|
|
Федоренко Владимир Игоревич | (Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана) |
В работе показан алгоритм построения разверток сложных поверхностей методами начертательной геометрии и продемонстрирована возможность формообразования сложных поверхностей из плоских разверток.
В технике, термином «развертка» называют плоскую заготовку, из которой получают объёмную форму детали или конструкции путём гибки. В современной промышленности развертки поверхностей широко применяются в различных видах производства, но особенно в тех, которые связаны с листовыми материалами: нефтехимическая и газовая промышленности (резервуары и трубопроводы), судостроение, авиастроение, легкая промышленность (швейная и кожевенная).
В данной работе под термином «развертка» будет пониматься плоская фигура, полученная при совмещении элемента развертываемой поверхности с плоскостью без разрывов и складок, при этом развертываемая поверхность рассматривается как гибкая, нерастяжимая пленка [1].
Прежде всего, необходимо определить основные термины и алгоритмы, поскольку в разных литературных источниках они различаются.
Все поверхности можно разделить на развертываемые и неразвертываемые. К первым относятся гранные поверхности и линейчатые поверхности, которые называются торсовыми. К торсовым поверхностям относятся цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата. Все остальные поверхности являются неразвертываемыми (например, сфера или тор).
Различают следующие виды разверток: точные, приближенные и условные.
Точные развертки можно получить только для многогранных поверхностей, поскольку такая развёртка есть совокупность многоугольников, конгруэнтных граням разворачиваемой поверхности и расположенных в одной плоскости [2].
Приближенные развертки используются при развертывании торсовых поверхностей. При этом криволинейные поверхности заменяются аппроксимирующей многогранной поверхностью. Например, цилиндрическая поверхность заменяется призмой. Однако, точная развертка такой призмы будет только приблизительно соответствовать развертке цилиндрической поверхности.
Для оставшихся неразвертываемых поверхностей производится построение условных разверток. Для этого применяется метод двойной аппроксимации. Сначала неразвертываемая поверхность разбивается на ряд отсеков. Каждый из этих отсеков заменяется (аппроксимируется) отсеком криволинейной развертываемой (торсовой) поверхности. Каждый отсек развертываемой поверхности аппроксимируется соответствующей ей многогранной поверхностью. И только после этого получают точную развертку многогранной поверхности, которая является условной разверткой неразвертываемой поверхности [3].
В литературе показано несколько стандартных способов создания разверток неразвертываемых поверхностей [4]. Например, поверхность сферы аппроксимируется отсеками цилиндрических поверхностей, которые потом заменяются призмами. В этом случае развертка будет выглядеть как набор двухдуговых «лепестков». Или сферическую поверхность заменяют элементами цилиндрических и конических поверхностей.
Иногда при создании развертки неразвертываемой поверхности аппроксимацию отсека элементом многогранника, заменяют на вырезание элемента самой криволинейной поверхности, как если бы материал поверхности был тканью.
Кроме этого, существуют и другие методы создания поверхностей, основанные на изгибании плоских заготовок [5, 6].
В промышленности же развертки больших сферических резервуаров состоят из меридианальных лепестков и купола с днищем в виде двух сферических сегментов. Купол и днище резервуара получают из металлического диска путем обжатия на оправке с помощью молота или пресса. Лепестки изготавливаются на многовалковом стенде методом холодного вальцевания, то есть гибки металла до нужной формы или используется метод горячей штамповки, то есть изгибают в двух плоскостях.
Таким образом, можно сделать вывод, что создать неразвертываемую поверхность из плоской развертки очень сложно. Повышение геометрической точности такой поверхности ведет к увеличению количества элементов (отсеков) поверхности, что отрицательно скажется на экономической составляющей процесса изготовления и прочностных характеристиках объекта. Поэтому создание новых способов развертывания сложных поверхностей является актуальной задачей.
Задача исследования - найти вариант построения условной развертки сферы без разбиения ее на отсеки.
Решение задачи
Для решения поставленной задачи необходимо заменить (аппроксимировать) поверхность сферы некой развертываемой поверхностью. Из курса начертательной геометрии известно, что любая поверхность может быть задана как множество последовательных положений некоторой движущейся в пространстве линии. Такая линия называется образующей. Закон перемещения образующей в пространстве и изменения её формы задаются направляющими линиями.
В нашем варианте построения образующая линия должна быть отрезком прямой (иначе аппроксимирующая поверхность не будет развертываемой), а направляющая - лежать на поверхности сферы. При этом направляющая линия, во-первых, должна начинаться на одном из полюсов сферы и заканчиваться на противоположном, а, во-вторых, охватывать всю сферу по возможности равномерно. Такими свойствами обладает сферическая спираль Клелия (рис.1а), хотя можно применить и другие кривые спиралевидного типа.
Образующие линии торсовой поверхности удобнее всего расположить в меридиональных плоскостях сферы (рис.1б). Необходимо отметить, что длина образующей линии получаемой торсовой поверхности постоянна, кроме двух околополюсных оборотов направляющей линии, где длина образующей будет переменна (это если применять спираль Клелия).
На втором этапе заменяем (аппроксимируем) торсовую поверхность многогранником. Для этого необходимо заменить направляющую кривую ломаной линией (рис.2). Однако, возможности компьютерных графических пакетов позволяют обратно “скривить” такие ломаные линии, достаточно задать на каждой скрутке (обороте) спирали несколько тысяч опорных точек.
На третьем этапе произведем точное построение развертки многогранника.
Для построения развертки многогранной поверхности нужно совместить все грани этой поверхности с одной плоскостью так, чтобы образовалась плоская фигура. При этом смежными будут две грани, имеющие общее ребро.
Для одной и той же поверхности вид ее развертки может быть различным в зависимости от избранной последовательности расположения граней на развертке.
При этом самая красивая условная развертка сферы получается, если мысленный “разрез” многогранника произвести по бывшей направляющей спирали (криволинейной или ломаной).
Процедура построения развертки построена на применении способа триангуляции. Построение начинается с самой маленькой грани, расположенной около полюса сферы, и раскручивается по спирали до аналогичной грани на другом полюсе. Расположение граней и их форма наглядно показаны на рис. 2.
Построение развертки сферы производилось в графическом пакете AutoCAD с использованием программы написанной на языке AutoLISP [7]. Результат построения развертки показан на рис. 3.
Первый опытный образец сферы из ленточной развертки показан на рис.4.
По аналогичному алгоритму были построены условные развертки торовой и параболической поверхностей.
Результаты работы применяются автором при чтении лекций по курсу «Начертательная геометрия» в разделе «Развертки поверхностей», а опытный образец из металла, изготавливается в настоящее время на заводе фирмы «Соединительные детали трубопроводов» в г. Таганроге для последующей проверки на прочность.
Ещё один результат данной работы – при задании в программе большого числа витков направляющей спирали, лента развертки утончается и фактически преобразуется в спираль Корню.
Спираль Клелия (а) и аппроксимация сферы торсовой поверхностью (б)
Аппроксимация торсовой поверхности многогранником
Условная развертка сферической поверхности
Формообразование сферы
Горнов Александр Олегович (24 марта 2017 г. 20:12) |
Владимир Игоревич и Ваши соавторы, здравствуйте ! Если бы среди вариантов оценки публикации и, соответственно её сути, было бы предложение "очень понравилось" - оценил бы так! К тому же Вашу ленту в материале скоро свернут в сферу! Планируете ли Вы далее ( наверно сместе с технологами ) анализировать оптимальное сочетание числа витков и технолого - экономические показатели . Зависит ли оптимальное число витков от диаметра сферы ? Раз Вы пишите "Лента Федоренко", надо ли понимать, что это решение оригинально и этот приоритет за Вами закреплен? Или я тут что то не так понял? Это интересно еще с той точки зрения , что даже трудно оценить сколько раз подобную ленту человечество наблюдало очищая круглую картофелену! И еще, уже совсем интуитивно чувствую ( может и ошибаюсь) , что подобные задачи близки "Проектографии" ( автор проф. Гамаюнов В), о которой говорил на прошлой конференции уважаемый В.А. Наместников. Мы хотели в этом разобраться, но руки пока не дошли . Может Вам это будет интересно и разобравшись, попонятней бы изложили для всех. Спасибо. С уважением, А.О. |
Кокарева Яна Андреевна (24 марта 2017 г. 20:43) |
Владимир Игоревич, здравствуйте! Какие у Вас замечательные, красивые и действительно полезные исследования! Интересно будет почитать результаты после испытаний. С уважением, Кокарева Я.А. |
Хейфец Александр Львович (24 марта 2017 г. 20:51) |
Владимир Игоревич, решение красивое, современное, все так. Но …. Наберите в поисковике Сфера Эшера и познакомьтесь с искусством этого дизайнера с мировым именем. Конкретно по данной работе можно набрать: Увидите практически Вашу развертку. Более того,извините, но есть и моя работа на эту тему: А.Л. Хейфец. Инженерная компьютерная графика. AutoCAD. – СПб., БХВ, 2005. – 336 с. В этой давно и большим тиражом изданной книге, которая есть во всех библиотеках, имеется раздел “Сфера Эшера”, стр. 284. На рис. 12.3 Вы увидите практически все свое решение. Там нет развертки, но все до нее доведено. Последний шаг сделали Вы. Но ссылки делать необходимо. И на классика Эшера, и, извините , хотелось бы и на меня в этой работе. С уважением. А.Л. Хейфец. |
Головнин Алексей Алексеевич (24 марта 2017 г. 21:37) |
Здравствуйте коллеги! Нельзя не согласиться с Александром Олеговичем, что работа очень интересная и, одновременно, с его вполне резонным вопросом о защите авторства. Лента очень похожа на сферу Эшера, наверное, и на работу Александра Львовича, но можно заметить, что есть и отличия, причем с точки зрения технического осуществления, их можно даже назвать существенными. Владимир Игоревич не приводит информации о правовой защите названия, но обычно имя автора принято давать, если есть патент на изобретение, полезную модель, промышленный образец. На сайте ФИПС есть информация о 3214 изобретениях со словом лента в названии, но ленты Федоренко поиск не дает. Если заявка не подавалась, то надо подавать срочно, данная публикация может помешать получению охранного документа. Конечно, в научном труде надо приводить ссылки на аналогичные работы, но умышленного нарушения ведь здесь нет. Поэтому хочется поддержать и поблагодарить Владимира Игоревича за информацию, особенно приятно, что лента воплощается в металле, что само по себе уникальный случай. С уважением Головнин А.А.
|
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 1:34) |
Уважаемый Александ Олегович! Во-первых , представлю своих соавторов. Кучеров Кирилл - студент 4-го курса факультета ИУ, Христофоров Павел - студент 2-го курса факультета РК МГТУ им.Баумана. Обоим я преподавал, а Павлу еще продолжаю, черчение и НГ. Статью я опубликовал по просьбе коллеги по работе Полубинской Людмилы Георгиевны. Да и самому очень хотелось показать работу специалистам. Может чуть рано, зато познакомился (пусть заочно) с замечательными учеными. Что касается Имени.... Этой работе около года, и я просто влюбился в красоту линий. Но , я честно проштутдировал десятки , если не сотню, источников. И облазил Интернет. Больше отдавал внимание геометрам, особенно прикладным. До некоторых источников 70-х годов дотянуться не смог. Просто уже подумал, что результат , если бы был достигнут не пропал втуне... И всегда отслеживал получение развертки. По поводу изготовления. Я преподавал "Технологию металлов" 25 лет в Московском автомеханическом институте. Количество витков подбиралось , чтобы длина сварного шва была меньше длины швов у аналогичных изделий. По поводу картошки. Мы создали ролик и планируем показать его в Интернете , но несколько позже. Заявка на изобретение подана, но Фамилию с ленты могут снять, как сняли ее когда-то с роторно-волнового компрессора Извинете, что кратко. С уважением, Федоренко В.И.
|
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 2:36) |
Уважаемый Александр Львович! Спасибо, что назвали решение красивым. После Вашей анимации, это дорогого стоит. С творчеством Эшера знаком достаточно хорошо, и даже когда-то давно пытался ему подражать в разработке рисунка паркета и мозаики. "Мы все учились понемногу..." Попробую определить наиболее удобный источник. Вашу книгу не читал, и даже не встречал во время поиска аналогов. Как уже я написал Александру Олеговичу, искал больше в стане геометров. Двух представителей я в ссылках указал. Мне казалось, что те , кто занимаются геликоидами ближе.... Я обязательно буду делать ссылку на Ваши работы Я в сферу (каламбур получился) НГ перешел недавно, спасибо, что поправили. И .. Ваши чувства тоже хорошо понимаю. С уважением, Федоренко В.И. |
|
Горнов Александр Олегович (25 марта 2017 г. 2:38) |
Владимир Игоревич, спасибо! Успехов Вам и вашим ученикам. Интересны, конечно, сравнительные характеристики с другими технологиями получения, например. газгольдеров. На глаз допустимые давления, при прочих равных, должны быть больше. Геометрия сварных швов технологически вроде удобней. ( но тут спец. Александр Львович ). Раскрой. видимо, не так экономичен? ... Ждем сообщений о выдачи патента ! А.О. . |
Сальков Николай Андреевич (25 марта 2017 г. 2:49) |
Владимир Игоревич, не обижайтесь, но я насчитал в Вашей литературе 11 геометров, а не 2. То есть, 11 фамилий ученых, занимавшихся или занимающихся геометрией. А развертка получилась прикольная,я такой еще не встречал. С уважением, Н. Сальков. |
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 3:06) |
Уважаемый Алексей Алексеевич! Возможно я несколько поторопился с названием. Но когда месяц за месяцем нет результата поиска - сживаешься с мыслью что у тебя получилось. Работа стала жечься, вот я ее и показал. Ссылки на аналогичные работы я привел. Кривошапко С.Н. и Пилипака С.Ф. - авторы работ по торсовым поверхностям. Другой вопрос, что мало... Но у меня список был большой, только односторонний. С уважением, Федоренко В.И. |
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 15:18) |
Уважаемый Николай Андреевич! Я не обижаюсь. Совсем. Меня учили так - "если у тебя проблемы - посмотри в зеркало". Вот и здесь, не сумел правильно выразить мысль. Не все ученые, фамилии которых я указал, занимаются вопросами построения и исследования торсовых поверхностей. Кстати, есть более прикольная развертка и Вы ее тоже еще не видели... Но, формат доклада ограничен 4-мя рисунками!!!!! А мы люди законопослушные..... С уважением, Федоренко В.И. |
|
Федоренко Владимир Игоревич (25 марта 2017 г. 15:41) |
Добрый день, Яна Андреевна! Спасибо за добрые слова о моей работе. Если два разных человека говорят, что результат работы красивый, то значит он правильный. С уважением, В.И. Федоренко |
