ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ БН-ИСЧИСЛЕНИЕ

В работе представлена вводная информация о математическом аппарате БН-исчисление с целью знакомства геометрической общественности с некоторыми особенностями нового аппарата моделирования геометрических форм.

Немного из истории создания и становление математического аппарата БН-исчисление

Математический аппарат БН-исчисление (точечное исчисление Балюбы-Найдыша) был создан двумя ведущими учёными Мелитопольской школы прикладной геометрии: Балюбой И.Г. и Найдышем В.М. Фактически это исчисление родилось при написании докторской диссертационной работы Балюбы И.Г. [1], научным консультантом которой был Найдыш В.М. Из воспоминаний Балюбы И.Г.: «Точечное исчисление было создано как математика для инженера. Я писал докторскую диссертацию по наитию, как будто мне диктовал её кто-то свыше. И написана она была, в очень сжатые сроки, в течении полугода. Всю глубину и возможности точечного исчисления я осознал спустя много лет, решая различные практические и теоретические задачи. Это меня утвердило в мысли, что всё-таки это не отдельный метод, а целое исчисление». Балюба И.Г. всегда говорил много теплых слов о своём учителе – Найдыше В.М.: «Он был мне не просто учителем, он был моим ближайшим другом! Всегда во всём мне помогал и меня поддерживал. Если бы не он, не было бы никогда точечного исчисления!».

Изначально Балюба И.Г. дал название – точечное исчисление. Спустя 17 лет в диссертационной работе Конопацкого Е.В. [2], под руководством Верещаги В.М. (также ученик Найдыша В.М.), была произведена персонификация и появилось новое название – точечное исчисление Балюбы-Найдыша. Балюба И.Г. был против такого названия, ввиду природной скромности, но поскольку работа уже была принята в совет, а он очень ждал этой защиты, формально он смирился, но в душе это название так до конца и не принял. Со временем было предложено сократить фамилии в названии. Так и появилось – БН-исчисление. На семинаре Мелитопольской школы прикладной геометрии было принято решение везде в литературе использовать этот термин, хотя Балюба И.Г. так и называет его по-старому – точечное исчисление.

На данный момент БН-исчисление, наряду с вариативным дискретным геометрическим моделированием [3], является одним из перспективных направлений развития Мелитопольской школы прикладной геометрии. За 22 года своего существования в рамках БН-исчисления было написано более 200 статей, издано учебное пособие [4] и защищено 8 диссертаций [1-2, 5-10]. Развитием БН-исчисления в разное время занимались: Балюба И.Г., Найдыш В.М., Найдыш А.В., Верещага В.М., Горягин Б.Ф., Полищук В.И., Малютина Т.П., Давыденко И.П., Конопацкий Е.В., Бумага А.И., Крысько А.А., Чернышева О.А.

БН-исчисление как синтез нескольких исчислений

Несмотря на отличительные особенности БН-исчисление родилось не на пустом месте. Некоторые его основы просматриваются ещё в работах Мёбиуса. Также теоретической базой для его создания послужили:

– Барицентрическое исчисление. В качестве определителя пространства выбирается симплекс, что позволяет работать в более общей аффинной геометрии; разбивать симплекс на подсимплексы, в которых можно задавать фрагменты геометрической формы простейшими каноническими уравнениями, не теряя взаимосвязи этих фрагментов  единого уравнения в первоначальном декартовом симплексе (декартовой системе координат). Существенное различие барицентрического и точечного исчислений состоит в геометрической сущности чисел (параметров). В первом – числа это вес, присоединенный к вершине симплекса, во втором – числа это простые отношения трех точек прямых, связанных с вершинами симплекса. Ближе всего точечное исчисление примыкает к барицентрическому исчислению тогда, когда в качестве весов вершин симплекса принимаются противоположные точкам площади, объемы, и т.п.

– Тензорное исчисление. Особую информационную роль играют символы, индексы и их расположение в обозначении. Точечное исчисление выбрало за основу эту особенность, что обеспечивает не зрительную, а логическую наглядность – это позволяет ориентироваться в многомерном пространстве с учетом ориентации геометрических форм, позволяет отражать симметрию формы, состоящую из множества точек в его символьном обозначении.

– Векторное исчисление. Вместо векторов в точечном исчислении рассматриваются направленные отрезки, что позволило разделить параметры положения и формы. Поскольку направленный отрезок – это закрепленный вектор, то многие результаты и достоинства векторного исчисления для закрепленных векторов перенесены в точечное исчисление. Можно утверждать, что точечное исчисление это векторное исчисление закрепленных (не свободных векторов), заданных парами точек, сформированных в системе симплексов, где числами (параметрами) являются выраженное явно или неявно простое отношение трех точек прямой.

Поскольку развитие БН-исчисления находится на начальном уровне, по мере проведения исследований фрагментарно в него вливаются: методы дифференциального и интегрального исчисления; проективной, аффинной, начертательной и дискретной геометрий; теории функций комплексных переменных и фракталов.

Основная отличительная особенность БН-исчисления в последовательности определения геометрической формы, от ее необходимой натуральной величины к ее проекциям, а не наоборот, как было раньше. Эта особенность объясняется тем, что чертежи при изложении точечного решения задачи, независимо от размерности, задаются не проекциями, а натуральной величиной. Такую возможность дает инвариантность параметра БН-исчисления относительно параллельного проецирования. Всё что происходит с точкой и ее перемещением, которое обеспечивает такой параметр, идентично в любом из взаимосвязанных симплексов (на всевозможных параллельных проекциях) включая симплекс прямой OE_i (ось декартовой системы координат). Это позволяет осуществлять переход от натуральной величины формы, к любой ее проекции включая ось – создает покоординатный переход от точечного алгоритма к вычислительному (компьютерному) алгоритму.

БН-исчисление состоит из специфических точечных формул с несколькими параметрами, отражающими различные геометрические операции, которые содержат заданные точки и функции от параметра. Имея геометрический алгоритм построения формы, для получения ее точечного, а с ним и вычислительного алгоритма, необходимо:

– для каждой графической операции зафиксировать ее точечный аналог из набора точечных формул и получить точечный алгоритм искомой геометрической формы;

– каждую формулу перезадать некоторым количеством n-покоординатных вычислительных формул путем подстановки вместо заданных точек их координат. Совокупность вычислительных формул задают искомый вычислительный алгоритм.

Некоторые соображения о сущности математического аппарата БН-исчисления

Необходимость рассмотрения геометрических объектов вне зависимости от размерности пространства с использованием наглядности приводит к созданию исчисления, основным элементом которого является точка. С помощью математических операций с точками и числами (параметрами) определяются более сложные n-мерные геометрические формы.

Геометрические формы – это определенным образом организованные множества точек, которые определяются точечными уравнениями или вычислительными алгоритмами. Компьютер оперирует числами и операциями с ними. Чтобы привлечь к моделированию геометрических форм компьютерные технологии, точку представляем элементом арифметического пространства – как совокупность чисел, которые называем параметрами или координатами точки. В качестве наглядной модели геометрического представления заданных точек арифметического пространства принимаем глобальную систему координат, предложенную Р. Декартом. В глобальной системе координат (первоначальной системе отсчета) выбираем необходимое число локальных систем, заданных симплексом точек геометрического алгоритма, в которых удобно работать, выбирая за основу аффинные вспомогательные подпространства.

Точка представляется системой ее проекций на оси глобальной или локальной системы координат, что позволяет получать параллельные проекции геометрической формы на подпространства и допускает покоординатный расчет геометрической формы.

При выходе в пространство размерности более трех вместо зрительной наглядности работает логическая наглядность, основанная на методах обобщения и аналогии. Фундаментальные результаты в форме вычислительных формул точечного исчисления, должны представляться в виде, допускающем обобщение на пространства более высоких размерностей.

Преимущества БН-исчисления как аппарата геометрического моделирования

Основным элементом БН-исчисления является точка, которая характеризуется несколькими параметрами. Количество параметров, которые определяют точку в пространстве, зависит от размерности этого пространства. Любая геометрическая форма является организованным множеством точек. Поэтому точечные уравнения, которые определяют геометрическую форму, справедливы для пространства любой размерности. Эта особенность БН-исчисления дает возможность представлять геометрические формы в многомерном пространстве (имеется в виду аффинное многомерное пространство).

Можно выделить следующие основные преимущества БН-исчисления, как аппарата геометрического моделирования:

1. Точечные уравнения геометрических форм инвариантны относительно размерности пространства глобальной системы координат. То есть в качестве параметров выбираются такие параметры, которые являются инвариантными относительно параллельного проецирования (например, простое отношение трех точек прямой). Поэтому точечные уравнения справедливы для пространства любой размерности.

2. Точечное исчисление позволяет работать в локальном симплексе, а результат получать в глобальном симплексе. Причем, переход от локального симплекса к глобальному осуществляется автоматически.

3. БН-исчисление позволяет использовать функционалы для определения геометрических форм. Например, с помощью функционалов  и  можно определить дугу кривой AD:

В данном случае дуга кривой AD определяется двумя свободными функциями f(v) и φ(v), которые определены при 0≤v≤1 в симплексе CAD. Причем, при v=0, имеем начало A дуги AD, а при v=1, имеем ее конец D.

4. В БН-исчислении каждой геометрической операции соответствует аналитическая операция. Таким образом, БН-исчисление позволяет представить любой геометрический алгоритм построения в аналитическом виде, или в виде точечного уравнения, или в виде вычислительного алгоритма, который, по сути, является упорядоченным множеством точечных уравнений. Поэтому в точечных уравнениях сохраняется наглядный геометрический смысл параметров, который известен из геометрического алгоритма построения. Эта особенность была потеряна для многих параметрических уравнений геометрических форм, которые были получены аналитически, без использования геометрического алгоритма построения.

5. Точечные уравнения, по своей сути, является символьной записью. Переходя к глобальной декартовой системе координат, точечные уравнения заменяются на систему однотипных параметрических уравнений, количество которых зависит от размерности пространства глобальной системы координат. Поэтому точечные уравнения и вычислительные алгоритмы на их основе легко программируются на ЭВМ. Кроме того точечные уравнения и вычислительные алгоритмы можно считать оптимизированными для распараллеливания потоков и использования многоядерных микропроцессоров, поскольку вычисление каждой отдельной проекции на координатную ось можно выполнять параллельно.

6. В БН-исчислении был разработан специальный метод подвижного симплекса [6], который позволяет конструировать геометрические формы любой сложности с наперед заданными свойствами. Использование метода подвижного симплекса позволяет установить зависимость между несколькими факторами, что, в свою очередь, позволяет моделировать многофакторные процессы и явления, учитывая не только независимые факторы, но и факторы, которые зависят один от другого.

Список литературы

1. Балюба, И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. … докт. техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. – Макеевка: МИСИ, 1995. – 227 с.
2. Конопацький, Є.В. Геометричне моделювання алгебраїчних кривих та їх використання при конструюванні поверхонь у точковому численні Балюби-Найдиша. Дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / Е.В. Конопацький. – Мелітополь, 2012. – 164 с.
3. Найдиш, В.М. Дискретна інтерполяція / В.М. Найдиш. – Мелітополь: Люкс, 2007. – 250 с.
4. Балюба, И.Г. Точечное исчисление: [учебное пособие] / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. – Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. – 236 с.
5. Малютина, Т.П. Интерпретация вычислительной геометрии плоских фигур в точечном исчислении: Дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / Т.П. Малютина. – Макеевка, 1998. – 227 с.
6. Давыденко, И.П. Конструирование поверхностей пространственных форм методом подвижного симплекса: Дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / И.П. Давыденко. – Макеевка, 2012. – 186 с.
7. Бездітний, А.О. Варіативне дискретне геометричне моделювання на основі геометричних співвідношень у точковому численні Балюби-Найдиша: Дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / А.О. Бездітний.  – Мелітополь, 2012. – 191 с.
8. Кучеренко, В.В.  Формалізовані геометричні моделі нерегулярної поверхні для гіперкількісної дискретної скінченої множини точок: Дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / В.В. Кучеренко. – Мелітополь, 2013. – 234 с.
9. Бумага, А.И. Геометрическое моделирование физико-механических свойств композиционных строительных материалов в БН-исчислении: дис. … канд. техн. наук.: 05.23.05 и 05.01.01. / А.И. Бумага. – Макеевка, 2016. – 164 с.
10. Крысько, А.А. Геометрическое и компьютерное моделирование эксплуатируемых конструкций тонкостенных оболочек инженерных сооружений с учётом несовершенств геометрической формы: дис. … канд. техн. наук.: 05.23.01 и 05.01.01. / А.А. Крысько. – Макеевка, 2016. – 191 с.

Кокарева Яна Андреевна (11 марта 2017 г. 12:54)	Евгений Викторович и все-все-все, спасибо за доклад. Надеюсь, нашим коллегам станет более ясна суть БН-исчисления. А возможно, кто-нибудь станет Вашим единомышленником в научных разработках. Желаю дальнейшего развития! P.S. Я надеюсь, будет еще хотя бы один доклад, где будут представлены примеры с рисунками, формулами, алгоритмами, позволяющие оценить преимущества создаваемого исчисления. P. P. S. Здорово, что в условиях войны всё же удалось выпустить учебное пособие [4]!
Конопацкий Евгений Викторович (11 марта 2017 г. 13:02)	Яна Андреевна, спасибо большое за комментарий! Да, с пособием было нелегко. Мы с Верещагой Виктором Михайловичем писали его по скайпу... Хотели выпустить ещё один вариант на украинском языке переработанный и дополненный, но пока не получается.
Селиверстов Александр Владиславович (11 марта 2017 г. 14:44)	Здравствуйте, Алла Ивановна, Евгений Викторович, Александра Анатольевна и Оксана Александровна! Преподаёте ли БН-исчисление для студентов? Возможно, это (будущий) спецкурс? Сколько часов? Ведь уже есть учебное пособие. Согласен с пожеланиями Яны Андреевны! С уважением, А.В. Селиверстов
Конопацкий Евгений Викторович (12 марта 2017 г. 0:46)	Здравствуйте, Александр Владиславович! Раньше в курсе начертательной геометрии у нас был раздел вычислительной геометрии, в рамках которого студентам давались азы БН-исчисления. Пособия тогда ещё не было. Было разработано несколько лекций и 2 методических указания для выполнения расчётно-графических работ. Студентам предлагалось решить одни и те же задачи графически методами начертательной геометрии и вычислительно с помощью БН-исчисления, а потом сравнить результат. Со временем в связи с притеснением графических дисциплин, пришлось нам этот раздел сократить. С момента образования Донецкой Народной Республики, у нас принципиально поменялось обучение в аспирантуре, аналогично РФ. В связи с этим я читаю два курса в аспирантуре по специальности 05.01.01 связанных непосредственно с БН-исчислением: Основы БН-исчисления - 72 часа (2 ЗЕ) и Геометрическое моделирование процессов и явлений - 72 часа (2 ЗЕ). Что касается учебного пособия, то оно не относится ни к конкретной дисциплине, ни к отдельному курсу. Оно предназначено для студентов, магистрантов, аспирантов, преподавателей и учёных любых инженерных специальностей. Т.е. для широкого круга исследователей не только в области прикладной геометрии, но и во всех смежных областях науки и техники. Параллельно профессор Верещага Виктор Михайлович (ещё один из учеников Найдыша В.М.) набрал в Старомихайловке группу школьников и обучает их основам БН-исчисления. Относительно преимуществ БН-исчисления, Яна Андреевна их уже просто забыла. Ведь она начинала писать свою кандидатскую диссертацию именно в БН-исчислении, правда тогда оно называлось точечным исчислением. И у нас был один научный руководитель - Полищук В.И. После его безвременного ухода из жизни, Яна Андреевна поменяла и руководителя, и направление научных исследований... 6 марта был опубликован доклад «Построение линий вероятного водотока на топографической поверхности в БН-исчислении», в котором содержатся и формулы и алгоритмы. А вообще во всех наших статьях присутствуют геометрические схемы конструирования геометрических объектов, точечные уравнения или вычислительные алгоритмы, а также графическая визуализация результатов конструирования, если она возможна. Эта едва ли не единственная обзорная статья, в которой хотелось немного познакомить коллег из Российской Федерации с историей создания и становления БН-исчисления, поэтому она и получила название «Введение в БН-исчисление». Планируются ещё доклады с конкретными примерами решения задач в БН-исчислении. С уважением, Конопацкий Е.В.
Кокарева Яна Андреевна (12 марта 2017 г. 1:02)	Маленькое уточнение. Яна Андреевна ничего не забыла. Недавно даже перебирала папочку "Неопубликованное" с гиперсферой и эвольвентами и эволютами в точечном исчислении (БН т.е.). Просто хочу, чтобы наши уважаемые коллеги еще лучше и нагляднее представили возможности этого аппарата, поэтому сказала выше о том, что неплохо было бы сделать еще доклад по этой теме. С уважением, Я.А.
Конопацкий Евгений Викторович (12 марта 2017 г. 3:29)	Яна Андреевна, давайте жить дружно! Если я вас чем-то обидел, искренне извиняюсь, но дело совсем не в папочке "Неопубликованное". Я говорю о том, что давно пора было конструктивно-параметрический метод, который вы развиваете, реализовать в БН-исчислении. Метод бы от этого только выиграл. Если хотите, можем сделать это совместными усилиями, но только уже на следующую конференцию. Кстати, эволютами и эвольвентами в БН-исчислении занимался ещё Бездетный А.А. с точки зрения его функциональных кривых. Возможно, он уже что-то опубликовал на эту тему. С уважением, Конопацкий Е.В.
Кокарева Яна Андреевна (12 марта 2017 г. 4:13)	Женя, что-то я упустила то ли мысль, то ли момент. Не знаю, где ты усмотрел в моих словах обиду. Уж с кем, с кем, а с вами только дружно. Я просто ратую за популяризацию исчисления. Да и вообще просто радуюсь успехам и победам моих бывших коллег по кафедре.  А от предложения не откажусь. Только закончу с другим нынешним интересом )
Конопацкий Евгений Викторович (13 марта 2017 г. 10:23)	Яна, спасибо большое за ответ. Мне просто показалось, что наш разговор уходит не ту в сторону, поэтому я, на всякий случай, извинился и предложил дружно проводить исследования. И ты уже не будешь в "научном" одиночестве, раскроешь новые возможности метода и нам расширение и популяризация БН-исчисления. В рамках популяризации БН-исчисления решил выложить пособие для всех заинтересовавшихся. Наверное поздно пришла мне эта мысль, но лучше поздно, чем никогда. https://drive.google.com/file/d/0B0yR_2yj5iUhWTduTkxfVjZtR0k/view?usp=sharing