Назад Go Back

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МОНОПРОЕКЦИИ ШАРА, УСЕЧЕННОГО ПЛОСКОСТЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

English version
Фото Горнов Александр Олегович (Национальный исследовательский университет "МЭИ")


Аннотация

Рассматривается универсальный прием построения окружностей произвольного положения на шаре.



Ключевые слова: окружность, шар, нормаль, эллипс.

Широкая доступность средств КГ уже давно изменила прикладное значение тех или иных закономерностей и приемов построения и преобразования проекционных изображений в рамках технической графики, являющихся предметом НГ. Потребность в них сохранилось в рамках проектной графики для корректного построения “ручных” изображений эскизов и набросков, при оперативном графическом диалоге, исключения грубых ошибок при работе в САD. Кроме того, знания закономерностей проекционных процедур и изображений увеличивает "разрешающую способность" наблюдателя при оперативном анализе геометрической ситуации в окружающей обстановке. В частности тени, как проекционные фигуры, расширяют представление о предметной ситуации за счет дополнения информации об объектах и их элементах, в том числе не находящихся в прямой видимости. Думаю бесконечный спор о судьбе проекционных методов неконструктивен. Если в них совсем и нигде не будет потребности, то и говорить будет не о чем. Да и заставить применять проекционные процедуры там, где они нерациональны, вряд ли можно. И, попутно, относительно геометрии и начертательной геометрии. На мой взгляд последняя не является специфической геометрией, а есть один из методов отображения и преобразования геометрических характеристик объектов; тоже можно сказать, и уже говорилось [6], об аналитической геометрии.

В прошлом веке методы построения проекционных изображений, в частности аксонометрических и решения в их рамках ряда геометрических задач, имело самостоятельное значение для наглядной визуализации ТО. Поэтому этой проблеме была посвящена великолепная комплексная работа [1]. Что касается аналогии поставленной в статье задаче, в [1] в основном шла речь об изометрических проекциях окружностей как сечений шара, принадлежащих или параллельных основным плоскостям проекций; тоже можно найти и в известных учебниках [2,3] Помимо типовых приемов решения данной проекционно-графической задачи, но в расширенной постановке, описаны и другие [4,5].

Сформулируем далее подобную задачу еще несколько шире: о построении "аксонометрических" изображений окружностей, принадлежащих шару радиуса R0, как линий его сечения плоскостями произвольной ориентации.

Сначала кратко изложим предложенное в [4], на которое будем опираться в дальнейшем. Пусть хyz ортогональная тройка осей, в плоскости хy которой лежит окружность. Тогда ось z определяет нормаль Nz к этой плоскости, которая, наряду с началом координат, задает её положение при данном показателе искажения её проекции.

Ось x всегда можно совместить с диаметром окружности Dx=2R0 параллельным плоскости проекций, при этом показатель линейного искажения диаметра Dх будет равен единице (рис.1а.) Он проектируется без искажения, определяя величину и положение большой оси эллипса (а) и его проекция всегда перпендикулярна проекции нормали NZ к плоскости окружности и наоборот. Известное свойство суммы квадратов показателей искажения при ортогональном проецировании zyz: ∑J2xyz =2 позволяет определить показатель искажения диаметра DУ, перпендикулярного DХ, проекция которого есть малая ось эллипса b. При этом направление проекции нормали и проекция малой оси совпадают . Показатель искажения Jy определяет своей проекцией величину малой оси эллипса – проеции окружности DJy. Jy=√ 1-J2N. Эксцентриситет эллипса Е проекции окружности будет равен Е=DхJN. Вычисление Jу удобно графически с помощью прямоугольного треугольника. Этот же показатель искажения определяет проекции хорд h, параллельных данному диаметру, что позволяет построить проекции необходимого количества точек проекции окружности. А хорды, параллельные диаметру Dx, проектируются в натуральную величину.
Приложим эти соотношения к поставленной в начале задаче построения проекций окружностей как сечений шара плоскостями свободного положения. Пусть множество этих секущих плоскостей, в которых они лежат, определяют нормали, по модулю равные R0, для простоты исходящие из центра шара, а их соответствующие проекции есть N’1,2, ( Рис.1b). Положение конкретной плоскости определяет еще одна точка на данной нормали, отстоящая от центра на расстояние sR0 0≤s≤1. Величины s1,2 определяют радиусы окружностей R12, лежащей в этой плоскости.

В плоскости очерка проекции шара рис.1в заданы два направления проекции нормалей N1,2 секущих плоскостей. При этом JN1=JN2=0.64 и s1=0.5, а s2=0.7, т.е. первая секущая плоскость ближе к параллельной ей меридиональной плоскости, вторая дальше и ближе к поверхности шара. Определив диаметр окружности сечения при данном D шара параметрах и строим большую ось эллипса – a . Затем вычисляем или строим величину Jy малой оси .

Следует обратить внимание на положения проекции характерных точек касания очерка сферы и проекции окружности сечения. Они определяют переход линии проекции усеченного шара от его исходного очерка к проекции очерка усеченного. Положение этой точки определяется из следующих соображений. Через эту точку проходит линия пересечения p секущей плоскости и плоскости очерка шара, определение которой понятно из рисунка …Видно , что вторая секущая плоскость ( рис.1в) пересекает плоскость очерка вне его. Соответственно эллипс сечения не касается очерка сферы.

Полученные соотношения позволяют расширить классические задачи сечения сферических поверхностей в системе 2D проекций, где они практикуются, построением ассоциированной аксонометрии. При этом заметим, что распространенные в учебной практике приведенные аксонометрии изначально нерациональны, ибо искажают зрительные пропорции между 2D cистемой изображений объекта и аксонометрическим. Пусть задана фронтальная проекция трижды усеченного шара рис. 2а. Обозначим нормали к секущим плоскостям N1,2,3 . Построим, например изометрии этих нормалей N’123 и определим показатели линейного искажения JN123. Далее построения соответствуют изложенным выше.

Этот прием позволяет проиллюстрировать и проинтегрировать закономерности ортогональной проекции прямоугольной проекции тройки ортогональных векторов и прямого угла, основных характеристик эллипса. ….. Иллюстрации выполнены вручную, избегая соблазна воспользоваться соответствующей опцией САD.

Список литературы

  1. Глазунов Е.А. Аксонометрия / Е.А. Глазунов, Н.Ф. Четверухин. ГИТЛ, Москва, 1953. 293с.
  2. Фролов С.А. Начертательная геометрия / Учебник для втузов . – Машиностроение , 1978. – 240с.
  3. Климухин А.Г. Начертательная геометрия/ Учебник для вузов . М.: Стройиздат . 1973.- 368с.
  4. Горнов А.О. Ортогональная проекция окружности, лежащей в плоскости общего положения / А.О. Горнов. – Труды международной научно- технической конференции, Москва, МЭИ .2004 г. с. 67-70.
  5. Андреев-Твердов А.И. / Построение аксонометрических проекций окружностей / А.И. Андреев-Твердов, Хуснетдинов Т.Р. /Журнал Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук N 3 Март 2017 г. С. 41-45.
  6. Горнов А.О., Лепаров М.Н. Системные противоречия и предпосылки инженерной геометрии в образовательном аспекте.  http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/91/

Рисунки к докладу

Рис. 1
Рис. 1 К построению сечений шара: а) базовые построения; б) аксонометрия шара, произвольно усеченного двумя плоскостями


Рис. 2
Рис. 2 Аксонометрия шара по исходной фронтальной проекции: а) исходная фронтальная проекция; б) ассоциативная аксонометрия при фактических показателях искажения


Вопросы и комментарии к выступлению:


Фото
Сальков Николай Андреевич
(9 марта 2019 г. 19:32)

Александр Олегович, ну что тут сказать, красивая работа.

С уважением, Н. Сальков

Фото
Горнов Александр Олегович
(9 марта 2019 г. 21:20)

Спасибо , Николай Андреевич.! Буду рад , если Вам пригодиться . А,О. 

Фото
Шацилло Людмила Анатольевна
(9 марта 2019 г. 21:36)

И заметьте, Николай Андреевич, от руки нарисовано!  Такие вот специалисты!

Фото
Сальков Николай Андреевич
(9 марта 2019 г. 22:05)

Людмила Анатольевна, я вижу!!! Мои студенты-архитекторы вместо эллипса рисуют бочковой огурец, хотя у них есть такой предмет как рисунок, и такой как живопись. Никак с ними не справиться, хотя, когда я при выдаче задания предупреждаю их об огурце - смеются, не верят, что у них тоже так получится.

Фото
Хейфец Александр Львович
(9 марта 2019 г. 22:37)

Николай Андреевич, сформулируйте, пожалуйста, чем бочковой огурец в соответсвующей проекции и при идеализации его формы, по Вашему, отличается от эллипса. По научному, по каким критериям.

Очень интересно.

С уважением. А.Л. Хейфец.

Фото
Полубинская Людмила Георгиевна
(11 марта 2019 г. 16:14)

Здравствуйте, уважаемый Александр Олегович!

Спасибо и за статью, и за позицию в признании роли знания закономерностей проекционных процедур в процессе построения изображений.

К сожалению, Вы сами знаете, сегодня геометрическая подготовка студентов такова, что объясняя тему со сферой приходится, и не единожды, «включать» пространственное мышление с помощью ассоциаций - глобус, земной шар с параллелями, меридианами и экватором; арбуз с положением ножа и формой куска.  Однажды моя коллега на вопрос о форме куска арбуза получила ответ – треугольник! В таких ситуациях я каждый раз вспоминаю А.Л.Хейфеца – не нужно тратить время и силы на тех, кто не способен это понять! Предварительный отбор и отсев – вот, что изменит ситуацию с  квалификацией выпускников нашей кафедры. Да и на квалификации преподавателей это скажется положительным образом! Но - «подушевое финансирование». Простите, ведь это совсем другая тема. (Начала почти с шутки, а кончила "за упокой")

Об иллюстрациях - а почему не AutoCAD 2D?

С неизменным уважением, Л.Г.Полубинская

 

Фото
Горнов Александр Олегович
(11 марта 2019 г. 16:42)

 

   Здравствуйте Людмила  Георгиевна!  Честно, не думал, что  маленькая статья о маленькой процедурной находке вызовет Ваш интерес. Надеюсь Вы не подумали (хотя  дали основание так считать), что моя позиция о необходимости знания проекционных процедур результат постоянных дискуссий на эту тему. ( см. мои  статьи хотя бы в рамках КГП ). В конце статьи указано ( см.) – рисунки намерено выполнены вручную, чтобы избежать соблазна использовать соответствующие опции САD . А это дизавуировало бы, на мой вгляд,  написанное выше .  С уважением, А.О.



Назад Go Back