Алексей Александрович! Построение коники на компьютере, а именно: графически точное построение определителя (осей, фокусов и асимптот) c последующим ее вычерчиванием по любому из всех 53 вариантов мыслимых инциденций (точек и касательных), плюс возможность геометрически точно (циркуль, линейка) определять метрику коники, проходящей через пары сопряженных мнимых точек, наряду с действ элементами -  эта прекрасная возможность совершенно свободно без всяких ограничений предлагается всем желающим уже несколько лет на самых разных конференциях, в том числе на КГП. Достаточно послать запрос OSPOLINA@MAIL.RU и получить текст программы с инструкцией. Пока желающих не было. Поэтому. Если Вам вдруг потребуется начертить конику, например, касающуюся пяти совершенно произвольно начерченных прямых - обращайтесь. Или параболу по 4 касательным. Или с участием несобственных точек. И так далее.

Короче говоря - для меня коника давно стала таким же точным графическим примитивом, как прямая и окружность. Задавайте на экране ЛЮБОЙ (непротиворечивый) набор точек и касательных из 53 возможных - получайте конику, ее оси, асимптоты, фокусы. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ТОЧНО! Такая же возможность есть  в СИМПЛЕКС, но мне удобнее пользоваться своей самодельной программой. Ее минус - она в автолиспе. Ее плюс - объем 40 кб (не мб, а кб!). Никаких проблем при конвертации на любой язык. Проективные алгоритмы, на которых построена программа - предельно просты.

С уважением, великий программист Короткий Виктор Анатольевич     

Николай Андреевич!  Это учебное пособие "Начертательная геометрия. Конспект лекций", авторы Короткий В.А, Хмарова Л. И, Буторина И.В, изд-во ЮУрГУ, 2014 год, 190 стр., рекомендовано МГТУ в качестве учебного пособия для для напр-я подготовки "Инженерное дело, технологии и техн науки". Обычный конспект, но с добавкой лекции по 4-хмерной НГ и лекции "Комп графика в начертательной геометрии". И немного - о степенях свободы геом фигур (о размерности беск множеств). И о касат пл-тях. И о трех типах точек на пов-сти. И док-во теорем об особых случаях пересечения ПВП. И кубич парабола в форме Безье, Эрмита. И построение обводов. КОРОЧЕ - ГЕОМЕТРИЯ! Та самая общеобразовательная дисциплина, те базовые, фундаментальные  знания, которые мы, преподаватели, обязаны предоставить студенту на 1 курсе. Которые ну никак не заменить безусловно полезными справочными сведениями о назначении кнопок последней версии автокада или солида.

С уважением, Короткий В.А., преподаватель геометрии. Конспекта почему-то нет в Инете, если надо - вышлю ПДФ.

Николай Андреевич! Вы правы. Позволю себе привести абзац (с некоторыми сокращениями) из нашей лекции "Аксонометрия как теоретическая основа трехмерной графики". Этот абзац, кажется, совпадает по смыслу с вашим комментарием.

"3D-моделирование - процесс создания виртуальной трехмерной модели объекта. Трехмерная модель существует в матрично-цифровой форме и фиксируется в памяти компьютера. Матрицы содержат коорд-ты характерных точек объекта и коэфф-ты ур-ний, описывающих криволинейные участки моделируемой фигуры. С помощью комп-х средств эти виртуальные фигуры, существующие в цифровом виде, проецируются на плоскость экрана компьютера. Для повышения наглядности получаемого двумерного изображения, для зрительного придания ему "объемности" применяются способы визуализации (скрытие невидимых линий, тонирование, оттенение и др.) Создается впечатление, будто компьютер исполняет роль физически неосуществимого трехмерного кульмана, позволяющего чертить непосредственно в трехмерном пространстве. Разумеется, на экране компьютера мы видим не трехмерную модель объекта (3D- модель существует только в цифровой форме!), а ее проекцию на плоскость экрана. Нетрудно увидеть аналогию между трехмерной графикой и обычной фотокиносъемкой. В обоих случаях связь между фигурами пространства и их изображениями устанавливается посредством проецирования. Различие состоит в том, что при фотографировании выполняется проецирование ... реального объекта, а при 3D-моделировании мы видим на экране проекцию модели, существующей в цифровой форме. Таким образом, в основе трехмерной графики, как и в основе начертательной геометрии, лежит метод проецирования."

Извините за длинную цитату. И напоследок, с опасностью быть дисквалифицированным, как минимум на три последующие конференции, рискну еще раз кратко сказать свое мнение. Спор 2D-3D - ну абсолютно пустой, никчемный, лишенный всякого смысла и позитивного содержания.  Мы преподаватели. Чаще всего на первом втором курсе. Наше дело учить геометрии, а не декларировать отказ от НГ (и геометрии в целом) на том великолепном основании, что это практически не пригодится. Зачем учить географию, если есть извозчики? Это нормальный аргумент госпожи Простаковой? Нет. Это плохой аргумент.

Так что, Николай Андреевич, держитесь. Свою физическую помощь более не предлагаю. С уважением, бывший чемпион-гиревик Короткий Виктор Анатольевич  

Уважаемый Алексей Алексеевич! Спасибо, что откликнулись! В благодарность - задача. Даны два разных параболических цилиндра. Они случайным образом размещены в пр-ве, но их плоскости симметрии параллельны. Доказать, что они пересекаются по плоской кривой. Не просто проиллюстрировать этот геом факт на компьютере, а дать объяснение, имеющее силу доказательства. Вы правы, это объяснение (не сам факт, а именно объяснение факта!) не имеет ровным счетом никакого выхода в технику. Но. Все таки. Мы преподаватели ГГП. Надо объяснять студентам, не так ли? Ну неужели Вам совсем неинтересны замечательные классические (совсем не новые, давно известные), но такие красивые геом задачи? Которые решают именно "циркулем и линейкой" , безо всякой иронии. Теория решения задач линейкой и циркулем (или только линейкой, или только циркулем) - это очень содержательный раздел геометрии.

И напоследок, задача из какого-то из учебников Четверухина. На плоскости начерчен параллелограмм. Дана произв точка D и произв прямая d, никак не связанные с параллелограммом. Через точку D провести прямую, параллельную прямой d, используя только линейку. Линейка односторонняя и без делений. Правда, красивая задача? Совершенно без выхода в технику. Зачем только Н.Ф. Четверухин ее сформулировал? Может быть, в учебных целях? Например, для преподавателей ГГП, желающих повысить квалификацию? А зачем нам нужны такие задачи? Так вот. Решив такую прекрасную задачу, преподаватель ГГП очень сильно повысит свою квалификацию.

Уважаемая Людмила Анатольевна! Прошу меня простить. Больше не буду распускать язык.

С уважением, бывший разнузданный блогер Короткий Виктор Анатольевич

Николай Андреевич! Добрый день! Спасибо! Мало кто реагирует на мои задачи. Как говорил кот Матроскин: "Ура! Заработало!". Эта задача - частный случай задачи Аполлония, и проще всего решается именно классическим алгоритмом: придаем окружности направление, выполняем преобразование расширения, чтобы данная окр-сть "расширилась" в точку, при этом заданные прямые сместятся на величину радиуса. На преобр пл-сти чертим круг через точку, касательный к двум смещенным прямым, потом выполняем обратное преобр расширения. Готово. Преобр-е расширения (иначе - осевое круговое преобр-е) применяют при построении общей касат-й двух окружностей. Предлагайте новые задачи. Решим любую.

Суважением, Матроскин Виктор Анатольевич

Уважаемые авторы Алексей Алексеевич и Александр Олегович! Позвольте в комментариях к Вашей статье обратиться к профессору Н.А. Салькову. Спасибо.

Николай Андреевич! Позвольте пожать Вашу честную руку! Я тоже, как и Вы, считаю, что"основное назначение преподавателя - это процесс обучения именно геометрии, а не только обучению работе с какими-либо графическими программами".

В благодарность -задача. На плоскости начерчены 2 произв прямые и произв-я окр-сть. Построить окружность, касательную к данным прямым и к данной окружности. Найти надо, РАЗУМЕЕТСЯ, геометрически точное решение (линейка, циркуль). Так вот. Решение этой задачи НА КОМПЬЮТЕРЕ ровным счетом ничему студента не научит. Никого не научит. Вообще никого и ничему не научит решение этой задачи на компьютере. Такое "компьютерное решение" - это дрессировка, а не учеба. Точное решение сводится к построению двух вспом прямых и одной вспом окружности. Решение подобных задач и есть процесс обучения геометрии. Применение компьютера для их решения очень сильно похоже на заглядывание в конец задачника, чтобы найти ответ. 

С уважением, Короткий Виктор Анатольевич. Надо побить оппонентов - зовите. Решение задачи отправляйте на OSPOLINA@MAIL.RU. Буду ждать.

P.S. В конспекте лекций по НГ, подготовленном нашей кафедрой, есть лекция "Аксонометрия как теоретическая основа трехмерной компьютерной графики".

Антон Георгиевич, добрый день! 

1. Дело в том, что мое пособие "Проективное построение коники" - имеет учебный характер. На кого рассчитано? Не знаю, что ответить. Например, какому нибудь сумасшедшему конструктору вдруг резко потребовалось начертить, например, гиперболу "по двум параллельным касательным, точке и направлениям асимптот". А такой кнопки или параметризации, черт возьми, в его графическом редакторе и нету. А ему надо! Ну вот в пособии и дается четкий пошаговый алгоритм, как это сделать. Циркулем и линейкой! То есть вычерчивая на экране компа в устаревшем "режиме 2D" черточки и кружочки. Не хочет возиться? Пожалуйста. К его услугам составлена программа на автолиспе. Начерти на компьютере в устаревшем и никому не нужном 2D исходные инциденции - и готово. Результат - главные оси плюс асимптоты плюс непрерывно вычерченная коника, проходящая через заданные точки касательно к заданным прямым. Никаких итерационных схем! ПРОСТО ГЕОМЕТРИЯ. Проективная или начертательная? А надо ли их разделять? Да и кому они обе сейчас нужны? Нужно ли вообще преподавателю графических дисциплин знать геометрию хотя бы в пределах педвуза? Может, ему вполне достаточно уметь "вращать", "выдавливать" и "лофтировать" и знать назначение пары десятков кнопок трех-пяти графических пакетов? Короче, есть пособие по проективно-конструктивным методам вычерчивания коник. Для сумасшедшего конструктора. 

2. При подсчете числа сочетаний я позволил себе считать отдельным образом те варианты, в которых участвуют несобственные элементы. С точки зрения тех проективных алгоритмов, которые забиты в программе - такое выделение бессмысленно. В программе можно на равных правах  указывать как собственные, так несобств точки искомой коники. Но в учебных целях я выделил все аффинные варианты. Получилось 53 варианта. Разумеется, это плохой, эмпирический и внутренне противоречивый счет. Разве можно, например, особо выделять проективный алгоритм, в котором участвуют параллельные касательные? Конечно, нет. Поэтому цифра 53 - условная, для удобства справочного использования пособия. За такой счет Якоб Штайнер нас бы по головке не погладил. Он бы вообще не стал с нами разговаривать.

С уважением, сумасшедший Короткий Виктор Анатольевич

Уважаемый Алексей Александрович! Сообщение 2. В благодарность за хороший доклад - задача. Гиперб параболоид задан двумя случайными прямыми и плоскостью параллелизма. Построить ось и седловую точку. Или такая задача: коническая поверхность второго порядка задана точкой и произвольно висящей в пр-ве коникой. Построить ось конуса. Дать точное решение. Точное решение! Не итерационный алгоритм! Только не спрашивайте, где решать - в 2D или 3D. Да где хотите! Так вот. Если задача Вас заинтересует ("зацепит"), тогда в процессе поиска решения все эти рассуждения о "2D-3D" уйдут на десятый план. Потому что: любая задача - техническая, математическая, геометрическая - решается не в 2D и не в 3D, а совершенно в другом месте. Скажу по секрету свое циничное мнение - споры о 2D-3D -пустые и никчемные. В энциклопедии русской жизни (Ильф, Петров Золотой теленок) есть такой персонаж - прогрессивный художник, рисовавший не устаревшими масляными красками, а крупой: пшеном, овсом. Имел успех. Никаких намеков! А то нас попросят с конференции.

С уважением, циник Короткий Виктор Анатольевич

Уважаемый Алексей Александрович! Сообщение первое: хорошая работа. Спасибо.

С уважением, Короткий В.А

Уважаемый Дмитрий Владимирович! Прошу меня простить за ошибку в обращении к Вам. Построение коники по любому набору точек и касательных общим числом 5 (всего 53 варианта) со всеми алгоритмами дано в пособии Короткий В.А Проективное построение коник. Пособие есть в инете в формате ПДФ. Если Вам интересно или, например, надо по работе - присылайте на ospolina@mail.ru коорд-ты точек и ур-ия касательных. Мною будут построены ВСЕ возможные коники (не только эллипсы!), будут непрерывно вычерчены и геометрически точно (циркулем и линейкой!) будут построены гл оси и асимптоты. Результат в виде четкого чертежа, четко начерченных коник, проходящих через точки касательно к прямым - охотно вышлю Вам или в акаде, или в пдф. Легко! Если даны три точки и две касательные, удовлетворяющие условию неразделенности, то будут вычерчены 4 (четыре) коники. Разумеется, среди них не будет окружности. Число решений в з-сти от каждого из 53 возможных вариантов инциденций - все есть в пособии. Условия отсутствия решений - тоже есть. Все учтено могучим ураганом.

С уважением, самый лучший в мире (вместе с Карлсоном) вычерчиватель коник Короткий Виктор Анатольевич. 

Еще раз прошу меня извинить за досадную невнимательность при отправке первого сообщения. 

Константин Леонидович! Принято. Спасибо.

С уважением, вечный студент Короткий В.А

Дмитрий Евгеньевич! Начертим на плоскости две произв прямые и укажем три произв неколлинеарные точки. Точки не должны располагаться в разных областях, на которые эти две прямые разбивают проективную плоскость (иначе решения нет). Пусть в общем случае точки не инцидентны прямым. Тогда через данные точки проходят не три эллипса, как Вы указываете, а четыре действительные коники, касающиеся данных прямых. Задача построения главных диаметров этих четырех коник решается "циркулем и линейкой": построением гомологии "искомая коника-окружность, вписанная в угол, образованный данными прямыми". Таких гомологий 8, но независимыми являются только 4. Поэтому задача имеет 4 решения. Подсчет параметров - в какой-то степени творческий, увлекательный процесс. "Параметризация", заложенная в CAD, имеет мало общего с методами подсчета числа степеней свободы геометрических фигур, применяемыми в исчислительной геометрии. Здесь какое-то лингвистическое недоразумение: одинаковыми словами названы совсем разные вещи. Построение коник средствами CAD, инцидентных заданным геометрическим элементам (проходящим через заданные точки касательно к заданным линиям), имеет, как правило, итерационный характер.

С уважением, Короткий Виктор Анатольевич. Если Вам потребуется точно начертить конику по любому набору точек и касательных - легко. Обращайтесь, начертим.  

Уважаемые спорщики Антон Георгиевич, Константин Леонидович! Продолжаем р-ривать скользкий вопрос о гладкости.

1. "Гладкость" есть локальное свойство линии или поверхности. То есть сам термин явно из дифф. геометрии. Но в известном учебнике Выгодского Диф. геом такого термина нет вообще. Также нет понятия степень гладкости. В диф. геом. Бюшгенса - тоже нет такого понятия. Почему? Не знаю. Согласен, на учебник Выгодского ссылаться нельзя (устарел: 1949 год издания). Но переиздание учебника Бюшгенса было недавно. 

2.Предъявим к линии в данной ее точке следующие требования: непрерывность и существование касательной, причем положение касательной меняется непрерывно (последнее требование должно излагаться на языке эпсилон-дельта). И еще одно требование - вектор-функция, описывающая нашу кривую, должна иметь в исследуемой точке отличную от нуля производную (чтобы исключить возможность точки возврата второго рода - клюв с общей касательной). С целью сокращения текста, вероятно, сумму этих требований называют "гладкостью"? Но кто ввел этот термин? И когда?

3. Причем несуществование производной вовсе не обязательно означает несуществование касательной в этой точке. Например, окружность можно так прекрасно параметризовать, что у нее в отд точках скорость (производная вектор-функции) будет меняться скачком (Выгодский, стр. 43, примечание).

4. К конструируемой в статье поверхности предъявляется требование гладкости. Это сокращенное обозначение ряда требований: непрерывность и существование непрерывно меняющейся касательной плоскости (дифференцируемость). Автора (то есть меня), разумеется, интересует вполне правомочный вопрос гладкости (отсутствие изломов и дифференцируемость). Но не вопрос о степени гладкости конструируемой поверхности! Степень гладкости - это кратность дифференцируемости. В некоторых частных случаях, когда удается описать поверхность алг ур-ием, можно сказать, что ее Ck равен бесконечности. Если нет уравнения, то получаем графически заданную поверхность. Как определить Ck произвольной графически заданной (начерченной от руки на листе бумаги) кривой? Вполне можно сказать: "степень гладкости гиперболы равна бесконечности". Много ли информации в этом утверждении?  

5. Поэтому. Степень гладкости - дифференциальная характеристика не поверхности, а локальная х-ка либо стыковой точки обвода, либо линии сшивания поверхностей. Например, с удовольствием могу предложить геометрический алгоритм ("циркулем и линейкой"!) стыковки двух коник с гладкостью третьего порядка в стыковой точке (четырехточечное соприкосновение).

Продолжаем разговор? С уважением, алгебраист Короткий В.А

1. Николай Владимирович! Вы правы. Тема близка. Моряк моряка видит издалека.

2. Антон Георгиевич! В геометрическом архиве утонули не только коники. Но мы еще походим под парусом геометрии. И с "Компасом". Прекрасное сочетание.

3. Константин Леонидович! С параметризацией все просто. Действует "презумпция гладкости": кривую называют гладкой, если существует такая параметризация x(t), y(t), что эти две функции имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в ноль. Геометрически: гладкая кривая не имеет угловых точек, гладкая поверхность не содержит изломов. Разве это не строгое определение? О степени гладкости идет речь, если имеем составную поверхность или обвод. В статье использован алгоритм [2] формирования поверхности, несущей на себе двупараметрическое множество гладких кривых (коник). Через каждую точку поверхности проходят две коники (или коника и кривая 4 порядка, полученная в сечении коноида 4 порядка). Всякая кривая одного семейства пересекает все кривые другого семейства. По сути, это кинематический способ. Получается поверхность, не имеющая изломов! Она заметается гладкой кривой - коникой с переменным эксцентриситетом. Нельзя ответить на вопрос, какова ее степень гладкости. Это не составная поверхность. Для некоторых частных случаев удается написать ее ур-ние. Получается 4 порядок для четырехугольной рамки и 3 порядок алг уравнения для треугольной рамки (в статье этих уравнений нет, их "не пустил" формат конфереции. Какова степень гладкости поверхности, описываемой уравнением 4 порядка? Вопрос некорректный. Видимо, я чего-то не понимаю. 

С уважением, моряк-теоретик Короткий Виктор Анатольевич