ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРИВЫХ ОДНОГО ОТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ ПРОФИЛЯ КРЫЛА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В БН-ИСЧИСЛЕНИИ

В работе представлены теоретические основы конструирования замкнутых кривых третьего порядка как кривых одного отношения, которые предлагается использовать в качестве гипотетического профиля крыла летательного аппарата.

Введение

В инженерной практике встречается целый класс задач связанных построением обводов высших порядков гладкости (2 и более). Особенно эти задачи является актуальными там, где имеют место высокие скорости движения жидкости и газа. Существует огромное количество работ, посвящённых решению этой задачи, которые опираются на достаточно сложные алгоритмы, связанные с определением нужного количества производных в месте стыковки. Вместе с тем, можно эту задачу решить исключительно геометрически. Т.е. сводится к тому, чтобы сконструировать единую кривую, которая не только будет иметь необходимую форму, но и обладать необходимыми аэродинамическими характеристиками без необходимости проведения громоздких вычислений. Для этого достаточно заложить все необходимые свойства изначально при конструировании такой кривой. Так для обеспечения порядка гладкости единой кривой, достаточно заложить, чтобы на необходимом участке дуга кривой была непрерывной и дифференцируемой, а также имела непрерывные производные.

В диссертационной работе [1] были предложены геометрические алгоритмы конструирования дуг к3п в БН-исчислении (точечное исчисление Балюбы-Найдыша [2-4]), как кривых одного отношения, и исследованы в зависимости от направления движения текущих точек исходных дуг к2п. Некоторые из полученных дуг кривых имеют специфическую форму и, гипотетически, могут быть эффективно использованы для построения различного рода профилей крыльев летательных аппаратов, лопаток турбин, насосов, вентиляторов и других специализированных деталей машин и механизмов. Полученные в [1] замкнутые дуги к3п, описываются единым уравнением и являются непрерывными в пределах исследуемых значений параметров, а также имеют непрерывную производную не только первого, но и более высокого порядков. 

Построение дуги к2п

Из проективной геометрии известно, что кривая 2-го порядка (к2п) однозначно определяется 5 точками, 5 касательными или их комбинациями. Рассмотрим геометрическую схему конструирования дуги к2п (рис. 1), когда она определяется 3-мя точками (А, К и В) и 2-мя касательными (АС и ВС). Точка K определяется с помощью параметра k, который представляет собой отношение на медиане (в литературе больше известен как инженерный дискриминант).

Точечное уравнение дуги к2п в симплексе АВС имеет следующий вид:

При k=0,5 получаем дугу параболы, при 0<k<0,5 -дугу гиперболы, а при 0,5<k<1 – дугу эллипса.

Конструирование замкнутых дуг к3п

Кривая одного отношения 3-го порядка получается при согласовании двух дуг к2п с помощью одного и того же параметра в соответствии с геометрической схемой конструирования. Используя встречное направление движения текущих точек исходных дуг к2п, получим замкнутую дугу к3п.

Рассмотрим одну из геометрических схем конструирования дуги к3п, (рис. 2). Две дуги к2п определяются в одном и том же симплексе АВС и одним и тем же параметром u, но разным отношением на медиане. При этом текущие точки движутся по встречным направлениям: Q от А к В, а Р от В к А. Точечное уравнение такой дуги имеет следующий вид:

Рассмотрим другую геометрическую схему конструирования замкнутых дуг к3п (рис. 3). Аналогично геометрической схеме №1 (рис. 2) движение текущих точек осуществляется по встречным направлениям.

Точечное уравнение дуги к3п, геометрическая схема которой представлена на рисунке 3, имеет следующий вид:

В обоих точечных уравнениях параметры k_P и k_Q определяют вид исходных дуг к2п. Изменяя эти параметры в пределах от 0 до 1, получим различные вариации формы гипотетического профиля. Воспользуемся программным пакетом Maple для визуализации полученных результатов (табл. 1).

В таблице 1 приведены лишь некоторые возможные комбинации исходных дуг к2п, которые определяются параметрами k_P и k_Q. Как видно из таблицы 1, эти параметры определяют геометрическую форму профиля поверхности, а, следовательно, и её аэродинамические свойства.

Конструирование консольной поверхности типа крыла летательного аппарата

Далее рассмотрим геометрическую схему конструирования консольной поверхности типа крыла летательного аппарата (рис. 4).

Дополним симплекс ABCD до призмы ABCDB’C’. Определим точки B’ и C’ в симплексе ABCD используя правило параллелограмма БН-исчисления:

B’=B+D-A;   C’=C+D-A.

Для удобства моделирования поверхности, определим точки P и R одним и тем же параметром p на соответствующих прямых:

Точку Q определим как пересечение прямых PC’ и DR в локальном симплексе B’C’D с помощью S-теоремы БН-исчисления:

Далее переходим от локального симплекса B’C’D к глобальному симплексу ABCD простой заменой точек в соответствующих уравнениях. В итоге получим:

С учётом значений точек P и Q, определим переменный симплекс N_AN_BN_C системой линейных точечных уравнений. Движение точек переменного симплекса по соответствующим прямым (рис. 4) согласовано с помощью параметра v:

Теперь в переменном симплексе задаём профиль поверхности, используя одну из замкнутых дуг к3п, полученных выше. Т.о. получим отсек поверхности типа крыла летательного аппарата, который определяется четырьмя точками симплекса A, B, C, D и тремя параметрами формы. Два из них (k_P и k_Q) определяют геометрическую форму профиля сечения поверхности, а параметр p определяет, насколько уменьшится (или увеличится) размер симплекса B’C’D (рис. 4) по сравнению с параллельным ему симплексом ABC и, следовательно, насколько уменьшится (или увеличится) профиль сечения поверхности.

Воспользуемся программным пакетом Maple для визуализации полученного отсека поверхности (табл. 2). Для построения модели приняты следующие координаты точек симплекса: A(0;0;0), B(1;0;0), C(0,5;0;1) и D(0;50;0). Параметр формы p=0,4.

Выводы

В статье показана гипотетическая возможность использования замкнутых кривых одного отношения 3-го порядка в качестве профиля крыла летательного аппарата. К несомненным преимуществам предложенного подхода, является то, что необходимая форма достигается использованием единого уравнения, что обеспечивает необходимый порядок гладкости профиля поверхности, без использования громоздких вычислений, необходимых при стыковке дуг обвода. Полученная модель является теоретической основой для проведения аэродинамических испытаний предложенной конструкции методами компьютерного моделирования. Перспективой исследований является разработка технологии изготовления предложенной конструкции крыла летательного аппарата.

Список литературы

1. Конопацький Є.В. Геометричне моделювання алгебраїчних кривих та їх використання при конструюванні поверхонь у точковому численні Балюби-Найдиша. Дис. … канд. техн. наук: 05.01.01. / Е.В. Конопацький. – Мелітополь, 2012. – 163 с.

2. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. … докт. техн. наук: 05.01.01 / И.Г. Балюба. – Макеевка: МИСИ, 1995. – 227 с.

3. Найдыш В.М. Алгебра БН-исчисления / В.М. Найдыш, И.Г. Балюба В.М. Верещага / Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. – К.: КНУБА, 2012. – Вип. 90. – С. 210-215.

4. Балюба И.Г. Точечное исчисление: [учебное пособие] / И.Г. Балюба, В.М. Найдыш; под ред. В.М. Верещаги. – Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. – 236 с.

Конопацкий Евгений Викторович (18 марта 2017 г. 19:44)	Никак не могу найти общий язык с этой формой. Опять обнаружил опечатку. В статье: fP=kP и fQ=kQ. Очень извиняюсь за эти неточности.
Кокарева Яна Андреевна (18 марта 2017 г. 21:02)	Евгений Викторович, а не какие-нибудь не-геометрические расчеты не пробовали произвести? чтобы проверить аэродинамические свойства? И вопрос не по теме? как вообще добиться того, чтобы в доклад вставить формулы из .doc? Я.А.
Конопацкий Евгений Викторович (18 марта 2017 г. 22:44)	Яна Андреевна, не геометрические расчёты чтобы проверить аэродинамические свойства не делал, это всё остаётся на перспективу. Была идея проверить расчётом полученные таким образом лопатки турбин, но руки не дошли... Я вставил формулы как изображения. Но предварительно пришлось их сохранить в виде изображений, обрезать и т.д. Потом нужно закачать их на какой-нибудь файлообменник или в облако (мне больше всего приглянулся http://radikal.ru/), далее копируем ссылку и вставляем как изображение. Только опять возникает сложность с тем, что вставленные изображения меряются пикселями, поэтому трудно добиться одинакового размера, всё на глаз. Было бы неплохо добавить инструмент типа <iframe>, чтобы можно было сразу весь документ целиком загружать. С уважением, Конопацкий Е.В.
Кокарева Яна Андреевна (19 марта 2017 г. 1:19)	Жаль. Я вот тоже уже год хочу проверить некоторые полученные поверхности на гидравлические свойства. Даже смотрела, какие можно применять программы. Всё платное, и достаточно дорогое. Плюс там внутренний язык для создания геометрической модели. А в этом году еще учебно-методическое пособие писать... Но надеюсь, всё же выделю на это время.
Конопацкий Евгений Викторович (19 марта 2017 г. 10:48)	Андрей Бездетный проверял свои каналовые поверхности в пиратской версси Ansys (можно скачать например здесь https://rutracker.org/forum/tracker.php?f=1087&nm=ansys). Уравнения у него были точечные, которые сводятся к параметрическим. Раз он их каким то образом туда закладывал, значит и ты свои уравнения тоже сможешь использовать. Если есть желание, свяжись с ним. Может он скинет тебе свой файл проекта, а ты только поменяешь параметрические уравнения...
Кокарева Яна Андреевна (19 марта 2017 г. 13:38)	Да я тоже об Ansys думаю. Там есть специальное ПО для гидравлических расчетов. Наши на кафедре занимаются вибродиагностикой, расчеты ведут именно в Ansys. Пора изучать и мне.Может, и правда с Андреем Бездетным свяжусь. Кстати, я перезагрузила дополненный доклад о научных направлениях (http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/87/). Буду рада, если дополнишь. И фотографии добавляй, пожалуйста. Как говорится: кто, если не мы?