между видом и проекцией). В SolidWorks'е, по моему, также, хотя там все завуалировано, окон не видно. Так вот, такой чертеж можно назвать 3d-чертеж. Другими словами, 2d чертеж - из проекций, в отличии от возможного 3d- чертежа,полученного из видов.

Возможно, Вы и меня имели ввиду, когда говорили о "2d-чертеже" как о синонимах. Я пояснил свое понимание и трактовку, что это чертеж из "черточек". Конечно, речь идет о компьютерных технологиях, поскольку только в них возможны различия 2d-3d.

Вот такой экспромт получился, навеяный Вашим интересным докладом.

С уважением. А.Л. Хейфец

Александр Львович!

Ваша информация о том, что разработчики, активно рекомендуют составлять чертеж из видовых окон, в которых отображена 3d модель, кажется мне очень важной. Действительно, после применения в Автокаде операции проецирования изображение получается неассоциативным. В Архикаде, можно работать в окнах плана, фасада или разреза, и других пожалуй именно потому, что не применяется операция проецирования на плоскость. Раньше я не задумывался над этим.

Я не замечал раньше, что вы говорили о "2d-чертеже", впрочем, как и о 3D. Возможно потому, что Вы используете эти термины органично. Обнаружил в названиях Ваших работ, процитированных мной, только после того, как запустил автопоиск в своем докладе после упреков в применении термина 3D, при том, что я стараюсь так не говорить.

С уважением и благодарностью за проявленное внимание к моему докладу и, особенно, за сделанные замечания

Добрый день, Алексей Алексеевич!

Вы затронули  очень важный вопрос. Многие научные исследования происходят на «стыке наук» и вопросы терминологии  становятся весьма актуальными.

В этой связи задумалась о неопределяемых понятиях геометрии. Как, на Ваш взгляд, лучше вводить такие фундаментальные понятия как «точка», «линия» («прямая»), «поверхность» («плоскость»)?  Эти понятия можно строго определить через  систему аксиом алгебры, мат. анализа, функционального анализа, в конечном счете, через понятия теории множеств, но очевидно, что у первокурсников еще нет достаточных знаний по этим дисциплинам.  Есть ли у Вас опыт введения этих терминов в доступной для первокурсников форме?

С уважением, Елена С. Дударь

Здравствуйте Елена Сергеевна

Вы поднимаете еще более важный вопрос, по крайней мере, для меня. Но в присутствии мэтров (не отождествляю это понятие с титулами) я не брался его даже обозначать. В частности не перестаю удивляться широте горизонтов, до которых распространяется геометрическая наука, из докладов Волошинова Дениса Вячеславовича. Пытаюсь понять, в чем может быть польза инженерному делу от многомерной геометрии. Но пока мое отношение к этим вопросам мало похоже на научное, пока это как религия – верю или не верю. Большое значение в этом имеет личность носителя идей. Всегда интересовался математикой, при возможности посещал в разное время курсы повышения по разным областям математики, про которые даже не знал, зачем они мне нужны, в частности по тензорному исчислению. Использую возможность проконсультироваться у друзей – математиков, часто бывает, что они не могут ответить на мои вопросы, но я с их помощью, надеюсь, могу ориентироваться, на большее и не рассчитываю и не ставлю цели. Не так давно с благодарностью принял предложение моего бывшего студента (второе образование – математик) прослушать готовящийся им курс по дифференциальной геометрии. Считаю только, что наш предмет не математика, а техника, пытался даже об этом высказываться. Наверное, из моего пространного ответа понятно, что я не берусь отвечать на Ваш вопрос, но считаю его важным для обсуждения на конференции.

Еще мне кажется, к Вашему вопросу примыкает неоднократно поднимающийся на этой конференции вопрос о задачах и целях, концепции нашего предмета в системе технического образования, ставящийся, например, не в первый раз Виктором Алексеевичем Рукавишниковым. Если конечно я правильно понял.

С уважением и благодарностью за вопрос А.А. Головнин

 Коллеги, в связи с тем, что  Алексей  Алексеевич  здесь  опять  упомянул  о многомерной геометрии, я , не обсуждая  её суть  и многомерных  моделей вообще , хочу  привести  своё образное представление о " полезности  подхода"  с  этой стороны к анализу  моделей пространства, в котором мы живем и живут объекты , проектно-конструкторского интереса,  и  ГГП  в частности ..( То, что  ниже  никак  не касается  целей  матаматического  анализа  таких  моделей.)  

Так  вот, в голову приходит  такая аналогия, позволяющая, на мой взгляд,   экстраполировать  её  в  “N – измерения”,  и  предложить образ   её “наглядности”. .….  Допустим ,  что  мы живем в двумерном, плоском пространстве и  сами “не лучше”, - тоже “плоские”.  Там у нас своя  “плоскометрия”,   в  которой окружности,  как  обычно, соответствует   уравнение   х²+y²=r² (1)  .  Желая  распространить,  связанные с  определенным видом  уравнений, (здесь(1),  наши  геометрические образы на пространства больше 2-х ( например ,3-х мерное)  …  назовем уравнение  х²+y²+z²=r² ….уравнением  гиперокружности ( ! ) и  т.д. и т.п.  Не думаю, что “там”  нам будет  удобно изучать  "плоскометрию",   начиная  с  гиперокружностей (сфер),  которые  по определению представить не можем, так  как не  будет  среди нас, “там”, в плоском мире, таких объектов!  

        C уважением ко всем и всем точкам зреения, А.О.  

Здравствуйте, Алексей Алексеевич!

Вы затрагиваете очень сложный философский вопрос - можно ли что-то в жизни или науке определить точно.

На него есть однозначный ответ - нельзя.

Мои слова могут показаться для большинства коллег неожиданностью и даже быть восприняты с негодованием. В сказанное трудно поверить, с этой мыслью безумно трудно согласиться, ибо, как всем нам кажется, наука – она и призвана добираться до первооснов, до первопричин, и в этом ее основная благородная миссия. Чем, собственно, всегда и занималась математика – царица всех наук. И однажды потерпела фиаско.

Любое определение - это слова, которым люди приписывают смысл. Заметьте, свой личный смысл, который может быть совсем не таким, какой будет заложен в те же слова другим человеком. Именно поэтому возникает соблазн "уточнить" определения, придать им более "точный", конкретный и, как кажется, самый-самый "фундаментальный" смысл. Вот тогда-то все и будет разложено по полочкам! Науке известно замечательное выражение Лейбница: " Вычислим и тогда узнаем, кто прав". К сожалению, а скорее, к счастью ничего подобного никогда сделать не смог, и никогда не сможет. Многие пытались идти по подобному пути. И сейчас пытаются убедить всех, что жить надо так-то и только так-то, и будет вам счастье. Но ничего серьезного в достижении этой цели не видно и не увидится, потому что цель, направленную на то, чтобы что-то определить конкретно и окончательно, реализовать нельзя - это миф. Миф с благими пожеланиями, и только.

Как раз геометрия очень четко показывает, что поиск фундамента науки (да и всего остального) оказывается принципиально бесперспективным делом. Первым, кто осознал это (и поплатился за это жизнью) был Янош Больяи, который из лучших побуждений в порывах и стремлениях укрепления фундамента математики, допустил невозможное - предположил, что параллельные линии пересекаются и пытался опровергнуть это. И не только не смог этого сделать, но и показал, что «безумное» допущение порождает новую стройную логическую систему, и привычное "очевидное" может быть далеко не единственной правдой.

Попытка дать определение каждому слову в определении, дабы его "уточнить" может привести только к тому, что поток новых определений начинает расти, как снежный ком. И нет этому конца, а значит, мы имеем дело с бесконечностью, которая не позволит нам приблизиться к намеченной цели.

Поэтому любые определения, как это чудовищно ни звучит, ничего в математике не уточняют в принципе. Определения служат только одной цели - сокращению записи. Это их основное и исключительно важное предназначение. Внутренние термины определений неопределимы. Люди в них могут только, простите, верить, исключительно интуитивно понимая их смысл, опираясь на так называемую инвариантную неопределенность, которая с неизбежностью возникает из-за невозможности адекватного и однозначного сопоставления конечного и бесконечного. И в подавляющем большинстве случаев, этого бывает достаточно.

В нашей жизни непонимание и игнорирование этих важнейших философских принципов очень часто приводит к парадоксам и катастрофам, которые мы наблюдаем ежедневно. Это и попытка насадить свою демократию там, где ее не понимают и никогда не воспримут, это войны, в которых каждая сторона считает, что ее дело правое, а противник мерзок и гнусен, и многое другое. И все это следствие того, что найти единственную и «самую верную» правду нельзя - это невозможно.

Хочу раз обратить внимание на то, геометрия учит нас тому, что мир многомерен. Мы судим о нем по теням - по проекциям, рассуждаем, ищем причины происходящего в то время, как у нас никогда не бывает достатка информации о реальном бесконечномерном мире. И именно поэтому следует изучать многомерность, чтобы хоть как-то приближаться к пониманию окружающей нас действительности. И не отчаиваться. Ведь в спорах рождается истина, путь и не единственная.

С уважением,
Д.Волошинов

Коллеги, поскольку, благодаря Денису Вячеславовичу и Александру Олеговичу, потянуло к философским рассуждениям, рискну и я поучаствовать по философским оттенкам моего родного 3d моделирования. "Рискну" - потому, что предполагаю критическое восприятие со стороны НГ-философов.  Но выслушать критику интересно.

1. Согласен с Александром Олеговичем (надеюсь, что я его правильно понял), что мы трехмерные, мы родились и останемся такими. Более высокие пространства мы можем понять и работать в них (точнее, работать с большим количеством параметров в эксперименте), только сведя к 3d (а кому непонятно, то и к 2d: чертежам и графикам). То есть мы все-равно работем в 3D, а не в  4D, 5D (В.А. Пеклич в своих мемуарах рассказывал, что доходил до 7D). Выдумки все это, диссертационное наукообразие. Работа идет в 3D и по исторической необходимости в 2D! 

2. Не удержусь от высказывания о мнимостях, которые сейчас, благодаря уважаемому А.Г. Гиршу, активно "расцвели". Свом инженерным мышлением я воспринимаю мнимые объекты как придуманные для согласования теоретических выкладок. Меня особенно поражают умозаключения, что два геометрических тела всегда пересекаются, действительно или мнимо. Простите, но если объекты не имеют общей области, то они не пересекаются, а не мнимо пересекаются. Соответсвующее чувство я испытываю к работам, где находят такие мнимые пересечения. Эти работы сейчас популярны. Видимо, реальные объекты все изучены?!  Уверен, что большинство из нас стесняется сказать, что не понимает мнимостей. Наука! Диссертации! Или просто ...

Недавно, исследуя пересечение двух однополостных гиперболоидов я столкнулся со случаем, когда они пересеклись лишь по двум прямым. Где еще два порядка? Еще две мнимых прямые или мнимая коника? Можно и так, чтобы набрать для теории порядок 4, но проще сказать, что их просто нет, а быть может, попарно совпадают?

С уважением, коллеги. А.Л. Хейфец

   Коллеги, к   интересному ответу  ( 19.20.07)   Дениса Вячеславовича  хочу  предложить  рядом свою, непрофессиональную , точку  зрения на условную тему “ какие  геометрические  построения  точнее” .  Хотелось, что бы  на её  основе можно было бы  согласиться на ничью или признать ситуацию  “патовой” , в иногда возникающих эмоциональных  спорах . Не предпочитаю здесь ни одной из крайних  точек  зрения ….    Мне  кажется, что   у  противоположных  позиций  в этой  дискуссии разные постановки  задач.  Геометрическая    “теоретическая”  позиция  направлена  на  поиск ( доказательство),  фиксацию, а  затем  практическое  использование  закономерности  неких   свойств  геометрических образов или их совокупности  при данных  условиях (например положении и характере  множества общих точек). Эти свойства и характеристики  можно обсуждать,  не  привлекая  при доказательствах ,   такие  категории  как  толщина  и “прямолинейность” прямой    линии,   размер  точки  …. И говорить  о точности, здесь   не самое главное. В этом случае, как  итог, - прежде  всего важна  качественная сторона результата и логика его получения, а точность  его  представления, в общем случае,  вторична.  Можно же, образно говоря, в некоторых случаях,  сказать –“ возьмем окружность”, а  нарисовать, лишь бы разборчиво ,  “корявую баранку”, как эскиз ,  и доказать, то “что надо”, а уж  потом  построить  для конкретных целей  “хорошую” окружность .

“Конструкторская”  позиция  направлена  на  нахождение как бы “опытным путем” параметров и  характеристик  гипотетического геометрического образа  (или отношений) , отвечающего  заданным  условиям. Здесь  первична  точность,  а  качественная  характеристика  результата -  следствие из  неё.

 У  конструкторской  точки зрения есть и доказательная  сила.  Допустим, что   выдвинута некая гипотеза (такая же  как в теоретической постановке)  относительно неких геометрических отношений в данных условиях. Посмотрим на результаты геометрических  построений, реализующих её, со статистической точки зрения, выполняя эти построения на массиве подобных геометрических условий. При этом будем  оценивать две вторичные гипотезы о так называемых ошибках “первого” и “второго” рода. Увеличивая число опытов, случайно варьируя  геометрически подобные условия  и точность вычислений   можно статистически исключить ошибку второго рода (“принять гипотезу верной, когда она не верна” ). А принятие данной  гипотезы верной будет опираться  на  теорию  вероятностей ( или “теорию инженерного эксперимента” ).  Кстати, на основе её методов, описываются и детерминированные величины и процессы, когда некие “дисперсии” стремяться к нулю ). Далее примем во внимание, что  воспроизводимость  результата в данных условиях – критерий истины.

И, коллеги,   простите, не  имел  цель  подогревать данную дискуссию. Но, конечно,  приму для анализа, и с интересом, любые, спокойно изложенные,  точки зрения на свою  ”гипотезу”, как это великолепно  делает Денис Вячеславович..

.  Как  всегда,с  уважением, ко всем и  всем  точкам зрения.  А.О. 

Алексей Алексеевич, извините, что мы расположились на Вашем поле и дискутируем не по теме Вашего доклада. Хотя, с другой стороны, и по теме, потому, что "геометрическая точность" тоже термин, о котором нужно договориться, что под ним понимать. 

А сейчас к Александру Олеговичу. Дело же не в том, что кривая окружность, или идеальная, а в том, почему необходимо это делать - сводить решение к окружности и прямой. Почему не доверять более сложному, пусть непонятному, но надежному и проверенному инструменту - компьютеру. Александр Олегович, так Вы "за нас или за них"?

Вообще-то Вы обратились, как я понял Вас, к еще более сложному вопросу, который я поднимал на позапрошлой конференции, обсуждая экспериментальное подтверждение теоремы Данделена для всех (а не только для конуса) квадрик вращения. Можно ли уверенно повторяющийся, но экспериментально полученный результат, считать доказательством? Математики говорят, что нельзя, что это лишь правдоподобное рассуждение, но не доказательство. Вот если формУлы напишешь, или что-то из проективной геометрии приложишь - тогда доказал. А так всего лишь экспериментальный факт, не более. Досадно как экспериментатору.

С уважением. А.Л. Хейфец

  Александр Львович,  чуть  уточню Вашу трактовку ( 22.07.25)  моего текста( 16.09.21), тем более у  Вас были сомнения.    Работать в многомерных  (n> 3) "пространствах" мы можем  и не приводя их образы к  более низким  “мерностям”.  Просто сами “пространства”  условны, только  по аналогии  нашему  родному, в  котором мы живем, по “ инерции “ так  называются. А “работать” в них мы можем  свободно,- анализируя и преобразуя  уравнения и их системы.

 И считаю, что  работать ( если мы об обучении)  надо сначала с образами , которые нам понятны  (  3, 2, 1 ), а потом , понимая “зачем”, т.е.  под  давлением потребности , переходить  к  моделям, в  чем  то и когда то, более  удобным,  но  более трудными  для восприятия, но  позволяющим  подчеркнуть  отдельные свойства и характеристики  исходной   модели более выпукло .  Но, чтобы эти переходы, не только “вниз” , но и “вверх”  делать корректно   и мнимости полезны . Мнимая единица, ведь,  сколько пользы принесла …

                                                                                           С  уважением, А.О.

Александр Львович, извините, ну пожалуйста, внимательней  читайте всё (и от 22.24.45 и ранее и потом ), а не только то, что Вам хотелось бы видеть…  и про “доказательную силу” тоже!  -  Я  ЗА  ВСЕХ! Поэтому    сразу просил не комментировать  мое  в “плоскости противостояния”.  Как  там у  Высоцкого: “ Так оставьте ненужные споры …..” С  уважением, А.О.

Здравствуйте, коллеги!

Хорошо, давайте пофилософствуем, поразмышляем. Это всегда полезно, а занятия геометрией к этому располагают. Да и по-другому просто нельзя, поскольку геометрия и есть концентрированное, образное  выражение философии. Хотим мы этого или не хотим.

Даже как-то трудно выбрать вопрос, с которого начать. Хорошо, давайте поговорим о геометрической «точности», как ее нам следует понимать.

Алексей Алексеевич задал хорошую тему для разговора. Ведь речь сейчас пойдет именно о терминах и о том, как мы их понимаем. Спор и шум вокруг термина «точность» ведь и возникает из-за того, что мы вкладываем в это понятие смысл, который близок нам по духу. У меня есть свое понятное мне интуитивно мнение о том, что такое геометрическая точность. Я его никому не навязываю, и понимаю, что полностью эквивалентного содержания моего мнения ни у кого не смогу вызвать (см. предыдущее размышление), но этого и не нужно добиваться. Достаточно простых слов, интуитивно понятных каждому, чтобы нечто похожее либо было принято, как полезный аргумент в дискуссиях, либо отвергнуто за ненадобностью.

Теперь о предмете разговора. Я считаю неправильным говорить о «точности геометрии», применяя для этого инструментальные аргументы: линейки, циркули, компьютеры. Все они не точны по своей природе, поскольку при их использовании приходится прибегать к категории конечности, а геометрия оперирует категорией бесконечности, и нет у нас никаких возможностей эти две категории однозначно сопоставить. На линейке есть шкала, которая выражена дискретными штрихами, компьютер обладает ограниченной разрядной сеткой, пусть даже очень большой, но все равно конечной, а значит, неточен все равно. Мало того, компьютер, в принципе, не слишком-то отличается от той же линейки, поскольку в него заложены всего три базовые операции: он умеет складывать, сдвигать и пересылать состояния электрических сигналов, которые по причине удобства люди назвали числами, хотя никаких реальных чисел в компьютере нет. Это модель. Преимущества у компьютера перед линейкой есть лишь одно. Внутри себя он «прикладывает эту линейку» к данным очень быстро, и только. А все операции сводятся исключительно к сложению и умножению на два (к сдвигу). И все! Практически требуемую точность получаемого результата можно увеличивать за счет временных и материальных ресурсов компьютерной системы. Можно добавить в него памяти и заставить считать длительное время. Но опять же, все эти ресурсы конечны, а значит, к идеальному результату приблизиться не удастся. А для практики, как правило, беспредельная точность и не нужна.

Проблема «точности» кроется как раз в другом: насколько можно доверять полученному результату, если компьютер работает, как черный ящик. Если нам не известны правила того, как он получает результаты. И ничего другого, вроде бы и не остается, кроме как смириться с судьбой и довериться компьютеру, полагаясь на добросовестность и компетентность программистов, заставивших вычислительное устройство перебирать и сдвигать сигналы. И все было бы неплохо, если бы не одна беда: алгоритмы, они тоже подчиняются законам проекционного схематизма, и они не могут нести в себе учета всего того, что в мире возможно. Нельзя идеализировать процесс переноса абстрактной системы на конечную физическую основу, в особенности, если это делается без должного внимания к самой абстрактной системе. Однажды от такой деятельности может получиться монстр – аналог русской рулетки, когда судьбу человека или мира решит автомат, перебросивший нолик или единичку куда-то по правилу, которое совсем не относилось к делу. Привет искусственному интеллекту! Но не будем о грустном.

Когда я рассуждаю о геометрической точности, то я думаю о том, что мне даст та или иная модель, которую я хочу применить для достижения результата. Модель как информационное понятие, как средство доставляющее мне информацию. Мне нужна практическая «координатная» точность? Да, безусловно. Я не стану применять линейку (пусть и компьютерную) там, где мне реально нужен циркуль. Но мне нужно больше. Нужно, чтобы результат был прогнозируем, воспроизводим и достигался без излишних затрат. Именно об этой точности и хотелось бы поговорить, она интересна прежде всего.

Не буду прибегать к теории, поясню мысль на примере. Полагаю, что большинству коллег известно, что графические системы векторной графики используют для представления кривых линий кубические кривые Безье. Причем для любых, для окружностей в том числе. Реально любая окружность в таких системах, как CorelDraw!, Adobe Illustrator, 3D Studio Max и других – это четыре плотно и гладко пристыкованные друг к другу четыре кубические кривые Безье с заранее вычисленными коэффициентами при соответственных степенях переменных. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Безье) . Удобно такое решение для пользователя? Безусловно! Выглядит, как окружность, а при необходимости – разбил себе «окружность» на четыре сегмента, освободив коэффициенты четырех кривых от фиксированных значений, и наслаждайся «кривляниями», твори искусство.

Но! Но при необходимости определить точку пересечения прямой и все той же окружности программисты вынуждены были использовать не квадратное уравнение, а уравнение кубическое. Причем дважды: для x и для y в отдельности, ибо уравнение параметрическое. И в решении этой задачи получили не две точки, а двенадцать: по три для каждой кривой, да кривых четыре, из которых львиная доля точек – мнимых. Налицо и усложнение уравнения, и непроизводительность сложных вычислений. Да, для одной окружности, вроде бы и незаметно будет, а если таких окружностей миллиард? Стоит ли овчинка выделки? И что особенно важно для геометрии  – теория коник и теория кубик, они разные. С разными объектами, зависимостями, функциями и т.д. Правомерно ли с геометрической точки зрения заменять ежа ужом, если один из них колючий, а другой – скользкий?

В глобальных масштабах мы имеем дело не только растранжириванием ресурсов, но и с невозможностью развития теории вследствие нарушения логики. Остается одно: эмпирика. Она, безусловно, полезна в ряде применений, но ограничена. И непременно требует доказательств своего использования, так как при определенных условиях она способна дать катастрофический сбой, за необдуманное допущение которого наступает ответственность, а это не шутки. И вообще, вся наука, работающая на технику, стремится получать оптимальные решения, а не абы какие. Это ведь и прибыль, и безопасность, и все, что хотите! Поэтому для меня геометрическая точность – это адекватность и непротиворечивость модели, чего стараюсь и придерживаться. А количество знаков после запятой – дело вторичное. Весь вопрос состоит в том, какой ценой это достигается.

Теперь поговорим о D. Или nD, если хотите. Вопрос тоже интересный, дискутируемый, но тоже покрытый налетом недопонимания. Давайте, порассуждаем.

Мы по причине нашего воспитания и образования вложили себе в головы, что мы живем в мире трехмерном и обозначили это явление символом 3D. И очень редко задумываемся о том, что мерность – это понятие относительное, как и все в этом мире.

Каждодневный опыт и ассоциация математического пространства с физическим пространством, скажем так, «протяженности» наводит нас на мысль о том, что существовать и действовать в этом пространстве мы можем исходя из того, что будем механически перемещаться в нем по трем независимым линейным направлениям. Вот вам и еще один перенос бесконечного на конечное, откуда и проистекают многие проблемы. Давайте, попробуем разобраться и с этим.

Никаких конкретных определений, что такое точка, прямая и плоскость, мы, конечно же, дать не можем. По той причине, что за словами будут стоять новые слова. И так до бесконечности. Поэтому придется пользоваться интуицией и инвариантной неопределенностью. А они дают нам большую свободу для размышлений и действий. Не называя конкретно, что такое точка, что такое прямая, мы, однако, можем кое-что сказать об их взаимных проявлениях. Тоже, конечно, на интуитивной основе, но с пользой для дела. Мы, например, можем сказать, что две несовпадающие точки определяют прямую линию, причем единственную. То есть мы установили отношение между объектами разной природы и назвали их словами «точка» и «прямая». Вполне возможно дать и другие определения. Ну, скажем, что две точки определяют бесконечно много прямых. И можно будет выстроить другую логику, но это – тема совсем другого разговора.

Наш выбор, как оказывается, в общем-то, произволен и допускает определенное число свобод. Свободы эти зависят от свойств, которые мы приписали объектам при их определении, а количество этих свобод и станет впоследствии тем, что мы  назовем размерностью.

Обычно (и с большой пользой для себя), мы считаем что точка – это нечто абстрактное и неделимое. Прямая делится на точки (что неверно в принципе) и т.д. И приписываем точке размерность ноль (ибо нечего делить), прямой – размерность единицу, ибо она делится только на точки (что опять же неверно в принципе) и далее по той же схеме.

В действительности, никто ни на что не делится, а лишь может друг друга содержать. Относительно легко понять, что пространство большей размерности может содержать в себе пространство меньшей размерности. Сложнее себе представить, что и обратное возможно. Но пока оставим этот разговор.

Давайте, произведем мысленный эксперимент. Давайте, представим себе жуткую картину: точек нет. Нет в природе, а все начинается с прямой. Если прямая ничего в себе не содержит (точки отсутствуют), то тогда она должна быть обозначена нулем. И так далее. Да, геометрия получается непривычная – линейчатая. Видите, что происходит с нашим обыденным понятием «размерность». Чудеса просто творятся! Но это уже сложно для понимания, вернемся к привычным точкам.

Нарисуем теперь несколько простых таблиц и попытаемся сделать ряд обобщений. Все будет примитивно, объяснения будут просто детские (рис.1). Чтобы было понятно. Надеюсь, что никто из коллег на примитивность объяснений не обидится.

Рис. 1 Пояснения к образованию размерностей пространств от пересечения линейных образов в операционных пространствах разных размерностей

Возьмем, скажем, плоскость и посмотрим, что мы можем на нее поместить, и как все это может там взаимодействовать.

Итак, в плоскости могут «существовать» точки и прямые. Обозначим их в первом столбце и первой строке таблицы символами R₀ и R₁. Само пространство – плоскость – обозначим через R₂ и поставим его обозначение в верхнюю левую клетку таблицы.

Констатируем факт: в плоскости две прямые пересекаются в точке. И более в ней никаких пересечений быть не может. Зафиксируем это обстоятельство в соответствующих строке и столбце таблицы.

Поехали дальше. Возьмем теперь пространство трехмерное. Строчек и столбцов станет на единицу больше. Чертим, проставляем символы. Что же видим? Видим то, что взаимных пересечений тоже стало больше. Две плоскости пересекаются по прямой, а прямая с плоскостью – в точке. Вроде бы и все. Но взгляните на таблицу! Замечается закономерность? Видно, что нижняя правая клетка увеличила свое значение на единицу, а в остальных клетках образовалась диагональ равных размерностей? Можно ли теперь, пользуясь подмеченной закономерностью, нарисовать таблицу для четырехмерного, пятимерного или n-мерного пространства? Разве сложно?

Да, как-то непривычно осознавать, что в четырехмерном пространстве две плоскости пересекаются в точке, но эта сложность осознания уходит через неделю после того, как разберешься, почему это так. Ведь, если две плоскости в трехмерном пространстве пересекались по прямой линии, а при переходе от трехмерного к четырехмерному пространству мы добавили одну свободу, то от прямой – результата пересечения, эту одну свободу надо отнять! Вот и останется точка. Разве это не логично? Просто здесь все на самом деле.

А теперь шаг диковинный. Посмотрите на пустые клетки таблиц и постарайтесь догадаться, что туда можно вписать, если следовать все тем же правилам. Разве не очевидно, что там должны оказаться минус единицы, минус двойки и т.д. Слышу вопрос: что это? Как это понять, как с этим работать? Сейчас поясню.

Из таблиц очень хорошо видно, что неделимая точка на плоскости «пересекается» с не проходящей через нее прямой по фантастическому образу минус первой размерности. Но насколько он фантастичен на самом деле?

Давайте вернемся в понятную часть пространства. Скажем так, чем мы можем задать плоскость? Ответ очевиден. Один из вариантов – плоскость задается тремя точками или двумя пересекающимися прямыми. Но этого мало. Нужен еще алгоритм того, как при помощи заданного репера построить образы (точку хотя бы), которые бы принадлежали этой плоскости. В остальном, никого не удивляет, что плоскость выражается тремя точками (или двумя пересекающимися прямыми). Но, подождите, а чем образ минус первой размерности хуже? Разве мы не можем его задать все теми же прямой и точкой, которые не пересекаются? И вот он, он в наших руках! И получается, что «неделимая» точка вдруг стала «делимой», и пошло и поехало. И получили мы возможности куда более мощные и интересные, чем никому не нужный спор о том, что лучше 3D или 2D. Честное слово, уже надоело повторять то, что все они составляют ряд пространств, ни одно из которых не лучше и не хуже других, а между моделями этих пространств устанавливается транзитивная связь, от которой нам никогда никуда не уйти, ибо она – объективная реальность. И есть дисциплина, которая ее изучает – это НГ. Точка.

Понимание того, что я сейчас рассказал, позволяет осознать, какой невероятно огромный потенциал у нас есть для расширения возможностей математики. Оно у нас под руками, а мы его обходим и не замечаем. Давайте посмотрим внимательно, есть ли решение у системы уравнений 3x-y-12=0, x=-1, y=-1. Многие скажут, что его нет, а я скажу, что есть. По обозначенной выше причине. Ведь, если записать 3x-y-12=0 или x=5, а y= 3, то вряд ли кто-то будет возражать, что записи отражают одно и то же. Это тавтология. Что так запиши, что этак. И я имею право считать выражение 3x-y-12=0 репером точки x=5, а y= 3. Почему же тогда система 3x-y-12=0, x=-1, y=-1 не репер объекта минус первой размерности (см. рассуждение о задании плоскости тремя точками)? Ведь она сама уже является решением. Просто мы пока не умеем работать с такими объектами, но дело только лишь в этом. Думаю, я дал повод к тому, чтобы поразмышлять на досуге.

Александр Львович, когда Вы говорите о том, что 7D – это наукообразие, Вы противоречите сами себе. В Вашей задаче четыре сферы. Каждая сфера задается четырьмя точками в трехмерном пространстве – это двенадцать параметров на одну сферу. Каждая точка может «скользить» по сфере, как по поверхности, не заменяя при этом саму сферу,  поэтому по две степени свободы от каждой точки надо отнять. 12-8=4. Именно поэтому множество всех сфер в трехмерном пространстве четырехмерно. У Вас четыре сферы. Всего мы имеем 16 параметров, ибо все сферы в Вашей задаче свободны.

Поэтому в Вашей задаче, хотите Вы этого или нет, присутствует объект шестнадцатимерного пространства 16D, которому Вы ставите в соответствие со сферой-результатом! И делаете это успешно, применяя, кстати, для этого конструктивный метод. Вам же не даны координаты центра касательной сферы, как данность, Вы его строите через гиперболоиды. Зачем бы тогда нужна была задача? Так что никуда Вам от конструктивного метода не уйти! И еще прячете от нас Ваши 16D. Ну куда там Пекличу с его всего-то навсего семимерным пространством!

Эксперимент в геометрии – дело великое. Александр Львович, в этом я Вас поддерживаю на все сто. Обобщение Вашей задачи я выполнил тоже на основе эксперимента. Скажу совершенно честно, я просто посмотрел на то, что должно получаться в Симплексе, поперемещал окружности туда-сюда и увидел то, что задача Апполония может быть решена так, как я ее описал. Да, конечно, помимо интуиции нужны еще и знания. Но если они есть, то эксперимент очень помогает. На всю работу потребовался один час.

Эксперимент может приносить досаду только в одном случае: когда не понимаешь, почему получились такие результаты, какие наблюдаешь, и не можешь их объяснить. В остальных случаях эксперимент должен приносить радость, тем более, если ранее никто ничего подобного не наэкспериментировал.

Над Вашими геометрическими вопросами подумаю. Сходу не знаю. Я – обычный человек, не семи пядей во лбу (можно проверить по фотографии). Могу ошибаться в чем-то и далеко не все знаю.

 
С уважением,
Д.Волошинов

 

Денис Вячеславович! Я думал Вы объясните "жестоковыйным" апологетам точности о разнице между стрельбой из берданки и снайперской винтовки. А Вы... Сразу и наповал. Помните много лет назад в разговоре на замечательной кафедре, которую Вы создали вместе с Вячеславом Анатольевичем, я процитировал Потёмкина? Вынужден повторить. Умри, Денис - лучше не напишешь!

  С уважением, Тихонов-Бугров.

Денис Вячеславович, отвечаю на Ваше выступление 19.03.2016 19:20:07, долго сомневался, нужно ли данное мое размышление, Вы в это время уже в очередной раз приоткрыли дверь своей мастерской. Безусловно, интересно, важно, каждый раз ожидаешь Ваших наполненных философским содержанием выступлений. Трудно представить конференцию без постоянных пуликаций все эти годы очень интересных докладов сразу нескольких уважаемых авторов по многомерностям и мнимостям, и авторский состав докладов на эту тему даже растет. Но как это увязано с объявленной тематикой конференции?

Секция называется "Исследования в области прикладной геометрии и практического решения задач инженерной графики", но к чему можно приложить приводимые исследования по многомерной или мнимой геометрии? Прикладных работ не было, и нет, правда не только на эту тему, но и вообще, на это еще несколько лет назад уже обращал внимание уважаемый С.И.Ротков.

Пять лет назад уважаемый К.А. Вольхин обратил наше внимание по этому же поводу: «Красивые примеры Виктора Анатольевича, приведенные в защиту необходимости сохранения содержания начертательной геометрии, боюсь, будут не понятны некоторым коллегам, преподающим начертательную геометрию, а что говорить о том, как с подобными задачами справятся студенты сдавшие экзамен по дисциплине».

Для технических наук, к которым отнесена наша область знаний, важно практическое внедрение. Или такое представление о диссертациях по техническим наукам давно не соответствует жизни? Здесь, наверное, уместно будет напомнить опыт В.А. Пеклича, занимавшегося и мнимостями и многомерной геометрией. Получив положительный отзыв в МГУ, он не смог защитить диссертацию по техническим наукам, хотя и качество и объем работы был налицо.

Совершенно очевидно, что для преподавателей кафедры ИГ и не понятны и не актуальны ни мнимости, ни многомерности, так же как и многие другие специальные разделы математики. Без практического приложения ну никак не могут эти исследования быть отнесены к нашим наукам. На кафедры ИГ приходят бывшие сварщики, конструктора, механики, электромеханики. Эта область знаний знакома им, составляет часть их компетенций, как принято сейчас говорить. Но математики уже давно не изучают начертательную геометрию. Преподаватели математики старшего поколения помнят рассказы своих учителей, что те изучали, но было это очень давно. Наверное, не последнюю роль в таком положении дел сыграло то, что начертательная геометрия – это язык техники. Без математической грамотности не может быть ученого (В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики), но надо признать, что вне применения к технике, математические знания относятся к математическим наукам. И новые математические знания, если конечно нужна серьезная апробация, должны обсуждаться с математиками а не с теми, кому это и не понятно и не нужно по профессии, проявление любознательности, в лучшем случае. Даже для пользы самих же авторов таких работ.

По поводу вывода Вашего выступления о том, что у каждого своя правда (как я его понял). Тогда логично, чтобы каждый сам на своем месте просто честно делал бы свое дело в рамках своего понимания. Но раз уж мы собрались на конференцию, то, наверное, хотим свериться, поделиться своим и перенять чужой опыт, а значит, нужен один язык, в том числе и одинаковое понимание задач и целей конференции.

С уважением Головнин А.А.

Алексей Алексеевич!

Ваш ответ надо прочитать А.Л.Хейфицу. Ему об это говорилось, и не раз.

С уважением, С.И.Ротков.

Денис Вячеславович, Ваше выступление от 20.03.2016 можно назвать, пожалуй, самым интересным на данной конференции. Вместе с тем не могу не отметить ряд мелочей, которые в нем бросаются в глаза.

1. О «точность» измерения линейкой было написано поколениями ученых и до нас столько, что и добавить нечего. Метод этот относится к классическим дискретным методам, или как более правильно сейчас говорить – к «цифровым». К этим же методам относится и «измерение» компьютером, тут не нужно ничего усложнять. Геометрические же построения, в частности позиционные задачи НГ, можно отнести к «аналоговым» методам. Вещи разные, не нужно их валить в одну кучу. Тем более, что в среде конструкторов-профессионалов любой знает, что линейкой по чертежу никакие размеры снимать нельзя. Следовательно, высокая «точность» построений циркулем и линейкой (метрическая задача) не имеет никакой практической ценности. Размеры по чертежу снимали исторически только в двух отраслях: судостроении и авиастроении. Так там это делал в натуральную величину (в авиации в масштабе не менее 1:5), и на специальных площадках – плазах.
2. Не согласен с утверждением, что «компьютер работает, как черный ящик», так как это далеко не так. Может конечно Вы имели в виду нечто другое, но компьютер работает ровно так, как ему предписывает теория вычислений, над которой много поработал в частности академик А.Н.Крылов, применительно к судостроительным вычислениям. Когда мы в свое время переходили от отечественной вычислительной техники к импортной в эпоху ЕС, все настрадались с потерей точности от меньшей разрядной сетки. Каждый может, в том числе и я, поделиться множеством совершенно потрясающих примеров.
3. О кривых Безье. В CorelDraw, Adobe Illustrator, 3D Studio Max «и других подобных» действительно используются кривые Безье третьего порядка. История здесь такова, что иное название этих кривых – сплайны, ведет начало от гибких реек, используемых в судостроении испокон веков на т.н. плазах для вычерчивания кривых большой протяженности (в натуральную величину). А естественный изгиб гибкой рейки, как известно, описывается кубической функцией. Вот и вся история. Сами же кривые «Безье» могут описываться кривыми любого порядка, начиная и со второго. Об этом в широко известной книге Фокса, Пратта и Уитни написано очень много и хорошо. В большинстве же профессиональных (а не полу-любительских) CAD системах у пользователя существует выбор порядка выстраиваемой кривой. Так что и окружность можно построить кривой второго порядка. Это не вопрос. Что же касается решения задачи пересечения окружности прямой линией, то ни один грамотный программист не будет решать ее путем аналитического решения уравнения какого-либо порядка.
4. Рассуждения о nD мне лично очень понравились. Однако о практическом их приложении говорить пока не приходится. Тот же самый академик А.Н.Крылов, деля математиков на практиков и чистых математиков, называл последних – «геометрами»! Он писал, что «геометр» выстраивает свои «теоретические конструкции», ничуть не заботясь о реальности, она ему не нужна и его не интересует. В результате получаются теории, которые либо потребуются когда-либо в далеком будущем, либо не потребуются никогда…

В целом же выступление очень интересное.

Здравствуйте, Евгений Владимирович!

Благодарю Вас за отзыв и внимание к моему выступлению.

По первому Вашему комментарию я имею абсолютно то же мнение. Разговор о точностях идет совершенно ненужный. Нечего тут сравнивать.

По второму комментарию тоже согласен. Компьютер работает по программе, поэтому, в принципе, все его действия прогнозируемы. Другое дело, что когда программа по какой-либо причине неизвестна, то абстракция черного ящика к нему может быть применена. Но этот выбор – воля наблюдателя. Я бы обратил большее внимание на другую проблему. Написав, например, программу вычисления координат точки пересечения двух прямых, используя для этого простейшие аналитические зависимости, мы были бы вправе ожидать, что всегда будем получать и правильный результат. Однако, это не всегда возможно по понятной причине – ограничение разрядной сетки. Пересекая почти параллельные прямые (или делая иные вычисления подобного рода) мы вполне можем получить результат плюс-минус километр, а то и еще хуже. Поэтому без специальных приемов, например, принятия «почти» параллельных прямых как параллельных (или же еще каких-то хитростей), мы обречены на ошибки или отказы программ. Сколь легко или сложно будет судить о том, насколько правильным и корректным получится результат, – вопрос сложный.

Второй пример. Геометрия проективная, безусловно, сильна своими алгоритмами и обобщениями. Казалось бы, в ней все давно продумано, четко и слажено. Однако, всем известно, что в любой системе (необязательно, кстати, геометрической) выбор чего-либо в качестве объекта исключительных свойств, системы отсчета например, порождает исключенные образы, а также исключенные отношения. Какими бы малыми не казались вероятности попадания данных в такие ситуации, в которых эти исключенные отношения смогут проявить себя, практика только и показывает, что при решении реальных задач, только на них и натыкаешься. Единой теории об исключенных отношениях в геометрии пока нет, да и не уверен я, что она вообще возможна. Если заглянуть в учебники проективной геометрии Глаголева или Четверухина, да и в другие тоже, то никакого анализа причин возникновения исключенных образов или рекомендаций по их «обходу» мы не найдем. Для человека все просто: выбери иные позиционны отношения в условиях задачи и решай ее дальше. С формальной точки зрения все сложнее. Не всегда так просто обойти исключения операторами if-then-else. Тут есть над чем поразмыслить.

Третий комментарий: разумеется, кривые Безье третьего порядка взяты только для примера. Рассуждение сводилось к одной мысли: использование чего-то одного для замены чего-то другого требует серьезного внимания к адекватности и правомерности этой замены. Для каких-то практических целей это допустимо, а для каких-то нет.

Я не берусь судить, как какие программисты решают те или иные задачи. Я, например, использую уравнения четвертой степени в своей системе. Разумеется, согласно принципу Абеля, уравнения более высоких степеней (кроме частных случаев), аналитическому решению не поддаются – их разрешают численно. Однако и здесь есть много подводных камней. Я не хотел бы их сейчас серьезно обсуждать, но, для того чтобы решение получилось и сошлось, нужно, чтобы процесс сходимости был «хорошо» обусловлен. Очень часто это условие весьма трудно обеспечить, в особенности, если для этого требуется выработать некий универсальный подход.

В четвертом комментарии тоже соглашусь с Вами. Модель может быть востребованной, может быть невостребованной. Как ей повезет. Но, если подходящей модели однажды вдруг не окажется под руками, особенно, когда она очень нужна, то с этой «нехваткой» придется считаться. Я ведь ни в одном своем выступлении не ругал и не критиковал практиков. Но, если обращать внимание только на практику, а теорию игнорировать, то однажды можно оказаться не у дел. Однажды откуда ни возьмись придет некий «дядя» со знанием никому доселе не известной теории и внедрит ее в новую практику. Только уже не с нами. Я за то, чтобы между практиками и теоретиками был разумный баланс. Нарушить его – это все равно, что сук под собой разрубить. Причем это относится к обеим сторонам в равной степени.

С уважением,
Д.Волошинов

Здравствуйте, Алексей Алексеевич!

Спасибо за Ваш комментарий и добрые слова. Вы напрасно терзались сомнениями, обсуждать накопившиеся вопросы, делиться сомнениями надо. Мы для этого здесь и собираемся.

Алексей Алексеевич, конечно, я должен извиниться перед Вами за то, что у нас на Вашей странице разгорелась дискуссия.  Надо, конечно, нам было переместиться в наши рабочие пространства. Но я все же надеюсь, что этим мы не доставили Вам каких-то огорчений.

Я понимаю Вашу обеспокоенность и сомнения в том, что теоретическая составляющая геометрии может быть непонятна коллегам, раздражать, пугать своей сложностью, подавлять желание выступить с каким-то мнением или вопросом в кругу людей, которые общаются на непонятном языке, да еще иногда и на повышенных тонах. Да, конечно, такая проблема есть.

Но как, я думаю, нам надо здесь поступать. Во-первых, конференция задумана, как научно-практическая. Поэтому отстранить от дискуссии людей, занимающихся пусть и не очень понятными, но серьезными научными проблемами, было бы все-таки неправильным решением. Все мы так или иначе занимаемся одним общим делом, и природа обсуждаемых вопросов – она одинаковая.

Нужно ли внедрять в современный учебный процесс то, что говорится в докладах по многомерной, мнимой и прочим геометриям в масштабах? Отвечу: нет, не нужно. По крайней мере, сейчас. И без этого проблем хватает. Низкий поклон тем нашим коллегам, кто держит на себе передовую оборону на поле воспитания бакалавров, на которых страна собирается строить свое будущее.

Для кого тогда пишутся все эти статьи? Тоже отвечу: для вас, уважаемые коллеги. И для тех, кто способен эту информацию воспринять. Если кто-то хочет не просто зарабатывать деньги, но и творчески подходить к делу, понимать, что он делает и видеть положительную перспективу, то иного выхода, как изучать теоретическое наследие, нет.

Реальное положение дел сейчас состоит в том, что мы не способны соединить сильную теорию с сильной практикой. Приходится пользоваться тем, что есть. Затыкать дыры иностранными программными пакетами, от бездумного применения которых серьезных продвижений и технологических рывков в стране не будет. Это очень грустно, потому что без инноваций, основанных на теории, мы всегда будем оставаться на позиции слабых.

Алексей Алексеевич, Ваши слова о том, что ни многомерная, ни мнимая геометрия не находят в такой огромной стране, как Россия, никакого реального практического приложения, это печальная констатация факта. Вы правы: не находит. Но это не значит, что не надо менять положение вещей.

Давайте посмотрим повнимательнее вокруг себя. Разве конструирование сводится только к проектированию корпусных изделий? А механизмы? А сложные технологические процессы, которые связывают в себе многопараметрические зависимости. Что, разве это не многомерность? Почему мы все предписываем геометрии область ее применения только для воссоздания поверхностей? Разве не существовала такая наука номография, которая была исключительно действенным средством технического расчета? Где она сейчас? Разве ее визуальные и расчетные преимущества где-то сейчас используются в расчетных моделях или интерфейсах информационных систем? Разве можно это сделать без теории многомерности?

А мнимость! Да без мнимости вся электротехника – как ноль без палочки. Ну почему мы должны сами себя загонять в угол, ссылаясь на то, что мы что-то не понимаем или не способны это понять?

Да, новое познается трудно. Но честное слово, утверждения, наподобие того, что все это заумно, непостижимо, ненужно – это, простите, проявление слабости. Поймите меня правильно, я не хочу никого обидеть своими словами. Понимаете, я сам чувствую вину за то, что не способствую в полной мере распространению знаний о том, чем владею и что могли бы и должны были бы знать коллеги, применяющие геометрические знания в своей педагогической деятельности. В Санкт-Петербурге была одна из самых сильных школ геометрии в Советском Союзе. Сейчас ее нет. Растаяла по вполне естественным причинам.

Если не предпринимать никаких действий по сохранению того научного наследия, волею судеб, с которой мы соприкоснулись на своем жизненном пути, то произойдет полное ее вымирание. Я не хочу произносить громких слов, но геометрическая наука – это наше национальное достояние. Ничего подобного не было и нет в других странах мира со всеми их компьютерами, технологиями, уровнем жизни. Скажут ли будущие поколения нам спасибо за столь вольное и беспринципное отношение к геометрической науке, к ее классикам. Наукообразие! Ну, слов нет!

Давайте с НГ отменим линейную алгебру, аналитическую геометрию, векторную алгебру. Теорию матричного исчисления. Теорию комплексного переменного туда же! Они ведь о том же, что и геометрия рассуждает, только в них результаты других символах записываются. За которыми далеко не всякий разберет, что за образ скрывается. Нормальная идея?

Не хочется о грустном, но все мы являемся свидетелями того, что происходит, если память предков предается забвению, если низвергаются памятники, если наизнанку выворачивается сознание. Наступают разруха и рабство. И дай Бог нам никогда до подобного состояния не дойти!

Мы собираемся на конференции, чтобы сверять позиции, делиться опытом, познавать новое. Давайте делать так, чтобы это было никому не в ущерб. И будем думать о том, чтобы передать наш опыт новым поколениям, чтобы они были нам благодарны!

Денис Волошинов

Коллеги, не удержусь, чтобы не вмешаться, извините.

“Разговор о точностях идет совершенно ненужный. Нечего тут сравнивать” – невольно эту фразу Дениса Вячеславовича я перевожу на себя, поскольку мой доклад задал эту тему здесь. "Нечего", по-видимому,  сравнивать Вам, Денис Вячеславович, а мне, занимающемуся прикладными задачами и реальным  учебным процессом  важно знать точность инструмента. Да и сравнивать нужно, чтобы покончить с нелепостями в виде: точное решение – когда циркуль и линейка. Но Вы этот вопрос высокомерно обходите. 

Замечание, что программа может дать сбой, поскольку компьютер – “черный ящик”. Извините, нужно уметь программировать, предвидеть и не допускать таких сбоев. Это азы программирования. Если программа может дать ошибку “в километр”  – то виноват программист, а не компьютер.

На конференции обозначились два мира: маленький мир оторванных от жизни теоретиков, и основной мир тех, кто  “держит на себе передовую оборону на поле воспитания бакалавров”. Нужен ли первый мирок – нужен, ведь очень важно знать, является ли прямая множеством точек. Но сейчас он отвлекает от реалий, создает комплекс неполноценности у практиков и служит для некоторых прикрытием.

или .

Александр Львович!

Читайте, пожалуйста, материалы конференции внимательно и делайте корректные выводы!

Вы претендуете на соискание степени доктора технических наук и отвечаете мне, что Вам нужен эксперт, для того чтобы разобраться в Вашей же собственной задаче. Простите, я не понимаю, где брать такого эксперта, который разъяснил бы професоосу, что (12-8)*4=16. Где? Во втором классе средней школы?

Никакого высокомерия у меня нет. Честно совершенно, есть растерянность. И возникает она от того, что мне нечего написать, когда нет понимания подробно разъясненных, простых и основополагающих вещей. Поэтому и не отвечаю.

Программы пишут люди. Перекладывают на конечность модель бесконечности. Программы всегда несовершенны. Это тривиальная истина. А для того, чтобы разучиться доверять компьютерным программам слепо, нужно однажды сыграть в каком-нибудь интернет-казино. На деньги. Тонизирующее действие будет обеспечено.

Извините.

С уважением,
Д.Волошинов

Денис Вячеславович, отвечаю или .

Насчет 16 решений задачи Ферма - так я сам привел эту цифру в статье, с ней все ясно, и я не просил в ней разобраться. или .

Просьбу помочь разобраться в алгритме задачи Ферма я высказал Вам как пример реальной сложной задачи - противовес теоретическому беспредметному теоретизированию. Извините за эту просьбу. 

Насчет доктора технических наук я уже не претендую. Там нужны глубоко-теоретические работы, а я всего лишь практик.

А насчет казано - мысль интересная. 

С уважением. А.Л. Хейфец 

Алексей Алексеевич, Вы уж не сердитесь, что мы на Вашем поле или .

Денис Вячеславович!

Еще школьником я знал, что Советская математическая школа – сильнейшая в мире. Не думаю, что это просто был элемент воспитания патриотизма. Авиация, космонавтика, физика и другие передовые технологии способствовали. Также знал, что математика может и опережать нужды техники. Никогда не было сомнения, что ее развитие даже без видимой пользы не нужно. И Вы, как я понял не нашли этого в моих словах. Еще, нашел для себя интересное высказывание, которое представляется мне важным для геометров.

«Алгебра — не что иное, как записанная в символах геометрия,
а геометрия — это просто алгебра, воплощённая в фигурах»
Софи Жермен (XIX век)

Хочется поблагодарить Вас, тем более, что это уместно в преддверии завершения конференции.

С уважением Головнин А.А.

Денис Вячеславович, Александр Львович!

Для меня большая честь, что Ваша дискуссия оказалась на странице моего доклада!

С уважением А.А.Головнин

Александр Львович!
Зря Вы сердитесь. И просьбу я Вашу выполню. Задача Ваша с очень большим количеством интереснейших свойств. Я просто истинное наслаждение получаю, пока еду в метро до работы (и обратно) и размышляю над Вашей задачей. Если бы Вы только видели, какой там сомн ортогональных сфер в трехмерном случае!

Но я не обладаю большим количеством свободного времени. У меня 17 пар занятий в неделю  в университете телекоммуникаций, шесть в двух других ВУЗах, обязанности заведующего кафедрой и аккредитация в апреле, к которой мы сейчас в ВУЗе готовимся. Я не успеваю и задачи решать, и беседы вести, и Вам отвечать в режиме on-line. Мое длительное молчание - это занятость и невозможность каждый день к компьютеру добираться, чтобы поучаствовать в конференции. Поэтому я вовсе не игнорирую Ваши просьбы, а отвечаю по мере возможности.

Я действительно очень часто нахожусь в затруднении, что Вам ответить. Посмотрите на Ваши сообщения критически по отношению к самому себе: Вы говорите про практическую точность, а считаете ее до восьмого знака; Вы говорите, что теория Вам не нужна, а сами просите в задаче разобраться и применяете теорию вполне успешно. Трудно Вашу логику проследить, и порой просто не знаешь, как и ответить.

Вы очень напрасно считаете, что я - беспросветный теоретик. У меня есть масса практических интересов и применеий геометрическим методам. Это и система, которую я программирую и развиваю лично (это серьезное практическое дело), у меня есть слесарная и столярная мастерские, где я сам работаю на мини-станках, ставлю эксперименты, есть электронно-измерительное оборудование, которое все это объединяет, снимает и обрабатывает данные. Есть сотрудничество с научно-образовательным центром разрабоки информационных образовательных систем, развиваем технологии объемной печати с использованием многомерных геометрических моделей. Есть и  другие применения геометрии к практике. Результаты этих работ я не выношу на нашу конференцию, потому что получаемые результаты  к ней не относятся. Если я начну здесь рассказывать об информационных системах, принципах программирования ПЛИС, соединениях плат, процессоров  и т.п., пусть и сформированных на основе геометрических принципов, то прозвучит очередной призыв: уберите, все это непонятно. И так, как видите, сложно дается продвижение в общем-то несложных идей.

Что касается Вашей докторской степени, то могу сказать следующее: при Вашей энергии и энтузиазме Вы могли бы горы сворачивать в геометрической науке. Но Вы выбрали свой путь, который, к сожалению, противоречит изначальной цели. Я Вам много раз писал о том, что Вы избрали путь разрушения вместо пути созидания, единения, и, по моему глубокому убеждению, сделали это зря. Все объяснения того, что в теории геометрии трудно разобраться, это, Александр Львович, отговорки. Вы могли бы в ней разобраться в том достаточном уровне, который бы позволил Вам защититься. Сейчас Вы говорите, что вы не обижены, но сердиты. Но на кого сердиться-то? Зла Вам никто не желал. И не желает. Это однозначно.

Вот теперь и получается: Вы выискиваете интересную задачу, много над не работаете, экспериментируете в Автокаде, статьи пишете с иллюстрациями, которые поди еще сделай. А получается так, что только Вы задачу опубликовали, а я, например, уже через час знаю множество ее внутренних свойств, принципов распространения результатов на подобные модели и т.д. и т.п. Вы ведь прямо в руки отдаете богатейший материал тем, кто его может обобщить и распространить на другие объекты. Вот это действительно обидно! Обратите внимание, я ни разу не воспользовался такими благоприятными возможностями в своих целях.

Что касается шестнадцати решений... Там не шестнадцать решений, а шестнадцать степеней свобод. Множество всех возможных исходных сфер в вашей задаче обладает шестнадцатью независимыми возможностью варьирования, следовательно, это множество шестнадцатимерно. Точно так же, как и точка на плоскости имеет две независимые степени свободы, значит, множество точек двумерно. Множество пар точек на плоскости четырехмерно, а всех окружностей трехмерно. Все очень просто.

Так что еще раз призываю, не сердитесь!

С уважением,
Д.Волошинов

Денис Вячеславович, лишний раз убедился, что ООО Эпюр не зря отметило Вашу деятельность - большого уважения достойна.

С уважением, Тихонов-Бугров.