Здравствуйте, Алексей Александрович! Спасибо большое за положительный отзыв! 

С уважением, Евгений Конопацкий.

Извиняюсь за опечатку: "С удовольствием..." Жаль нельзя редактировать комментарии. Иногда бывают чисто механические описки.

Доброе утро, Александр Владиславович!

С довольствием прочитал Вашу статью. Вчера посмотрел ещё некоторые другие ваши работы в РИНЦ. В плане моделирования многомерных геометрических объектов наши исследования действительно достаточно близки, но проводятся различными методами.

Спасибо большое за информацию о журнале, который индексируется в Scopus. В связи с тем, что наша Академия прохот аккредитацию в России, у неё появилась необходимость публикации статей в журналах, индексируемых в Scopus. Правда на это не выделяются никакие средства... Поэтому приходится искать бесплатные журналы. Из этих соображений Вам отдельная благодарность за информацию!

С уважением, Евгений Конопацкий.

Здравствуйте, Александр Львович!

В нашем случае каркаса нет. Вы совершенно правы, поверхность сразу натягивается непосредственно на точки. На рисунке 1 приведена лишь геометрическая схема моделирования поверхности, чтобы было понятно, каким образом она натягивается на исходные точки и каким образом формируются необходимые точечные уравнения.

С работами уважаемых коллег С.Н. Кривошапко и В.Н. Иванова знаком. Ссылок не делал, потому что не использовал их идеи моделирования поверхностей. В БН-исчислении используются немного другие методы, которые позволяет выполнить обобщение способа моделирования геометрических объектов на многомерное пространство. Ведь целью статью было не просто смоделировать конкретную поверхность, а продемонстрировать метод решения дифференциальный уравнений, который может иметь обобщение на многомерное пространство. К тому же, если бы я использовал другие методы, то решение задачи было бы более частным. Т.е. для каждых граничных условий пришлось бы моделировать новую поверхность. В нашем случае уравнение поверхности не меняется. Меняются лишь координаты точек, которые в него входят.

В Макеевке сейчас спокойно. Выстрелов пока нет. Учебный процесс идёт очень тяжело, потому что не хватает кадров. У нас на кафедре почти все на 1,5 ставки и плюс ещё есть совместители с других кафедр. Такая проблема почти на всех кафедрах. Ещё наш ВУЗ подал документы для прохождения аккредитации в РФ. От коллег много жалоб, что вместо учебного процесса приходится делать целую кучу бумаг для аккредитации и это не только РПД, УМКД и ФОСы. Время уходит непонятно на что. Здесь же на конференции Яна Кокарева писала об аналогичных проблемах.

С уважением, Евгений Конопацкий.

Здравствуйте, Александр Владиславович!

1) В общем случае уравнения математической физики содержат три координаты (x, y, z), время t и функцию отклика U=f(x, y, z, t). Таким образом, получается четырёхпараметрическая гиперповерхность, принадлежащая пятимерному пространству. Параметрические уравнения такой гиперповерхности достаточно сложно представить в наглядном виде. Уравнения большие и сложные, формально это даже не одно уравнение, а вычислительный алгоритм. Поэтому приводится пример решения частного случая, для которого U=f(x, t).

Общая идея заключается в том, что результат решения любого дифференциального уравнения можно аппроксимировать некоторым геометрическим объектом. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение можно аппроксимировать некоторой линией отклика (однопараметрическим множеством точек), уравнения с двумя переменными – в виде отсека поверхности отклика (двухпараметрическое множество точек). Далее обобщая, уравнения с тремя переменными – в виде отсека гиперповерхности отклика (трёхпараметрическое множество точек) и т.д. Вопрос возникает лишь в том, как смоделировать все эти геометрические объекты, чтобы они удовлетворяли условию дифференциального уравнения? Для этого формируется специальная сеть точек, размерность которой зависит от моделируемого геометрического объекта. Для одномерного случая – одна из осей системы координат, соответствующая исследуемому фактору, разбивается на участки, в которых узловые значения функции отклика вычисляются таким образом, чтобы удовлетворять исходному дифференциальному уравнению. Такой случай я рассматривал в докладе на конференции «GraphiCon 2018». Для двумерного случая – две оси системы координат, соответствующие исследуемым факторам, разбиваются на участки, формируя тем самым сеть точек в плане. В узлах сети вычисляются такие значения функции отклика, которые соответствуют исходному дифференциальному уравнению. Это как раз то, что я пытался представить в данной статье. Для трёхмерного случая – три оси системы координат, соответствующие исследуемым факторам, разбиваются на участки, формируя тем самым сеть точек в трёхмерном пространстве. В узлах сети вычисляются такие значения функции отклика, которые соответствуют исходному дифференциальному уравнению и т.д. Вот об этом обобщении и идёт речь.

В приведенном примере оказалось достаточным использовать всего одну поверхность отклика, но в её основе лежат особые дуги кривых, проходящих через наперёд заданные точки. Некоторые из них получены на основе кривых Безье, но после модификации полученные кривые обладают совершенно другими свойствами. Например, отсутствуют касательные в начальной и конечной точках, за счёт которых увеличено количество точек, через которые проходит кривая. Такой подход позволил найти единое уравнение регулярной поверхности отклика, проходящей через 16 наперёд заданных точек. Т.е. можно взять любые координаты 16 действительных точек и поверхность обязательно через них пройдёт (с мнимыми не экспериментировал). Но на самом деле 16 точек это только пример. В общем случае количество точек может быть практически любым и план может быть не прямоугольным, как в приведенном примере. Если точек слишком много, то рациональнее не увеличивать порядок кривых, формирующих геометрический объект, а использовать составной геометрический объект (В №4 журнала «Информационные технологии в проектировании и производстве» за 2018 г. у меня есть статья по моделированию многомерных обводов, в которой приводятся необходимые вычислительные алгоритмы). В случае, когда составные части будут стыковаться по нулевому порядку гладкости, получим классический метод конечных элементов. В нашем случае при необходимости можно состыковать геометрические объекты и по первому, и по второму порядку гладкости. Всё зависит от конкретных условий задачи. Здесь получается отдельная задача. Что лучше? Увеличивать количество узловых точек для достижения необходимой точности или использовать для этой цели кусочно-полиномиальные функции?

2) С «основами начертательной геометрии» я возможно погорячился. У меня прошлым летом вышел интересный случай с рецензентом. Послал свою статью в один из солидных журналов. Получил две рецензии. Одна содержала конструктивные замечания, а вторая довольно странные. Цитирую: «Следует отметить, что рецензент не обладает знаниями в области начертательной геометрии… Дело в том, что остается неясным, что автор понимает под «гиперповерхностью», «поверхностью», «образующей линией»…». К сожалению, бывают случаи, когда специалистам из других областей приходится рецензировать наши статьи, ведь если верить Сергею Игоревичу, то в РФ всего 11 докторов по специальности 05.01.01. Хотя в данном случае конференция геометрическая. С замечанием согласен, лучше было бы перефразировать.

С уважением, Евгений Конопацкий.

Тогда понятно, вы и саму пространственную кривую, и поверхности её образующие рассматриваете как направляющие. Большое спасибо за ответ. Интересный подход. Желаю вам успехов в дальнейших исследованиях!

С уважением, Евгений Конопацкий.

Здравствуйте, Николай Андреевич!

Спасибо за интересный доклад. Можно мне задать вопрос по поводу торсовых поверхностей?

Если исходить из определния торсов, то для их построения достаточно одной направляющей (пространственной кривой) и одного условия (образующая должна быть касательной к пространственной кривой). Конечно можно задавать торсы и другими способами (у Кривошапко об этом описано достаточно подробно), но это будут уже частные случаи. Возможно в вашем выводе речь идёт о плоских направляющих линиях или всё таки и о пространственных тоже?

Здравствуйте, уважаемые коллеги!

В соответствии с распоряжением Минобрнауки России от 28 декабря 2018 г. № 90-р мне удалось найти всего 5 изданий по специальности 05.01.01 – Инженерная геометрия и компьютерная графика, которые считаются включенными в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук, по научным специальностям и соответствующим им отраслям науки:

1) Вестник компьютерных и информационных технологий;

2) Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика

3) Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Строительство и архитектура»;

4) Геометрия и графика;

5) Строительство и техногенная безопасность.

Раньше журналов со специальностью 05.01.01 было значительно больше. Но исчезли из свежего перечня не только сами журналы. Из некоторых журналов была исключена научная специальность 05.01.01!

С уважением, Евгений Конопацкий.