ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЕРОЯТНОГО ВОДОТОКА НА ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ В БН-ИСЧИСЛЕНИИ

В статье предложены два вычислительных алгоритма, которые являются последовательным решением задачи построения линий вероятного водотока на топографической поверхности. Первый, для аналитического описания горизонталей отсека топографической поверхности, проходящей через 16 наперед заданных точек. Второй, принципиальный алгоритм построения линий вероятного водотока на топографической поверхности, в основу которого положена минимизация расстояния между двумя соседними горизонталями.

Введение

Важное значение в анализе геодезических характеристик земельного участка занимают расположение и направление линий наибольшего уклона, которые характеризуют сток воды по поверхности. Задачу построения линий вероятного водотока можно считать актуальной, так как она даёт возможность применения цифровых моделей поверхности земельного участка, для определения скорости развития эрозионных процессов на землях сельскохозяйственного назначения [1] и создаёт предпосылки для разработки автоматизированной системы мониторинга состояния грунтов.

В литературе встречается достаточно большой круг исследований, посвященных построению линий наибольшего уклона на топографической поверхности. Из-за сложности аналитического представления топографической поверхности широкое распространение получил графический метод решения этой задачи, известный из начертательной геометрии. Кроме того были разработаны численные методы решения этой задачи на основе дискретных методов построения цифровых моделей рельефа местности [2, 3].

В БН-исчислении (точечное исчисление Балюбы-Найдыша) подобная задача была рассмотрена в работе Кучеренко В.В. [4], в которой автор приводит алгоритмы построения горизонталей и линий наибольшего уклона для построения водотока на дискретно заданной поверхности, используя методы вариативного дискретного геометрического моделирования [5] и математический аппарат БН-исчисления. Однако эти алгоритмы относятся исключительно к тем методам задания топографической поверхности, которые автор использовал в своей работе. Применительно к способу аналитического описания топографической поверхности на основе 16-точечных отсеков [6], алгоритмы, представленные в работе, предложены впервые.

Основная часть

Компьютер оперирует числами. Поэтому для построения цифровых моделей рельефа местности возникает необходимость представления геометрических построений в виде последовательности математических операций. Так в данном случае, для аналитического описания линий вероятного водотока воспользуемся математическим аппаратом – БН-исчисление [7-9], который позволяет представить известный из начертательной геометрии алгоритм построения линий вероятного водотока в виде последовательности точечных уравнений. Однако сначала необходимо решить задачу аналитического описания  горизонталей отсека топографической поверхности.

Рассмотрим следующий вычислительный алгоритм построения горизонталей отсека топографической поверхности, проходящей через 16 наперед заданных точек [6], как линий пересечения горизонтальной плоскости с высотной отметкой h_i и топографической поверхности.

1. Выбираем шаг построения горизонталей отсека топографической поверхности Δh=h_i+1-h_i.
2. Выражаем значение параметра τ через параметр t. Для этого необходимо для каждой горизонтали решить следующее уравнение относительно параметра τ:

Решение данного уравнения в статье не приводится из-за его объёма. Все вычислительные операции данного алгоритма выполнены авторами в VBA с последующей визуализацией результатов в AutoCAD.

3. Подставляем значение параметра τ=f(t) в точечное уравнение отсека топографической поверхности, проходящей через 16-ть наперед заданных точек, формируя, таким образом, однопараметрическое множество точек:

Следует отметить, что на стадии построения горизонталей необходимо делать проверку, чтобы параметр τ, выраженный через параметр t, принадлежал интервалу [0; 1]. Иначе получим некоторый фрагмент горизонтали за пределами отсека топографической поверхности.

Переходя от точечных уравнений к параметрическим, для трёхмерного пространства, получим:

4. Переходим к следующей горизонтали и повторяем вычисления.

Переходим ко второму алгоритму. Линии вероятного водотока, как линии наибольшего уклона, топографической поверхности определим как кратчайшее расстояние между соседними горизонталями с помощью дифференциального исчисления. С учётом полученных уравнений горизонтали отсека топографической поверхности предлагается следующий принципиальный алгоритм построения линий вероятного водотока:

1. Выбираем горизонталь, имеющую наибольшую высотную отметку и выделяем на ней исходную точку N_i.

2. Выбираем соответствующую друг другу пару точек: исходная точка N_i  – текущая точка соседней горизонтали M_i,  уравнение которой получено ранее на основе предыдущего алгоритма.

3. Определяем с помощью метрического оператора трёх точек прямой квадрат длины отрезка, соединяющую исходную точку с текущей точкой соседней горизонтали. 

Таким образом, представляем квадрат длины отрезка как функцию от текущего параметра t. Далее нужно определить такое значение параметра t, при котором длина отрезка N_iM_i будет минимальной.

4. Минимизируем квадрат длины отрезка N_iM_i. Для этого находим производную функции длины отрезка по параметру t и приравниваем её нулю.

5. Решив полученное уравнение, получим несколько значений параметра t, при котором достигаются экстремальные значения квадрата длины, отрезка N_iM_i. Выбираем из корней уравнения только те, которые принадлежат интервалу [0; 1]. Если таких значений будет несколько, то необходимо сделать обратную подстановку в точечное уравнение длины отрезка N_iM_i и выбрать из полученных значений то, которое соответствует минимальной длине отрезка N_iM_i.

6. Подставляем полученное значение параметра t в уравнение соответствующей горизонтали и таким образом определяем точку K_i, которая и определяет отрезок линии наибольшего уклона топографической поверхности.

7. Далее сдвигаемся на одну горизонталь вниз и повторяем алгоритм, только в качестве исходной точки выбираем точку, полученную ранее на предыдущей горизонтали, т.е. N_i+1=K.

Выводы

В работе был разработан общий алгоритм построения горизонталей отсека топографической поверхности и линий вероятного водотока на топографической поверхности на основе математического аппарата БН-исчисления, что является основой для разработки автоматизированной системы мониторинга состояния грунтов. Следует отметить, что вычислительные алгоритмы построения горизонталей и линий водотока получены на основе геометрических алгоритмов построения геометрических объектов, обладающим наперед заданными свойствами, и являются инвариантными по отношению к любому способу определения  поверхности в БН-исчислении.

Список литературы

1. Кузнецов М.С. Эрозия и охрана почв: Учебник. / М.С. Кузнецов, Г.П. Глазунов. - М.: Изд-во МГУ, 1996. – 335 с.
2. Караев А.И. Повышение точности метода построения линий уровня на поверхности земельных участков сельскохозяйственного назначения / А.И. Караев, В.В. Кузьминов / Системні технології: Регіон. міжвуз. зб. наук. пр. – Дніпропетровськ, 2006.-Вип.2 (43). – С.100-106
3. Караєв О.Г. Алгоритм побудови ліній рівня на ділянках грунтів земель сільськогосподарського призначення / О.Г. Караєв, В.В. Кузьмінов // Прикл. геом. та інж. граф. Праці ТДАТА – Вип. 4, т. 28. – Мелітополь: ТДАТА, 2004. – С. 37-46.
4. Кучеренко В.В. Формалізовані геометричні моделі нерегулярної поверхні для гіперкількісної дискретної скінченої множини точок: дис. … канд. техн. наук. Мелітополь, 2013. – 234 с.
5. Найдиш В.М. Дискретна інтерполяція / В.М. Найдиш. – Мелитополь, 2008. – 250 с.
6. Чернышева О.А. Аппроксимация топографической поверхности с помощью дуг кривых, проходящих через наперед заданные точки на основе полиномов Бернштейна / О.А. Чернышева / (V международная конференция и школа-семинар для молодых ученых «Ситуационные центры и информационно-аналитические системы для задач мониторинга и безопасности – SC-IoT-VRTerro2016»): SCVRT1516 Труды межд. науч. конф. (Царь Град, 21–24 ноября 2016 г.). – Царь Град: МФТИ ИФТИ Протвино, 2016. – С. 134-138.
7. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. … докт. техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. – Макеевка: МИСИ, 1995. – 227 с.
8. Найдыш В.М. Алгебра БН-исчисления / В.М. Найдыш, И.Г. Балюба, В.М. Верещага / Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. – К.: КНУБА, 2012. – Вип. 90. – С. 210-215.
9. Балюба И.Г. Точечное исчисление: [учебное пособие] / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. – Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. – 236 с.

Дударь Елена Сергеевна (9 марта 2017 г. 19:47)	Добрый день, Евгений Викторович и Оксана Александровна! Спасибо за доклад. Построение цифровой модели топографической поверхности требуется для выполнения проектных работ в строительства и горном деле. Является ли Ваше решение приложением к учебным заданиям или это научно-исследовательская работа? Есть ли у Вас опыт практического применения данного алгоритма? С уважением, Елена С. Дударь
Конопацкий Евгений Викторович (9 марта 2017 г. 20:18)	Здравтсвуйте, Елена Сергеевна! Это некоторые из результатов, которые Оксана Александровна получила в своей диссертационной работе. Я ей помагал как научный руководитель. Алгоритм построения горизонталей был реализован в C++ с визуализацией результатов в AutoCAD. Алгоритм построения линий вероятного водотока был поэтапно проверен в программном пакете в Maple. Т.е. было построено несколько пробных линий без использования циклов. Сейчас работаем над полноценной программной реализацией. С уважением, Конопацкий Евгений Викторович.
Конопацкий Евгений Викторович (9 марта 2017 г. 20:22)	Извиняюсь, опять получилась опечатка. Конечно "помогал".
Кокарева Яна Андреевна (10 марта 2017 г. 15:39)	Евгений Викторович, если будет желание реализовать что-то в виде программы, но не будет времени, то пишите. В следующем году меня обещают нагрузить 8 (!!!) дипломниками... темы-то им всё равно нужны ) а в ссылках будет указано, что рработа выполнена на основании разработанных Конопацким Е.В. и иже с ним соавторами )
Конопацкий Евгений Викторович (10 марта 2017 г. 22:23)	Спасибо за предложение, Яна Андреевна!
Горнов Александр Олегович (12 марта 2017 г. 17:47)	Здравствуйте Евгений Викторович и Оксана Александровна!      Насколько я понял задача, которую Вы рассматриваете очень сложна, но интересна  с  теоретической и  практической точек зрения.  Естественно, что  не все понял, но это мои проблемы, поэтому и вопросы. Если они не очень корректные в рамках данной работы, заранее извините.    Пожалуйста поясните  как заданы (учитываются или нет) не только макрогеометрические, но и другие физические характеристики поверхности модели: микрогеометрия, смачиваемость ,аккумуляция части потока, неоднородность ,  проницаемость …Насколько адекватны получились модели, при каких минимальных уклонах работают? Есть ли у Вас такие заказчики на подобные задачи, как  архитекторы, градостроители, дорожники  для расчета и оптимизации профилей дорог и поверхностей  в городской среде при проектировании стоков … Может я зря размечтался, что дорожники и коммунальщики  ждут    модели расчета профилей дорог,  тротуаров, площадок и газонов  при которых не надо будет ходить по лужам … С  уважением. А.О.
Чернышева Оксана Александровна (13 марта 2017 г. 17:55)	Здравствуйте, Александр Олегович!   В нашем случае при построении линий вероятного водотока задача решалась исключительно в рамках геометрии. Мы работали с геометрической составляющей, без учёта физических характеристик модели. Т.е., с точки зрения физики, мы имеем случай, когда на стекающую воду не действуют никакие другие силы, кроме сил тяжести. Поэтому линии и называются вероятными. Конечно, на самом деле в природе такого не наблюдается, и на поток воды действуют и те факторы, которые вы перечислили, и многие другие. Если бы получить экспериментальные данные о влиянии этих факторов на движение жидкости для разных типов почв, то можно было бы включить их в модель и получить траекторию движения воды более приближенную к реальности, но такая задача не ставилась. Эти исследования уводят нас в сторону от специальности 05.01.01, по которой планируется защита.   В предыдущих работах нами был предложен способ геометрического моделирования и аналитического описания топографической поверхности на основе 16-точечных отсеков. Далее мы развиваем предложенный ранее способ, демонстрируя, как используя его можно решать различные задачи на топографической поверхности, к которым относятся построение горизонталей топографической поверхности и линий вероятного водотока.   На данный момент из перечисленной группы категорий заказчиков у нас нет. Ранее эти исследования проводились совместно с учёными агрономами Таврийского государственного агротехнологического университета. Работа была посвящена исследованию  скорости развития эрозионных процессов на землях сельскохозяйственного назначения. Составной частью этих исследований было построение линий вероятного водотока. Но на данный момент эти связи утеряны, поскольку группа учёных, с которыми мы работали, перешла в другой ВУЗ, а потом началась война... Сейчас ведем переговоры о внедрении некоторых фрагментов нашей работы в ЗАО "Гидроинжстрой", г.Москва.   Предложенные алгоритмы являются универсальными по отношению к размерам топографической поверхности и могут применяться как для изучения микрорельефа местности, так и для более крупных участков. Также предложенный способ не зависит от уклона топографической поверхности или лучше сказать, что он работает с любыми уклонами, всё зависит исключительно от данных геодезической съёмки. Точность построения линий вероятного водотока можно регулировать плотностью горизонталей топографической поверхности, алгоритм построения которых также представлен.   На самом деле у дорожников есть свои методы расчёта уклонов и проектирования дорог, площадок и тротуаров, чтобы не ходить по лужам. Здесь, к сожалению, большее значение имеет человеческий фактор: нарушение технологии монтажа и правил эксплуатации...   С уважением, Чернышева О.А.
Горнов Александр Олегович (13 марта 2017 г. 19:33)	Оксана Александровна, благодарю за исчерпывающие ответы .  Желаю  успехов в завершении диссертационной работы и её успешной защиты. .. Очень больно из  Вашего прозвучало  : " .. а потом началась война''. Поэтому, к пожеланиям успешной защиты,  еще  и  мира на Вашей земле . С уважением, А.О.
Чернышева Оксана Александровна (14 марта 2017 г. 8:27)	Спасибо Вам большое за хорошие слова и пожелания! С Уважением, Чернышева О.А.