Добрый вечер, Людмила Сергеевна!!!

Три восклицательных знака, т.к. именно «ЭТО» я искала. Спасибо большое за Д.И. Перепелкина "Об одном построении правильного икосаэдра и правильного додекаэдра". Математическое просвещение, 1937г., №12.

 Книга Д.И. Перепелкина «Курс элементарной геометрии», часть 2, Геометрия в пространстве, М.-Л., 1949, С. 345. у меня есть в формате «DJVU», но почему-то я ее обошла вниманием. Впрочем, там не оказалось нужного способа построения додекаэдра.

Построение икосаэдра описывается Перепелкиным классически, по сути, на основании золотых прямоугольников-ЗП, хотя он их так не называет и не изображает.

В подсказанной Вами работе 1937 г. начало построения додекаэдра ведется на основе отрезков пропорции золотого сечения, а в конце сведено к вписыванию куба и, по-моему, к методу «крыш» – они видны. Понятно, что без компьютерных технологий в то время иначе было нельзя.

Да, такой способ для икосаэдра мне был известен (о чем я пишу в статье), а способ для додекаэдра я дополнила сама. Радует, что вначале мы с Д.И. Перепелкиным мыслили одинаково, но благодаря 3D моделированию, я завершила построение более коротким путем.

Не понятно, почему Ваши студенты не увидели в этом способе объема? Разве они строили не объемные модели, или не могли преобразовать поверхности в 3D тела? Способ, действительно, под компьютер. Эти работы проводились вне занятий?

Полученной результат лишний раз подтверждает «ясность рассуждений» и наглядность объемных построений икосаэдра и додекаэдра на основе прямоугольников пропорций золотого сечения.

С уважением и благодарностью, Вера Николаевна

Добрый вечер, Константин Григорьевич!

Я думаю, у меня получилось решить эту задачу «чисто на компьютере» по одной фотографии (той, что прислали Вы, на ней в вершине кристалла две грани почему-то не состыкованы).

В основании кристалла лежит правильный шестиугольник, а кристалл оказался осколком правильной шестигранной пирамиды. Поэтому высоту пирамиды взяла с подложки фотографии (строила в AutoCAD), а основание из пропорции – габариты Вы мне не сообщили. Т. к. при параллельном проецировании отношение отрезков (длины ребер пирамиды и того, что от них осталось у кристалла) не меняется, то можно у модели кристалла оставить нужную величину ребер.  Дальше пирамиду рассекаем плоскостями, проходящими через ребра кристалла. На основании этих сечений строим поверхности верхних граней кристалла. Одна заминка, т.к. у меня не было высоты кристалла, пришлось его вершину взять на пересечении 2 граней приблизительно, иначе пересечение 3 поверхностей указали бы вершину. Разложив грани модели кристалла в плоскости, получим его выкройку.

Интересно, по какому алгоритму строили Вы так быстро!

С уважением, Вера Николаевна

Добрый вечер, Алексей Алексеевич!

Большое спасибо за внимание к моей работе.

Да, действительно, компьютерное 3-D моделирование и умный, и полезный инструмент для тех, кто хочет учиться, развиваться, одним словом трудиться.

Прежде, чем что-либо построить на компьютере, надо хорошо подумать головой. И связь здесь взаимная, объемные построения помогают увидеть то, что трудно представить, вообразить, и нередко приводят к неожиданным подсказкам. Что было не раз и в моей работе, «провернуть в голове» все симметрии тел Платона и Архимеда, наверное, было не легко и древним грекам. Я считаю, что нам повезло: мы живем в такое время, когда есть помощник-компьютер с его трехмерной графикой.

С уважением, Вера Николаевна

Добрый день, уважаемый Александр Владиславович!

Материал, с которым я ознакомила участников конференции, надеюсь опубликовать в журнале. Большое Вам спасибо за активное участие в моей работе, за замечания, подсказки и поддержку. Без Вашей идеи тела Архимеда «не нашли бы своей опоры» на прямоугольники (не пишу «золотые», т.к. у ромбоусеченного икосододекаэдра (РУИД) стороны прямоугольника не в пропорции золотого сечения, в процессе усечения вершин это свойство утратилось). РУИД строила на основе предыдущего РИД. Надо еще придумать, как построить плосконосый додекаэдр и, по-моему, больше ни одно тело Архимеда на может «опереться» на прямоугольники.

Работа выполнялась под идейным руководством моего коллеги и учителя Александра Львовича Хейфеца.

С искренним уважением, Вера Николаевна

Добрый вечер, Александр Владиславович!

Еще одно «тело» Архимеда – ромбоикосододекаэдр (РИД) готово. 

Построения вела на основе додекаэдра, вписанного в куб (у него взяла грани). Вот и пригодился додекаэдр, описанный около куба (у него взяла прямоугольники). Грани додекаэдра вставила на расстоянии с, равном стороне грани (красные отрезки на рис. 1), чтобы получился квадрат. Остальное, надеюсь, понятно по картинкам. Плоскости прямоугольников не стала удалять из модели (это их уголки выглядывают из РИД).

С уважением, Вера Николаевна.

Добрый вечер, Александр Владиславович!

Усечённые икосаэдр и додекаэдр тоже получились без проблем. Синии контуры исходных граней оставила, чтобы было понятно построение.

А над ромбоикосододекаэдром, плосконосым икосододекаэдром и ромбоусеченным  икосододекаэдром надо подумать. «С ходу» не знаю, как построить, опираясь на прямоугольники.

 С уважением, Вера Николаевна

Добрый вечер, Александр Владиславович!

Попробовала для икосододекаэдра, получилось. Но он, мне кажется, самый простой. Только с 3D зеркалом «крыша чуть не съехала»…

Надо и остальные попробовать. Спасибо за идею. Высылаю картинку икосододекаэдра в этом окне, если дойдет.

С уважением, Вера Николаевна

Добрый день, Александр Владиславович!

Очень признательна за внимание к статье. Отдельное спасибо за замечание и за ссылку.

С уважением, В.Н. Васильева

Добрый день, Николай Андреевич!

Большое спасибо за внимание к моей статье. Да, о серебряном сечения я знаю, но подробно с ним не знакома. Благодарю за открытие для меня нового имени в этой теме – Борисевича Игоря Александровича. Обязательно ознакомлюсь с его трудами. 

С уважением, В.Н. Васильева

Добрый день, Александр Олегович!

Очень приятно получить такую оценку моей работы от Вас.

Хочется привести слова лауреата Нобелевской премии по физике Ф. Вельчик: «Тела Платона поддерживают вокруг себя какую-то магию. Они всегда были и остаются теми объектами, с которыми можно творить волшебство. Они уходят корнями глубоко в доисторическую пору человечества и живут сейчас…».

Красота и совершенство правильных многогранников никого не оставляют равнодушным.

С уважением, Вера Николаевна