Гаспар Монж – ученый-энциклопедист (некоторые грани научного наследия)
Головнин Алексей Алексеевич
Тверской государственный технический университет
Работы Монжа по геометрии в пространстве
В провинциальной Мезьерской школе, где Монж работал до переезда в 1784 г. в Париж, он выполнил свои знаменитые работы по дифференциальной геометрии в пространстве. В работе, представленной в Парижскую академию в 1771 г., Монж производит глубокий анализ пространственных кривых. Монж показывает, что аналогом центров кривизны плоской кривой для пространственной кривой являются ее полярные прямые, что геометрическое место ее полярных прямых есть поверхность, которую можно разогнуть в плоскость, и т.д. В 1776 г. ученик Монжа по Мезьерской школе Менье представил Парижской Академии мемуар о кривизне поверхностей, написанный под непосредственным влиянием Монжа.
На протяжении чрезвычайно плодотворных лет работы Монжа в Мезьерской школе, им опубликованы: мемуар о барометрических опытах, выполненных Монжем совместно с Д'Арсе, пять мемуаров по теории дифференциальных уравнений в частных производных и два мемуара по теории уравнений в конечных разностях и о свойствах некоторых поверхностей с применением к теории теней и полутеней. Его начертательная геометрия, еще не опубликована, но о ней тоже знают. Монж широко известен как выдающийся геометр [1].
В появившемся в 1784 г. «Memoire sur la theorie des deblais et des remblais» (т. е. мемуар о выемках и насыпях) и связанном с земляными работами при возведении крепостей и постройке дорог, Монж, между прочим, строит две важные математические теории. Во-первых, он рассматривает общие свойства двупараметрических систем прямых в пространстве, которые теперь называются конгруэнциями прямых. В задаче Монжа – это кратчайшие пути частиц земли при переносе ее из выемки в насыпь. Во-вторых, Монж в этом мемуаре впервые рассматривает так называемые линии кривизны на поверхности и их свойства.
Подчеркивая совершенную общность главных нормальных сечений Эйлера и линий кривизны Монжа, Араго говорит: «Линии кривизны так же удивительны, как главные сечения Эйлера. Таким образом, имена этих знаменитых геометров навсегда будут соединены двумя капитальными открытиями в общей теории поверхностей». Лагранж, узнав об этом открытии Монжа, сказал: «Вы, любезный друг, открыли превосходные теоремы; я желал бы, чтобы это открытие было сделано мною». Монж признавался впоследствии, что ни один комплимент не доставил ему такого удовольствия.
Самая капитальная работа Монжа по оценке академика Б.Н.Делоне (здесь и далее по [2]), впрочем, как и современников, связана с теорией поверхностей. Имея всегда в виду практическую пользу, Монж исходил из того, что когда надобно употребить в дело некоторую поверхность, то инженеры не заботятся о степени ее уравнения, но имеют необходимость в ясном понятии об ее происхождении, не обращая внимания на алгебраическую иерархию поверхностей. Первые работы Монжа об уравнениях поверхностей, выражающих их происхождение, были напечатаны в «Записках Туринской академии» за 1770 и 1773 гг. Лагранж, получив работы Монжа, сказал: «Этот пострел со своим происхождением поверхностей идет к бессмертию», а также «Этот черт Монж всегда полон новых и смелых идей» [3]. Таким образом, в глазах авторитетных современников бессмертие Монж заслужил не за создание начертательной геометрии (во всяком случае, не только за нее).
Работы Монжа о конечных и дифференциальных уравнениях разных поверхностей, заданных способом их образования, печатались сначала в 1795 г. в виде отдельных тетрадей для пользования студентов Политехнической школы. Затем эти «Feuilles d'analyse applique a la geometric» вышли еще раз в 1801 г. Далее в значительно расширенном виде, большой книгой под названием «Application de l'analyse a la geometric» (т. е. «Приложение анализа к геометрии») были изданы в 1804 и 1809 гг. и, наконец, после смерти Монжа, в 1828 г. были выпущены под редакцией Луивилля, с приложением перевода работы Гаусса по теории поверхностей.
В этой знаменитой книге Монжа рассматриваются:
-
Поверхности цилиндрические, т. е. образуемые любым движением в пространстве прямой, остающейся параллельной самой себе;
-
Конические – образуемые любым движением прямой, проходящей через зафиксированную точку, вершину конуса;
-
Поверхности вращения;
-
Поверхности, получаемые любым движением горизонтальной прямой, проходящей все время через зафиксированную вертикальную прямую;
-
Поверхности «каналов», т. е. поверхности круглых трубок постоянного диаметра, получающиеся, если центр заданной окружности двигать по любой заданной кривой так, чтобы ее плоскость оставалась перпендикулярной к этой кривой;
-
Поверхности, у которых линия наибольшего ската везде образует постоянный угол с горизонтальной плоскостью, т. е. поверхности склонов насыпей;
-
Поверхности, развертывающиеся, т. е. такие, которые могут быть получены изгибанием плоского листа;
-
Поверхности переноса, т. е. такие, которые образуются любым параллельным передвижением в пространстве неизменной кривой, и т. д.
-
После этого Монж рассматривает теорию линий кривизны и, в частности, находит линии кривизны на общем трехосном эллипсоиде.
-
Затем он рассматривает поверхности, одно из семейств линий кривизны которых плоское, и
-
поверхности, у которых один из главных радиусов кривизны постоянен, или главные радиусы кривизны везде равны между собой по величине и обратны по знаку, т. е. их сумма равна нулю (минимальные поверхности).
-
Далее Монж рассматривает уравнения линейчатых поверхностей, т.е. поверхностей, получаемых любым движением прямой в пространстве, а также
-
поверхности, все нормали которых являются касательными данной сфере, к данному круговому конусу или к произвольной данной развертывающейся поверхности.
-
В виде приложения к книге Монж дает свою теорию интегрирования уравнений с частными производными первого порядка и знаменитое свое решение задачи о колебании струны.
-
Для каждого из видов поверхностей, рассматриваемых Монжем, он дает сначала дифференциальное, а затем конечное уравнение. Дифференциальное уравнение получается с частными производными от 2 по х и по у первого или второго порядка. Конечное уравнение содержит соответственно одну или две произвольные функции.
-
Монж ввел применяемое и сейчас обозначение буквами р и q частных производных от z по х и у и буквами r, s, t производных второго порядка.
-
Исходя из многочисленных частных задач, Монж построил свой способ решения дифференциальных уравнений с частными производными, основанный на чисто геометрических соображениях. Он рассматривал линии пересечения соседних поверхностей семейства, так называемые характеристики. Теорию характеристик Монж кладет в основу общего метода интегрирования уравнений с частными производными первого, а также некоторых уравнений с частными производными второго порядка, носящих и теперь его имя.
Монж первый перешел от изучения геометрии на плоскости к глубокому изучению геометрии в пространстве. Все его математическое творчество проникнуто пространственными соображениями. Его начертательная геометрия, теория образования поверхностей, геометрия дифференциальных уравнений – все это замечательные примеры пространственной интуиции. Монж – первый «стереометр» нового времени. Монж также впервые ввел в употребление математические модели (Обратим внимание, что Б.Н.Делоне не смешивает теорию образования поверхностей с начертательной геометрией).
От Монжа идет замечательная плеяда французских геометров – его учеников: Карно, Менье, Малюс, Дюпен, Понселе, Пуансо, Коши.
Рост интереса к научному наследию Монжа
Однако работы Монжа в области математики не исчерпывают его научных заслуг. Они есть и в ряде других областей. В 1873 г., почти одновременно с Кавендишем, он дал первое разложение воды на водород и кислород. Исключительна его роль в создании начертательной геометрии как науки [1]. «Сам гениальный Монж, будучи великим математиком и инженером, рассматривал свою начертательную геометрию не как математику, а как область графики, для которой математика служила подсобным средством. Изречение Монжа «чертеж – язык техника» говорит о прикладном значении, которое Монж придавал той науке, создателем которой сам и явился» [4]. Д.И.Каргин как и Б.Н.Делоне, начертательную геометрию обособляют от математики. Также обратим внимание на то, что Б.Н.Делоне из других областей, в которых есть научные достижения Монжа, называет только химию, что дает явно неполное представление о гении Монжа.
Спустя 30 лет, в основном благодаря работам академика А.Н. Боголюбова, официальная известность научных заслуг Монжа в нашей стране становится полнее [1,5,6,7,8,9]: «Монжу принадлежат основополагающие результаты в области начертательной, аналитической и дифференциальной геометрии, работы по проективной и высшей геометрии, математическому анализу, теории дифференциальных уравнений. Один из создателей науки о машинах. Дал геометрическую интерпретацию дифференциальных уравнений с частными производными. Автор основополагающих работ по теории поверхностей. В 1795 опубликовал свой курс начертательной геометрии и «Приложение анализа к геометрии». (Поскольку Монж совсем не интересовался опубликованием своих работ, знаменитый трактат «Начертательная геометрия» Монжа представляет собой запись его лекций, отредактированную и дополненную Бриссоном.) (На КГП ранее уделялось внимание «Начертательной геометрии» Монжа [10]). В 1802совместно с Ж.Н.П. Ашеттом издал первый курс аналитической геометрии. Создал (1807) метод характеристик для решения дифференциальных уравнений с частными производными. Ряд важных работ посвящен химии, физике, металлургии; принимал участие в разработке основ десятичной системы мер и весов. Занимался вопросами производства ружей и артиллерийских орудий» [11].
Основание Монжем теории машин
С именами Гаспара Монжа и его ученика Лазара Карно связано создание теории машин. Это было время великих открытий в области техники и в 1783 г. Л.Карно опубликовал книгу “Опыт о машинах вообще”. Гаспар Монж стал инициатором преподавания курса “Построение машин”, он же наметил основания классификации механизмов.
Первую попытку изложить систематически действие простейших машин и их элементов Монж сделал еще в курсе статики в Луврском военно-морском училище. В своем элементарном учебнике он впервые выводит правило сложения сил и их разложения на составляющие, рассказывает о моментах сил относительно точки, прямой и плоскости, вводит понятие веревочного многоугольника. В этом учебнике рассматривались действия сил, но еще не рассматривались конструкции машин.
Машина сама по себе стала объектом изучения в первой в мире открытой в 1794 г. Парижской политехнической школе во введенном впервые Монжем курсе построения машин. Стране требовались инженеры, поэтому точные науки, начертательная геометрия, математический анализ заняли в разработанном им курсе главенствующую роль. Только практически значимые сведения – физика, химия, механика, фортификация, архитектура, гидравлические устройства, элементы теории машин – таков был принцип Монжа.
Преподавать в школе были приглашены Лагранж, Вертолле, Фуркруа, Шапталь, Прони, Ашетт, Гассенфратц и другие видные ученые и педагоги. Первым директором школы стал Ламбларди. Монж отклонил сделанное ему предложение и с головой ушел в осуществление своей программы, суть которой была изложена в записке с названием «Подробности о преподавании в Центральной школе общественных работ». Не кабинетные досуги с циркулем и линейкой, не «забавы геометрии» привели Монжа к такого рода суждениям, а потребности промышленного развития, потребности практики общественных работ и народного образования.
Не случайно при создании Политехнической школы в обстоятельном приложении Монжа к докладу Фуркруа по этому вопросу было указано, что еще на первом курсе обучения следует выделить два месяца на изучение элементов машин, применяемых на общественных работах. Изображение и определение элементов машин он считал важной частью курса начертательной геометрии (по предложению Монжа, курс построения машин должен был составить часть курса начертательной геометрии). Четыре последних занятия своих учащихся Монж отводил на изображение механизмов, преобразующих, например, поступательное в движение по кругу, а его – в движение возвратно-качательное, а также изучению машин, в движение которых используются силы человека, животных, ветра, воды и пара.
Дело, начатое им в Мезьерской школе, а также в период работы над учебником статики для мореходных училищ, успешно продолжили вместе с Монжем его замечательные ученики Карно, Ашетт и другие. Из Монжевой статики машин выросла динамика и кинематика, с этого и началась та наука о машинах, какой мы ее сейчас знаем.
Как отмечал Дюпен, ученик и сотрудник Монжа по Политехнической школе, «Монж с превосходством гения в строках элементарной программы (читал курс Ашетт) наметил для описания машин порядок, который оказался простым, ясным и величественным (движение и преобразование движений)». «От программы Ашетта 1808 г. ведет свою родословную не только теория механизмов, являющаяся непосредственным правопреемником курса построения машин, но и отпочковавшиеся от него позже курсы машиноведения, деталей машин и пр.» [1].
«Программа элементарного курса машин включала разделы:
-
О силах, применяемых для движения машин и о способах их определения. Силы, получаемые от животных, от воды, ветра и от сгораемых субстанций.
-
Об элементарных машинах, о круговом движении, о движении прямолинейном, о движении возвратном; о формах машин, при помощи которых эти движения комбинируются по два; распределение все известных машин на десять серий и объяснение этих серий.
-
Объяснение основных машин, применяемых на строительстве.
-
Применение теории теней и раскраски к черчению машин» [12].
После столь сжатого изложения теоретической части курса в программе четко определено, что именно должны учащиеся не только усвоить в виде новых знаний, но и сделать своими руками. Это значит, какими умениями и навыками они должны овладеть – требование, столь характерное для педагогической школы Монжа, суть которой можно выразить несколькими словами: цель всякого обучения – подготовка к практической деятельности. Такая постановка дела исключила сползание в теоретизирование или уход в сторону от изучаемого предмета.
Подготовлен этот курс был исследователями французской школы (Monge, Hachette, Lanz и Betancourt). Предложенная Монжем программа включила следующие семь разделов:
1. Основные принципы;
2. Резка камней;
3. Резка дерева;
4. Тени;
5. Перспектива;
6. Топография;
7. Машины.
В последний раздел вошли:
1. Представление способов, с помощью которых можно преобразовать поступательное движение в движение по окружности и наоборот, движение по окружности в возвратно-поступательное движение и наоборот, обратно – поступательное движение в поступательное движение и наоборот.
2. Представление способов облегчения движений всех видов.
3 и 4. Описание основных машин, приводимых людьми, животными, силами, заимствованными у природы, подобно текущей воде, падающей воде, ветру и водяному пару [12].
«Учащиеся должны начертить в туши, с раскраской:
1. Толкатели, приводимые кулачками.
2. Винт с треугольной и прямоугольной нарезками.
3. Цилиндрическое зубчатое или червячное зацепление.
Они должны пояснить эпюры следующих машин:
1. Коническое зацепление.
2. Всасывающий и нагнетающий насосы.
3. Нория прямая и наклонная.
4. Водоподъемная машина.
5. Конный привод.
6. Архимедов винт.
7. Крыло ветряной мельницы.
8. Огнедействующая машина.
9. Машина для забивки свай.
10. Землечерпалка».
Теория кинематических пар является важным разделом теории структуры науки о машинах. Становление и развитие теории кинематических пар связаны с именами французских (Monge, Hachette, Laboulaye), немецких (Reuleaux, Grashof) и английских (Willis, Silwester) ученых.
Впервые понятие о механизме появилось в 1724 г. у Леупольда [13], а спустя 60 лет Г. Монж [14] уже понимал механизм как систему тел, предназначенных для преобразования движения [4, 15]. Его последователи, заботясь об универсальности создаваемой теории, ввели в классификационную систему существовавшие в то время и возможные механизмы, в том числе и такие, действие которых осуществлялось при помощи деформируемых тел. С этого момента перед теорией механизмов был поставлен вопрос о роли твердых и деформируемых тел в механизмах, впрочем, в дальнейшем он оказался отложенным [16].
Работы последователей Монжа были направлены на адаптацию выбранной им исходной теоретической схемы в соответствии с обширным новым эмпирическим материалом, накопленным к этому времени в практике создания машин (подъемных, паровых, прядильных, ткацких, мельниц, часов, станков и т. п.).
В этом смысле показательной является изданная в 1808 году книга “Курс построения машин”, написанный инженером А. Бетанкуром и математиком Х. Ланцем. Этот курс уже содержал не теорию “простых” машин, а механизмы – “элементарные машины”, которые были систематизированы по их функциям преобразования движений. По идее Монжа Ланцем и Бетанкуром были построены таблицы, в клетках которых размещались “элементарные машины” (около 40), известные в то время [17].
Ученик Монжа Ж.-Н.-П. Ашетт, читавший вместе с ним курс начертательной геометрии, получил в 1806 г. официальное предложение Монжа подготовить курс построения машин. Его “Элементарный курс машин”, изданный в 1811 г. содержал принципы построения машин, некоторые сведения по теории зубчатых зацеплений и кулачковых механизмов и описание машин, применяемых на строительных работах, включал классификацию составных частей машин, которые Монж назвал “элементарными машинами” (рычаг, ворот, наклонная плоскость и т. п.).
Монж – ученый – металлург, металловед, машиностроитель
По предложению Монжа, руководившего производством орудий, стволы орудий стали рассверливать и на баржах, стоящих на Сене. Монж заменил формовку в земле на формовку в песке, рационализировал сверловку и обточку стволов, чем значительно ускорил и упростил производство орудий.
В сентябре 1793 года Монж совместно с Бертолле и Вандермондом пишут наставление по выделке стали. Тогда же Монж пишет труд о литье пушек, представляющий собой синтез теоретической мысли и огромного практического опыта, накопленного Монжем в области металлургии, металловедения, машиностроения. «Искусство лить пушки» начинается с «исторического объяснения обстоятельств, которые подали повод к составлению сего сочинения»: «Предоставленная своим собственным силам перед лицом объединенных морских флотов Англии, Голландии, Испании, России и Неаполя, республика не имела достаточного числа кораблей» чтобы бороться против такого множества врагов» (бесспорное обоснование актуальности).
Краткий перечень других направлений научных исследований Монжа
Монж занимался множеством разнообразных вопросов: теорией взрывчатых веществ, капиллярностью, метеорологией и оптическими явлениями, цементацией стали, очисткой металлов, активно занимался гидравликой – подъемом воды и ее движением в реках и водопадах. Опираясь на законы отражения света, Монж дал первое научное объяснение природы миража, с которым встретились французы в Египте. Изучал возможности использования приливов и отливов, сопротивление воды движению корабля, стекольное производство и конструкции мельниц для зерна и сахара и даже выдвинул свою гипотезу о происхождении жизни на Земле.
Работая над актуальными проблемами воздушного полета, Монж углубился в химические исследования, занялся изучением различных газов, включая и водород. Независимо от Уатта, Кавендиша и Лавуазье, Монж установил состав воды [18]. О результатах своего эксперимента Монж написал мемуар и послал его Вандермонду, который и огласил его в академии. Однако этот замечательный мемуар, к сожалению, пролежал без опубликования до 1786 года.
Впрочем, как мы понимаем, Монжа это не беспокоило.
Литература
1. Боголюбов А.Н. Теория механизмов и машин в историческом развитии ее идей. – М.: Наука, 1976. – 466 с.
2. Делоне Б.Н. Гаспар Монж как математик. Гаспар Монж. Сборник статей к двухсотлетию со дня рождения. Под ред. академика В. И. Смирнова. Изд-во Академии Наук СССР, Л., 1947 г
3. Гиндикин С.Г. Жозеф Луи Лагранж. Рассказы о физиках и математиках. М.: МЦМНО, 2001.-448 с. ISBN 5-9000916-83-9 С.281. URL: http://alexandr4784.narod.ru/gindikin.htm (дата обращения: 21.03.2017)
4. Каргин Д.И. Гаспар Монж - творец начертательной геометрии. "Гаспар Монж". Сборник статей к двухсотлетию со дня рождения. Под ред. академика В. И. Смирнова. Изд-во Академии Наук СССР, Л., 1947 г. OCR Detskiysad.Ru URL: http://www.detskiysad.ru/raznlit/monge2.html (дата обращения: 21.03.2017)
5. Артоболевский И.И., Боголюбов А.Н. Теория механизмов и машин. - В кн.: История механики с конца XVIII века до середины XX века. – М.: Наука, 1972. С. 190-225.
6. БоголюбовА.Н. История механики машин. – Киев: Наукова думка, 1964, - 463 с.
7. Демьянов В.П. Геометрия и марсельеза. – М.: Знание, 1979. 234 С. URL: http://ru.bookzz.org/book/2398825/8ff0b7 (дата обращения: 21.03.2017)
8. Ермак В.Н. Теория механизмов и машин (краткий курс) Учебное пособие Кемерово 2011, - 164 с. URL: http://valery-a-zlobin.ru/library/TMM_KPATKUY_KYPC._B.H.EPMAK.pdf (дата обращения: 21.03.2017)
9. В. Г. Горохов Техника и математика (из истории теории механизмов и машин). К 100-летию со дня рождения Алексея Николаевича Боголюбова. ВИЕТ. 2011. № 3. С. 53–86. http://iph.ras.ru/uplfile/chps/53-86-gorohov--1.pdf
10. Хейфец А.Л. Теоретические основы 3D-компьютерного геометрического моделирования и Гаспар Монж. Прблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе в условиях ФГОС ВПО. Материалы III научно-практической конференции с международным участием (г.Пермь, сентябрь, ноябрь 2012 г.), с.210-216.
11. Боголюбов А.Н. Математики механики. Библиографический справочник. Киев, Наукова думка, 1983 , 639 С.
12. Боголюбов А.Н. Гаспар Монж (1746–1818). М., 1978. - 186 с.
13. Leupold J. Theatrum machinarum. – Leipzig, 1724, Bd. 1
14. Monge G. Tratéé lé mentaire de statiqueal’usage des colleges de la marine. – Paris, 1786.
15. Э.Я. Живаго. История создания теории и классификации кинематических пар. Теория механизмов и машин. 2008. № 2. Том 6. URL: http://refdb.ru/look/2530670.html (дата обращения: 21.03.2017)
16. Головнин А.А. Особенности структурного анализа механизмов с упругими и гибкими звеньями. 20 с. Твер. политехн. ин-т. – Тверь, 1990.- Деп. Во ВНИИТЭМР, 333-мш90.
17. Lanz, J. M., Betancourt, A. Essai sur la composition des machines. Paris, 1819. Английский перевод: Lanz, J. M., Betancourt, A. Analytical Essay of the Construction of Machines. London, 1820.
18.URL: http://nsportal.ru/shkola/khimiya/library/2012/02/02/urok-khimii-voda-sostav-i-svoystva (дата обращения: 21.03.2017)