НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ФРАКТАЛЬНОСТИ СТРУКТУР

Рассмотрены некоторые общие свойства фрактальных структур как геометрического, так и негеометрического характера. Выявлены общие закономерности, присущие природным явлениям и объектам.

Под фракталом (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) принято понимать— множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей) (см. Википедия). Фрактальных структур существует бесконечное множество. В теории фракталов, обычно говорят о "фрактальном множестве"... Строго говоря, фрактальное множество неоднородно, хотя и есть у всех фракталов общее - это рекурсивная процедура их генерации. Есть два типа фракталов, т.н. инвариантные, у которых геометрические свойства инвариантны относительно масштабных преобразований ("Кохо-подобные" фракталы, дерево Пифагора и т.п.), и ковариантные, с "нежестким" подобием (множество Мандельбродта, Жюлиа и т.д.), или, как о них сказал бы Тимофеев-Ресовский - ковариантно-редуплицированные. Второй тип наиболее интересен тем, что на разных уровнях масштабов фрагменты фрактала, строго говоря, не переводятся друг в друга. Эти фракталы наиболее близки к тому, что мы наблюдаем вокруг нас. Например: крона дерева, русло рек со всеми притоками, кровеносная система живых организмов и пр. Действительно, во всех трех случаях эти фрагменты друг в друга не "переводятся", но во всех случаях есть нечто фундаментально общее. Говоря о фрактальности окружающей нас реальности, уместно вспомнить Лейбница, который ввел понятие тел "складчатых". У фрактальных структур нет ни начала, ни конца, в этом их особенность. Для удобства оперирования этими структурами Бенуа Мандельбродт ввел понятие "затравки" фрактала, начиная с которой его можно рекурсивно раскручивать в любом направлении. Американский математик Люис Кауффман предложил на наш взгляд более точный термин - "фиксированная точка".

Противоположность фракталу хорошо известна - это строго "линейные" структуры с четкими границами, и с вполне определенной размерностью. Например, в геометрии это простые линии, плоские и объемные фигуры, хотя в природе идеальных версий этих фигур никто никогда не встречал. Эти структуры, в противоположность фрактальным, вполне укладываются в эвклидианские понятия пространства и времени. В противоположность им с точки зрения фрактальных структур Эвклидовы взгляды на пространство бессмысленны. Нельзя сказать, что фрактал "вложен" в некое пространство. Фрактал сам себе и "пространство" и, кстати, "время" тоже.

Последнее утверждение попробуем пояснить на примере фрактала Коха, как одного из самых известных. Рассмотрим любую из фиксированных точек этого фрактала, т.е. - ломаных. С этим геометрическим объектом можно связать одномерную ось координат. Она будет тоже ломаной, но это неважно, важно, что каждая из бесконечного количества точек этой ломаной имеет свою уникальную координату на взятой оси. Назовем это - "пространством", в котором каждая точка отличается от ей подобной величиной координаты. Это пространство - одномерно! Однако, если рассмотреть другую фиксированную точку этого же фрактала - там будет тоже одномерное пространство, но уже другое, абсолютно никак не связанное с уже рассмотренным. То есть, "обитатель" одного пространства фрактала Коха не имеет никаких средств убедиться в существовании других одномерных пространств в том же фрактале. Получается, что даже в таком простом фрактале бесконечное множество никак не связанных между собой одномерных пространств, и само собой, с каждым "пространством" связано свое "время". Чтобы показать это вернемся к выбранному первоначально одномерному пространству и допустим, что одному из бесконечного множества его точечных обитателей вздумалось переместиться из одного положения в пространстве в другое, с другой координатой. Важно, что "мгновенно" он это сделать не может. Его перемещение должно начаться с "обмена" координатами с соседом - тоже бесконечно малым объектом. В этом выражается "принцип близкодействия". Это происходит с "задержкой", которую назовем "квантом времени". Многократное повторение этих задержек приводит к тому, что из одного положения в одномерном пространстве объект перемещается в другое за определенное число таких задержек, что будет восприниматься как ВРЕМЯ. Это время связано только с данным одномерным пространством данной "фиксированной точки". В другом одномерном пространстве того же самого фрактала будет существовать абсолютно другое время. Становится ясно, что разделять пространство и время совершенно бессмысленно, точно так же, как и вопрос о том, что появилось раньше даже ставиться не может.

Интересно, что фрактальным закономерностям подвержены не только структуры, которые могут быть представлены в виде зрительных образов. Интересно поведение соотношение, известного как "золотое сечение" (1+sqrt(5))/2 = 1.618...(ЗС) Это поведение проанализировано Льюисом Кауффманом в статье "On the Cybernetics of Fixed Points". Если мы рассмотрим рекурсивное представление этого соотношения, как бесконечной дроби, то можно получить цепочку приближенных значений ЗС

 1 = 1/1

 1+1/1 = 2/1 = 2

 1+1/(1+1/1) = 3/2

 1+1/(1+1/(1+1/1)) = 5/3

 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1))) = 8/5

 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1)))) = 13/8

 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1))))) = 21/13

 ...............................................................................

Эта последовательность сходится к точному значению при увеличении числа рекурсий. Нетрудно видеть, что каждое приближение является "фиксированной" точкой некоего фрактального представления, которое не является геометрическим. Еще раз констатируем, что фрактал необязательно должен представлять собой геометрическую структуру. Кроме того, появляется осмысленность понятия ЗС, как выразителя гармонии. Во Вселенной, которую можно трактовать как Мировой Фрактал (МФ), принципу ЗС подчиняется практически любая структура или система. А поскольку МФ обязан существовать стабильно, то принцип ЗС может является математическим представлением этой стабильности. Напрашивается интуитивный вывод, что стабильно - то обязано подчиняться гармонии.

С теорией фракталов тесным образом связано современное учение о Хаосе. Согласно последнему все системы мироздания делятся на динамически устойчивые и динамически неустойчивые. Первые обладают тем свойством, что на малые изменения входных параметров реагируют своим же малым изменением. Вторые ведут себя иначе, на малые изменения входных параметров следуют большие, иногда непредсказуемые изменения самой системы. Все понятие Хаос связывают с поведением именно систем второго типа. Любая система, являющаяся динамически устойчивой, при определенных условиях может перейти в неустойчивое состояние. Например, тонкая длинная металлическая линейка, сжимаемая вдоль своей оси, до определенного момента успешно сопротивляется этому сжатию благодаря силам упругости. То есть, ведет себя подобно шарику на дне глубокой чашки. Однако, в определенный момент наступает т.н. потеря устойчивости линейки при достижении силы сжатия критической величины. После этого линейка становится динамически неустойчивой системой, а ее форма может измениться непредсказуемо. Тот же самый шарик можно вывести из состояния устойчивого равновесия, толкнув его так, что он вылетит из чашки. Следовательно, состояние устойчивого равновесия систем МФ является необходимым условием его стабильности. Динамически же неустойчивые состояния возникают постоянно и везде, однако такие системы долго не живут и рано или поздно их динамически устойчивое состояние все равно будет достигнуто. При этом системы конечно же меняются, порой довольно сильно.

Какой отсюда вывод, ЗС безусловно описывает динамически устойчивое состояние систем. То, что ему не подчиняется - является динамически неустойчивым. Если у человека все его тело пропорционально, то здесь действует правило ЗС. Если правило ЗС не действует, то индивидуум как система динамически неустойчив. Малые отклонения в его ДНК могут привести к большим отклонениям в соотношениях частей его тела. Например, огромные уши на маленькой с кулачок голове, ну и т.д. Это мы называем отклонениями от нормы. Поэтому, "динамическая устойчивость" в данном случае напрямую связана с ЗС.

Имеется еще одна интересная сторона рассматриваемого вопроса. Отождествляя фрактал с природными системами можно сформулировать принцип неопределенности, подобный квантово-механическому. Действительно, если мы будем измерять длину какого-либо побережья как линии, то как бы мы ее не измеряли, она останется неизменной. Если же мы ее будем измерять как длину фрактальной структуры, то результат будет кардинально зависеть от способа измерения. Это классический пример Мандельбродта относительно длины побережья Британии. То есть, если определена линейная структура, то фрактальная является неопределенной, и наоборот. Совсем как в квантовой механике координата элементарной частицы и ее импульс.

В принципе, любая социальная общность построена так же. На уровне семьи, на уровне племени, деревни, на уровне города и пр., на уровне государства, на уровне всего человечества. Здесь явным образом прослеживается фрактальность. С биологической точки зрения человек мало отличается от животного. Более того, говорят, что организм, например, свиньи наиболее близок человеческому, вплоть до взаимозаменяемости органов. Обидно конечно, но похоже на правду. Продолжая цепочку рассуждений и аналогий, можно говорить об "организмах" с более высокой степенью организации. Например, об "организме" типа планеты Земля. Отметим для начала, что отношение размеров одноклеточного организма и размеров человеческого тела составляют примерно в 10^-8. То есть, "наблюдатель" таких размеров, как одноклеточный организм ни при каких обстоятельствах не в состоянии "охватить наблюдением" весь человеческий организм в целом. Для него человеческий организм представляется гигантским скопищем существ, объектов и процессов, некоторые из которых он будет воспринимать "живыми", а некоторые, например, кости, - "неживыми". О существовании же сознания этой сущности он уж никак не может догадаться. Даже если он и будет об этом подозревать, то это сознание (наше сознание) будет ему совершенно непостижимым. Что самое интересное, отношение размеров человеческого тела к размерам Земного шара составляет те же самые 10^-8. Совершенно очевидно, что мы не в состоянии воспринять нашу Землю в роли единого организма, а воспринимаем только отдельные явления, которые называем геологическими, биосферными и прочими? Не может ли это означать, что наша Земля обладает своим собственным сознанием, которое мы может быть и сможем когда-нибудь "зарегистрировать", но уж постичь никак не в состоянии. С точки зрения "фрактальной логики" здесь нет никакого противоречия.

Великолепный образчик "фиксированной точки" продемонстрирован в английском стишке "Дом, который построил Джек", известным в России в переводе Маршака. Здесь присутствует типичная рекурсия, но гораздо более сложного порядка. Все начинается с синицы, которая часто ворует пшеницу, ну что дальше, наверное, все знают, все приводить не будем. Далее рекурсия может раскручиваться до бесконечности в любом направлении, из нее в стишке выхвачен только фрагмент. Однако, во всех циклах рекурсии присутствует общее - взаимное отношение субъектов и объектов. Более того, каждый цикл этой рекурсии в самом главном подобен всем другим, что позволяет использовать аналогии и обобщения. На основе этого можно, например, узнать, как у Джека появляются дети, изучая взаимоотношения коровы безрогой со своим супругом-быком. "Фиксированной же точкой" (ФТ) этого фрактала, в данном стишке, является "дом, который построил Джек" как предмет, который мы воспринимаем. Точно так же этими ФТ могут быть любые персонажи и предметы, этого фрактала, например «Джек, который построил дом».

Конечно можно говорить о более сложном или более простом в структуре любого фрактала, только вот границы этого во фрактале размыты и условны. Это не тело, или совокупность тел, заданных в пространстве. Описание фракталов не производится описанием и отождествлением границ тел. Поэтому и понятие "затравка" или "фиксированная точка", связанное с выделением некоего "элементарного", весьма условно. Хаос не противопоставляется фракталу, а является его неотъемлемым атрибутом. В динамическом фрактале присутствуют и динамически устойчивые структуры, и динамически неустойчивые (хаотические). Они друг в друга переходят таким образом, чтобы обеспечить стабильность (устойчивость) всей фрактальной структуры в целом (интегрально). Хаос понимается не в смысле "полный бардак" во всем, а как состояние и поведение динамически неустойчивых систем. естественно, тут целая область, использующая нелинейные системы дифференциальных уравнений разной конфигурации. Например, в гидродинамике нелинейные уравнения турбулентных и срывных потоков. В подавляющем большинстве случаев такие уравнения не имеют точных аналитических решений.

Как принцип "неопределенности" можно отследить в примере числовых рекурсий ЗС, приведенном выше. Все фиксированные точки золотого сечения представляют собой соотношения равенства, где в левой части содержатся рекурсивные выражения, а в правой - приближенные значения ЗС. Если мы ограничиваемся конечным числом рекурсий, что соответствует "определенности", то правая часть является приближенной, то есть "неопределенной". Неопределенной в том смысле, что точное значений ЗС не достигнуто. Если же мы попытаемся внести "определенность" в правую часть выражения (вычислить точное значение ЗС), то в левой количество рекурсий устремится в бесконечность. То есть "неопределенность" при этом вылезает уже в левой части. И по-другому здесь никак не получается.

Измерять длину фрактальной структуры - неблагодарное занятие. Это можно пояснить на следующем примере. Представим, что пятерым разным людям поручили определить размеры одного и того же дерева. Если рассматривать дерево как "тело-предмет", то ни у кого из этих пятерых никаких вопросов возникнуть не должно. Все сразу измерят высоту дерева, диаметр кроны, ну для порядка снимут еще пару-тройку размеров, и все. Результаты возможно несколько разойдутся, но не принципиально, только в пределах погрешности измерений. Ситуация радикально изменится, если кому-то из них в голову придет задаться вопросом, а что значит - измерить дерево. Это, простите, как? Да и что мерить? Ведь дерево далеко не занимает весь тот объем, который охватывает его габариты, имея при этом сложнейшую форму. Если они еще начнут измерять суммарную длину ствола дерева со всеми его ветвями и сучками, то результат, получаемый всеми пятерыми будет различным настолько, что возникнет вопрос, а один и тот же объект они измеряли, или разные. Или может нужно измерять площадь поверхности, занимаемой корой? Но эта задача еще сложнее и неопределенней, так как опять же все зависит от эталона измерения, ведь кора большинства деревьев сильно неровная и "складчатая". То же самое относится и к измеряемому объему. Да и габаритные размеры дерева далеко неоднозначны, так как неоднозначна и зыбка сама форма этого объекта. Вот что подразумевается под измерением фрактальных структур. Ясно одно, что наш обыденный опыт, касающийся измерения "тел-предметов", заданных в евклидовом пространстве, в этом занятии помощник очень плохой. Что значит - измерить дерево? Здесь речь идет о том, какой набор геометрических параметров данного конкретного дерева нужно определить, чтобы это дерево, как объект, можно было однозначно отличить от любого другого, подобного ему объекта. Ведь именно так ставится задача измерений объектов в классической геометрии. Очевидно, что с этим в данном случае огромные проблемы. А ведь все мы с раннего детства любое дерево легко можем отличить от другого.

В итоге можно констатировать, что в природе все процессы и все структуры подчинены всеобщему закону самоподобия на всех уровнях. Как можно легко заметить, этот вывод является четким доказательством правомерности использования в познании мира методами аналогий и моделирования любого типа, которыми наука всегда пользовалась практически интуитивно. Нужно только правильно эти аналогии выстроить, и правильно создать модели изучаемого явления, объекта и пр.

Хейфец Александр Львович (20 марта 2019 г. 20:51)	Евгений Владимирович, Ваш доклад проходит на конференции как научный, сделанный доктором наук. Но ни цели работы, ни научной новизны, ни выводов, ни литературы, ни иллюстраций. Одна википедия. Наверное, Сергей Игоревич все-таки настоял, чтобы хотя бы один из его пяти докторов отметился на нашей конференции. По поводу Вашей реплики "Надоело...". Что надоело - основная полемика нашей конференции о направлении развития ГГП.  Вы прочли многочисленные доклады, в которых пересметривается содержание курса, который на сегодня называется НГ? И в связи с "надоело". Если не секрет, какие предметы Вы ведете. У Сергея Игоревича сплошные секреты. А у Вас. С уважением. А.Л. Хейфец.
Селиверстов Александр Владиславович (21 марта 2019 г. 20:20)	По рекомендации Дмитрия Евгеньевича (от 21 марта 2019 г. 18:31) посмотрел эту публикацию, но нашёл лишь пустое наукообразие, даже не связанное с тематикой конференции. Отмечу лишь одно. По теореме Лагранжа, бесконечной периодической цепной дробью представимо не только золотое сечение, но и любое иррациональное решение квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Делать на этой основе выводы из области космологии и генетики столь же полезно, как заниматься астрологией. Особенно полезно, если за это дают гранты, не так ли? Зато уверен, что сие рассуждение о фракталах никак не "навязывается производственниками", на которых автор жалуется в своём комментарии от 20 марта 2019 г. 22:18. С изумлением, А.В. Селиверстов
Тихонов-Бугров Дмитрий Евгеньевич (21 марта 2019 г. 20:34)	Александр Владиславович, я рекомендовал это 1. Popov, E.V. On Some Variation Formulations for Minimum Surface. //The Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, vol.20, # 4, 1996. P. 197205. О некоторых вариационных формулировках для минимальных поверхностей. // Труды Канадского общества инженеров-механиков, том 20, №4,1996. С.197-205 2. Popov, E.V. Cutting pattern generation for tent type structures. //The Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, vol. 22, # 4, 1999. P.253-261. Генерация карт раскроя для конструкций тентового типа. // Труды Канадского общества инженеров-механиков, том 22, №4, 1999. С.253-261 3. Popov, E.V. Cutting pattern generation for tent type structures represented by minimum surfaces. //Shipbuilding Electronic Magazine, International Shipbuilding Expert Society, The Netherlands, # 2, 2000.
Столбова Ирина Дмитриевна (21 марта 2019 г. 21:02)	Уважаемые участники конференции! Переход на личности - это неэтично! Давайте в положительном деловом русле закончим конференцию в установленные сроки. С уважением ко всем, И.Д.Столбова
Сальков Николай Андреевич (21 марта 2019 г. 21:07)	Александр Владиславович, здравствуйте! А я попрошу Вас просмотреть статьи о фракталах в "Геометрии и графике" Жихарева Л.А. (последняя статья в №3 за 2018 г.). Как Вам они покажутся? С уважением, Н.А. Сальков