ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МОНОПРОЕКЦИИ ШАРА, УСЕЧЕННОГО ПЛОСКОСТЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

Рассматривается универсальный прием построения окружностей произвольного положения на шаре.

Широкая доступность средств КГ уже давно изменила прикладное значение тех или иных закономерностей и приемов построения и преобразования проекционных изображений в рамках технической графики, являющихся предметом НГ. Потребность в них сохранилось в рамках проектной графики для корректного построения “ручных” изображений эскизов и набросков, при оперативном графическом диалоге, исключения грубых ошибок при работе в САD. Кроме того, знания закономерностей проекционных процедур и изображений увеличивает "разрешающую способность" наблюдателя при оперативном анализе геометрической ситуации в окружающей обстановке. В частности тени, как проекционные фигуры, расширяют представление о предметной ситуации за счет дополнения информации об объектах и их элементах, в том числе не находящихся в прямой видимости. Думаю бесконечный спор о судьбе проекционных методов неконструктивен. Если в них совсем и нигде не будет потребности, то и говорить будет не о чем. Да и заставить применять проекционные процедуры там, где они нерациональны, вряд ли можно. И, попутно, относительно геометрии и начертательной геометрии. На мой взгляд последняя не является специфической геометрией, а есть один из методов отображения и преобразования геометрических характеристик объектов; тоже можно сказать, и уже говорилось [6], об аналитической геометрии.

В прошлом веке методы построения проекционных изображений, в частности аксонометрических и решения в их рамках ряда геометрических задач, имело самостоятельное значение для наглядной визуализации ТО. Поэтому этой проблеме была посвящена великолепная комплексная работа [1]. Что касается аналогии поставленной в статье задаче, в [1] в основном шла речь об изометрических проекциях окружностей как сечений шара, принадлежащих или параллельных основным плоскостям проекций; тоже можно найти и в известных учебниках [2,3] Помимо типовых приемов решения данной проекционно-графической задачи, но в расширенной постановке, описаны и другие [4,5].

Сформулируем далее подобную задачу еще несколько шире: о построении "аксонометрических" изображений окружностей, принадлежащих шару радиуса R₀, как линий его сечения плоскостями произвольной ориентации.

Сначала кратко изложим предложенное в [4], на которое будем опираться в дальнейшем. Пусть хyz ортогональная тройка осей, в плоскости хy которой лежит окружность. Тогда ось z определяет нормаль N_z к этой плоскости, которая, наряду с началом координат, задает её положение при данном показателе искажения её проекции.

Ось x всегда можно совместить с диаметром окружности D_x=2R₀ параллельным плоскости проекций, при этом показатель линейного искажения диаметра D_х будет равен единице (рис.1а.) Он проектируется без искажения, определяя величину и положение большой оси эллипса (а) и его проекция всегда перпендикулярна проекции нормали N_Z к плоскости окружности и наоборот. Известное свойство суммы квадратов показателей искажения при ортогональном проецировании zyz: ∑J²_xyz =2 позволяет определить показатель искажения диаметра D_У, перпендикулярного D_Х, проекция которого есть малая ось эллипса b. При этом направление проекции нормали и проекция малой оси совпадают . Показатель искажения J_y определяет своей проекцией величину малой оси эллипса – проеции окружности DJ_y. J_y=√ 1-J²_N. Эксцентриситет эллипса Е проекции окружности будет равен Е=D_хJ_N. Вычисление J_у удобно графически с помощью прямоугольного треугольника. Этот же показатель искажения определяет проекции хорд h, параллельных данному диаметру, что позволяет построить проекции необходимого количества точек проекции окружности. А хорды, параллельные диаметру D_x, проектируются в натуральную величину.
Приложим эти соотношения к поставленной в начале задаче построения проекций окружностей как сечений шара плоскостями свободного положения. Пусть множество этих секущих плоскостей, в которых они лежат, определяют нормали, по модулю равные R_0, для простоты исходящие из центра шара, а их соответствующие проекции есть N’_1,2, ( Рис.1b). Положение конкретной плоскости определяет еще одна точка на данной нормали, отстоящая от центра на расстояние sR₀ 0≤s≤1. Величины s_1,2 определяют радиусы окружностей R₁₂, лежащей в этой плоскости.

В плоскости очерка проекции шара рис.1в заданы два направления проекции нормалей N_1,2 секущих плоскостей. При этом J_N1=J_N2=0.64 и s1=0.5, а s2=0.7, т.е. первая секущая плоскость ближе к параллельной ей меридиональной плоскости, вторая дальше и ближе к поверхности шара. Определив диаметр окружности сечения при данном D шара параметрах и строим большую ось эллипса – a . Затем вычисляем или строим величину J_y малой оси .

Следует обратить внимание на положения проекции характерных точек касания очерка сферы и проекции окружности сечения. Они определяют переход линии проекции усеченного шара от его исходного очерка к проекции очерка усеченного. Положение этой точки определяется из следующих соображений. Через эту точку проходит линия пересечения p секущей плоскости и плоскости очерка шара, определение которой понятно из рисунка …Видно , что вторая секущая плоскость ( рис.1в) пересекает плоскость очерка вне его. Соответственно эллипс сечения не касается очерка сферы.

Полученные соотношения позволяют расширить классические задачи сечения сферических поверхностей в системе 2D проекций, где они практикуются, построением ассоциированной аксонометрии. При этом заметим, что распространенные в учебной практике приведенные аксонометрии изначально нерациональны, ибо искажают зрительные пропорции между 2D cистемой изображений объекта и аксонометрическим. Пусть задана фронтальная проекция трижды усеченного шара рис. 2а. Обозначим нормали к секущим плоскостям N_{1,2,3 .} Построим, например изометрии этих нормалей N’₁₂₃ и определим показатели линейного искажения J_N123. Далее построения соответствуют изложенным выше.

Этот прием позволяет проиллюстрировать и проинтегрировать закономерности ортогональной проекции прямоугольной проекции тройки ортогональных векторов и прямого угла, основных характеристик эллипса. ….. Иллюстрации выполнены вручную, избегая соблазна воспользоваться соответствующей опцией САD.

Список литературы

1. Глазунов Е.А. Аксонометрия / Е.А. Глазунов, Н.Ф. Четверухин. ГИТЛ, Москва, 1953. 293с.
2. Фролов С.А. Начертательная геометрия / Учебник для втузов . – Машиностроение , 1978. – 240с.
3. Климухин А.Г. Начертательная геометрия/ Учебник для вузов . М.: Стройиздат . 1973.- 368с.
4. Горнов А.О. Ортогональная проекция окружности, лежащей в плоскости общего положения / А.О. Горнов. – Труды международной научно- технической конференции, Москва, МЭИ .2004 г. с. 67-70.
5. Андреев-Твердов А.И. / Построение аксонометрических проекций окружностей / А.И. Андреев-Твердов, Хуснетдинов Т.Р. /Журнал Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук N 3 Март 2017 г. С. 41-45.
6. Горнов А.О., Лепаров М.Н. Системные противоречия и предпосылки инженерной геометрии в образовательном аспекте.  http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/91/

Рисунки к докладу

Сальков Николай Андреевич (9 марта 2019 г. 19:32)	Александр Олегович, ну что тут сказать, красивая работа. С уважением, Н. Сальков
Горнов Александр Олегович (9 марта 2019 г. 21:20)	Спасибо , Николай Андреевич.! Буду рад , если Вам пригодиться . А,О.
Шацилло Людмила Анатольевна (9 марта 2019 г. 21:36)	И заметьте, Николай Андреевич, от руки нарисовано!  Такие вот специалисты!
Сальков Николай Андреевич (9 марта 2019 г. 22:05)	Людмила Анатольевна, я вижу!!! Мои студенты-архитекторы вместо эллипса рисуют бочковой огурец, хотя у них есть такой предмет как рисунок, и такой как живопись. Никак с ними не справиться, хотя, когда я при выдаче задания предупреждаю их об огурце - смеются, не верят, что у них тоже так получится.
Хейфец Александр Львович (9 марта 2019 г. 22:37)	Николай Андреевич, сформулируйте, пожалуйста, чем бочковой огурец в соответсвующей проекции и при идеализации его формы, по Вашему, отличается от эллипса. По научному, по каким критериям. Очень интересно. С уважением. А.Л. Хейфец.
Полубинская Людмила Георгиевна (11 марта 2019 г. 16:14)	Здравствуйте, уважаемый Александр Олегович! Спасибо и за статью, и за позицию в признании роли знания закономерностей проекционных процедур в процессе построения изображений. К сожалению, Вы сами знаете, сегодня геометрическая подготовка студентов такова, что объясняя тему со сферой приходится, и не единожды, «включать» пространственное мышление с помощью ассоциаций - глобус, земной шар с параллелями, меридианами и экватором; арбуз с положением ножа и формой куска.  Однажды моя коллега на вопрос о форме куска арбуза получила ответ – треугольник! В таких ситуациях я каждый раз вспоминаю А.Л.Хейфеца – не нужно тратить время и силы на тех, кто не способен это понять! Предварительный отбор и отсев – вот, что изменит ситуацию с  квалификацией выпускников нашей кафедры. Да и на квалификации преподавателей это скажется положительным образом! Но - «подушевое финансирование». Простите, ведь это совсем другая тема. (Начала почти с шутки, а кончила "за упокой") Об иллюстрациях - а почему не AutoCAD 2D? С неизменным уважением, Л.Г.Полубинская
Горнов Александр Олегович (11 марта 2019 г. 16:42)	Здравствуйте Людмила  Георгиевна!  Честно, не думал, что  маленькая статья о маленькой процедурной находке вызовет Ваш интерес. Надеюсь Вы не подумали (хотя  дали основание так считать), что моя позиция о необходимости знания проекционных процедур результат постоянных дискуссий на эту тему. ( см. мои  статьи хотя бы в рамках КГП ). В конце статьи указано ( см.) – рисунки намерено выполнены вручную, чтобы избежать соблазна использовать соответствующие опции САD . А это дизавуировало бы, на мой вгляд,  написанное выше .  С уважением, А.О.