ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПРЯМОЙ УГОЛ И БИССЕКТРИСА В ОБЛАСТИ МНИМОГО

Геометрические фигуры, служащие строительным материалом для геометрических построений - это, в основном, точки, прямые линии и углы, которые мы собираемся рассмотреть более внимательно. Ситуация относится как к Е-геометрии (Евклида), так и к М-геометрии (Минковского, она же псевдоевклидова или мнимая). Данная статья имеет целью дать заинтересованному читателю инструменты по работе с мнимыми образами, на примерах этих фигур. В статье обсуждаются точки, прямые, отрезки, прямой угол и с этими фигурами строится биссектриса угла, образованного двумя мнимыми прямыми, с учётом их особенностей на М-плоскости.

         Введение

Геометрические фигуры, служащие строительным материалом для геометрических построений - это, в основном, точки, прямые линии и углы, которые мы собираемся рассмотреть более внимательно. Ситуация относится как к Е-геометрии (Евклида), так и к М-геометрии (Минковского, она же псевдоевклидова или мнимая). Данная статья имеет целью дать заинтересованному читателю инструменты по работе с мнимыми образами, на примерах этих фигур. В статье обсуждаются точки, прямые, отрезки, прямой угол и с этими фигурами строится биссектриса угла, образованного двумя мнимыми прямыми, с учётом их особенностей на М-плоскости [8, 9, 10].

         Точка

Мнимые точки на М-плоскости имеют одну или обе координаты комплексными числами. Их строят по координатам как на Е-плоскости, опуская мнимый множитель i в комплексном числе. Изображение мнимых точек должно отличаться от изображения действительных точек. Мнимые точки существуют сопряжёнными парами. Через пару мнимых сопряжённых точек проходит действительная прямая.

Две пары точек на одной действительной прямой, разделяющие друг друга, задают точечный ряд в эллиптической инволюции. Двойные точки этой инволюции будут мнимыми. Это также способ задания мнимых точек.

Мнимые точки на действительной прямой могут быть заданы как пересечение этой прямой m с некоторой окружностью (O, R) при отсутствии реального пересечения их графиков. Сопряжённые пары точек на прямой строятся, к примеру, выбором произвольной точки A на прямой m и построением соответствующей ей точки B пересечения поляры a точки A относительно названной окружности с прямой  m, рис.1b. Перпендикуляр OP к прямой m пересекает окр. (AB) в точке L.

           M₁, M₂ = m×окр.(P, PL). На рис.1а показано другое построение двойных точек M₁, M₂ эллиптической инволюции на m и построение точки L.

            P - основание перпендикуляра из O на m. Окружность (OP) пересекает данную окр.(O, R) в точках T, окружность (P, PT) пересекает прямую m в искомых точках M₁, M₂  и прямую OP в точке L. Отрезок PL есть маркер эллиптической инволюции в точечном ряду на действительной прямой m.

Задание одного лишь маркера PL позволяет развернуть конструкцию по определению положения прямой m, центра P инволюции на m и положения двойных точек M₁, M₂  эллиптической инволюции в точечном ряду на m, в дальнейшем просто пара мнимых сопряжённых точек, и, далее, открывается возможность строить на m точку N₂, сопряжённую данной точке N₁, в данной инволюции на m.

         Прямая и отрезок

В отличии от прямых Е-плоскости, которых имеется только один вид, на М-плоскости различают три вида мнимых прямых.

1. s-прямые, s от слова Sonnenstrahl, или изотропы. Угловой коэффициент уравнения изотропы ±i (изотропа правая и изотропа левая). s-прямые и их s-отрезки длины не имеют.
2. h-прямые, от слова hoch, лежат над s-прямыми, угловой коэффициент h-прямых больше i, истинные длины отрезков этих прямых имеют мнимые значения.
3. t-прямые, от слова tief, лежат под s-прямыми, угловой коэффициент t-прямых меньше i, истинные длины отрезков этих прямых имеют действительные значения.

На действительной координатной плоскости Oxy линиями сетки направлены параллельно осям. Отрезок AB на поле чертежа представлен в натуральную величину, его длина d(AB)=√13=3.6.  Проекции на ось x и ось y меньше, соответственно 3 и 2 единицы шкалы. Это аксиома, что проекция меньше самого отрезка, рис.2а. На М-плоскости наблюдается другая реальность - отрезок своей истинной длиной лежит в зависимости от вида на координатной оси r или i, а проекция отрезка лежит в поле координат. Линии координатной сетки здесь составляет семейство гипербол. Потому отрезок одним концом удобно поместить в центр семейства гипербол. Гиперболический поворот осуществляет второй конец отрезка, он скользит по линии гиперболы, на которой оказался, до совмещения с соответствующей осью, действительной или мнимой. 

            Рис.2 а): А(1; 1) В(4; 3), истинная длина отрезка АВ = 3.6, длина проекций А_xВ_x=3, А_yВ_y=2.

            Рис.2 b): А(0; 0) В(3; 2i). Точка B отрезка AB лежит на гиперболе с действительной осью по оси r. Длина отрезка АВ на координатном поле АВ=3,6. Истинная длина отрезка АB_r=√5 = 2.236. АВ ─ отрезок t-прямой. Истинная длина АB_r отрезка АВ определяется на оси r в гиперболическом повороте точки В вокруг начала координат, помещённого в центр гиперболы и имеет действительное значение.

            Рис.2 с): А(0; 0) В(2; 3i) Точка B отрезка AB лежит на гиперболе с мнимой осью по оси i. Длина отрезка АВ на координатном поле АВ=3,6. Истинная длина отрезка АB_i = √-5 = 2.236 i. АВ ─ отрезок h-прямой. Истинная длина АB_i отрезка АВ определяется на оси i в гиперболическом повороте точки B вокруг начала координат и принимает мнимое значение [4, 5].

            Циркульное построение истинной длины мнимого отрезка, рис.2с.

В конце отрезка АВ задают локальную систему координат ri так, чтобы отрезок попал в первый квадрант. Из свободного конца B отрезка опускают перпендикуляр на более удалённую ось с основанием в точке P (перпендикуляр при этом пересекает s-луч). Радиусом PB засекают координатную ось в точке B_r или B_i в зависимости от того, был ли задан t-отрезок или h-отрезок.

            Предложения.

Е-плоскость: Отрезок проецируется на координатную ось. Длина проекции отрезка всегда меньше его истинной длины.

М-плоскость: Отрезок проецируется от координатной оси .Длина проекции отрезка всегда больше его истинной длины.

         Прямой угол

Прямой угол в геометрических построениях играет важную роль. На М-плоскости статус этой фигуры также высок. Его изображение непривычно, прямой угол не имеет постоянного вида, признак прямого угла - его стороны лежат симметрично относительно s-прямой, иначе, s-прямая служит биссектрисой прямого угла. Если изменить наклон одной стороны угла, то меняется наклон и второй стороны так, чтобы сохранилась биссектриса. Мнимые прямые имеют угловой коэффициент с мнимой единицей. Между угловыми коэффициентами взаимно перпендикулярных прямых существует известная зависимость: k₂= -1/k₁. На М-плоскости ik₂= -1/ik₁ или ik₂=i/k₁. Далее, важный факт по изотропной прямой. Если k₁=i, то k₂= -1/i  или k₂=i - изотропная прямая сама себе перпендикулярна. Действительно, если взаимно перпендикулярные t- и h-прямые смежаются и сливаются на биссектрисе, то обе переходят в изотропы, но сохраняют перпендикулярность.

            Пример 1. В точка A прямой a восставить перпендикуляр n; на лучах a и n от точки A отложить отрезки длиной в 4 ед., рис. 3a.

Построение. На прямой a выбирается произвольная точка P. Из точки P опускается перпендикуляр на ось i с основанием O. Из точки O радиусом OP засекается ось r в точке R. Прямая PR есть направление соответствия точек оси и их проекций на отрезке. Затем из точек 4 и 8 оси r проводят прямые, параллельные PR и определяют на прямой a отрезок AB заданной длины. Через точку A проводят луч s и строят прямую n симметричную a относительно луча. Отрезок AC в симметрии перенимает и длину отрезка AB.

Прямоугольный треугольник на М-плоскости удовлетворяет теореме Пифагора.

Одна из сторон прямоугольного треугольника всегда есть h-отрезок и его квадрат будет числом отрицательным. Если фиксировать один конец t-отрезка и менять наклон отрезка, то второй конец будет перемещаться по дуге гиперболы с действительной осью по оси r. Аналогично, второй коней h-отрезка будет перемещаться по дуге гиперболы с действительной осью по оси i.

            Пример 2. Прямоугольный треугольник ABC имеет гипотенузу AB=5, катет BC=3i, длина катета AC может быть вычислена: 5²=(AC)²+(3i)²,  AC=√34=5.83.

Гипотенуза AB лежит на оси r и своей длины на чертеже не меняет. Точку C можно определить как пересечение двух гипербол, одна с полуосью 3 в точке B, вторая с полуосью 5.83 на оси r, рис. 3b.

         Биссектриса мнимого угла

Две мнимые, как и две действительные прямые имеют две биссектрисы. Построение биссектрисы угла, образованного двумя мнимыми прямыми, выполняется по тем же правилам, что и для действительных прямых [3, с.356], за исключением построений с градусной мерой, например, применение транспортира. Необходимое условие для построения биссектрисы -  истинные длины отрезков должны быть равной длины и иметь общую точку. Выше были приведены два способа определения длины отрезка мнимой прямой. Ниже приводим два способа построения биссектрисы двух однородных мнимых прямых.

            1. Пусть два однородных отрезка t- или h-прямых имеют общую точку A и равные длины, |AB|=|AC|. В точке B отрезка AB и в точке C отрезка AC строят перпендикуляры к отрезкам и отмечают точку N их пересечения. Биссектрисами угла ABC двух м-прямых являются прямая w₁(AN) и ей м-перпендикулярная прямая w₂, рис.4а.

            2. Концевые точки B и C отрезков AB и AC двух однородных мнимых прямых соединяют отрезком. На отрезке BC как на диагонали строят изотропный квадрат. Вторая диагональ изотропного квадрата проходит через вершину  угла и есть биссектриса w₁ данного угла ABC. Вторая биссектриса w₂ проходит через вершину A угла параллельно первой диагонали, что означает перпендикулярно к первой биссектрисе, рис. 4b.

            3. Предложение. Две разнородные мнимые прямые с равными мерными отрезками имеют своими биссектрисами правую и левую изотропы.

Действительно, как было показано в примере 2 t-отрезки и h-отрезки на М-плоскости имеют переменную длину изображения, которая зависит от угла наклона прямой к изотропе s. Если наклоны к изотропе у отрезков будут равными, то и длины изображений отрезков будут равными и построение биссекрис как по способу перпендикуляров, так и по способу изотропного квадрата приводят к результату, что угол, составленный из двух разнородных отрезков равной длины, имеет своими биссектрисами изотропные прямые.

Если подходить к задаче с другой аргументацией, то надо учитывать, что между t-прямыми и h-прямыми лежит большой нуль в виде изотропы и, кроме того, прямые имеют для своих отрезков принципиально различные значения истинных длин - действительное и мнимое. Как следствие, надо согласиться с тем, что задачу построения  биссектрисы двух разнородных прямых в данной парадигме лучше не ставить.

         Заключение

Поставленные в докладе задачи получили свои решения различными способами при подробном описании построений предложенных конструкций. Показана та большая разница геометрии над комплексными фигурами по сравнению с привычной евклидовой геометрией. Даже тот небольшой ряд рассмотренных мнимых фигур показал другую непривычную реальность М-геометрии. От М-геометрии не следует отгораживаться, так как она часть комплексной геометрии и Е-геометрия без неё неполная. Без учёта неявного присутствия в ней образов М-геометрии многие теории не будут сходиться и теряют смысл многие понятия, например, «инволюция» и «несобственные» элементы [1, 2] и м. др.

Список литературы

     Литература

1. Глаголев Н.А. Проективная геометрия: Учебное пособие. – М.: ВШ, 1963. – 344 с.
2. Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. От проективной геометрии – к неевклидовой (вокруг абсолюта). – М.: Просвещение, -- 1979. – 160 с.
3. Großes Hanbuch der Mathematik. Köln: Buch und Zeit, 1968. - 873 S. mit Bildtafeln.
4. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. – 216 с.
5. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова. – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. – 216 с.
6. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Сборник задач по комплексной геометрии с решениями. Часть I ─ 2D. Кассель, 2012. ─ 191 с.
7. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Избранные задачи комплексной геометрии с решениями. Часть II ─ 3D. Кассель, 2014. ─ 112 с.
8. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии.// Геометрия и графика. 2014. Т. 4. №.2. C. 3-8. DOI: 10.12737/5583.
9. Гирш А.Г., Короткий В. А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами. // Геометрия и графика. 2016. Т. 4. №. 4. C. 19-30. DOI: 10.12737/22840.
10. Hirsсн А.: Ехtепsion оf thе 'Villarceau-Sektion' tо Surfaces of Revolution with а Generating Соniс. Jurnal for Сеоmetrу and Graphics, 6(2000/2). р. 121-132.
11. http://www.anhirsch.de  Антон Георгиевич Гирш (Dr. A.Hirsch) – Сайт. (Книги пп.4, 5 и задачники пп.6, 7 автора на этом сайте можно сгрузить свободно.)

Рисунки к докладу

Гирш Антон Георгиевич (6 марта 2019 г. 20:40)	Вопросы, на которые доклад даёт ответы. Что такое отрезок мнимой прямой; как определяется истинная длина отрезка; какое значение имеет истинная длина - действительное или мнимое? Что такое проекция отрезка; как связана проекция отрезка со своей истинной длиной? Что такое мнимый угол; как выглядит мнимый прямой угол; может ли мнимый угол иметь биссектрису; если да, то как строится биссектриса мнимого угла?
Иванов Геннадий Сергеевич (8 марта 2019 г. 1:08)	Дорогой Антон Георгиевич! В статье Вы сопоставляете названные фигуры Евклидового (Е-геометрия) и М-геометрии «(Минковского, она же псевдоевклидова или мнимая)» (выделено мною). Из этой фразы следует, что псевдоевклидова геометрия состоит якобы только из мнимых фигур. Но это не так! Дело в том, что евклидова и псевдоевклидова геометрии отличаются только своими абсолютами: - абсолют евклидовой геометрии – это эллиптическая инволюция, задаваемая на несобственной прямой окружностью, а абсолют псевдоевклидовой геометрии – гиперболическая инволюция на несобственной прямой, задаваемая равнобочной гиперболой; - в обеих геометриях длина измеряется параболически, а угол – соответственно эллиптически и гиперболически! По-видимому, в статье речь идет о сопоставлении свойств мнимых элементов этих геометрий. С ув. Г.С. Иванов
Гирш Антон Георгиевич (8 марта 2019 г. 15:53)	Дорогой Геннадий Сергеевич, спасиб за интерес. Отправной посыл Е-геометрии - это то, что в ней принципиально могут быть только действительные фигуры. А как быть с мнимыми расширениями действительных фигур или паче того с чисто мнимыми? Они есть, они имеют форму, они имеют свойства, причём, далёкие от свойств евклидовых фигур. Да, естественно, определяются и сопоставляются свойства фигур обеих геометрий. На неполное соответствие названия плоскости для мнимых фигур указывает и В.А. Короткий. Это теоретический вопрос, над ним можно думать, а тем временем накапливаются конкретные примеры по недействительным геометрическим образам, которые и приведены в докладе. То, что линейная мера обеих геометрий параболическая, есть хорошее подспорье в построениях. Если подход выдержит тест, то доклад может стать основой для статьи, где всё и будет учтено. С уважением. Антон Г. Гирш.
Гирш Антон Георгиевич (17 марта 2019 г. 18:12)	Небольшая головоломка для любителей геометрии. Задача. Даны окружность k с диаметром АВ и точка Р внутри окружности. Построить окружность c, проходящую через точку P и имеющую своим диаметром хорду окр. k, параллельную диаметру АВ. Сколько решений имеет задача.   Свойства окружностей с, не связанные с решением. Все окружности с образуют диаметральный пучок, имеющий огибающий эллипс с осями АВ и √2 АВ. Все окружности пучка своими мнимыми продолжениями проходят через точки А и В.
Носов Константин Григорьевич (17 марта 2019 г. 20:26)	Добрый день, Антон Георгиевич! Интересная задача... Если мыслить параметрически (как моделирование на компьютере), то получается бесконечное множество решений..., так как не хватает некоторых параметров для решения. Но возникает вопрос - "А почему хорда параллельна диаметру, разве еще какие-то бывают?". Поэтому переключаемся на "ручное мышление", в котором каждый построенный ГО имеет фиксированное значение, и получаем 2 решения. В чем подвох?
Гирш Антон Георгиевич (17 марта 2019 г. 23:09)	Почему подвох, Константин Григорьевич? Задача не ахти какая, для разминки, но задача имеет точное решение. Решений действительно два. А вы действительно построили эти окружности или только теоретически?  Диаметр окружности, проходящей через точку Р, д.б. хордой данной окружности, хордой, параллельной АВ. Это условие для определённости. По желанию могу дать адрес, где можно посмотреть точное решение. Спасибо за интерес.
Носов Константин Григорьевич (18 марта 2019 г. 10:57)	Добрый день, Антон Георгиевич! Неопределенность в положении АВ - если она задана на рисунке, то положение определено, а если она в моем воображении, то я могу провести ее как угодно (то же самое с положением т.P). Для полной параметризации не хватает положения - угла, вертикальности, горизонтальности и т.д. Задача решена в КОМПАС-3D за 1 минуту. Дольше пытался понять условие :-)) Скриншот с отключенной видимостью параметрических связей, но объекты полностью определены относительно вертикального положения диаметра, заданного значения диаметра и зафиксированного положения т.P (эти две переменные тоже надо задавать для 100% параметризации).   P.S.: Дайте, пожалуйста, адрес правильного решения - вручную я ее, в ближайшее время, не осилю (да и решение будет уже не объективным). Для "саморазвития" )))
Гирш Антон Георгиевич (18 марта 2019 г. 13:23)	Спасибо за труды, Константин Григорьевич. Хотел сбросить картинку в личку, а там принимают только текст. Здесь покажу чуть позже. С уважением, Антон Г. Гирш.
Короткий Виктор Анатольевич (18 марта 2019 г. 14:12)	Антон Георгиевич, будьте добры, не публикуйте пока решение, дайте маленько подумать над задачей. С уважением, В. Короткий
Гирш Антон Георгиевич (18 марта 2019 г. 15:59)	Да, конечно, потому Косте послал решение экстра письмом. Успехов в поиске точного решения. С этим точным решением мы, Виктор Анатольевич, выпадаем в осадок! Коллега решил задачку графической программой за 1 минуту. С уважением, Антон Г. Гирш.
Сальков Николай Андреевич (18 марта 2019 г. 17:15)	Антон Георгиевич, здравствуйте! А почему это известно, что решение точное? Ведь никаких геометрических построений нет. А картинка, которую мы видим, лишь доказательство, что действительных решений два - не более того. Доказательства же должны быть именно геометрические (аналитические и др.), чтобы видно было, как это все построено, а главное - доказано. Иначе мы наблюдаем шило в мешке - то ли правильно построено геометрически, то ли компьютер применил итерационные методы, то ли еще что, неизвестно. С уважением, Н.А. Сальков
Гирш Антон Георгиевич (18 марта 2019 г. 17:51)	Спасибо за поддержку, Николай Андреевич. Думаю, что дилема "что мы теряем и что мы выигрываем" от машинной графики ещё долго будет дискутироваться на наших форумах. На самом деле мы теряем и выигрываем. Выигрываем быстрое, скажем эскизное решение, теряем в потребности корректного решения. Неужели нас к этому склоняет технический прогресс? С уважением, Антон Г. Гирш.
Носов Константин Григорьевич (18 марта 2019 г. 18:33)	Здравствуйте, Николай Андреевич! Ваши сомнения понятны, но если я включу отображение параметрических связей, изложу пошаговый алгоритм и приведу распечатку участка машинного кода математического ядра САПР, отвечающего за параметрический и аналитический расчет переменных, то это вызовет еще больший скепсис, так как мало кто в этом разберется. Исхожу из принципа бритвы Оккама - решение есть и оно проверяемо, незачем плодить сущности.
Носов Константин Григорьевич (18 марта 2019 г. 18:35)	Антон Георгиевич, спасибо за "посылку" - сижу с учебником и пытаюсь увязать имеющиеся знания с пропущенными )))
Сальков Николай Андреевич (19 марта 2019 г. 1:30)	Константин Григорьевич, параметрические связи в КГ - это, может быть, и замечательно, но всегда любое геометрическое построение, даже пусть оно и компьютерное, не может быть принято за истину, если само построение не доказано геометрически. Это - закон. Тем более, что неизвестно, что именно зашито в компьютере. Мы ведь, как получается, слепо ему доверяем, на уровне веры. А вера имеет место исключительно к Богу! С уважением, Н.А. Сальков
Короткий Виктор Анатольевич (19 марта 2019 г. 16:37)	Антон Георгиевич, добрый день! Ортогональный пучок P высекает на k инволюцию. Соединяя соответственные точки инволюции, получаем множество хорд окружности k. Это множество образует пучок прямых второго порядка, которому двойственно соответствует ряд второго порядка (в данном примере эллипс e). Касательная к e, параллельная диаметру AB, высекает хорду окружности k. Эта хорда является диаметром искомой окружности. Задача решена.   Примечание. У задачи обязательно должно быть простое “школьное” решение, которое мне не удалось увидеть. Сдаюсь. С уважением, В. Короткий
Гирш Антон Георгиевич (19 марта 2019 г. 17:29)	Литература, п.5 на с.67 задача 5.4 имеет "школьное" решение. А предложенное решение интересное и подтверждает тебя как "любителя решения сложных задач". Я тоже с этой задачкой помучился. С уважением, Антон Г. Гирш.
Короткий Виктор Анатольевич (19 марта 2019 г. 18:46)	Антон Георгиевич, спасибо! В качестве упражнения можно рекомендовать найти док-во справедливости представленной графической схемы. С уважением, В. Короткий
Гирш Антон Георгиевич (20 марта 2019 г. 0:55)	Схема решения: 1. Окружность (АВ) уменьшить на касательную величину РQ. Отрезок РQ имеет две засечки. 2. Из точки Q под углом 45` к диаметру провести луч до пересечения со вспомогательной окружностью. 3. Через полученную точку параллельно диаметру АВ провести хорду окружности АВ. Доказать, что окружность, имеющая хорду своим диаметром, проходит через данную точку Р.
Гирш Антон Георгиевич (20 марта 2019 г. 14:51)	Доказательство построения через точку Р двух окружностей. 1. Равнобочная гипербола обладает свойством, что длина её полухорды (01), параллельной действительной оси (полуось QР), равна отрезку 0Р от точки 0 хорды до точки Р полуоси, 01=0Р. Это можно проверить на гиперболе x2 - y2=QP2. Если QP=1, Q0=2, то => 012=5, 0P2=5. 2. Если будет известна точка 1 гиперболы, лежащая на окружности k, то определяется и точка 0 центра окружности, проходящей через току Р. 3. Но гипербола лекальная кривая и в построениях она не желательна, потому делается переход к её асимптотам. Для этого окружность k уменьшается на касательную величину QР и отмечается точка 2 пересечения этой вспомогательной окружности с асимптотой. Строится полухорде 021. Проводится окружность (0, 01), которая проходит через точку Р. Задача решена. Задача имеет два решения. Вторая асимптота пересечёт вспомогательную окружность в точке 3. Через точку 3 проводят хорду до пересечения с осью в точке 4 и с окружностью k в точке 5. Вторая окружность (4, 45).
Бойков Алексей Александрович (26 марта 2019 г. 19:04)	Уважаемый Антон Георгиевич! Спасибо за интересные статьи о мнимых элементах. Видел Вашу статью с описанием конструктивных задач в области мнимого в сборнике МАИ, и тогда еще у меня возник вопрос о том, как правильно применять описанные конструктивные алгоритмы при решении задач на чертеже. В докладе на рис. 1 показана обычная плоскость (координированная x-y), на рис. 2-4 мы обозначены оси координат x-i и r-i. Это немного путает. Как применять построения на обычном чертеже, координированном x-y, куда направлять мнимые xi и yi? Пусть, например, имеется известное построение мнимых точек пересечения коники с прямой (чтобы не придумывать, воспроизвожу чертеж из работы Понселе по дисс. О.А. Графского): Мы знаем, что точка C и O действительные, а M' и N' - мнимые сопряженные (P' - их действительная часть). Можно как-то найти длину отрезка CM' или OM', как это правильно сделать? Заранее благодарю. с уважением, А.Бойков