Уважаемый Александр Львович!

        Попробую ответить на Ваши вопросы.

1. Теорема Безу. Формулировка этой теоремы и два доказательства есть в книге J.G. Semple, L. Roth «Introduction to algebraic geometry» Oxford, 1949 (1-е издание), 1985 (2-е издание). Здесь теорема сформулирована в самом общем виде о пересечении r гиперповерхностей порядков n₁, n₂, …, n_r.

О взаимосвязи порядков кривой и ее проекции можно прочитать в моем учебнике (раздел 2.5.3).

2. Не знаю. Может быть ответ найдется при изучении статьи А.М. Лукомская «Перечень трудов и литературы о жизни и деятельности Гаспара Монжа».
3. Графическое определение порядка пространственной кривой по числу точек ее пересечения с плоскостью не может дать точный ответ, так как невозможно учесть мнимые точки пересечения. Следует этот вопрос адресовать нашим специалистам (А.Г. Гирш и А.В. Короткий), занимающимися вопросами изображения мнимых элементов.

Г.С. Иванов

Здравствуйте, Виктор Анатольевич!

Вы правы, что теорема о порядке проекции линии пересечения поверхностей порядков n и m с общей плоскостью симметрии справедлива только для четных значений. Если бы не этот смышленый студент И.Ф. Боровикова, я бы, наверное, до сих пор не задумался об этом «парадоксе дробного порядка» (возможно, «злую шутку» сыграл тот факт, что в курсе НГ мы рассматриваем лишь поверхности четного порядка – квадрика и тор).

1. Теперь несколько слов о приведенном примере. По-видимому, в Ваши рассуждения вкралась ошибка:

- во-первых, несобственная прямая относительно Oxz сама себе симметрична (симметрия относительно Oxz – это инволюционная гомология с центром в несобственной точке оси Oy и инвариантной плоскостью Oxz. Поэтому несобственная прямая n является слабоинвариантной (самосоответственной).

во-вторых, две кубики не могут пересекаться по пространственной кривой 10-го порядка (2x5).

2. По-поводу конической поверхности см. наше объяснение «парадокса» 22.03.2019, 0:59.
3. Моноид – это алгебраическая кривая или поверхность порядка n, содержащая (n - 1) – кратную точку, называемую его вершиной. Вершина может быть собственной или несобственной. Например, параболы высших порядков – это моноиды с несобственной вершиной.

Поэтому центральные кремоновы преобразования также называются моноидальными, т.к. образы (гомолоиды) прямых линий (в случае преобразований плоскости) и плоскостей (в случае преобразования пространства) являются моноидами.

С уважением, Г.С. Иванов

Уважаемые коллеги! Большое спасибо участникам конференции, обратившим внимание на наш доклад и за Ваши комментарии. Предлагаем Вашему вниманию авторское решение И.Ф. Боровикова приведенной ранее задачи.

Условие задачи:                                                                           

Решение:

А также в качестве еще одного примера, иллюстрирующего тему доклада, расскажем о примечательной истории, случившейся с одним из преподавателей кафедры инженерной графики МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Приходит после лекции лектор в преподавательскую и рассказывает: «Читаю лекцию о пересечении поверхностей второго порядка. Доказываю теорему, что в общем случае они пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка и ее проекции также будут кривыми четвертого порядка. Если же они имеют общую плоскость симметрии, параллельную какой-либо плоскости проекции, то линия их пересечения будет проецироваться на эту плоскость в кривую второго порядка. То есть порядок проекции в этом случае два раза меньше порядка самой кривой. Далее отмечаю, что это свойство обобщается и на пересечение поверхностей высших порядков. Тут один смышленый студент говорит, что в случае пересечения поверхностей нечетного порядка, порядок проекции будет дробным числом. Разве такое возможно?»

Лектор ответил, что он как-то об этом не думал и обещал на следующей лекции объяснить этот «парадокс». В преподавательской нас было 3-4 человека. Мы этот вопрос «обмозговали» и придумали следующее объяснение:

Если поверхность нечетного порядка n имеет плоскость симметрии, например, Oxz, то все прямые l || Oy пересекают ее в несобственной точке оси Oy и (n – 1)/2 парах точек, симметрично расположенных относительно плоскости Oxz. Поэтому эта точка является общей несобственной точкой данных поверхностей с общей плоскостью симметрии. Следовательно, две алгебраические поверхности нечетных порядков n и m с общей плоскостью симметрии пересекаются по пространственной кривой порядка nm, которая на их общую плоскость симметрии проецируется в кривую порядка (nm - 1)/2.

С уважением Г.С. Иванов

Виктор Анатольевич, здравствуйте!

Полностью присоединяюсь к высокой оценке Дмитрия Евгеньевича Вашего грамотного решения задачи И.Ф. Боровикова.

Г.С. Иванов

Людмила Георгиевна, здравствуйте!

Зачем же Вы мне приписываете слова, которые я не говорил? Я только заступился за студентов «Бауманки». Если у меня в конце лекции остается 5-7 минут сэкономленных минут, я довольно часто рассказываю о прикладных геометрических задачах по материалам защищенных диссертационных работ (проектировании санно-бобслейных трасс, расчет их освещения, о геометрии поверхностей воздухозаборников современных самолетов и т.д.). О многомерной геометрии рассказываю, как правило, на примере моделирования системы «состав-свойство». Вы видели, с каким интересом студенты слушают о четырехмерной геометрии Минковского «пространство и время»? Особенно, геометрическое объяснение факта, почему космонавты, улетевшие со скоростью, близкой к скорости света, возвращаются обратно молодыми же, а на Земле за это время меняется несколько поколений.

Г.С. Иванов

Виктор Анатольевич, здравствуйте!

Прочитать чертеж прямой общего положения, у которой горизонтальная a^/ и фронтальная a^// проекции параллельны, можно способом приведения. Исходную аффинную задачу приводим к проективной задаче пересекающихся прямых. Теперь все просто: точка М их пересечения является точкой пересечения прямой a с биссекторной плоскостью четных четвертей. В исходном варианте точка М «ушла в бесконечность в направлении прямой а». Значит, прямая a параллельна этой биссекторной плоскости.

Г.С. Иванов

Уважаемая Людмила Георгиевна!

Внимательно прочитал Ваш комментарий к нашей статье.

Первое впечатление: Вы увлеклись перечислением известных Вам видов фрез и забыли о теме статьи – о преподавании геометрии в высшей школе. Позднее до меня «дошло» главное: Ваше отрицательное мнение о личностных качествах первокурсников Вашего родного университета. Знали бы они, какого «высокого» мнения о них ст. преподаватель кафедры инженерной графики Полубинская Л.Г. В результате стало очень обидно за первокурсников «Бауманки» и возник естественный вопрос: «Откуда же тогда берутся студенты, способные решать сложнейшие олимпиадные задачи?»

Например, в декабре 2018 года на университетской олимпиаде по начертательной геометрии была следующая задача (автор – доцент Боровиков И.Ф.).

Задача. Построить проекции прямоугольного треугольника ABC, катет AB которого принадлежит биссекторной плоскости четных четвертей пространства, равен 80 мм и составляет угол 30º с плоскостью проекций П₂, AC - второй катет, вершина C принадлежит прямой EF, параллельной биссекторной плоскости четных четвертей. Задачу решить без использования третьей проекции и способов преобразования.

Примерно из 160 участников задачу безупречно решили 7-8 студентов. Скажете, что мир не без талантливых людей. Отвечу: для появления таких талантов нужна «критическая масса». По моим прикидкам примерно 80% первокурсников МГТУ им. Н.Э. Баумана достаточно грамотные и способные!

Уважаемые участники интернет-конференции!

Если есть желание и время, попробуйте решить приведенную задачу.

Подсказка: сначала прочитайте чертеж прямой общего положения, у которой горизонтальная и фронтальная проекции параллельны.

Рассудите нас: чьи аргументы весомее?

Г.С. Иванов

Александр Львович!

К ответу Н.А. Салькова на Ваш вопрос о трех направляющих торсовой поверхности добавлю от себя. Торсовая поверхность выделяется из конгруэнции бисекант, т.е. множества прямых, пересекающих ребро возврата дважды (эквивалент задания двух совпавших направляющих). Роль третьей направляющей выполняет условие, что секущая становится касательной при совпадении точек пересечения. Это – классика!

Г.С. Иванов

Дорогой Антон Георгиевич!

В статье Вы сопоставляете названные фигуры Евклидового (Е-геометрия) и М-геометрии «(Минковского, она же псевдоевклидова или мнимая)» (выделено мною). Из этой фразы следует, что псевдоевклидова геометрия состоит якобы только из мнимых фигур.

Но это не так! Дело в том, что евклидова и псевдоевклидова геометрии отличаются только своими абсолютами:

- абсолют евклидовой геометрии – это эллиптическая инволюция, задаваемая на несобственной прямой окружностью, а абсолют псевдоевклидовой геометрии – гиперболическая инволюция на несобственной прямой, задаваемая равнобочной гиперболой;

- в обеих геометриях длина измеряется параболически, а угол – соответственно эллиптически и гиперболически!

По-видимому, в статье речь идет о сопоставлении свойств мнимых элементов этих геометрий.

С ув. Г.С. Иванов

Уважаемый Дмитрий Евгеньевич!

В 2013 году по инициативе проф. В.Я. Волкова было организовано более 10 ходотайств от ректоров ряда ВУЗов и руководителей ведущих предприятий в поддержку проекта письма Министерства образования и науки России об открытии в системе ВПО направления подготовки бакалавров и магистров по специальности «Инженерная геометрия и компьютерная графика» (проект письма и ходотайства находятся у меня). К сожалению, на этом дело заглохло.

Возможно, новый методический совет вспомнит об этой инициативе и попробует ее реализовать в возможной в наше время форме (новое направление подготовки или новая программа курса). Лично я готов принять участие в такой работе.

С ув. Г.С. Иванов

Здравствуйте, Александр Владиславович!

На Ваше предложение рассказать о В.Н. Первиковой и ее работах подробнее отвечу так.

Во-первых, я не считаю себя большим специалистом в многомерной начертательной геометрии. В аспирантские годы (1965-1968 г.г.) я регулярно посещал ее семинары; с 1969 г. работал вместе с ней на кафедре прикладной геометрии МАИ; начиная с 80-х г.г. работали вместе в диссертационном совете по специальности 05.01.01.

Во-вторых, заведующий кафедрой прикладной геометрии Иван Иванович Котов, которого все «начертальщики» СССР считали нашим выдающимся лидером, еще в начале 70-х начал ратовать за превращение начертательной геометрии в инженерную. Он на самолетостроительном факультете читал несколько лет объединенный курс начертательной и аналитической геометрии. Если помните наше сообщение с И.М. Дмитриевой на КГП-2017, где речь идет не о преподавании многомерной начертательной геометрии, а лишь о ее основных положениях. Это дает возможность «перекинуть мосточек» от начертательной геометрии к некоторым разделам высшей математики.

Что сейчас происходит? Студентов технических ВУЗов учат решать системы линейных уравнений, но им не объясняют геометрического смысла уравнений от 4-ех и более неизвестных. Такая же проблема с геометрическим толкованием нелинейных функций от трех и более переменных.

Как в таком случае можно говорить о межпредметных компетенциях? Я не идеалист, хорошо вижу уровень знаний наших студентов. Но что-то надо делать: не продолжать же преподавание по программам прошлого века! Мое понимание этого вопроса я попытался реализовать в своем учебнике «Начертательная геометрия», - М.:ФГБОУ ВПО МГУЛ (в настоящее время Мытищинский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана), 2012.

Извините за длинное вступление (наболело!). Я думаю, что хороший ответ на Ваш вопрос найдете в статье: В.Н. Первикова, Н.В. Наумович, Г.Е. Дмитренко, Е.П. Зайцева, М.Г. Подылина «Многомерная начертательная геометрия и геометрические методы исследования многокомпонентных систем» // Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике III, труды института, вып. 242, изд-во МАИ, М. – 1972 г.

С уважением Г.С. Иванов

Уважаемый Александр Владиславович!

Приятно читать добрые слова математика о многомерной начертательной геометрии, которой занимаются в основном «технари». Жаль только, что Вы ни слова не сказали о школе многомерной начертательной геометрии кафедр прикладной геометрии МАИ, основанной проф., д.т.н. Валентиной Николаевной Первиковой. Она в 60-70 г.г. прошлого века руководила Московским ежемесячным городским семинаром по многомерной начертательной геометрии. Подготовила ряд к.т.н. для кафедр инженерной графики СССР. А его ученик, д.т.н., проф. Волков Владимир Яковлевич, организовал и много лет руководил Омской школой многомерной начертательной геометрии, подготовил двух докторов наук (Юрков В.Ю., Вертинская Н.Д.) и несколько к.т.н. по специальности 05.01.01.

С ув. Г.С. Иванов