НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Рассмотрены примеры использования графических методов для иллюстрации задач дискретной математики: разделение секрета, диофантовы уравнения, распознавание симметрии. Также рассмотрено понятие двойственной кривой. Эти задачи использовались на семинарах для студентов.

Главная цель этой работы – ещё раз показать, что начертательная геометрия тесно связана не только с аналитической геометрией, что не раз отмечалось в литературе [1, 2], но и с другими разделами математики [3]. Возможно, это позволит точнее оценить значение различных направлений в историческом развитии математики, а также привлечь внимание к обсуждаемым темам. Хотя попытки установить связи между разными направлениями математики нередко вызывают обвинения в наукообразии и эклектике.

Обсуждение роли начертательной геометрии иногда сводится к противопоставлению методов аналитической геометрии, реализованных в виде программ для вычислительных машин, и задач на построение циркулем и линейкой [4–6]. Однако такое сравнение не вполне корректно. Построение циркулем и линейкой относится к попытке аксиоматизации геометрии. Попытка оказалась неудачной, но она сыграла важную роль в понимании оснований математики. Кроме того, возможность построения циркулем и линейкой тесно связана со свойствами квадратичного замыкания поля рациональных чисел, что придаёт наглядность формальной теории чисел. Однако такое суровое самоограничение ничем кроме традиции не обосновано. В частности, совершенно незаслуженно забыт мезолабий Эратосфена, позволяющий вычислять кубические корни. Хотя это очень естественное и нетривиальное дополнение к построениям циркулем и линейкой. Этот механический прибор мог бы весьма пригодиться, если применение компьютеров в геометрии неожиданно отменят. Он позволяет найти два средних пропорциональных величин x и y между двумя данными отрезками p и q, удовлетворяющих условиям p:x=x:y=y:q. При условии q=2p величина x служит решением задачи об удвоении куба [7]. Мезолабий был усовершенствован Декартом в XVII веке, что позволило строить с его помощью любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками, например, p:x=x:y=y:z=z:q.

На практике инженеры никогда не ограничивали себя циркулем и линейкой, а символом строителя в прошлом был угольник, хотя прямой угол можно построить и без угольника. Таким образом, построения циркулем и линейкой – это лишь увлекательная игра. При этом роль игры в обучении очень велика. С другой стороны, распространено мнение, что аналитические методы приводят к грубым ошибкам из-за округления чисел по ходу вычисления. Действительно, этот недостаток присущ некоторым пакетам программ, а особенно их ранним версиям. Но более осмысленное использование численных методов позволяет уменьшить погрешность. Кроме того, универсальным выходом из затруднительного положения служит применение символьных вычислений. Например, работая в облачном сервисе для математических вычислений MathPartner с системами алгебраических уравнений, вычисления можно проводить точно и лишь на последнем шаге перейти к приближённым значениям, если это необходимо [8, 9]. Это позволяет в случае, когда решение выражается рациональными числами, обойтись без приближений. Обычно задачи на плоскости или в трёхмерном пространстве решаются легко. Существенные трудности могут возникнуть при необходимости обработки видеопотока в реальном времени. Впрочем, в этом случае построение циркулем и линейкой не даёт преимуществ.

Таким образом, классическая начертательная геометрия наиболее полезна именно в процессе обучения математике в широком понимании этого слова. Однако она воспринимается лишь как метод для архитекторов, конструкторов машин, дизайнеров. Один из путей расширения списка приложений состоит в поиске связей с различными математическими задачами. Мой опыт преподавания подтверждает, что любая тема легче воспринимается, когда она связана с конкретным приложением, иногда шутливым, которое можно кратко пояснить здесь и сейчас. Именно кратко, поскольку времени у преподавателя всегда мало. Мы рассмотрим несколько задач, показывающих возможность и важность графических методов при обучении студентов, которые не изучают начертательную геометрию как самостоятельный предмет. Здесь уместно напомнить, что мы окружены разнообразными изобретениями [10]; примером служат солнечные часы [11].

Конечно, разбор таких задач не может заменить начертательную геометрию, но позволяет разнообразить учебный процесс или служить темой дополнительных занятий для заинтересованных студентов любой специализации. Интерес к математическому образованию связан с его содержанием, которое нередко остаётся формальным и оторванным от жизни. С другой стороны, отмечена предпочтительность графических форм предъявления информации по сравнению с вербальной формой [12].

При изучении конических сечений таким примером, хотя вряд ли применяемым на практике в такой форме, может быть задача о разделении секрета. Впервые эту задачу сформулировал и решил Ади Шамир в 1979 году [13]. И хотя она давно известна, рассмотрим её с новой точки зрения. Предлагаемый метод не претендует на оптимальность для прикладных задач, но предназначен лишь для иллюстрации графического подхода в учебных целях. Некоторое исходное секретное сообщение надо закодировать и выдать каждому из n участников некоторую информацию о секрете так, чтобы любые m<n, собравшись вместе, могли однозначно восстановить исходное сообщение, а никакие (m–1) не могли. Пусть исходное сообщение – это координаты центра окружности, а каждый из участников получает координаты одной точки на этой окружности, у каждого своя точка. Тогда втроём всегда легко найти центр окружности, независимо от положения трёх точек. При этом решение легче всего найти графически: в центре окружности пересекаются серединные перпендикуляры к хордам. Однако никакие два участника не могут узнать центр окружности по своим двум точкам. Здесь кворум m=3, общее число участников n>3. (При n=3 задача становится тривиальной.) Естественное изменение решения для увеличения кворума M заключается в замене окружности произвольным коническим сечением. Другой путь – заменить окружность сферой размерности (m–2); при этом кворум может быть сколь угодно большим. Дальнейшее обобщение – разрешить использовать мнимые точки [14]. Так можно привлечь внимание к графическим методам и одновременно к довольно абстрактному разделу геометрии. Если кворум для раскрытия секрета равен m, а собралось большее число участников, то они могут независимо восстанавливать секретное сообщение разными способами. Если результаты оказались разные, то кто-то использовал неправильные сведения или допустил ошибку. В этом случае ответ можно уточнить голосованием. Хотя реально применяемые коды основаны на вычислениях над конечным полем, общие идеи можно иллюстрировать привычными геометрическими построениями. Разбор вариантов этой задачи не требовал много времени и обычно проходил в середине или в конце семинара, позволяя слушателям немного отдохнуть от формальных рассуждений.

Более сложная тема – решение диофантовых уравнений. Решение уравнения от двух переменных легко иллюстрируется рисунком на плоскости. Однако решение уравнений от большего числа переменных обычно вызывает трудности. В частности, рассматривая линейные диофантовы уравнения от трёх переменных, полезно уметь строить сечение куба плоскостью общего положения. Этому учат в школе, но получается это не у всех студентов. Если секущая плоскость проходит через центр куба, то сечение будет либо шестиугольником, либо параллелограммом. В этом случае геометрическая задача не помогает решить уравнение, но позволяет лучше понять детали, часто ускользающие от внимания.

Графические методы незаменимы при изучении касательных и точек перегиба. Без преувеличения яркой иллюстрацией служит каустика – огибающая семейства лучей, не сходящихся в одной точке.

Выпуклое множество на плоскости не определяется длинами своих ортогональных проекций (отрезков прямых), поскольку существуют различные фигуры постоянной ширины, например, круг и треугольник Рёло (Reuleaux triangle). Следующий пример показывает, что построение касательных прямых к границе даёт гораздо больше информации. Напомним, что касательная прямая соответствует точке двойственной кривой, а касательные, пересекающиеся в одной точке, – точкам пересечения прямой линии и двойственной кривой. Согласно формуле Плюккера степень двойственной кривой окажется ниже для особой алгебраической кривой, чем для гладкой кривой той же степени. В некоторых случаях построением только вещественных касательных можно доказать отсутствие не только вещественных, но и комплексных особых точек на проективном замыкании кривой. Например, для доказательства гладкости проективного замыкания коники достаточно указать две касательные, пересекающиеся в точке, не принадлежащей этой конике. Такие касательные легко провести через точку, лежащую вне области проективной плоскости, ограниченной коникой.

Симметрией кривой будем называть проективное преобразование плоскости, при котором эта кривая отображается на себя. Кубическая кривая в нормальной форме Вейерштрасса симметрична относительно смены знака одной из координат. Эта кривая во второй нормальной форме симметрична относительно поворота на 120 градусов. В работе [15] показано, что приведение кубической кривой к нормальной форме Вейерштрасса и вычисление проективного инварианта сводятся к поиску двух пар симметрично расположенных секущих. Проверка симметричности расположения и последующее вычисление проективного инварианта кривой выполняются с использованием лишь трансверсально пересекающихся прямых и кривой; оно не использует построение касательных прямых. В работе [16] рассмотрена симметрия третьего порядка.

Возможно, всё написанное покажется достойным не научной публикации, а математического кружка. Однако доступное изложение известных понятий не менее важно, чем доказательство нового. С другой стороны, не у всех преподавателей имеется возможность проводить исследования [17]. Мой опыт преподавания не связан непосредственно с графикой; упомянутые примеры могут быть объяснены без использования специальных программ, даже при свободном обсуждении вне аудитории. Не уверен, можно ли эффективно обсуждать методы начертательной геометрии, гуляя по улице или по коридору. Последнее нередко ассоциируется с чем-то бесполезным и вошло в таком качестве в поговорки [18]. Но такое обсуждение геометрических задач возможно не только в Древней Греции, но и в современных условиях. Это не отменяет важности графического представления информации [11], что подчёркивает важность применения соответствующих программ. Примеры можно найти в работах [4, 6, 19, 20].

Список литературы

1.    Сальков Н.А. Начертательная геометрия – база для геометрии аналитической // Геометрия и графика. – 2016. – Т. 4, №. 1. – C. 44–54. – DOI: 10.12737/18057
2.    Иванов Г.С., Дмитриева И.М. Принцип двойственности – теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач // Геометрия и графика. – 2016. – Т. 4, № 3. – C. 3–10. – DOI: 10.12737/21528
3.    Сальков Н. А. Начертательная геометрия – теория изображений // Геометрия и графика. – 2016. – Т. 4, №. 4. – C. 41–47. DOI: 10.12737/22842
4.    Хейфец А.Л. Сравнение методов начертательной геометрии и 3D компьютерного геометрического моделирования по точности, сложности и эффективности // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. – 2015. – Т. 15, № 4. – С. 49–63. – DOI: 10.14529/build150408 
5.    Хейфец А.Л. Начертательная геометрия как «бег в мешках» // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. – 2015. – Т. 1. – С. 298–325.
6.    Хейфец А.Л. Геометрическая точность компьютерных алгоритмов конструктивных задач // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. – 2016. – Т. 1. – С. 367–387.
7.    Розенфельд Б.А. Аполлоний пергский. – М.: МЦНМО, 2004. – 176 с.
8.    Ильченко Е.А. Инструменты математического сервиса MathPartner для выполнения параллельных вычислений на кластере // Труды Института системного программирования РАН. – 2016. – Т. 28, № 3. – С. 173–188. – DOI: 10.15514/ISPRAS-2016-28(3)-11
9.    Малашонок Г.И. Новое поколение систем символьных вычислений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. – 2016. – Т. 21, № 6. – С. 2026–2041. – DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2026-2041
10.    Ракитская М.В. Элементы ТРИЗ в лекциях по начертательной геометрии // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. – 2016. – Т. 1. – С. 302–313.
11.    Милосердов Е.П., Глебов М.А. Расчет параметров конструкции и разработка алгоритмов реализации аналемматических солнечных часов // Геометрия и графика. – 2014. – Т. 2, № 3. – C. 14–16. – DOI: 10.12737/6520
12.    Тестов В.А. Основные проблемы реализации концепции развития математического образования // Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании. – 2014. – № 3. – С. 278–287.
13.    Shamir A. How to share a secret // Communications of the ACM. – 1979. – V. 22, № 11. – P. 612–613. – DOI: 10.1145/359168.359176
14.    Короткий В.А., Гирш А.Г. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами // Геометрия и графика. – 2016. – Т. 4, № 4. – C. 19–30. – DOI: 10.12737/22840
15.    Рубанов Л.И., Селиверстов А.В. Проективно-инвариантное описание излучины реки // Информационные процессы. – 2016. – Т. 16, № 3. – С. 281–290.
16.    Селиверстов А.В. О симметрии проективных кривых // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. – 2016. – № 3. – С. 59–66.
17.    Строкова Т.А. Нужен ли современной школе учитель-исследователь? // Образование и наука. – 2016. – № 7. – С. 11–25. – DOI: 10.17853/1994-5639-2016-7-11-25
18.    Николаева Е., Николаев С. «Андроны едут» // Slavia Orientalis. – 1996. – Т. 45, № 4. – С. 503–508. 
19.    Хейфец А.Л. 3D модели и алгоритмы компьютерной параметризации при решении задач конструктивной геометрии (на некоторых исторических примерах) // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. – 2016. – Т. 16, № 2. – С. 24–42. – DOI: 10.14529/ctcr160203
20.    Головнин А.А. Базовые алгоритмы компьютерной графики // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. – 2016. – Т. 1. – С. 13–30.

Головнин Алексей Алексеевич (28 февраля 2017 г. 11:30)	Здравствуйте Александр Владиславович! Очень интересный и важный доклад. Относительно достойности для научной публикации. До сих пор помню, как в студенческие годы школьный друг, ставший математиком, показал в одном из томов Фихтенгольца доказательства одной из теорем. Оно состояло из одного совсем не понятного предложения с математическими терминами, а за ним следовала фраза «Далее банально». Представляется, что после апробации новых научных результатов в фундаментальных науках в среде специалистов обязательно должна следовать стадия популяризации новых знаний для поиска им прикладного применения, которая должна быть именно на понятном языке. В докомпьютерную эру в ходу было выражение «инженерная формула». Ваша работа позволяет не математику открыть для себя красоту формул в виде изображений. Можно ли эффективно обсуждать методы начертательной геометрии, гуляя по улице или по коридору? Ссылку искать не буду, привожу на память, что есть воспоминания современников основателя начертательной геометрии Монжа, как он, погрузившись в себя, водил в воздухе руками, а после того, как находил путь решения задачи, поручал ее доведение до результата кому-нибудь из своих учеников. Ваш доклад являет пример уважительного отношения к носителям знаний из смежных и не очень наук. Но действительно ли он о начертательной геометрии? Ведь есть много других разделов геометрии. Сам Монж характеризовал свое детище как непрерывное и утомительное сравнение двух проекций (опять же привожу на память, но надеюсь, что не ошибаюсь). Подсказку нашел в другом очень интересном докладе, размещенном сегодня же. Представляется, что в названии доклада вместо «Начертательная геометрия …»  можно «Графические представления …». Извините за попытку править название Вашего, повторюсь, очень интересного и важного для представителей начертательной геометрии, доклада. С уважением
Селиверстов Александр Владиславович (28 февраля 2017 г. 19:39)	Здравствуйте, Алексей Алексеевич. Вы правы, я увлёкся и отошёл от объявленной темы, а многие примеры не относятся непосредственно к начертательной геометрии. Ваш вариант названия хороший, но исправить уже поздно. Надеюсь, однако, что сближение и совместное преподавание НГ, аналитической и проективной геометрии согласуется с замыслами самого Гаспара Монжа.
Шацилло Людмила Анатольевна (1 марта 2017 г. 17:44)	Добрый день, Александр Владиславович! Рада приветствовать Вас на нашем форуме. Когда  я училась в авиационном институте, мои подруги-одноклассницы учились на мехмате в КГУ (КФУ теперь). И у них на первом курсе была НГ. Все задачки им решала я (техникум закончила). Потом НГ у них убрали. Сомневаюсь, пошло ли это на пользу родине школы  Лобачевского.  Подруга Таня была всю жизнь отв. секретарем журнала «Математика» (недавно на пенсии). Так она ко мне обращалась с просьбой  помочь однокурснику с внедрением его  геом. разработок  (мы в стране тогда были  пионерами в САПР авиадвигателей). Полагаю, что в университетах математикам не лишни прикладная геометрия, НГ  - вообще дисциплины блока «Геометрия и графика». Ведь всякая теория  вырастает и развивается от потребностей ее приложения. А остальное – пища для мозга. С искренним уважением, Шацилло Людмила Анатольевна.
Дударь Елена Сергеевна (5 марта 2017 г. 14:08)	Уважаемый, Александр Владиславович! С большим интересом прочитала Вашу статью. Предпочтительность графических форм предъявления информации по сравнению с вербальной формой обусловлена, видимо, тем фактом, что зрительное восприятие поставляет большую часть информации для мозга.  Встречали ли Вы  исследования по проблемам оптимального соотношения зрительной и вербальной информации в процессе обучения? Пробовали ли Вы при коллективном изучении такой абстрактной науки как математика, учесть субъективный характер восприятия информации? С пожеланиями удачи, Елена С. Дударь.
Селиверстов Александр Владиславович (5 марта 2017 г. 22:28)	Здравствуйте,  Елена Сергеевна! Конечно, все студенты разные. На семинарах для небольшой группы это легко учесть. Прежде, когда вёл семинары по геометрии и алгебре в (ныне) РГУ им. А.Н. Косыгина, в моём распоряжении были мел и доска. Но на ней всегда были чертежи или графики в меру способностей участников семинара. Не помню случая, чтобы студент уверенно решал системы линейных уравнений, но не догадывался об их геометрическом смысле. Но на этой конференции коллеги пишут, что так бывает. Конечно, важно распределить записи и рисунки на доске так, чтобы важная часть не стиралась, пока она необходима. Это стоит обдумать заранее. И это существенно отличает использование доски от слайдов. Мне нравится рассказывать о математике у доски, хотя прикладные задачи лучше объяснять с помощью слайдов. В этом году на семинаре "Трудные задачи дискретной оптимизации" в МГУ технические возможности гораздо выше, но и тема другая, и студенты лучше подготовлены. Ещё читал лекции по математической биологии. В биохимии много красивых геометрических задач, но там нет места геометрической эстетике. Вычисления происходят на компьютере. И если новая параметризация поверхности приводит к сокращению времени работы машины, то она востребована. Иначе она никому не нужна, какие бы красивые геометрические идеи не были в ней заложены.
Хейфец Александр Львович (17 марта 2017 г. 10:38)	Александр Владиславович, прежде всего, благодарен за подробный разбор с точки зрения математика моего доклада об анимациях. Отвечаю по порядку на Ваши замечания. Замечание 1. О том, что цилиндр “косой” (то есть не развертываемый), я написал в заголовке к его анимации, см. презентацию. А в тексте пропустил. Виноват. Более глубоко в содержание этого термина я не вникал, он общепризнан и у меня в докладе была другая цель. Замечание 2. Терминология, приведенная Вами мне незнакома. Имею ввиду “поверхность неприводимая” или “имеет несколько вещественных компонент связности”. Я "просто" показал, что в зависимости от набора образующих при одних и тех же направляющих существуют различные по внешнему виду и свойствам поверхности (рис. 2). Назвал их вариантами. Ну и что? Замечание 3 по однополостному гиперболоиду (ОГ). По опыту преподавания, да и по себе в тот период, когда начал изучать эту поверхность, знаю, что представить ее как множество прямых, пересекающих три скрещивающиеся направляющие, непросто. То объяснение с плоскостью и прямой, что Вы привели – так этот известный алгоритм. Я его подробно рассмотрел в докладе (см. рис. 3, б). Но далее показал, что этот алгоритм в практической реализации не дал наглядной модели и привел те алгоритмы, которые пришлось мне разработать для ее построения. Интересно Ваше замечание о том, как объяснять эту тему студентам.  По моему, объяснять нужно через вращающуюся плоскость, указав, если есть возможность, недостатки этого метода для практического применения и их преодоление. Здесь не удержусь от реплики. Математикам свойственно “не унижаться” до практических приложений своих идей (“не барское это дело”). Сплошь фразы “как нетрудно видеть…” и “как легко понять…”.  Блистают этим и наши “математики”. Сейчас модно говорить, что далее элементарно и все сделает компьютер. Однако практические реализации бывают намного сложнее, чем теория вопроса. Примером этому является построение модели ОГ, где теоретически все ясно из вращающейся плоскости, а практически – все оказалось намного сложнее. Замечание 4 о недоступности ссылок на материалы предыдущих конференций. Вы неправы. Материалы все Ирина Дмитриевна хранит на сайтах. Там они со всеми комментариями и полемиками. Например, наберите КГП-2011. (К сожалению, сайт КГП-2010 поврежден). В сборниках трудов наших конференций есть основные доклады, отобранные Оргкомитетом, это далеко не все доклады  и нет полемики. Но проще всего зайдите в личные кабинеты, там есть все ссылки на доклады авторов на прежних конференциях, начиная  с КГП 2010 и позднее. А презентацию скачайте: в правом нижнем углу окна презентации есть прекрасная стрелочка для скачивания. Несколько досадно, что не увидел Ваших комментариев по модели торсовой поверхности и его разверткам. Не дочитали или не интересно? Все-таки реально пустить образующую касательно к произвольной пространственной кривой да еще и развернуть эту поверхность – это, по моему, приведено впервые. Теперь о Вашем комментарии в связи с нелицеприятным высказыванием В.А. Пеклича о С.А. Фролове. Из мемуаров Пеклича следует, что он был гоним потому, что выделялся из серой массы коллег. Видимо этим и вызван его термин “лысенковщина”, как политическое гонение… Учебник С.А. Фролова многократно переиздан, общепризнан. А критика учебника по существу – так это нормально. Последний раз его недавно критиковал за терминологию поверхностей  Г.С. Иванов в “ГиГ”. Он же и другие критикуют В.О. Гордона, на этой конференции в комментариях он превозносит учебник О.А. Вольберга (1947 г. издания). Эти тонкости не для базового учебного процесса, где сейчас осталось 9 лекций. Они для теоретиков НГ. Я присутствовал на докладе  Сергея Аркадьевича Фролова в Нижнем Новгороде в 1991 г., где он, автор общепризнанного учебника по НГ, первый заявил о необходимости реорганизации курса НГ в связи с наступающей компьютеризаций. Читал его статьи с предложением создания графического редактора САПР на основе алгоритмов НГ. Знаю, что из этого ничего не получилось – в программных продуктах победила аналитика. Но важен его посыл в компьютеризацию. С уважением. А.Л. Хейфец
Суфляева Наталья Евгеньевна (28 марта 2017 г. 16:30)	Александр, Владиславович, позвольте публично выразить уважение к Вашему интеллекту. Вы так оперативно нашли компьютерное решение задачи о правильном треугольнике. Это еще раз подчеркивает преимущества 3D моделирования. Существует и решение средствами НГ, хлтя оно по словам автора этой задачи "очень громоздкое". Спасибо. Суфляева Н.Е.
Селиверстов Александр Владиславович (29 марта 2017 г. 0:09)	Здравствуйте, Наталья Евгеньевна. Конечно, первым решил задачу Александр Львович! Но напрасно Вы полагаете, что студенты лучше знают, что надо делать. Может быть к следующей конференции Вы найдёте ещё несколько красивых задач, которые легко решаются при 3D моделировании, но трудны для теоретического исследования? Это позволяет устанавливать связи между разными дисциплинами. С другой стороны, у хороших студентов такие задачи могут вызвать интерес к начертательной геометрии. Особенно, если они хоть немного знакомы с историей геометрии. Например, Елена Валерьевна Князева рассказывает о ней своим студентам. С уважением, А.В. Селиверстов