Здравствуйте, Геннадий Сергеевич!

1. При обсуждении “парадокса дробного порядка” рассматривается пересечение двух кубик, симметричных относительно XZ (см. рисунок). Обе поверхности содержат несобственную прямую n_∞ плоскости YZ, поэтому линия m⁹ пересечения этих поверхностей распадается на n_∞ и кривую g⁸. Линия m⁹=n_∞+g⁸ ортогонально проецируется на XZ не кривой 4 порядка, а кривой 5 порядка, распавшейся на кривую 4 порядка и прямую линию (проекцию прямой n_∞), что не вполне соответствует теореме на стр. 132 [Иванов Г.С. Начертательная геометрия].   

2. Коническая поверхность К³, симметричная относительно XZ, не содержит несобственной прямой, а содержит только несобственную точку Y_∞. Поверхность 3 порядка, симметричная относительно XZ, пересекается с К³ по невырожденной кривой g⁹, симметричной относительно XZ и обязательно проходящей через Y_∞. Следует ли отсюда, что g⁹ проецируется на XZ кривой 4 порядка?

3. Геннадий Сергеевич, пользуясь случаем, хотелось бы обсудить термин “моноид”, впервые встречающийся на стр. 71 [Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей]. Моноид – алгебраическая кривая порядка n, содержащая (n-1)-кратную несобственную точку. Уравнение моноида – на стр. 58, ф-ла (3.23). Насколько верно такое определение? Спасибо.

С уважением, В. Короткий     

Уважаемый Константин Анатольевич! Действительно, вы правы, кое-где еще, к сожалению, от нас требуют обучать студентов черчению.

Проект симферопольского терминала был разработан корейской фирмой, но вся техническая документация выполнена нашими специалистами в “Компас -3D”. В Интернете есть документальный видеофильм, где показаны рабочие моменты проектирования. Мы видим, как молодые российские специалисты о чем-то спорят, что-то обсуждают, вносят изменения в проект.

Фильм завершается панорамными кадрами строительной площадки, где те же молодые ребята, в болотных сапогах и плащах (потому что осень: снизу болото, сверху льет), с теодолитами, нивелирами, рейками (плюс лазерные рулетки) выполняют планировку.

У них в руках не ноутбуки и не планшеты. У них в руках чертежи, изготавливать и читать которые их, к вашему сожалению, все-таки научили.  

“К сожалению, в условиях активного внедрения технологий информационного моделирования в строительство, на некоторых направлениях подготовки от нас требуют обучать студентов черчению” (К.А. Вольхин).

Хорошо хоть, что требуют не на всех направлениях, а только на некоторых. Извините за иронию.

С уважением, В. Короткий

Уважаемые коллеги, позвольте представить Вашему вниманию два фрагмента из статей К.И. Валькова, посвященных вопросам геометрического моделирования. Написанные в конце прошлого века, они воспринимаются сегодня как болезненно актуальные.  

1. “Геометрия как …фундаментальная форма научного познания и моделирования не может утратить свое значение, несмотря на внешнюю бедность практических результатов… Изгоняемый “за ненадобностью” метод геометрического моделирования то тут, то там протаскивается через заднюю дверь и используется как некая безымянная, но необходимая опора… В одном случае речь идет об использовании проективных соотношений; в другом случае в дело вовлекается начертательная геометрия… Узкий подход к содержанию геометрических задач … тормозит научное развитие… В результате наносится ущерб геометрическому образованию специалистов…”.

К.И. Вальков. Геометрическое моделирование. Итоги и перспективы. ЛИСИ. Сб. научн. трудов № 64, 1970 г.

2. “Миф об усилении умственных способностей. Машина, … считающая в миллион раз быстрее Вас, конечно, необычайно усиливает умственные способности и Ваши, и всего человечества. Эта идея на все лады повторяется, муссируется авторами научных трактатов… Здесь характерна ставка на технику. Техника… усиливает интеллектуальную мощь [человека]. Логика требует признать, что микроскоп и телескоп – это тоже усилители интеллектуальной мощи. И это, конечно, признается. [Вероятно, микроскоп, телескоп, компьютер и прочие превосходные инструменты особенно сильно увеличивают интеллектуальную мощь молодого человека, не знающего основ соответствующих наук? – прим. В.А].

Эффект молниеносного счета возносится на щит и вызывает восхищение, а эффект молниеносного просчета тонет в стыдливом умолчании…

Увеличение умственных способностей подразумевает… расширение всех способов познания… Поэтому уродливый горб ЭВМ, хлопотливо и молниеносно пересчитывающих жалкий скарб хронического недомыслия, останется как памятник одному из самых напыщенных и самых пустых мифов нашего века”.

К.И. Вальков. Вопросы геометрического моделирования. ЛИСИ, Межвуз. сб., 1981 г.

От себя можно сделать совершенно банальный вывод, что компьютер, как инструмент геометрического моделирования, хорош, полезен и совершенно необходим в руках специалиста. Но не первокурсника. Вряд ли компьютер усилит его интеллектуальные способности. Скорее наоборот.

С уважением, В. Короткий

Антон Георгиевич, спасибо! В качестве упражнения можно рекомендовать найти док-во справедливости представленной графической схемы.

С уважением, В. Короткий

Антон Георгиевич, добрый день! Ортогональный пучок P высекает на k инволюцию. Соединяя соответственные точки инволюции, получаем множество хорд окружности k. Это множество образует пучок прямых второго порядка, которому двойственно соответствует ряд второго порядка (в данном примере эллипс e). Касательная к e, параллельная диаметру AB, высекает хорду окружности k. Эта хорда является диаметром искомой окружности. Задача решена.  

Примечание. У задачи обязательно должно быть простое “школьное” решение, которое мне не удалось увидеть. Сдаюсь.

С уважением, В. Короткий

Антон Георгиевич, будьте добры, не публикуйте пока решение, дайте маленько подумать над задачей.

С уважением, В. Короткий

Николай Андреевич, здравствуйте! Если угол наклона к П2 равен альфа (от 45 до 0), то окружность в пересечении вспомогательного конуса с П2 имеет радиус R=(высоту точки A умножить на тангенс альфа). Извините, не справился с символами. Если угол альфа равен 45, то задача имеет два совпавших решения. Если угол альфа равен нулю - задача заметно упрощается (решений тоже два).

С уважением, В. Короткий

Николай Андреевич, добрый день! Кажется, я понял, в чем дело. Вопрос, заданный в заключительном абзаце статьи, сильно отдает казуистикой. Действительно, пусть между двумя криволинейными направляющими a, b установлено взаимно-однозначное точечное соответствие w (не важно, каким способом). Соединяя соответственные точки, получаем линейчатую поверхность с двумя направляющими a, b. В сечении этой поврхности произвольной плоскостью получим кривую q. Теперь можно спокойно вообще забыть о заданном ранее соответствии w, потому что имеем линейчатую поверхность с тремя направляющими a, b, q, тождественную поверхности, заданной направляющими a, b и функцией w. Прошу прощения за необдуманный абзац.

С уважением, В. Короткий

Задача И.Ф. Боровикова. Построить проекции прямоугольного треугольника ABC, катет AB которого принадлежит биссекторной плоскости 2-4, равен 80 мм и составляет угол 30 градусов с П2. Вершина C принадлежит прямой EF, параллельной биссекторной плоскости 2-4.

Решение. Особенность задачи и возникающая вследствие нее некоторая сложность реализации решения на двухпроекционном эпюре состоит в совпадении фронтальной и горизонтальной проекций катета AB.

Преподавателям, ведущим НГ для архитекторов, будет интересно разобраться, откуда на чертеже возникает вспомогательный квадрат и засечка циркулем, применяемые при построении теней в ортогональных проекциях для поиска истинного угла наклона световых лучей к П2 или П1.

При реализации решения средствами компьютерной графики с использованием ортогонального аксонометрического чертежа на экране компьютера (который, ради краткости, условно называют “3D-макетом”), задача полностью утрачивает свою характерную особенность, и, как следствие, свой “олимпиадный” характер, поскольку нарушается условие задачи – не применять третью проекцию и способы преобразования.

Задача имеет два решения. Второе решение на прилагаемом чертеже не завершено: показаны только проекции [B''=B'] точки B, относящейся к второму решению.

Можно предполагать, что студент, самостоятельно решивший подобную задачу (без специальной подготовки и без подсказок), вполне способен, при соответствующих морально-волевых качествах, войти в будущую научно-техническую элиту России. Не потому, что он "знает НГ", а потому что проявил способность к довольно таки непростой умственной работе. Эта способность выявляется (и тренируется!) на трудных задачах. На трудных, а не на простых. Причем область приложения умственных усилий не имеет принципиального значения. НГ как наука и как учебный предмет ничем особым не выделяется из ряда других наук и учебных предметов.

Наши попытки "облегчить" студенту изучение НГ применением лайфхака и раскрашенных фотореалистичных ортогональных аксонометрических или перспективных изображений на экране компьютера дают резко отрицательный результат учебного процесса. Студент не только не получает более-менее трудных задач, обязательных в образовательном процессе, но еще и привыкает к нелепому сочетанию слов "трехмерная компьютерная графика, 3D - изображение", и тому подобное. По сути дела, "трехмерная графика" - это оксюморон, который иногда применяют специалисты в качестве краткого обозначения некоего способа хранения и обработки графической информации, прекрасно понимая, что они при этом имеют в виду. Но студент - не специалист! Он верит в "3D-моделирование", в искусственный интеллект и прочие цифровые чудеса. Он верит в "четвертую научно-технической революцию", результаты которой позволяют ему загрузить в интернет десяток сэлфи в фас и профиль, а также изготовить табуретку на уроке труда с помощью 3D - принтера.

Поэтому. Задачи, подобные рассмотренной задаче И.Ф. Боровикова, всегда будут актуальны. Не надо упрощать. Пусть будет трудно. Не надо портить замечательный учебный предмет НГ. Не надо разбавлять компьютерной графикой курс технического черчения, в котором мы должны научить студента не 3D моделированию, а научить грамотно, в соответствии с ГОСТ 2.301-308, оформлять технический чертеж. Чертеж, а не "3D-макет"! Чертеж был и остается основным конструкторско-технологическим документом. Посмотрите на сегодняшние студенческие работы по черчению с применением так называемого "инновационного компьютерного моделирования". Ведь это чудовищно. Если так горит любителям компьютерной графики преподать студентам полюбившийся преподавателю графический пакет - открывайте курсы автокада или другого какого-нибудь солида-инвентора. Добивайтесь дополнительных часов. Но не внутри учебных часов на НГ и техническое черчение. Их и так мало.

Мы не заметили, как "компьютерное 3D моделирование" стало рутиной. Рутиной! Рутиной, отнимающей учебное время на никчемное изучение и запоминание интерфейса очередной версии графического редактора. Коллеги! Дайте внятный ответ - чему мы учим? На что уходят более чем скромные учебные часы, отведенные первокурсникам на графику?

С уважением, В. Короткий 

Вторая подсказка к задаче - для построения истинного угла наклона диагонали куба к П1 или П2 используют квадрат с диагоналями, и делают засечку циркулем (см. тему "Построение теней в ортогональных проекциях").

И последнее замечание - решение задачи может быть выполнено механически, безо всяких усилий со стороны учащегося, в совершенно бессознательном состоянии, с помощью средств трехмерной компьютерной графики. Обучающий эффект от такого "решения" будет невелик.

Рискну предположить, что подсказка к задаче И.Ф. Боровикова формулируется так: прочесть чертеж прямой общего положения, у которой фронтальная и горизонтальная проекции совпадают.

Отстающий участник Олимпиады В. Короткий

Вынужден с сожалением признать, что не имею никакого отношения к представленному решению. Оно опубликовано в учебнике K. ROHN, E. PAPPERITZ: Lehrbuch der Darstellenden Geometrie. Band II, Leipzig 1896.

С уважением, В. Короткий

Николай Андреевич, не могу сообразить, укладывается ли в схему "три направляющие" инженерный способ задания лин поверхностей (указанием взаимно однозначного соответствия между точками двух напр-щих)? [Иванов Г.С. Теоретические основы НГ, стр. 89]. Было бы интересно визуализировать линейчатую пов-сть, заданную двумя прямолин напр-щими и одно-двузначным соответствием между точками этих напр-щих [там же, стр. 90].

С уважением, В. Короткий

Яна Андреевна, будьте добры пояснить, что такое линейная гиперб конгруэнция с одной мнимой осью? Мнимые сопряженные прямые неразлучны, как полюсы магнита. У линейной дуальной конгруэнции могут быть 2 действительные (ГЛК) или 2 мнимые сопряженные (ЭЛК) или 2 совпавшие (ПЛК) оси.

Заранее благодарю за ответ. С уважением, В. Короткий 

Уважаемые авторы! Спасибо Вам и огромная благодарность замечательному российскому педагогу и ученому И.Ф. Шарыгину. Прошу особо обратить внимание на его очень важную мысль об одном из аспектов взаимосвязи компьютерной графики и геометрии: "...компьютер является очень полезным инструментом в геометрических исследованиях. С его помощью можно экспериментально обнаруживать новые интересные геометрические факты. Человеку же остается важнейшая роль — эти факты доказывать (всего лишь!). И получается, что первонаука, которой является геометрия, получила новый толчок к развитию, как образовательный предмет и как наука, благодаря самым современным компьютерным технологиям". 

С уважением, В. Короткий

Денис Вячеславович, позволю себе "перевести" Ваш пятый вопрос на студенческий язык. Почти немедленно после введения понятия "несобственная прямая на плоскости" и утверждения, что две параллельные прямые пересекаются в несобственной точке, внимательный слушатель легко доказывает, что все прямые на плоскости параллельны друг другу. Действительно, произвольная прямая a пересекается с несобственной прямой в несобственной точке, следовательно, прямая a параллельна несобственной прямой. По этой же причине любая другая прямая b также параллельна несобственной прямой. В силу транзитивности прямые a, b параллельны. Возможно ли найти внятный ответ нашему внимательному слушателю?

С уважением, В. Короткий    

Уважаемые коллеги, в статье содержится грубая ошибка: множество коник, проходящих через две наперед заданные точки на плоскости, является трехпараметрическим множеством, а совсем не сетью (двухпараметрическим множеством), как неверно указано в статье.

С уважением, авторы