Здравствуйте, Наталья Евгеньевна.
Конечно, первым решил задачу Александр Львович!
Но напрасно Вы полагаете, что студенты лучше знают, что надо делать.
Может быть к следующей конференции Вы найдёте ещё несколько красивых задач, которые легко решаются при 3D моделировании, но трудны для теоретического исследования?
Это позволяет устанавливать связи между разными дисциплинами. С другой стороны, у хороших студентов такие задачи могут вызвать интерес к начертательной геометрии. Особенно, если они хоть немного знакомы с историей геометрии. Например, Елена Валерьевна Князева рассказывает о ней своим студентам.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Алексей Александрович и Алексей Алексеевич!
Действительно, если отбросить детали, факторный анализ сводится к использованию проекции на пространство малой размерности, например, на плоскость. Таким образом, эта быстро развивающаяся область математики близка к НГ и может служить для обоснования значимости и современности многомерной НГ.
Но часто ли используется на практике гиперэпюр Радищева?
Для студентов первого курса это трудно. Хотя может быть очень полезно именно при обсуждении на факультативе. Например, как описал Эдуард Владимирович Козырев: "В так называемом кружке участвуют три -- два человека, обычно по два человека на одну тему. Приглашаются успевающие студенты с обещанием сократить обязательную графическую работу и повышением оценки на зачете." (Комментарий от 22 марта 2017.)
С другой стороны, часто приходится иметь дело с большим числом параметров, когда графические методы становятся слишком сложными. Хорошо бы знать пример реального использования гиперэпюра Радищева при решении инженерной задачи методом факторного анализа. Конечно, можно переформулировать известные примеры, используя графические методы. Некоторое обоснование пользы четырёхмерной геометрии предложил Геннадий Сергеевич Иванов (комментарий от 6 марта 2017). Но будет ли такая формулировка понятнее и удобнее? Или это лишь упражнение с заранее известным ответом? В частности, наглядность при обсуждении параметрически заданных пространственных кривых и поверхностей легко достигается анимацией, включая механические модели, которые существовали задолго до появления компьютеров. Кстати, об этом говорит название "кинематические поверхности". 
Конечно, можно сказать, что это гиперэпюр Радищева -- это технология двойного назначения. Но как тогда убедить многих студентов (и не только их), что такое назначение действительно существует? И это не насмешка, а серьёзный вопрос.
Наконец, благодарю Алексея Александровича за интересные и тщательно написанные доклады. А если бы они были доступны с самого начала конференции, то можно было избежать некоторых разногласий.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Александр Львович!
Увы, пока знаю лишь не очень красивое решение. Произвольно фиксируем точку A на одной из прямых. Существует однопараметрическое семейство плоскостей, проходящих через точку A и пересекающих две другие прямые в точках B и C так, что угол BAC равен 60 градусам. Если точка B расположена очень далеко, то угол ABC меньше 60 (а угол ACB больше 60). Наоборот, если точка C очень далеко, то угол ABC больше 60. В силу непрерывности, найдётся положение плоскости, когда угол ABC равен 60. Поскольку угол BAC тоже равен 60, треугольник равносторонний. Поскольку точка A выбрана произвольно, получилось однопараметрическое семейство. Однако поиск этим методом конкретного решения сводится к выбору удобной параметризации -- методу 3D моделирования. Вы можете спросить: "Где же тут Настоящая Геометрия?" Не знаю...
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Александр Львович!
В моём примере неявно предполагалось, что расстояния между любыми двумя из трёх данных прямых равны друг другу. Вы были правы, когда сказали об аффинных преобразованиях, поскольку в самом общем случае недостаточно только параллельных переносов и поворотов для перестановки прямых.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Наталья Евгеньевна.
Ваша задача действительно красивая. К ответу Александра Львовича добавлю, что неоднозначность построения равностороннего треугольника можно показать без моделирования.
Даны три попарно скрещивающиеся прямые, параллельные координатным осям. Надо построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат на этих прямых.
Существует поворот пространства (вокруг некоторой вспомогательной прямой), циклически переставляющий эти прямые. Произвольно фиксируем точку на одной из этих прямых. Образы этой точки при поворотах (получаемых повторением указанного поворота) -- вершины искомого треугольника. Он правильный, поскольку при повороте его стороны циклически переходят друг в друга. Получается однопараметрическое семейство треугольников.
В частном случае, когда исходные прямые ортогональны координатным плоскостям и проходят через точки с координатами (p,p,0), (p,0,p) и (0,p,p) соответственно, нужно рассматривать поворот вокруг вспомогательной прямой, заданной уравнениями x=y=z.
Иначе параллельным переносом можно добиться, чтобы начало координат было равноудалено от всех прямых. 
Так эта задача иллюстрирует связь геометрии с группами преобразований.
Конечно, моделирование помогает быстрее понять задачу. Можно выполнить анимацию, иллюстрирующую изменение треугольника при перемещении одной из его вершин по прямой. Или показать вращение, при котором последовательно появляются вторая и третья вершины треугольника. 
С уважением и благодарностью, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Елена Валерьевна.
Доклад хороший, но слишком "прямолинейный". Конечно, небольшой доклад не может вместить многое. Но между Марком Витрувием и XIV веком геометрия продолжала развиваться. И графические методы не оставались на обочине.
В III веке работал Папп Александрийский. Говоря современным языком, теорема Паппа -- это теорема из проективной геометрии. Её обобщение -- теорема Паскаля (о котором Вы тоже не упомянули). Китайские современники Паппа Александрийского -- Чжао Цзюнь-цин, знавший геометрическое доказательство теоремы Пифагора, и Лю Хуэй. В Математическом трактате о морском острове он решает задачи более сложные, чем в современных вариантах для экзамена в 9 классе школы.
В IX веке Сабит ибн Корра написал о солнечных часах и перевёл на арабский язык Конические сечения Аполлония; Ахмад ал-Фергани использует стереографическую проекцию в Книге о построении астролябии.
В 1077 году Омар Хайям пишет Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида.
И это далеко не всё.
С одной стороны, не стоит рассматривать Европу и Россию независимо от остального мира. Даже в первом тысячелетии, когда средства связи были ограничены, они были. Например, в бассейне реки Чепцы (Удмуртия) найден клад IX века, в котором есть монета династии Идрисидов, правившей в VIII--X веках на территории Марокко. [Останина Т.И. Лесагуртский клад IX в. в бассейне Чепцы. Ижевск, 2015]
С другой стороны, было бы лучше сконцентрировать внимание на относительно коротком промежутке времени. Может быть в следующий раз Вы подробнее расскажете, например, об истории геометрии в Санкт-Петербурге? Или о Вашем университете?
Уверен, что доклады по истории не останутся без внимания, даже если они не вызовут бурную полемику.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Татьяна Владэлиновна и Галина Геннадьевна!
Позвольте поблагодарить Вас за сохранение истории университета и доброжелательное отношение к предшественникам. Это необходимо для дальнейшего развития. Особо отмечу фразу: "преподавать дисциплины кафедры могут только люди, имеющие стаж инженерной и конструкторской деятельности". Конечно, существуют и другие важные прикладные области, но в этих словах отражен правильный путь избежать вырождения преподавания в техническом вузе в игру без ясной цели.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Геннадий Сергеевич и Александр Львович.
Спор отчасти вызван терминологической путаницей. В целом "линейчатая поверхность однозначно определяется заданием трех направляющих", но отдельные части этой поверхности не похожи друг на друга. Можно ли называть часть поверхности поверхностью? Если ограничиваться алгебраическими поверхностями, то нельзя. Однако на стр. 98 в учебнике С.А. Фролова (издание 1983 года) говорится: "Для образования поверхности косого перехода в качестве направляющих берут дуги окружностей одинакового радиуса..." Здесь рассматриваются уже не окружности, а только дуги (то есть части). Кстати, в этом учебнике не нашёл утверждения об однозначности определения.

Удачна эта терминология или нет, но она приведена в учебнике, одобренном Министерством и получившим широкое распространение. Видимо, инженеров и архитекторов не слишком волнует формальная строгость применяемых ими терминов, если они понятны при разумном и доброжелательном толковании.

На стр. 95 того же учебника говорится: "Форму и положение третьей направляющей выбирают так, чтобы она находилась внутри конгруенции прямых, определяемой двумя уже взятыми направляющими". И далее: "Под конгруенцией прямых подразумевается множество прямых, зависящих от двух параметров". (Здесь употребление буквы "е" вместо "э" соответствует учебнику.)
Можно было сказать не о проверке на конгруэнтность, а о проверке существования конгруэнции. Однако это написано в комментарии, а не в основном тексте доклада. В тексте доклада говорится именно о конгруэнции (а не конгруэнтности). Может быть спор разгорелся из-за употребления в комментарии предлога "на"?

Таким образом, остаётся лишь призвать участников спора к большей терпимости к чужому мнению, в частности, к мнению Сергея Аркадьевича Фролова.

С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Денис Вячеславович!
Пожалуйста, поясните, что Вы понимаете под ортогональными окружностями, заданными мнимыми радиусами? Предполагаете ли Вы, что и центры у этих окружностей тоже мнимые? Верно ли, что в этом случае Вы не рассматриваете такие пары окружностей, что у одной радиус вещественный, а у другой мнимый?
При этом, например, рисунок 10, где показан пучок окружностей, ортогональных к двум заданным вещественным окружностям, получился красивый. А хорошие рисунки помогают отвлечься от грустных мыслей. 
С уважением, А.В. Селиверстов

Уважаемый Виктор Анатольевич,
Я уже не раз писал на этой конференции о нелепости обязательного преподавания четырёхмерной геометрии на первом курсе (за исключением кружковой работы). Не стану повторять. Но убеждён, что преподавать на первом курсе труднее, чем на старших. Делать это должен только опытный и ответственный Человек. А предложение читать лекции первокурсникам звучит как признание высокой квалификации. Но Ваше замечание "если ректор узнает..." лишь подтверждает, что у Вас "необыкновенная лёгкость в мыслях" (как у Хлестакова). Это же говорит о том, что ректор безусловно достоин уважения.

Здравствуйте, Александр Львович!
Вы правильно заметили, что в общем случае cуществование вещественных образующих нужно проверять отдельно! Это интересная и нетривиальная задача, что удачно отмечено в докладе.
В частном случае, когда направляющими служат плоские кривые нечётной степени, это сводится к теореме Безу. Если же степени всех направляющих чётные, то вещественных образующих может не быть. Например, если направляющие -- три окружности маленького радиуса, не лежащие вблизи одной прямой, то нельзя провести ни одной вещественной образующей, которая пересекала бы все три окружности. Этот вывод не получается из подсчёта параметров.
Однако подсчёт параметров может служить хотя бы для предостережения о возможных трудностях при визуализации.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Виктор Анатольевич!
Читая Ваш доклад, неожиданно понял объяснение "для простого народа", чем отличается геометрия начертательная от аналитической. В первом случае размерность понижается до двух, а во втором - до одного! Ведь координаты точки - это проекции на одномерные оси координат. А дальше понижать некуда. Худшие победят лучшего, как предрекал ещё Дельфийский оракул.

Здравствуйте, Александр Львович!
Анимация поверхностей очень красивая и новая. (О зубчатых колёсах судить не берусь.) Видимо, я не умею хвалить, увы.
Сработало досадное разделение на дисциплины. Но "мы должны (стремиться) понимать, что делают наши коллеги" (это цитата из http://ium.mccme.ru/globus.html ) Конечно, это относится ко мне! Позже попробую написать подробнее.
Спасибо за указание на статьи В.А. Пеклича (к. от 3 марта 2017). Лишь недавно получил их в ГПНТБ. 
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Александр Львович!
Вы правы, строить 3D модели полезнее и труднее, чем попусту блистать терминологией. Но поскольку об этом зашла речь, длинное название "косой цилиндр с тремя направляющими" хорошо бы заменить коротким и выразительным. Тем более, что обучение пока не стало исключительно дистанционным; и названия приходится произносить вслух. Итак, близкое понятие - это свиток. Этот термин использован (в русском переводе) книги Дж. Харриса Алгебраическая геометрия. Начальный курс.
Видимо, название свиток не является общепринятым. Впрочем, однажды уже услышал в ответ, что это и не важно, поскольку можно сказать по-английски. Ещё замечу, что нашёл упоминание об учебнике по НГ: "Сергей Аркадьевич Фролов * один из самых выдающихся представителей лысенковщины в н. г., автор безграмотного и претенциозного учебника".  https://www.proza.ru/2002/10/02-13 Надеюсь, такой комментарий о терминологии никого из участников конференции не обидел. Пожалуйста, поправьте, если я ошибаюсь.

С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Эдуард Владимирович, Любовь Александровна и Надежда Васильевна!
Расскажите немного подробнее об организации кружковой работы. Какая доля от всех студентов первого курса участвует в работе кружка? Учитываются ли успехи студентов?
С уважением, А.В. Селиверстов

Александр Львович!

В моём комментарии при описании гиперболоида в пункте (3) напрасно упоминается проективное замыкание: образующая лежит на аффинном гиперболоиде. Извините.

С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Александр Львович!
Начну с замечания, что Геннадий Сергеевич не ошибается.
1) Обычно цилиндром называют поверхность, проективное замыкание которой является конусом с вершиной, принадлежащей бесконечно удалённой плоскости. В некоторой системе координат цилиндр - это множество нулей функции от двух (или всего одной) переменной. В книге (Фролов С.А. Начертательная геометрия. М. 1983. С.97) косой цилиндр с тремя направляющими - это общая линейчатая поверхность. Косой цилиндр может не быть цилиндром в смысле первого определения. Примером служит однополостный гиперболоид. Итак, в подписи к рисунку 2 "Цилиндр с тремя криволинейными направляющими" не хватает слова "Косой". Лучше бы эту поверхность называть иначе, но этот термин уже используется. 
2) Если направляющими служат алгебраические кривые, то в общем случае линейчатая поверхность неприводимая. Даже если неприводимая поверхность имеет несколько вещественных компонент связности, все они определяются одним и тем же алгебраическим уравнением. В этом случае говорить о множестве вариантов не стоит. Впрочем, формально здесь нет ошибки, поскольку множество может состоять из одного элемента, а может быть и пустым. При таком понимании фразы ошибки нет, но и толку нет.
Однако если рассматривать не обязательно алгебраические поверхности, то гораздо труднее провести отличие одной поверхности из двух компонент от двух разных поверхностей. (Поскольку существуют гладкие функции к компактным носителем.) Это требует терминологической точности, но в докладе об этом не сказано, возможно, из-за ограничений на размер текста.
3) Вы пишете: "Однополостный гиперболоид... Представить этот кинематический механизм непросто."
Легко как представить, так описать без формул. Рассмотрим три прямые (направляющие) в общем положении. Выберем точку на первой прямой. Через эту точку и другую прямую проходит единственная плоскость. В общем случае две такие плоскости пересекаются по единственной прямой. Итак, каждой точке на первой прямой (направляющей) соответствует другая прямая (образующая), лежащая на проективном замыкании поверхности.
Видимо, здесь трудность в построении красивой анимации, или нет? Читая доклад по геометрии, пытаюсь представить себе, как объяснить эту тему студентам. Раздел 4 мне показался перегруженным необязательными деталями, отвлекающими внимание. Возможно, упустил что-то важное именно для анимации?
4) К сожалению, гиперссылки на материалы конференции прошлых лет устарели. Кроме сборника докладов, уже не доступны ни комментарии, ни презентации прошлых лет. Поэтому красивую презентацию предлагаю сохранить где-нибудь ещё, пока она не пропала.
В целом доклад хороший.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Алексей Алексеевич!
Книга [Glaeser 2014] действительно хорошая. Спасибо за адрес. Заодно можно вспомнить немецкий язык, на котором в конце 1920-х годов в СССР публиковали статьи по математике, как сейчас на английском.
Конечно, например, рисунок на стр. 60 (Abb. 2.30 Seitenriss) - это не совсем то, чему учат в курсе НГ. Не стану перечислять все иллюстрации, но это не только забавные картинки. Кстати, нарисованы и коноиды тоже. Есть красивые иллюстрации минимальных поверхностей. И совсем не вредно, глядя на такие картинки, напомнить, что они иллюстрируют физические законы, хотя дети знакомятся с ними ещё до школы. Иллюстрируется связь с биологией и архитектурой. Эта книга могла бы служить хорошей иллюстрацией к докладу Владимира Игоревича и Николая Андреевича О значении геометрии в технике и науке.
Ещё радует, что на стр. 279 используются простые дроби, а не десятичные. Пустяк, но это говорит о понимании авторами проблемы точности вычислений. Ведь именно десятичные дроби, а точнее - используемое при этом округление, служат источником ошибок.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Николай Андреевич!
Марина Германовна не виновата, когда указала 1970 год! Ведь ссылка [3] повторяет написанное на сайте журнала, если раскрыть вкладку "цитировать статью" по адресу http://naukaru.ru/journal/article/view/475/
Сальков Н. А. Реформирование оценок геометро-графических знаний / Н. С. Кадыкова, Н. А. Сальков // Геометрия и графика. 1970. Т. 1. №. 1. C. 52-53. DOI: 10.12737/475
У других статей из первого номера также указан 1970 год. Как было указано и в прошлом году, так и сейчас. Не помню точно, но где-то ещё встречал цитирование ГиГ с указанием 1970 года.
Если издательство рекомендует указывать 1970, что остаётся делать автору? 
С уважением, А.В. Селиверстов

PS Дмитрий Евгеньевич, простите, если увидели в этом моём объяснении неуместное ёрничество.

Здравствуйте, Людмила Георгиевна!
Рад, что Вы не считаете логику основой чуждого мировоззрения. Поэтому уже нет нужды искать аналогию. Но без Ваших объяснений заметить это было трудно, хотя несколько раз перечитал весь текст, прежде чем писать комментарий. Возможно, это  лишь мои трудности.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Марина Германовна.
Пожалуйста, поясните, что показано на диаграмме (рис. 1)?
74+36=110.

10% опрошенных дали сразу два противоположных ответа?

Здравствуйте, Петр Владимирович!
Есть ли у Вас опыт преподавания геометрии в том виде, как показано в этом и предыдущем Ваших докладах?
Оба эти доклада похожи на наброски лекций для младших курсов. Удачно сочетается напоминание определений, описание прикладного значения и сочетание или сравнение двух САПР на конкретном примере.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Денис Вячеславович.
Находящееся в открытом доступе (public domain), не может быть присвоено в будущем. Поэтому если заранее объявить, что программа может свободно копироваться и распространяться без каких-либо ограничений (freeware), могут быть трудности при получении государственного свидетельства о регистрации РИД (результата интеллектуальной деятельности). Но получив его, правообладатель может передавать программу по любой лицензии, которая не нарушает права третьих сторон. Обычно тексты лицензий определяются юристами организации, в которой работает разработчик. Если же организация не заинтересована, то можно написать как мера и красота скажут.

Здравствуйте, Алла Ивановна, Евгений Викторович, Александра Анатольевна и Оксана Александровна!
Преподаёте ли БН-исчисление для студентов? Возможно, это (будущий) спецкурс? Сколько часов? Ведь уже есть учебное пособие.
Согласен с пожеланиями Яны Андреевны!
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Алевтина Бруновна!
Вы написали: "все о чем вы пишете, реализовано и реализуется на нашей кафедре уже в течении лет 15-17лет"
Правильно ли я понимаю, что на Вашей кафедре уже 15 лет студентам младших курсов преподают четырёхмерную геометрию, которой посвящена значительная часть обсуждаемого доклада? Входят ли в их профессиональную компетенцию "современные представления о многомерности пространства в самом широком смысле этого понятия" или нет? В Вашем докладе 2016 года этого не заметил. Но если действительно у Вас есть 15 лет опыта преподавания четырёхмерной геометрии, то уже можно судить о результатах Ваших учеников. Тогда напишите об этом подробнее! Обещаю благодарить и цитировать такой доклад, если будет.

С уважением, А.В. Селиверстов 

Здравствуйте, Людмила Сергеевна!
Искренне рад, что Ваши студенты добились успеха.
Если бы Вы сразу указали ссылку, то было бы понятно, что это не строгое определение, но адресованное читателям, не обременённым знаниями из геометрии. В начале XVII главы Александров пишет: "В ней не будут излагаться сами теории абстрактных математических пространств; это потребовало бы гораздо большего объёма изложения и гораздо большего обращения к специальному математическому аппарату." Кроме того, 1956 год - это уже не слишком современная геометрия. Кстати, в начале этой главы дан интересный исторический обзор. Спасибо, что напомнили о нём.
Ваше изложение сведений о физиологии, вероятно, из популярной литературы, считаю очень неудачным. Упражняясь в логике и риторике, из некоторых высказанных Вами утверждений можно вывести обидные следствия, которые не буду приводить.
Развёртки 4-многогранников могут служить для тренировки при работе с 3D-принтером. А когда учился в школе, делал такие из бумаги. Но в целом «Наглядная инженерная геометрия» является очень странной альтернативой чему-либо, поскольку она не имеет ясной цели. Хотите создать кафедру Геометрических Развлечений? Но есть другие примеры! Вы знакомы с Натальей Евгеньевной Суфляевой? Посмотрите доклады на этой конференции. Посмотрите комментарии, которые сделали Людмила Анатольевна Шацилло и  Александр Львович Хейфец. Наоборот, если непременно хотите сохранить НГ, посмотрите что пишут с Военмеха. Но попытка заменить НГ на многомерную геометрию лишь приблизит уничтожение кафедры. Ведь Вы должны готовить инженеров, а не физиков-теоретиков и не философов.
Однако ж я Вам не начальник, живите как знаете.
С уважением, А.В. Селиверстов

Здравствуйте, Денис Вячеславович!
Я лишь во время этой конференции загрузил Вашу программу Симплекс 3.8.1.14 (для Windows). Первое впечатление хорошее.
В 2012 году Вы писали: "одной из актуальных задач является создание клиент-серверного варианта системы Симплекс, а также разработка аналогов этого приложения для мобильных устройств на платформе Android, операционных систем MacOS и iOS". http://www.mmf.spbstu.ru/mese/2012/35-47.pdf
Удалось ли что-то из этого?
Иногда редакции журналов просят подтверждение прав на использование рисунков или программ, в которых они созданы. На каких условиях распространяется программа? Хорошо бы указать тип лицензии в справочной информации.
Желаю новых успехов! С уважением, А.В. Селиверстов

Дмитрий Евгеньевич!
Тогда я согласен с Вами: следует избегать жёстких однообразных подходов к решениям задач, надо искать оригинальные подходы к решению. В этом нет противоречия с моими комментариями. А к докладу Людмилы Валерьевны и Ольги Петровны уже писал о пользе возобновления преподавания черчения в школе. Из-за недостатка времени преподавание НГ в большинстве вузов будет вытесняться или уже исчезло. Также уходит преподавание некоторых других разделов математики. Если Военмех позволяет выделить часы для НГ без ущерба для других дисциплин, то хорошо. У таких преподавателей, как Мария Валентиновна, эти часы не пропадут даром! Но если выбрать одно из двух (либо НГ, либо 3D), то выбор будет сделан в пользу 3D. И коллеги пишут, что делу этот выбор не мешает. Однако же Наталья Евгеньевна предлагает сохранить "разделы (НГ), связанные с основами проецирования". И Людмила Анатольевна пишет о задачах по НГ, которые бережёт для внуков.
С уважением, А.В. Селиверстов

Уважаемый Дмитрий Евгеньевич!
Вы написали в комментарии к этому докладу, что "Полностью согласны".
Однако Вас не удивляет, что на Военмехе Мария Валентиновна Ракитская применяет алгоритм решения изобретательских задач (мне очень понравился её доклад)? Ведь упомянутые там приёмы и принципы - это лишь "примитивные действия", последовательность которых составляет "какую-то инструкцию"?
Вы полагаете, что на Военмехе алгоритмы нужны, в МГТУ нет?
Или Вы были полностью согласны, даже не читая доклад, не обдумывая сказанное?
Но тогда не удивляетесь отпискам властей!
Логика и алгоритм не должны становиться ругательствами. Если же авторы доклада хотели сказать одно, а получилось другое, то тем хуже для людей с многолетней практикой в начертательной геометрии, развивающей интеллект (я с этим согласен).

Здравствуйте, Борис Георгиевич, Раися Абдрахмановна, Людмила Георгиевна  и Тимур Рустямович.
Я во многом согласен с вами. Очень жаль, что графической подготовки нет в школе.
Но изучение и создание алгоритмов отнюдь не противоречат развитию интеллекта (надеюсь, что так). И при разумном подходе изучение алгоритмов не вырождается в подобие работы на конвейере. Алгоритм - не синоним уничтожению. И алгоритмы всегда были частью математики.
Удивляюсь вашей фразе: "Более того, термин «алгоритм» необъяснимым образом изменяет свой смысл. Алгоритмом теперь многие авторы называют последовательность примитивных графических действий, которая в итоге вырождается в какую-то инструкцию по решению типовых задач."
А как надо определять алгоритм? Можно излишне формально, как программу для машины Тьюринга. Можно менее формально, что отражено в сочетаниях "алгоритм Евклида" или "алгоритм построения сечений". Какова ваша точка зрения? Вы полагаете, что алгоритм - это зло?
Наконец, позвольте напомнить строки Максима Богдановича:
Чаму у нас акамянеласці
"Духоўнай страваю" завуць?
Іх ужываць – не хопіць смеласці!
Ў музеум іх няхай нясуць!
(Надеюсь, белорусский язык понятен без перевода.)

Здравствуйте, Наталья Евгеньевна!
Согласен с Вами. Поздравляю с хорошим и ясным докладом и с Праздником! Надеюсь, коллеги тоже согласны.  
Вы убедили, что МГТУ им. Н.Э. Баумана не пропадёт! А то уж начал беспокоиться.
С уважением А.В. Селиверстов

Антон Георгиевич!
Спасибо, статья на английском в свободном доступе.
Правильный адрес журнала МАИ www.apg.mai.ru
Увы, сохранилось не всё, но там доступна Ваша статья Геометрия мнимого треугольника (вып. 12, № 24, 2010) с хорошими рисунками. http://www.apg.mai.ru/Volume12/Number24/hir1224.pdf

Не стесняйтесь напоминать о Ваших красивых работах. Они могут пригодиться студентам и преподавателям геометрии.

Здравствуйте, Антон Георгиевич!
Сегодня впервые увидел Вашу статью Hirsch, A. (2002) Extension of the 'Villarceau-Section' to Surfaces of Revolution with a Generating Conic. Journal for Geometry and Graphics, 6(2):121–132.
<a href="http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg06/jgg0610.pdf">http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg06/jgg0610.pdf</a>
Вы завершили её словами: "It is possible... to transform the surface of revolution into cyclides."
Не могли бы Вы чуть подробнее пояснить, что при этом получается? Было ли у этой работы продолжение, связанное с циклидами?
Эта статья - пример удачного соединения графических и аналитических методов. Вероятно, Вы могли бы привлечь к ней внимание участников конференции для иллюстрации обсуждаемых вопросов.

Здравствуйте, Денис Вячеславович!
1) Вы привели очень красивые примеры: две окружности или окружность и прямая без вещественных точек пересечения. Но замена координат (над полем комплекных чисел) превращает окружности в гиперболы (прямые - в прямые). А пересечение двух гипербол или гиперболы с прямой уже легко показать на обычном рисунке (на вещественной плоскости). Кроме первого преобразования, остальное - это "привычная" геометрия. Трудно написать (или показать) первые четырнадцать формул из Вашего доклада, не утомив слушателей. Если же после небольших преобразований сделать рисунок (две гиперболы), рассуждение станет коротким и ясным. Вы показали важность иллюстрации!
2) Проводить вычисления на компьютере можно и без округления. Парадокс в том, что мнимую единицу никто не хочет округлить, а квадратный корень из двух хочется. Но мнимая единица - это лишь квадратный корень из -1. Почему один корень округлять, а другой нет? На промежуточных вычислениях можно обойтись без округления. И хотя это потребует большего времени, ответ будет точным. Операции над простыми дробями тоже можно делать точно. Прежде округление было неизбежно для ускорения вычислений. Но развитие компьютеров позволяет преодолеть эту проблему. Построения циркулем и линейкой делают вычисления наглядными, но они не позволяют вычислить кубический корень. Символьные вычисления позволяют работать и с кубическими корнями тоже без каких-либо округлений и связанных с этим потерь. Таким образом, построения циркулем и линейкой не исчерпывают все точные методы. Другое дело, что мы обычно пользуемся теми программами, которые у нас под рукой. А они не всегда реализуют то, что хочется. И не всегда то, что могли бы на современном уровне развития вычислительной техники. Вы пишете: "восемь байтов со значениями двух координат". Но в принципе запись числа может иметь любую длину; разумеется, для операций над такими числами нужны специальные подпрограммы (новые или из готовых библиотек).
Использовать символьные вычисления не стыдно! А если задача решается построениями циркулем и линейкой, то и соответствующие символьные вычисления сновятся проще; это позволяет увеличивать производительность. Поэтому забывать о класических методах нельзя.
3) Реализация алгоритмов, непосредственно повторяющих построения циркулем и линейкой, может быть увлекательной и полезной. Особенно же при изучении истории математики. Нам трудно бывает понять, что делали наши великие предшественники. И подобно тому, как проводят исторические реконструкции сражений и турниров или делают домотканые вещи (видел в Ижевске)  можно проводить реконструкции геометрических рассуждений. И это тоже нужно. Лозунг: "Игра — главное занятие в жизни" актуален не только в детском саду, что ярко показали Ирина Николаевна и Олег Георгиевич на этой конференции.
С уважением А.В. Селиверстов.

Не дай мне Бог сойти с ума. Нет, легче посох и сума... (А.С. Пушкин)

Уважаемая Людмила Сергеевна! Не могу найти слов, чтобы комментировать большую часть Вашего доклада. Но некоторые вопросы хотелось бы задать. 

"Под пространством в современной геометрии понимают вообще любую совокупность однородных объектов..., между которыми имеются отношения, подобные обычным пространственным отношениям (непрерывность, расстояние и т.д.)."
Непрерывность и расстояние - это не отношения (в математике). Большую роль играют конечные геометрии и конечные пространства. Это быстро развивающаяся область на стыке геометрии и дискретной математики тесно связана с кодированием, с обеспечением работы компьютерных сетей, следовательно, нашей конференции тоже. Например, плоскость Фано содержит ровно 7 точек и 7 прямых, с тремя точками на каждой прямой и с тремя прямыми, проходящими через каждую точку. Людмила Сергеевна, пожалуйста, поясните Ваше определение пространства на этом примере. Какие отношения подобны непрерывности и расстоянию в этом случае?

"апробированы в научно-исследовательских работах со студентами младших курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана"
Людмила Сергеевна, пожалуйста, уточните, сколько лет продолжалась апробация. Если давно, каковы дальнейшие успехи Ваших учеников? Сколько часов потрачено на эту апробацию?

PS Тому, кто хотел бы в увлекательной форме познакомиться с четырёхмерной геометрией, рекомедую почитать роман Эдвина Э. Эбботта "Флатландия", который вышел в 1884 году, а на русском в 1976. Это намного интереснее!

Здравствуйте, Алексей Алексеевич!
Прочитав Ваш доклад, могу лишь завидовать Вашей способности организовать работу большого коллектива и сохранять спокойствие в трудных ситуациях! Этому мне нужно ещё учиться. К сожалению, не все доклады смог прочитать до конца, "т.к. это изображение не продвигается дальше в мозг для последующей обработки", как объясняет Людмила Сергеевна Соколова.
В одном из комментариев Вы пишете: "КГ в том объеме, к преподаванию которого мы были готовы на основании опыта преподавания в техническом университете, обучающиеся колледжа уже владеют."
Невольно хочется спросить: не потому ли, что в колледже не отвлекаются на многомерную геометрию? Разумеется, изучение математики никому не вредно! Но если учёба превратится в наукообразное баловство, не имеющее ясной цели, то мы вернёмся ко временам схоластов, защищавших диссертации о числе ангелов на острие иглы.

Здравствуйте,  Елена Сергеевна!
Конечно, все студенты разные. На семинарах для небольшой группы это легко учесть.
Прежде, когда вёл семинары по геометрии и алгебре в (ныне) РГУ им. А.Н. Косыгина, в моём распоряжении были мел и доска. Но на ней всегда были чертежи или графики в меру способностей участников семинара. Не помню случая, чтобы студент уверенно решал системы линейных уравнений, но не догадывался об их геометрическом смысле. Но на этой конференции коллеги пишут, что так бывает. Конечно, важно распределить записи и рисунки на доске так, чтобы важная часть не стиралась, пока она необходима. Это стоит обдумать заранее. И это существенно отличает использование доски от слайдов. Мне нравится рассказывать о математике у доски, хотя прикладные задачи лучше объяснять с помощью слайдов.
В этом году на семинаре "Трудные задачи дискретной оптимизации" в МГУ технические возможности гораздо выше, но и тема другая, и студенты лучше подготовлены.
Ещё читал лекции по математической биологии. В биохимии много красивых геометрических задач, но там нет места геометрической эстетике. Вычисления происходят на компьютере. И если новая параметризация поверхности приводит к сокращению времени работы машины, то она востребована. Иначе она никому не нужна, какие бы красивые геометрические идеи не были в ней заложены.

Здравствуйте, Яна Андреевна!
Позвольте задать несколько вопросов о Вашем интересном докладе.
1) Правильно ли, что "эллиптическими линиями" Вы называете эллипсы? Тогда почему бы не написать "винтовыми линиями и эллипсами"? 
Обратите внимание, что существует похожий термин "эллиптическая кривая", который обозначает отнюдь не эллипс, а неособую кубическую кривую на плоскости. 
2) Из доклада не видно, в чём преимущества предлагаемого способа. Если Вы надеетесь, что любые поверхности "в хозяйстве-то как-нибудь под случай понадобятся" (Н.В. Гоголь), то хорошо бы иметь хоть самый простой пример. Может быть элемент детской площадки? Или надувная конструкция?
3) С другой стороны, хорошо бы подробнее описать связь рассмотренных поверхностей с циклидами Дюпена, другими каналовыми поверхностями. Чем отличаются прикладные области, в которых они используются?  
4) Мелочи: в конце аннотации неудачное выражение: "Определены общая структура".

Александр Львович!
Да, часто постановка задачи и идея алгоритма геометрические, а реализация – аналитическая. Построения объясняют происходящее, но алгоритм не воспроизводит ни построения циркулем и линейкой, ни другие геометрические конструкции. Параметризация поверхностей - тема журналов с высоким рейтингом.
Пример: Polo-Blanco I., Top J. (2009) A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces. Computer Aided Geometric Design 26(8): 842–849, DOI:10.1016/j.cagd.2009.06.001 Параметризация основана на классическом геометрическом результате: на гладкой кубической поверхности лежит 27 прямых, но не всегда вещественных. Параметризации известны давно, но поиск новых и легко вычислимых вариантов актуален; ведь САПР продолжают развиваться. Если формула становится чуть короче, то увеличивается эффективность алгоритма, в котором она используется многократно. Казавшееся бесперспективным оказывается эффективным. Надо ли публиковать? Надо! Ну, хорошо бы ещё и внедрять...
Если же искать область, где применима собственно НГ, то посмотрите журнал Компьютерная оптика (по-русски и бесплатно) или иностранные на ту же тему. Восстановление 3D изображения по снимкам с разных ракурсов и создание анаглифных изображений - это очень похоже на НГ.
Пример: Mishkin D., Matas J., Perdoch M. (2015) MODS: Fast and robust method for two-view matching. Computer Vision and Image Understanding 141: 81–93. DOI: 10.1016/j.cviu.2015.08.005
Менее удачный пример: Hai Jin, Xun Wang, Zichun Zhong, Jing Hua (2017) Robust 3D face modeling and reconstruction from frontal and side images. Computer Aided Geometric Design 50: 1–13б DOI: 10.1016/j.cagd.2016.11.001

Здравствуйте, Александр Львович!
Хотя Вы меня не спрашивали, позвольте мне тоже ответить.
1) Геометрические доказательства нужны. Они не только красивые, но иногда дают новые алгоритмы, более эффективные чем "очевидные" алгебраические методы.

Тривиальный и шутливый пример: вычисление точки касания двух вещественных сфер с данными центрами и радиусами, очевидно, сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Ой! Ох, придётся вычислять базис Грёбнера... Но ведь эта точка лежит на прямой, проходящей через центры сфер. И сразу всё стало просто!

Чуть-чуть серьёзнее: построения циркулем и линейкой можно преобразовать в алгоритм, в котором на промежуточных вычислениях все числа либо рациональные, либо представимы периодическими цепными дробями.

2) Новые доказательства известных теорем необходимо публиковать, если они дают эффективный алгоритм или новый подход к другим задачам. И мой комментарий об эллипсоиде не означает, что красивое геометрическое доказательство никому не нужно. Даже если доказать удаётся лишь частный случай.

PS Мне не приходилось рецензировать статьи из ГиГ.

Здравствуйте, Антон Георгиевич!
Спасибо за интересный доклад. Ниже приведены небольшие замечания.
Для упрощения изложения допустим, что рассматриваемая поверхность – это эллипсоид, который задан девятью вещественными точками с целыми координатами. Последнее условие означает, что соизмеримы отрезки, концами которых служат проекции точек. Решение соответствующей системы линейных уравнений с целыми коэффициентами можно имитировать посредством построений циркулем и линейкой (см. также доклад Ильзины Михайловны Дмитриевой и Геннадия Сергеевича Иванова на этой конференции). Ведь для решения этой системы достаточно складывать или вычитать отрезки (тривиально) и делить отрезок на целое число частей (по теореме Фалеса). При этом для решения системы 9 уравнений от 9 переменных нужно рассматривать проекции на 36 плоскостей, соответствующих парам координат. Это позволяет графически строить сколь угодно много точек на эллипсоиде, заданном девятью точками. Увы, в отличие от теоремы Паскаля для плоской кривой, это громоздкое построение не обладает особым изяществом.
С другой стороны, чтобы аналитически найти оси этого эллипсоида, нужно вычислить собственные значения симметричной матрицы третьего порядка. То есть найти корни кубического многочлена. В общем случае найти эти корни посредством построений циркулем и линейкой нельзя, как нельзя решить задачу об удвоении куба (в этом случае лишь один корень вещественный). Поэтому отнюдь не удивительно, что в общем случае не удалось графически найти главные оси по наперёд заданным точкам на эллипсоиде.
Ситуация меняется, если накладывать ограничения на длины осей эллипсоида. Например, для сферы задача легко решается. В этом случае собственное значение матрицы кратное. Вопрос: решается ли эта задача для общего эллипсоида вращения? (В этом случае у соответствующей симметричной матрицы  есть кратное собственное значение.)

Здесь рассмотрение мнимых точек или гиперпболоидов вместо эллипсоидов почти ничего не меняет: трудная задача не становится легче.

Здравствуйте, Людмила Анатольевна!
Из докладов коллег и ответа МОН видно, что и у нас тоже есть предметная область "Технология", изучение которой в школе предполагает "овладение средствами и формами графического отображения объектов или процессов, правилами выполнения графической документации". И в разработанных ФИПИ вариантах экзамена по предмету Информатика и ИКТ есть задания, связанные с построением ломаных. Но это лишь простые задания, далёкие от выполнения графической документации. И если черчение не будет выделено как самостоятельный предмет, то школы не станут о нём беспокоиться.

В той школе, куда хожу на родительские собрания, графическая подготовка если и существует, то лишь формально. А метод проектов в этой школе применялся до поры. Однако после недавнего слияния нескольких школ и нескольких замен директоров за короткий срок, о таких проектах больше не вспоминали. Выполнение этих проектов напоминало выполнение студентами курсовых работ, но в сильно упрощённом варианте, допускалась совместная работа нескольких учеников. Это была хорошая идея, но не слишком долговечная.

Здравствуйте, Людмила Валерьевна и Ольга Петровна!
Спасибо, что не забываете о школьниках. Жалко, что черчение перестали преподавать в школе.
Хорошо бы включить черчение в программу 8-9 классов школы, один час в неделю, и принимать после 9-го класса экзамен (ОГЭ или ГИА-9) по этому предмету по выбору учащегося.
При этом в 9-ом классе на тех учеников, кому черчение не даётся и экзамен не нужен, учитель не будет тратить много сил. Хорошо это или нет, но в классе обычной школы будет несколько учеников, которых фактически учат этому предмету. А остальные или будут формально выполнять задания, или пойдут в это время к другому учителю по выбранному ими предмету. Это снимает возражения о чрезмерной нагрузке. С другой стороны, введение нового экзамена (по выбору) необходимо, поскольку иначе черчение для всех окажется тем предметом, которым можно пожертвовать ради подготовки к экзаменам. И хотя это очень плохо, но это часто применяется к другим предметам.
Черчение было бы весьма полезно для изучения геометрии. Однако это отдельный предмет. Попытка ввести дополнительное черчение в школе как "интегрированный курс" вместе с математикой была бы скорее вредной, поскольку экзамен по математике обязательный для всех. С другой стороны, я не нашёл в вариантах к экзамену по математике для 9-го класса, опубликованных ФИПИ для 2016/2017 учебного года, ни одной задачи на построение циркулем и линейкой. Очевидно, это связано с общим снижением графической подготовки в школе. Зато есть задачи о начислении процентов. Может быть я отстал от жизни? Не черчение надо преподавать, а правила увеличения индекса Хирша и импакт-фактора, да?

Уважаемые Ильзина Михайловна и Геннадий Сергеевич!
Мне нравится, что Вы предлагаете изучать многомерную геометрию. Более того, это необходимо для понимания различных разделов математики и взамных связей между ними. Однако для студентов, которые не изучают математику в качестве основного предмета, это может стать "очень высоким и трудно преодолимым порогом, через который нужно перебраться для того, чтобы что-нибудь понять. И порог этот - совершенно лишний!" (Рохлин В.А. Избранные работы. М.: МЦНМО, 2010. С. 445). Хотя процитированная фраза относилась к изучению математического анализа, такая ситуация может возникнуть и в геометрии. Поэтому серия докладов Марии Валентиновны Ракитской выглядит гораздо убедительнее Вашего, когда речь идёт о преподавании в техническом вузе.
Вы пишете: "Учат решать системы линейных уравнений, но не объясняют геометрического смысла уравнения, систем уравнений..." Когда я учился, геометрический смысл этих понятий был объяснён и всем ясен! Но если уж это вызывает трудности у студентов, то может быть эту трудность надо обойти, а не штурмовать с потерями среди студентов? Действительно ли необходима четырёхмерная геометрия в техническом вузе? К сожалению, неудачное преподавание может обернуться нежеланием изучать даже более лёгкие разделы геометрии. 
Простите, если моё замечание получилось грустным. Кроме того, слишком мало знаю о МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Здравствуйте, Алексей Алексеевич.
Вы правы, я увлёкся и отошёл от объявленной темы, а многие примеры не относятся непосредственно к начертательной геометрии. Ваш вариант названия хороший, но исправить уже поздно. Надеюсь, однако, что сближение и совместное преподавание НГ, аналитической и проективной геометрии согласуется с замыслами самого Гаспара Монжа.

Уважаемые Владимир Игоревич и Николай Андреевич!
Позвольте пожелать успеха журналу Геометрия и графика, а также сделать несколько замечаний.
Во-первых, Scopus индексирует много электронных журналов, которые не печаются на бумаге, например, Сибирские электронные математические известия. И хотя читать отпечатанный в типографии журнал приятно, видимо, это условие не является необходимым.
Во-вторых, если редакция стремится увеличить цитирование журнала, стоило бы просить авторов цитировать не только Геометрию и графику, но также и другие журналы, публикующие статьи на близкую тему. Список журналов, включённых в Перечень ВАК по группе специальностей 05.01.00 (инженерная геометрия и компьютерная графика), можно найти в прошлогоднем докладе Сергея Игоревича Роткова http://dgng.pstu.ru/conf2016/papers/7/ 
Кроме того, близкие темы рассматриваются в индексируемом Scopus журнале Компьютерная оптика. Среди журналов, издаваемых Elsevier, можно назвать Computer Aided Geometric Design.
В-третьих, для повышения цитирования журнала можно предлагать авторам оплачивать открытый для всех читателей доступ к их статьям. Такое комбинированное издание, когда (обычно не очень большая) часть статей находится в открытом доступе, широко применяет Elsevier и другие издательства. Кроме того, открыт доступ ко многим журналам после трёх лет с момента публикации. Открытый доступ к статьям из журнала Геометрия и графика за 2013 год не нанёс бы ущерба издательству.
В-четвёртых, кроме РИНЦ и Scopus есть много других библиографических баз данных, например, http://www.mathnet.ru или https://zbmath.org  Из них zbMATH учитывается при включении в Перечень ВАК. Вы пробовали подавать заявки на индексирование в этих библиографических базах данных? Или считаете это лишним, вредным?
В-пятых, если статья в редакции лежит больше года, то это плохо не только для автора, но и для журнала, поскольку ссылки в ней устаревают. Поэтому журналу стоило бы либо увеличивать число публикуемых статей, либо отказывать авторам. Рецензирование не должно занимать больше трёх месяцев.