Здравствуйте, Алексей Александрович и Дмитрий Алексеевич!

Спасибо за интересный доклад! Впервые с  окружностями с мнимым центром и мнимым радиусом мне довелось столкнуться при общем решении задачи Аполлония, в том числе и в многомерном случае. Честно признаюсь, многие вещи выглядели очень необычно, непонятно было, как все это связать с проективной плоскостью, как работать с объектами мнимой природы в рамках информационной среды. Но через некоторое время стало ясно, что все здесь находится в совершенном единстве и алгоритмы, привычные по действительным аналогам, работают здесь точно так же! Именно поэтому средства моделирования просто обязаны представлять такие объекты, визуализировать их, включать во взаимодействие с другими геометрическими образами! Здесь необъятный простор для исследований, фантазии и творчества.

От души желаю Вам успеха и побед на этом пути!

С уважением,

Д. Волошинов

Большое спасибо за добрые слова! Мы очень надеемся, что наш опыт будет полезен молодым разработчикам новых средств геометрического моделирования.

В СПбГУТ  в этом году в рамках направления 09.03.02 на нашей кафедре будет открыт профиль бакалавриата, в рамках которого будут изучаться дисциплины, связанные с изучением конструктивного геометрического моделирования, начертательной геометрии (в том числе многомерной), других сопутствующих дисциплин, необходимых при разработке графических интерфейсов информационных систем, обрабатывающих большие потоки данных. Аналогичные, но, разумеется, более сложные вопросы составляют предмет рабочих программ магистратуры 09.04.02 и аспирантуры по специальности 05.13.18 (направление 09.06.01), которые уже действуют на кафедре.

Александр Львович! Приношу извинение за то, что не поприветствовал Вас в предыдущем сообщении.

С неизменным уважением,
Д.Волошинов

Определитель квадрики приведен на рис. 14. Если есть определитель и способ построения точки на задающей им поверхности, то с моделью поверхности можно решать любые задачи. Представленный алгоритм дает возможность это делать, а значит, в самое ближайшее время появятся множество функции, которых очень не хватало для использования квадрик в проективных преобразованиях и преобразованиях инверсии.

Перевод модели в 3DsMax для визуализации приведу позже после публикации материала о связи Симплекса с этой системой. Сейчас такой перевод не предсталяет принципиальной проблемы (см,, например, "https://vk.com/geometry_descriptive").

Для решения позиционных и метрических задач визуализация квадрики не нужна. Алгоритм как раз и позволяет делать эту визуализацию без каких-либо ограничений универсально для любых квадрик, но дело даже не в этом. Самое главное - это то, что алгоритм позволил ясно понять, как строить гиперквадрики в пространствах с разменостью большей третьей. Вот это действительно прорыв! Аналогичный подход применительно к решению задачи Аполлония в четырехмерном пространстве представлен, например, в статье https://tuzs.sut.ru/release/tuzs_v4_i2_y2018/article_5.pdf.

Рис. 1. Исходные данные и частично промежуточные результаты .

Рис. 2. Первая пара коник в плоскости alpha.

Рис. 3. Вторая пара коник в плоскости alpha.

Рис. 4. Третья пара коник в плоскости alpha.

Рис. 5. Центр O_{αβ .}

Рис. 6 - 13 не привожу. Их суть аналогична приведенным.

Рис. 14. Три коники результата. Толстая линия - фронтальная проекция, тонкая линия - горизонтальная проекция.

Рис. 15. Все построение целиком.

Сергей Николаевич! Спасибо за комментарий! Да, Симплекс - не геометрический процессор, а лишь одно из возможных средств для его создания. И еще он помогает совершенствовать геометрическую теорию, на основе которой такой процессор будет работать.

Статьи про связки Симплекс-3DsMax, Симплекс-JavaScript и Симплекс-FPGA запланированы. Если хватит времени и сил, то они появятся на этой конференции, так как практические результаты уже получены и их осталось только описать. Но для того чтобы логика повествования была убелительной, потребуется завершить цикл, начатый этой статьей. Иначе будет непонятно, откуда что берется. Это еще, как минимум, две статьи.

Постараюсь успеть, несмотря на надвигающуюся аккредитацию ВУЗа.

Ольга Павловна! Благодарю Вас за внимание к моей работе!

Виктор Анатольевич, спасибо за алгоритм! Проверил, все работает, как часы!

Здравствуйте, Виктор Анатольевич! Очень рад встрече с Вами!

Благодарю Вас за комментарий!

Разумеется, говорить о параллельности можно только по отношению к собственным объектам, поскольку параллельность - метрическое свойство. Любая собственная прямая проходит через одну несобственную точку, а несобственная несет на себе все бесконечно удаленные точки. Для устранения парадокса несобственную прямую надо исключать из "формального" определения параллельности прямых, проходящих через общую несобственную точку. А в проективной геометрии, где нет понятия параллельности, и проблемы нет.

Когда проектируется система, в которой изначально планируется наделить все объекты единым средством представления и обработки, приходится вводить дополнительное бизнес-правило, которое контролирует появление исключительных ситуаций и запрещает выполнять какие-то действия, несовместимые со здравой логикой. Но на этом проблемы не заканчиваются. Я понимаю, что сейчас я выскажу "крамольные" мысли и я не знаю четкого ответа на них. Но я не исключаю того, что подобная ситуация имеет смысл.

Допустим, у нас есть несобственная прямая. Я хочу найти прямую, параллельную данной прямой и отстоящую от нее на восемь миллиметров. Что я должен получить в ответ? Я вижу два варианта: либо опять же бесконечно удаленную прямую, либо объект с неопределенным значением (nil), сигнализирующий о том, что попытка решения состоялась, но значение функции не определено. Я больше склоняюсь ко второму варианту и объясню почему.

Пусть у меня есть некоторая прямая a, значение которой мне пока не известно, но я хочу построить прямую b, которая находится на расстоянии восемь миллиметров от a. Что я получу? Разумеется, отсутствие решения для прямой b, поскольку значения у a нет. Пусть теперь я хочу построить прямую c, которая находится на расстоянии четыре миллиметра от прямой a. По той же причине построить прямую c не удастся. Но эти две неудачи не мешают ответу на следующий вопрос: каково расстояние между прямыми b и с? Для этого значение и явное присутчтвие прямой a не нужно. Если решать задачу "в лоб", то решение не получится, невозможно опереться на конкретные данные. Если же на основе анализа неполных структур данных, то решение получается за счет сокращения одной и той же переменной a.Спрашивается: если задача сформулирована по отношению к переменной a, в которую однажды попадет несобственная прямая, решение тоже будет иметь смысл или его опять же следует обозначить служебным объектом nil?