ЕДИНОЕ ЗАДАНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

(Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова)

Аннотация

В работе рассмотрены примеры задания линейчатых поверхностей, которые приводят к закону их единого формирования.

Ключевые слова: поверхность; линейчатая поверхность; закон образования.

В геометрии повсеместно распространен кинематический способ получения поверхностей. Этот способ согласуется с изготовлением поверхностей на различных производствах: в машиностроении, самолетостроении, в сельском хозяйстве, строительстве и др. Задания линейчатых поверхностей регламентируются практической целесообразностью, которые здесь рассматривать не будем.

С одной стороны, о линейчатых поверхностях сказано и написано очень много, с другой стороны, в учебниках, например, [1; 2], линейчатые поверхности рассмотрены недостаточно широко. Да и некоторые неточности, если не сказать, ошибки, имеются в трактовке их получения.

Далее приведем ряд примеров задания поверхностей, получающихся при перемещении прямолинейной образующей.

Мы не будем касаться задания линейчатых поверхностей, полученных при помощи трех образующих линий: прямых или кривых, коснемся лишь сути этого.

Итак, для того, чтобы получить линейчатую поверхность (ЛП), необходимы три направляющие линии и образующая. Формула поверхности будет следующая:

где l – прямолинейная образующая; – определитель поверхности (заданные направляющие);

Посмотрим, что получается с двумя линиями и поверхностью. На рис. 1 представлены две непересекающиеся кривые и (для упрощения рассмотрения) поверхность – сфера.

Рис. 1 Рис. 2

При формировании линейчатой поверхности нужно получить ∞¹ (однопараметрическое множество) прямых . На рис. 1 рассмотрено получение двух образующих линейчатой поверхности из этого ∞¹ прямых.

Формула поверхности следующая:

, (1)

где – знак касания.

На рис. 2 показаны три направляющие – две пересекающиеся кривые линии и поверхность (сфера). При этом формула образования поверхности остается предыдущей (1). Поскольку кривые пересекаются (вместо кривых можно взять прямые), то в результате получим, в принципе, коническую поверхность, в данном конкретном случае – конус вращения.

Если вместо кривой поверхности взять плоскость, то условие касания с этой поверхностью (плоскостью) останется, только касание будет происходить в несобственной точке. Это означает, естественно, параллельность образующей к направляющей плоскости, которую теперь можно назвать плоскостью параллелизма. Две линии и плоскость – опять мы имеем три направляющие.

Здесь мы не будем рассматривать те поверхности, которые являются гиперболическим параболоидом, коноидом и цилиндроидом, об этом сказано в учебниках.

Рассмотрим случай, когда вместо линий взята одна или две поверхности.

Рассмотрим рис. 3. Здесь имеем в качестве направляющих кривыю n, поверхность m и плоскость l.

Рис. 3 Рис. 4

Как видим, при задании соответствующими геометрическими фигурами получается цилиндроид. Если вместо кривой линии n на рис. 3 взять прямую, получаем коноид. На рис. 4 также получен цилиндроид. Тут мы имеем дело с тремя направляющими поверхностями, две из которых кривые и одна - плоскость.

При наличии в системе направляющих двух плоскостей, они, как правило, должны пересекаться. Отсюда – линия пересечения заданных направляющих плоскостей является направляющей для всего множества цилиндрических (в том числе и призматических) поверхностей (рис. 5). Здесь мы также имеем три направляющие поверхности.

Рис. 5 Рис. 6

На рис. 6 показаны направляющие – одна линия и две поверхности.

Таким образом, утверждение в [2] того, что при задании линейчатых поверхностей могут быть две направляющие или, даже, одна, крайне ошибочны. Всегда требуются три направляющие. Одна направляющая вырубает из ∞⁴ прямых (четырехпараметрического множества прямых) ∞³ прямых, то есть, получаем комплекс прямых, две направляющие в результате дают нам ∞² прямых, то есть, конгруэнцию, и только три направляющие задают ∞¹ прямых – линейчатую поверхность.

При этом имеются варианты, когда линейчатую поверхность задать невозможно. Но об этом в другой раз.

Наконец, на рис. 7 показан пример задания линейчатой поверхности с тремя направляющими поверхностями. Получены четыре образующие.

Во всех случаях мы показали только получение образующих линейчатой поверхности, не приводя ее саму.

Рис. 7

А теперь рассмотрим поверхности винтовые. И убедимся, что и в этом случае требуются три направляющие.

1. Прямой закрытый геликоид.

Здесь в направляющих мы имеем винтовую линию, ее ось и плоскость параллелизма. Образующая должна пересекать обе направляющие линии и быть «касательной» к плоскости.

2. Прямой открытый геликоид.

Направляющие – винтовая линия, поверхность вращения, на которой нанесена винтовая и плоскость параллелизма. Образующая пересекает гелису и является касательной к поверхности вращения и к плоскости.

3. Наклонный закрытый геликоид.

Здесь мы имеем все направляющие, что и в п. 1. Однако в этом случае образующая должна быть всегда проходить под острым углом к плоскости.

Представляется, что больше нет необходимости приводить другие примеры, чтобы сделать следующий вывод касательно задания линейчатых поверхностей.

Вывод. Любая линейчатая поверхность задается тремя направляющими и тремя геометрическими условиями, характеризующими отношение образующей к этим направляющим. Геометрическими условиями являются пересечение с направляющей линией и касание или пересечение под определенным острым углом направляющей поверхности.

Данный закон задания линейчатых поверхностей ни в чем не противоречит параметрической геометрии, наоборот – опирается на нее.

Список литературы

БубенниковА.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 1973. – 416 с.
Фролов С.А. Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение, 1983. – 240 с.

Вопросы и комментарии к выступлению:

Конопацкий Евгений Викторович (12 марта 2019 г. 9:50)	Здравствуйте, Николай Андреевич! Спасибо за интересный доклад. Можно мне задать вопрос по поводу торсовых поверхностей? Если исходить из определния торсов, то для их построения достаточно одной направляющей (пространственной кривой) и одного условия (образующая должна быть касательной к пространственной кривой). Конечно можно задавать торсы и другими способами (у Кривошапко об этом описано достаточно подробно), но это будут уже частные случаи. Возможно в вашем выводе речь идёт о плоских направляющих линиях или всё таки и о пространственных тоже?
Сальков Николай Андреевич (12 марта 2019 г. 10:30)	Доброе утро, Евгений Викторович! Нет, и для торсовых поверхностей необходимы три направляющие. В конце марта выйдет новый номер журнала (Т.8, №1, 2019), там будет моя статья, показывающая, что и для торсовых поверхностей необходимы три направляющие. По вопросу о плоских линиях. Это как раз и является частным случаем. Рассматриваются всегда, в общем случае, пространственные кривые. В параметрической геометрии касание образующей прямой к линии фиксирует три параметра, поэтому и получается линейчатая поверхность. Однако, каждая линия может быть задана как линия пересечения двух поверхностей - тут и появляются три составляющие: две поверхности и результат их пересечения. Да и Кривошапко не придерживается установленного в учебниках НГ правила получения торсовых поверхностей: у него (у них) постоянно встречаются то линия на поверхности (с.25), а это две составляющие, то две кривые (с. 32-42). А вот на с. 43 идет "правильное" толкование получения торса. Во всех случаях вторая и третья или только третья направляющие являются скрытыми. С уважением, Н. Сальков
Конопацкий Евгений Викторович (12 марта 2019 г. 15:06)	Тогда понятно, вы и саму пространственную кривую, и поверхности её образующие рассматриваете как направляющие. Большое спасибо за ответ. Интересный подход. Желаю вам успехов в дальнейших исследованиях! С уважением, Евгений Конопацкий.
Хейфец Александр Львович (12 марта 2019 г. 16:01)	Николай Андреевич, доклад интересный, оригинальный. Все-таки как задать три направляющие торса, чтобы по одной из них прямая двигалась как по касательной. Задать "до того", а не "после того", как торс получен движением по касательной. Ждать Вашу статью (а его у нас в Челябинске нет). Или расскажите вкратце здесь. Огорчает, что Вы не привели ссылки на многочисленные работы В.С. Обуховой. В своей подборке по Киевскому журналу "Прикладная геометрия и инженерная графика" я насчитал 15-20 ее работ с коллегами по торсам. Оказывается они имеют разный порядок....Это подборка до печального 1991 года, после которого журнал в Россию не поступает. Очень хотелось бы увидеть РЕАЛИСТИЧНЫЕ 3d модели рассматриваемых Вами поверхностей. Если есть проблемы - обращайтесь. Помогу, научу. Свои возможности по линейчатым поверхностям я продемонстрировал на предыдущей конференции: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/78/ С уважением. А.Л. Хейфец.
Селиверстов Александр Владиславович (12 марта 2019 г. 17:24)	Здравствуйте, Николай Андреевич. Вы определяете линейчатые поверхности, используя другие поверхности, а не кривые, то есть просто устроенные поверхности через более сложные? Не ясно, какие свойства линейчатых поверхностей при таком подходе можно узнать, зная свойства используемых (вспомогательных) поверхностей. Например, порядок линейчатой поверхности, заданной тремя направляющими кривыми, равен удвоенному произведению порядков направляющих. Если направляющие прямые, то получим однополостный гиперболоид. А что можно сказать, когда направляющими служат поверхности? Впрочем, если Ваш подход служит лишь красивой игрой, подчёркивающей особо важную роль числа три в геометрии, то Ваш доклад мог бы, вероятно, понравиться самому Пифагору. С уважением, А.В. Селиверстов
Сальков Николай Андреевич (12 марта 2019 г. 17:48)	Александр Львович, мое почтение! В данной работе не было задачи показать именно задание торсов - это, может быть, сделаю на последующих конференциях. И В.С. Обухову я не упоминал именно поэтому - не было в предложенной работе торсов, так что и ссылаться на Виолетту Сергеевну не было причины. А за предложение в помощи большое спасибо, подумаю. С уважением, Н.А. Сальков
Сальков Николай Андреевич (12 марта 2019 г. 18:09)	Александр Владиславович, здравствуйте. Во-первых, я польщен, что Вы, наконец-то, обратили на меня свое внимание. Во-вторых, если разобраться, то касательные к заданным поверхностям образующие составляют поверхность плавного перехода. В-третьих, возьмем задачу конструирования поверхности проезжей части автомобильной дороги. Имеется ось дороги - это первая направляющая. Есть горизонтальная плоскость - это вторая направляющая. Есть третья направляющая - перемещающаяся нормально плану трассы плоскость, которой должна быть параллельна (в данном случае принадлежит) образующая - это третья направляющая. Образкющая пересекает ось дороги, проходит под определенным углом к горизонтальной плоскости, а о третьей направляющей я уже сказал. В результате (см. мою монографию "Моделирование геометрических форм автомобильных дорог", вышедшую в ИНФРА-М в этом году) мы имеем возможность проектировать дорогу по всей ее длине, имеем любые геометрические и дифференциальные характеристики в любой ее точке, а поверхность получается - линейчатая общего вида. И где же здесь "красивая игра"? С числом три? Прежде чем иронизировать, следовало бы вникнуть поглубже в предлагаемое - а вдруг там находится некое зерно? С уважением, Н.А. Сальков
Селиверстов Александр Владиславович (13 марта 2019 г. 1:33)	Здравствуйте, Николай Андреевич. Читаю все Ваши выступления и статьи в ГиГ (в библиотеке). В №4 за 2018 год Вы написали, что бесполезно классифицировать линейчатые поверхности, ибо одну и ту же поверхность можно задать многими способами (пишу по памяти). Красивое название и выводы доклада говорят о намерении такую классификацию предложить, или нет? В конкретных случаях поверхности, заметаемые касательными к трём другим, интересны. Однако, скажем, рассматривая конус, незачем искусственно вводить необязательную третью направляющую или объявлять вершину конуса вырожденной поверхностью, которой дважды "касаются" образующие. Если нет теорем, использующих такой формализм, то это лишь забавная игра. Ничуть не иронизирую, почему бы не играть. Но рекомендации думать так и только так "крайне ошибочны" (на мой взгляд). Обещаю Вашу будущую статью прочитать, но не могу заранее обещать, что процитирую. С уважением, А.В. Селиверстов
Сальков Николай Андреевич (13 марта 2019 г. 7:58)	Здравствуйтк, Александр Владиславович. Да, классифицировать поврхности можно только в учебных целях, на самом деле одни и те же поверхности попадают в разные классы. Однако желание поэксперимнтировать не покидает ищущих. Нет четкого критерия принадлежности к конкретному классу поверхности, при этом исключая принадлежность к какому-то другому классу. Так простейшая поверхность - плоскость - может быть и поверхностью вращения, и поверхностью с плоскостью параллелизма, и конической, и цилиндрической, и торсовой, и Бог знает еще какой. У меня, как и у всех, была мысль создать классификацию для линейчатых поверхностей. А зачем? На находящейся уже в печати статье дело не ограничится, так как это только середина пути. Предлагаю дождаться третьей части. Все предложения по заданию ЛП выстроены в этих работах в стройную цепочку, основанную на предложенной "рекомендации". С уважением, Н.А. Сальков
Короткий Виктор Анатольевич (13 марта 2019 г. 8:41)	Николай Андреевич, не могу сообразить, укладывается ли в схему "три направляющие" инженерный способ задания лин поверхностей (указанием взаимно однозначного соответствия между точками двух напр-щих)? [Иванов Г.С. Теоретические основы НГ, стр. 89]. Было бы интересно визуализировать линейчатую пов-сть, заданную двумя прямолин напр-щими и одно-двузначным соответствием между точками этих напр-щих [там же, стр. 90]. С уважением, В. Короткий
Иванов Геннадий Сергеевич (13 марта 2019 г. 11:08)	Александр Львович! К ответу Н.А. Салькова на Ваш вопрос о трех направляющих торсовой поверхности добавлю от себя. Торсовая поверхность выделяется из конгруэнции бисекант, т.е. множества прямых, пересекающих ребро возврата дважды (эквивалент задания двух совпавших направляющих). Роль третьей направляющей выполняет условие, что секущая становится касательной при совпадении точек пересечения. Это – классика! Г.С. Иванов
Хейфец Александр Львович (13 марта 2019 г. 12:25)	Николай Андреевич, переадресую комментарий Геннадия Сергеевича Вам: Вы конечно знаете, что такое бисеканты и проч. Это же классика! Геннадий Сергеевич, а уж с нами, неучами, общайтесь как-нибудь на простом языке. Я тоже могу сыпать терминами не из Вашей сферы, добавляя упрек: Это же классика! А.Л. Хейфец
Сальков Николай Андреевич (13 марта 2019 г. 22:52)	Виктор Анатольевич, здравствуйте!! Во-первых, приветствую Вас на своей страничке! А о Вашем вопросе я могу сказать следующее: две направляющие уже есть. Третья, задается так сказать инженерно - через точки деления, то есть, третья направляющая присутствует скрыто. Более подробно я этот вопрос пока не рассматривал. У меня к Вам встречное предложение: обоснуйте, пожалуйста, что представляет собой картинка на экране дисплея. Это для Александра Львовича, а то Александр Львович вовсю резвится, переадресуя ответы, направленные ему лично :-) С уважением, Н. Сальков
Сальков Николай Андреевич (13 марта 2019 г. 22:53)	Генадий Сергеевич, большое спасибо за поддержку!!! С уважением, Н.А. Сальков
Сальков Николай Андреевич (13 марта 2019 г. 22:58)	Александр Львович, ну Вы же так хорошо работаете с информационными технологиями, что Вам мешает забить в поисковик слово "бисекант"? Да и Геннадий Сергеевич разъяснил это понятие - прямая, секущая кривую линию в двух точках. Что тут сложного? Тем более, что этот термин как раз и должен быть в Вашем лексиконе. С уважением, Н.А. Сальков
Сальков Николай Андреевич (13 марта 2019 г. 22:59)	Геннадий Сеогеевич! Прошу прощения за опечатку - опять рука дрогнула...

Назад Go Back